2022-2024年高考数学试题分类汇编：导数及其应用（解析版）

三年真题

4M03导照及其应用

目制鲁港。绢施留

考点三年考情（2022-2024）命题趋势

2024年全国甲卷（理）、2023年全国甲卷（文）

考点1:切线问题2024年全国I卷、2022年全国II卷

2022年全国I卷

2023年全国乙卷（文）

2022年全国乙卷（理）

考点2：单调性、极最

2023年北京卷

值问题2024年全国I卷、2024年全国II卷

2023年全国H卷、2023年全国n卷

高考对导数及其应用的考查相

2022年全国乙卷（文）

2022年全国甲卷（文）对稳定，属于重点考查的内

2022年全国甲卷（理）

容.高考在本节内容上无论试

考点3：比较大小问题2022年全国I卷、2024年北京卷

2024年天津卷题怎样变化，我们只要把握好

2023年全国甲卷（文）、2023年天津卷

导数作为研究函数的有力工具

考点4：恒成立与有解2024年新课标全国n卷

2023年全国甲卷（文）、2023年全国甲卷（理）这一点，将函数的单调性、极

问题

2024年全国甲卷（理）、2024年全国I卷

值、最值等本质问题利用图像

2023年全国乙卷（理）

考点5：极最值问题2023年北京卷直观明了地展示出来，其余的

2024年全国n卷

就是具体问题的转化了.最终

2024年全国甲卷（文）、2023年天津卷

考点6：证明不等式2023年全国I卷、2023年全国II卷的落脚点一定是函数的单调性

2022年全国n卷

与最值，因为它们是导数永恒

考点7：双变量问题（极2022年全国甲卷（理）

2022年北京卷、2022年天津卷的主题.

值点偏移、拐点偏移）

2022年浙江卷、2024年天津卷

2024年全国n卷

2023年全国乙卷（文）、2024年天津卷

2024年全国甲卷（文）

考点8：零点问题2023年天津卷、2022年天津卷

2024年北京卷

2022年全国乙卷（文）、2022年全国甲卷（文）

2022年全国乙卷（理）、2022年全国I卷

曾窟飨缀。阖滔运温

考点1:切线问题

1.（2024年高考全国甲卷数学《理）真题）设函数〃尤）=:；：；”,则曲线y=〃x）在点（（H）处的切线

与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）

11_12

A.-B.-C.-D.-

6323

【答案】A

(ex+2cosx)(l+x2)-(ex+2sinx)-2x

［解析］rw=---------------(，--------------------，

(i+x)

(e°+2cos0)(l+0)-(e°+2sin0)x0

贝U-(0)=1------------八，、\---------------=3,

即该切线方程为、T=3x,即y=3x+l,

令％=0,贝!Jy=l,令y=。，贝!Jx=

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=：xlx-：=：.

25o

故选：A.

2.（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线y=£在点［1,；）处的切线方程为（）

x+1I2）

eeeee3e

A.y=—xB.y=—xC.y=—x+—D.y=—x+——

424424

【答案】c

【解析】设曲线y=工在点k，；］处的切线方程为y-；=M》T），

x+1k2

因为y=——，

X+1

xe

所以y=二一'一

(x+i『(x+以‘

所以％=y'g=?

所以y―"|=2(xT)

所以曲线y=q在点处的切线方程为y无+［.

x+1V2；44

故选：C

3.（2024年新课标全国I卷数学真题）若曲线y=/+x在点（0,1）处的切线也是曲线y=ln（x+1）+。的切线,

贝!!a=.

【答案】In2

,

【解析】由y=e'+无得y'=e*+1,ylI=0=e°+1=2,

故曲线、=/+》在（0,1）处的切线方程为y=2x+l；

由y=ln（尤+l）+a得y=-----,

设切线与曲线y=ln（x+l）+a相切的切点为（Xo，ln（xo+l）+a）,

由两曲线有公切线得，=一9=2,解得无。=一:，则切点为+

玉）十12122J

不呈y=21x+—+In—=2x+1+q—In2,

根据两切线重合，所以a-ln2=0,解得a=ln2.

