同构式在高中数学中的应用

同构式在高中数学中的应用【类型1】同构式在不等式中的应用如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造成一个函数，进而利用函数的单调性，可以比较大小或解不等式。-f(x)f(xJ⑵k(x1x2)f(x1)f(x2)kx1kx2f(x1)kx1f(x2)kx2yf(x)kx为增函数x1x2/af(x1)f(x2)kk(xx2)kkkkk⑵(xix2)f(xi)f(x2)——f(xi)-f(x2)-yf(x)一为x1x2x1x2x1x2x2x1x1x2x减函数。含有地位同等白^两个变量xi,x2或p,q等不等式，如果整理(即同构)后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性(需要预先设定两个变量的大小)5(x1)2xsin(x1)3nrt【例1】设x,yR,满足，则xy(y1)52ysln(y1)15(x1)52(x1)sln(x1)1-,【思路分析】本题研究对象并非x,y,而是x1,y1,进而可变形为[，观察上下(y1)52(y1)sln(y1)1两个式子左边结构相同，进而可将相同结构视为一个函数，而等式右边两个结果互为相反数，可联想到函数的奇偶性，从而利用函数性质求解。5(x1)52xsln(x1)35_(y1)2ysin(y1)1(x1)55(x1)52xsln(x1)35_(y1)2ysin(y1)1(x1)5(y1)52(x1)sln(x1)2(y1)sln(y1)1，设f(t)1t52tslnt,易知yf(t)是奇函数，由题可知,f(x1)1f(y1)1f(x1)f(y1),x1(y1)xy2。【例2】不等式(x21)1011x20222x210的解集为2/、10112),2、101122、101122、1011/21011【解析】不等式可以变形为(x1)x1(x)x0,(x)x(1x)1x,令f(x)xx,f(x2)f(1x2),显然f(x)在R上单调递增，x21x2,x2-,—xY2,故不等式的解集为222、222，2.【例3】如果cos5sln57(sln3cos3),0,2,那么的取值范围是【思路分析】本题很难去直接解不等式，观察式子特点可发现若将关于sin,cos的项分居在不等号两侧，则左右53呈现同构的特点，将相同的结构设为函数f(x)x7x。【解析】Qcos5sin57(sln3cos3),cos57cos3sin57sln3,设f(x)x37x,易知f(x)x37x是奇函数且单调递增，故f(cos)f(sin)等价于cossin，结合正弦函数图像与余弦函数图像，易得易得【例4】若0为X21,则()Aex2Aex2ex1Inx2Inx1B.exex2Inx2Inx1C.x2eX1x1eX2D.x2eX1x1ex2xixi,x2分居在不等式两侧后都具备同构的特点,所以考虑将相同的形式构造为函数，从而只需判断函数在(0,1)上的单调性即可。1【解析】A选项：e2e1Inx21nxie2Inx2e“1nxi，设f(x)eInx,f'(x)e—,xx1f''(x)exF0,而f'(1)e10,f'(0)0,x(0,1),st:f'(%)0,f(x)在(0,%)上单调递减，xTOC\o"1-5"\h\z在(x0,1)上单调递增，所以f(x)在(0,1)不单调，不等式不会恒成立；B选项：ex1ex2Inx2Inx1B.ex1Inx1ex2Inx2,设f(x)exInx,易知f(x)exInx在(0,1)单调递增,所以f(x1)f(x2),故错误；(x2/，则f'(x)(x2/，则f'(x)0在(0,1)恒成立，所以f(x)在(0,1)xv%eeeC选项：x2ex1x1ex2—J,设f(x)—,f'(x)x1x2x单调递减，故f(x1)f(x2)成立；C选项：由C选项分析过程易知D选项错误综上所述，答案选C。