故答案为：In2

4.（2022年新高考全国II卷数学真题）曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,

【答案】y=-xy=--x

ee

【解析】［方法一］:化为分段函数，分段求

分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为（玉,山5）,求出函数

俗

导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出方,即可求出切线方程,

当x<0时同理可得；

因为y=ln|x|,

当x>。时y=lnx,设切点为（％,In%）,由y'=g，所以=所以切线方程为y—lnx。=1（x7o）,

又切线过坐标原点，所以Tnx°=-^（-x。），解得％=e,所以切线方程为yf=』（x_e）,即y=L；

xoee

当xvO时y=ln（-x）,设切点为（％,In（-石）），由y=L所以川日=,，所以切线方程为

x玉

y_ln（f）=一（工一七）,

又切线过坐标原点，所以-ln（F）=,（F）,解得当=-e,所以切线方程为y_i=L（x+e）,即y

%—ee

故答案为：y=—x；y=­x

ee

［方法二］:根据函数的对称性，数形结合

当x>0时y=ln%,设切点为（毛,In%）,由y'=L,所以91=%=’,所以切线方程为丁一足毛=一（工一/）,

又切线过坐标原点，所以解得%=e,所以切线方程为y_i=」（x-e）,即y=L；

/ee

因为y=ln|R是偶函数，图象为：

ee

［方法三］:

因为y=ln|X,

当x>0时y=lnx,设切点为（〜,In%）,由了=!，所以y'L&='，所以切线方程为y-lnx。=—（x-x0）,

xX0玉）

又切线过坐标原点，所以一比不二-^-%），解得%=e,所以切线方程为y_l=』（x_e）,即y=L；

xoee

当xv。时y=ln（—x）,设切点为（％,In（-石）），由；/=」,所以川『=,，所以切线方程为

x再

j-ln（-x1）=—（x-xj,

xi

又切线过坐标原点，所以-ln（F）=’（-xJ,解得士=-e,所以切线方程为>_1=-1（》+6）,即y=」x；

七一ee

故答案为：y=—x；y=­x.

ee

5.（2022年新高考全国I卷数学真题）若曲线y=（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围

是.

【答案】（FT）U（O,+«0

【解析】Vy={x+a)ex,yr=(x+l+a)ex,

设切点为(X。,%)，则%=(%+。)e"，切线斜率左=(毛+1+〃)e",

切线方程为：y-(%o+〃)e%=(x0+l+a)e"(x-x0),

;切线过原点，，一(%+。卜而=(x0+l+〃)e"(-X。)，

整理得：x；+CIXQ—a=0,

;切线有两条，***A=〃+4〃>0,解得Q<-4或4〉0,

・・・a的取值范围是(—T)U(O,y),

故答案为：(-°°,~4)U(。,+°°)

考点2：单调性、极最值问题

6.(2023年高考全国乙卷数学(文)真题)已知函数〃x)=&+dln(l+x).

⑴当a=-l时，求曲线y=/(x)在点(L〃l))处的切线方程.

(2)若函数“X)在(0,+“)单调递增，求。的取值范围.

【解析】(1)当a=—l时，/(x)=Q-l^ln(x+l)(x>-l),

贝"f'{x}=--xln(x+l)+f--l^x,

XkXJX十1

据此可得/(l)=0，r(l)=-ln2,

所以函数在处的切线方程为卜0=-山2(%-1),即(ln2)x+y-ln2=0.

(2)由函数的解析式可得:=+++,

VX)VXJX十L

满足题意时r(x”0在区间(0,+。)上恒成立.

令(—11n(x+l)+1—FQ]----20,则一(九+l)ln(x+l)+(x+tzx2)N0,

令g(x)=加+龙-(》+1)皿龙+1),原问题等价于g(x)20在区间(0,+8)上恒成立，

贝!1g'(x)=2ar-ln(x+l),

当时,由于2方40,ln(x+l)>0,故g'(x)<0,g(x)在区间(0,+8)上单调递减,

此时g(x)<g(O)=O,不合题意；

令无(X)=g/(x)=2ox-ln(x+l),则"(x)=2a...—,

当awg,2aWl时，由于占<1,所以/z'(x)>O，Mx)在区间(0,+s)上单调递增，

即g'(无)在区间(0,+力)上单调递增，

所以g3>g，(O)=O,g(x)在区间(0,+8)上单调递增,g(x)>g(o)=o,满足题意.

当0<°<!时，由〃(x)=2a--—=0PT^X=--一1,

2x+12a

当时，/1'(力<0,/1(力在区间10,：-1)上单调递减，即g'(x)单调递减，

注意到g'(0)=0,故当xe(0,］-1时，g，(x)<g，(O)=O,g(x)单调递减，

由于g(0)=0,故当时，g(x)<g(O)=O,不合题意.

综上可知：实数0得取值范围是卜

7.(2022年高考全国乙卷数学(理)真题)已知x=%和了=々分另I」是函数/(x)=2/-e/(a>0且。工1)

的极小值点和极大值点.若为<々，则a的取值范围是.

【答案】

【解析】［方法一］:【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点

因为/'(x)=21na•优-2er,所以方程21na-2ex=0的两个根为为,三,

即方程Inau*=e>x的两个根为再，三，

即函数y=lna-"与函数y=ex的图象有两个不同的交点，

因为不，%分别是函数/(x)=2，-e?的极小值点和极大值点，

所以函数“X)在和(*2，+°°)上递减，在(石,马)上递增，

所以当时(-。,石)(々,+。)，/'(力<0,即丁=6%图象在y=lnad上方

当无«玉,无2)时，r(x)>0,即丫=6图象在y=lne"下方

a>l,图象显然不符合题意，所以。<a<l.

令8(尤)=1114―i/,贝ljg,(x)=ln2fl-ax,0<a<l,

设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为(%,1强.4)，

则切线的斜率为g'N”111%，源，故切线方程为丁-Ma,熄=ln%-a&(x-%),

则有-Inad。=T°ln2a.*,解得毛=白，则切线的斜率为吩a..*=eh?a，

因为函数y=lne"与函数V=ex的图象有两个不同的交点,

所以elYave,解得又Ovavl,所以—

ee

综上所述，”的取值范围为g,1).

［方法二］:【通性通法】构造新函数，二次求导

f\x)=21na--2ex=0的两个根为玉,三

因为苍，马分别是函数/(3)=2#-er2的极小值点和极大值点，

所以函数〃尤)在(-力,西)和(*2，+°°)上递减，在(占,%)上递增，

设函数g(x)=/'(x)=2(a*lna-ex),则8)=2aT(lna)2-2e,

若“>1,则'(%)在R上单调递增，此时若/(%)=0,

则/'(X)在(-8,%)上单调递减，在(5,+8)上单调递增，止匕时若有X=X［和X=Z分别是函数

〃耳=2"-成(4>0且awl)的极小值点和极大值点，则%>%，不符合题意；

若则”)在R上单调递减,此时若［%)=0,则/⑺在(-8,%)上单调递增，在伉,+8)上单调

递减，令'(%)=0,贝1*=石显，此时若有x=七和彳=々分别是函数/("=2"-02(。>0且"1)的极

小值点和极大值点，且％<%,则需满足尸(%)>0,7''(Xo)=2(*lna-exo)=2(高一e/］>。，即

x0<,xolna>1故lna、>=%olna=In(仙『>1,所以!<a<l.

【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题

的最优解；

法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于

通性通法.

x+2,x<-a,

8.(2023年北京高考数学真题)设。>0,函数/(x)=、层，，-aWxWa,,给出下列四个结论：

①f(x)在区间(a-1,+8)上单调递减；

②当。时，〃x)存在最大值；

③设(再Va),N(%2，/(々*々>a),则|ACV|>1；

④设网演,/(芯))(工3<-。)，。(%4，/(%))(工42-。).若IPQI存在最小值，则。的取值范围是(。，g.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】②③

【解析】依题意，a>0,

当x<-a时，f(x)=x+2,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；

当-aWxWa时-，f⑺=五-x?,易知其图像是，圆心为(0,0),半径为。的圆在x轴上方的图像(即半圆);