【例5】若函数f(x)jx~7m在区间a,b上的值域为-,-(ba1),则实数m的取值范围为22f(a)【思路分析】注意到f(x)是增函数，从而得到f(b)而将同构式视为一个方程，而a,b为该方程的两个根，a2,f(a)【思路分析】注意到f(x)是增函数，从而得到f(b)而将同构式视为一个方程，而a,b为该方程的两个根，a2,即b2,b1a2,发现两个式子为b2m的取值只需要保证方程有两根即可。a,b的同构式，进【解析】Qf(x)是增函数,aaf(a),a1m2,即2f(b)—bb―1m—22a,b为方程«—1m-在1,2m—&—1有两个不同的根。令tVx—1,t0,得x1t2,所以方程变形为m-(t21)t22上的两根，即12…二(t1)2,结21合图像可得m0,—。2【例6】设a,bR,则“ab”是“aabb”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【思路分析】观察aab|b|可发现其同构的特点，所以将这种结构设为函数f(x)x|X，分析其单调性。【解析】设f(x)XXx2,x0,结合图像可知，函数f(x)为增函数，所以abf(a)f(b),即“ab”x2,x0是"a|a|b|b|"的充要条件。1O【例7】已知函数【思路分析】观察aab|b|可发现其同构的特点，所以将这种结构设为函数f(x)x|X，分析其单调性。【解析】设f(x)XXx2,x0,结合图像可知，函数f(x)为增函数，所以abf(a)f(b),即“ab”x2,x0是"a|a|b|b|"的充要条件。1O【例7】已知函数f(X)alnx-x2(a0),若对任意两个不相等的正实数x1,x2,都有2f(X1)f(X2)2恒成立,X1X2则实数a的取值范围为1a【解析】法一：易知函数f(x)alnx-X2定义域为(0,),f'(x)一x,Q对任意两个不相等的正实数为,x2,2x2恒成立，故Wx2在(0,)上恒成立，即ax22x(x1)21,故实数a的取值范x围为1,12法一：易知函数f(x)alnx-xte义域为(0,2),Q对任意两个不相等的正实数X1,X2,都有f(X1)f(X2)2恒XiX2成立，不妨设xix2,则有f(X1)f(x2)2(x1X2)，即f(Xi)2x1f(X2)2x2,令g(x)f(x)2x,则g(x)f(X)2X在(0,)上单调递增，g'(x)f'(x)2axx20在(0,)上恒成立，故刍xx2在(0,)1,AcabB.abcC.cbaDbac【解析】又a,b,c两边都取自然对数得lnaeln1上恒成立，即ax22x(x1)21,故实数a的取值范围为上恒成立，即ax22x(x1)21,故实数a的取值范围为e1【例8】已知a11,b11,c43,其中e是自然对数的底数，则a,b,c的大小关系是eTOC\o"1-5"\h\ze3xx得上,、x1n(X),设g(x)/一ln(x1)得g(x)2,0,g(x)在(0,)单调递减，f(x)2x1(x1)x1.1.g(x)g(0)0,f'(x)0,f(x)在(0,)单调递减，又Inaf-,lnbf-,lncf(3),e,,1,1f(3)f-f一,cab。e【例9】若对于任意的0【例9】若对于任意的0工qx21nxix1lnx2X1X2a都有-一=21,则实数a的最大值为()x1x2A2eB.eC.2A2eB.eC.2D.1x2Inx1x1Inx2Inx11nx211r为x2x1x2x2x1【斛析】Q1,x21nxix11nx2x1x2,两边同时除以为*为x2x1x2x2x1Inx11Inx2Xix1x2x21…1Inx1一，则f'(x)———xxxInx人Inx，口r。令f'(x)。得0x1,xx故实数a的最大值为1。【例10】已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x1)【例10】已知函数f(警)的值为(A01B.-2C.15D.-2【解析】观察条件可变为f(x1)UN,从而得到等式左右的结构均为他的形式，且括号内的数间隔为t1,2015

f(c)2201522013

f(c)220132f(2)124，Qf(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，故2201511f(2)f(2)f(2)。，进而也全22015f(2)0。a【例11】已知函数(x)—a_,a是正常数，若g(x)Inx(x),且对任意A01B.-2C.15D.-2【解析】观察条件可变为f(x1)UN,从而得到等式左右的结构均为他的形式，且括号内的数间隔为t1,2015

f(c)2201522013

f(c)220132f(2)124，Qf(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，故2201511f(2)f(2)f(2)。，进而也全22015f(2)0。a【例11】已知函数(x)—a_,a是正常数，若g(x)Inx(x),且对任意x”x20,2都有x1g(x2)g(xj1求实数a的取值范围。【思路分析】观察到已知不等式为轮换对称式，所以考虑定序以便于化简，令为,则不等式变形为g(x2)g(x)x〔x?,将相同变量放在一侧，可发现左右具备同构特点，所以将相同结构视为函数h(x)g(x)x,从而由x2X且h(x2)h(xj可知，只需h(x)为增函数即可，只需不等式h'(x)0即可，从而求出实数a的范围。【解析】由题可知,g(x)InxQg(x2)g(x1)1,不妨设为xx2为贝Ug(x2)g(x1)x1x2,即g(x2)x2g(x1)x1。设h(x)g(x)x,Q为x2,g(x2)x2g(x1)h(x2)h(xj恒成立,则h(x)g(x)0,2上单调递增，即h'(x)0在0,2恒成立。h(x)Inx则h'(x)1a12x(x1)a(x1)20,即a(x1)2(x1)2..--心恒成立，所以只需要x(x1)2(x1)2Oxmin令p(x)(x1)2(x1)2

x2(x1)xp'(x)2(x1)2x(x1)2(x1)2(2x1)1、p(x)在(0,一)单倜递

211.27_27减，在(2,2)单倜递增’P(XLnP(2)工,实数a的取值范围为0ah【类型2】指对跨阶同构★指对跨阶同构的基础(1)InexxxInxxInxxxInxee；⑵xeeee；⑶一xxe-InxeInxx(1)InexxxInxxInxxxInxee；⑵xeeee；⑶一xxe-InxeInxx；(4)—eInxexeInxxexxexeInxexInxx⑸xInxInexInxIn(xex)；⑹xInxInxInxIn—；(7)ex

xxInxexInxxxxe2:xe2:xeInxxeInxxx2Inxex2Inxex2lnx1e(x2lnx)★对跨阶同构三种基本模式:同右：aaeInebInbf(x)xInx⑴积型：aeabInb同左：取对：aInbae(Inb)eaInaInbf(x)In(Inb)xxef(x)xInxm如：2x3Inxme,,x■InxIogax两边互为反函数，所以还可以这样化为aIogaxaxIna——22xInxmmx2,—exInxxm2mxexx；【注意】在对”积型“进行同构时,取对数时最快捷的，向构出的函数，其单调性一看便知。⑶和差型:如：eaxa同右：eabx,ef(x)一IneInbxabaInbe同左：eexf(x)aInbaInbInx取对：aInaInbIn(Inb)⑵商型:f(x)xaxInb同左:同右:aeaeInbaeIneabInbInbf(x)f(x)InxInxIn(x1)xax1eaxIn(x1)eIn(x1)axIn(x1).Inx.Inxx■xeIne从以上三种模型可以看出，对于指对跨阶型同构，主要抓住一点★同构变形技巧:⑴aeaxInxaxaxe⑵exaIn(axa)axInx,1x—ea后面的转化为积型结构Ina(x1)1xInaeInaIn(x1)1xInaexInaIn(x1)xIn(x1)1eIn(x1)xInaIn(x1)⑵axIogaxxInaeInx_xInaeInaInxxInaexInaInaxInx,后面的转化为积型结构【注意】由于ax对于某些不等式，两边互为反函数是比较隐蔽的，若能发现，则难者亦易矣。如:-e*******x1lna(x1),左右两边a11x111互为反函数，所以只需一ex1x,即一所以可得一。aaeae★常见的一些同构变形：①xexxlnxxexinx.e1nx可以构造函数f(x)xex来进行研究为x2inxalnaainxx2lnxaln-xlnx31n3,可以构造f(x)xinx来进行研究xxxx③e1ln(axa)(a0)axxee一ln一ln(x1)xaaxxee一1lnaln(x1)一xlnaaa1,可以构造f(x)xlnx来进行研究ln(x1)x1x—xalnxax0—ln—xxxeeea1xxalnxxxealnxxexeaxxalnxa,可以构造f(x)xlnx来进行研究alnx.ea1nx，可以构造f(x)xee【例e【例14】已知实数，满足ee3,(ln1)e4,其中e为自然对数的底数，则ln【解析】由已知可得eeln-e—ln—ln—ee,设f(x)xex,则f()fln-,当然f(x)在eeeee【例12】设实数0,若对任意的x(e2,),关于x的不等式exlnx0恒成立，则的最小值为【解析】Qexlnx0,exlnx,xexxlnxxexlnx.e1nx，令f(x)xex,f(x)f(lnx),显然f(x)在(0,)上单调递增，xlnx叫二令g(x)胆，当x(e2,)时，g'(x)11nx0,g(x)在区间TOC\o"1-5"\h\zxxx(e2,)单调递减，叫g(e2)马，故的最小值为~1.xmaxee【例13】设a0,若对任意的x(0,),不等式aeaxlnx0恒成立，则a的最小值为()A1eB.—2ec.2eA1eB.—2ec.2e“3lnxlnxlnx【解析】法1：Qyeax与y——互为反函数，Qeax——0,只需要eaxx0即可，即axlnx,则a——，aaxlnx、1lnx1lnx1lnx设g(x)——,g'(x)——2—，令g'(x)——2—0,得0xe,令g'(x)———0,得xe,故xxxx

(0,)上单调递增,【例15】已知(0,)上单调递增,【例15】已知a0,不等式ln—ea1xxe一,得e1，又ee3e1e4ealnx0对任意白实数x1恒成立，则实数a的最小值为【分析】xa1exalnx0,xexa1nxalnx.ea1nx，构造函数f(x)xex,f(x)f(alnx)显然，f(x)在axe,故实数e,故实数a的最小值为(0,)上单调递增，故xalnxa一，易得a—lnxlnxmax【例16】已知函数f(x)exaln(axa)a(a0),若关于x的不等式f(x)0恒成立，则实数a的取值范围为x【解析】法一：f(x)exaln(axa)a0恒成立，exaln(axa)aeln(x1)lna1,axlnaxlnaxlnaxlnaln(x1)exlnaln(x1)x1,exlnaeln(x1),令g(x)exx,易得g(x)在(1,)上单调递增，xlnaln(x1),lnaln(x1)x,ln(x1)xx2x2,lna2,0ae2,实数a的取值范围为(0,e2)。法二：f(x)0exaaln(axx

e

即1

aln(axa)Inaln(x1)xe一lnaln(x1)1axe—法二：f(x)0exaaln(axx

e

即1

aln(axa)Inaln(x1)xe一lnaln(x1)1axe—xaInaln(x1)ln(x1)x1,构造函数f(x)x

ef—f(x1),显然af(x)在(0,)上单调递增,x_ea,x1x设h(x)e,x1h'(x)ex(x1)exex(x2)(x1)2(x1)2,令h'(x)0可得x令h'(x)0可彳导1x2，故h(x)minh(2)的取值范围为(0,e2)。【例17】已知不等式xalnxxa对x(1,)恒成立，则实数a的最小值为(【例17】已知不等式xalnxxa对x(1,)恒成立，则实数a的最小值为(C.eD.2e【解析】Qxalnx1aaaax,x—xalnxxlnx,e1ln—xlnx,构造函数f(x)xlnx,e1.1x1fvf(xa),Qf'(x)1———，易得f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减。当x1时,exx1,xa与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时0xa1;当0x1时，f(x)单1xxlnx1倜递减，故二x,两边取对数xalnx,a,令g(x)—,则g(x)2—,g(x)在(1,e)上elnxlnxlnx单调递增，在(e,)单调递减，g(x)g(e)e,故a的最小值是【例18］若函数f(x)x(e2xa)Inx1没有零点，则实数a的最大值为【解析】注意到x时，f(x)0,要使函数f(x)没有零点，只需f(x)0在(0,)上恒成立，而而f(x)x(e2xa)Inx1e2xlnxaxInx12xInx1axInx(2a)x,令(2a)x0得a2,且上面不等式取等时2xInx0,记其零点为小，当a2时，f(x0)x0(e2x0a)Inx01e2x01nx°ax0Inx01e2x01nx02x0Inx。10,显