当无>a时，/(x)=-^-l,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；

显然，当xc(a-l,+s),即尤时，“X)在上单调递增，故①错误；

对于②，当时，

当工<-〃时，y(x)=x+2<—a+2<1；

当-aWxWa时，/(无)=一肘显然取得最大值a；

当x>a时，/(X)=-A/X-1<-VO-1<-2,

综上：/(%)取得最大值。，故②正确；

对于③，结合图像，易知在为=。，/>。且接近于x=a处，MR/aDaWa),N(X2，/(尤2»(尤2>。)的距

离最小，

当％=a时，y=/(可)=0,当々>4且接近于x=a处，J2=f(x2)<-\/a-l,

此时，|项|>%-%>&+1〉1，故③正确；

因为尸(七,/(覆》(W<-«),2(X4,/(X4))(X4>-a),

结合图像可知，要使|尸。|取得最小值，则点尸在〃力=。2口<-£|上，点。在

同时归。|的最小值为点。到了3=x+2、<T]的距离减去半圆的半径。，

此时，因为〃x)=y=x+2(x<-gj的斜率为1,则%=-1,故直线OP的方程为了=一X,

联立，,解得1，则尸-1,1,

[y=x+2[y=l

显然P(-l,l)在/(x)=X+<-[J上，满足「0取得最小值，

即a=g也满足怛。|存在最小值，故.的取值范围不仅仅是,故④错误.

故答案为：②③.

9.(多选题)(2024年新课标全国I卷数学真题)设函数/(X)=(X-1)2(X-4),则()

A.x=3是f(x)的极小值点B.当0<x<l时，/(x)</(x2)

C.当1<X<2时，-4</(2x-l)<0D.当-!<x<0时，f(2-x)>f{x}

【答案】ACD

【解析】对A,因为函数〃x)的定义域为R,而/'(尤)=2(x-l)(x-4)+(x-l)2=3(尤一1)(无一3),

易知当x«l,3)时,尸(力<0,当xe(T,l)或x«3,+8)时,/(x)>0

函数”X)在(-8,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+8)上单调递增，故x=3是函数〃元)的极小值

点，正确；

对B,当0cx<1时，x-x2=x(l-x)>0,所以

而由上可知，函数〃尤)在(0,1)上单调递增，所以>/(寸)，错误；

对C,当1。<2时，l<2x-l<3,而由上可知，函数〃尤)在(1,3)上单调递减，

所以/⑴>/(2x-1)>/(3),即T<"2x_l)<0,正确;

对D,当一l<x<0时，/(2-X)-/(X)=(1-%)2(-2-%)-(%-1)2(%-4)=(^-1)2(2-2X)>0,

所以/(2—x)>/(x),正确；

故选：ACD.

10.(多选题)(2024年新课标全国II卷数学真题)设函数/(》)=21_3加+1,则()

A.当。>1时，Ax)有三个零点

B.当。<0时，x=0是/(X)的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线y=/(x)的对称轴

D.存在a,使得点为曲线>=/(无)的对称中心

【答案】AD

【解析】A选项，/(x)=6x2-6ax=6x(x-a),由于a>l,

故xe0)u(a,+oo)时/'(尤)>0,故/(x)在(-co,0),(a,+oo)上单调递增,

xe(0,a)时，f\x)<0,/(x)单调递减，

则f(x)在尤=0处取到极大值，在无=。处取到极小值，

由/(0)=1>0,/(a)=l-a3<0,则/(0)/(a)<。,

根据零点存在定理/(X)在(0,«)上有一个零点，

X/(-l)=-l-3a<0,/(2a)=4a3+l>0,KO/(-1)/(0)<0,f(a)f(2a)<0,

则/(x)在(TO),(d2a)上各有一个零点，于是。>1时，/(x)有三个零点，A选项正确；

B选项，f'{x}=6x{x-a),a<0时，无e(a,。),/'(x)<0,/(x)单调递减，

xe(0,+oo)时/(x)>0,f(x)单调递增,

此时/(x)在x=0处取到极小值，B选项错误；

C选项，假设存在这样的d"使得x=b为/(x)的对称轴，

即存在这样的",b使得/(x)=〃26-尤)，

即2V—36,+1=2(26-x)3-3a(2b-x)2+l,

根据二项式定理，等式右边(26-幻3展开式含有/的项为2C；(2与°(-x)3=-2/，

于是等式左右两边V的系数都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在这样的。,6,使得x=b为〃x)的对称轴，C选项错误；

D选项，

方法一：利用对称中心的表达式化简

/(1)=3-3«,若存在这样的使得(L3-3a)为〃x)的对称中心,

则/(x)+"2—x)=6-6a,事实上，

/(x)+/(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a,

于是6-6a=(12-6a)/+(12a-24)x+18-12a

12-6〃=0

即12a-24=0,解得a=2,即存在a=2使得(1"(D)是/(x)的对称中心，D选项正确.

18—12〃=6—6〃

方法二：直接利用拐点结论

任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，

/(%)=2/一3公2+1,fr(x)=6x2-6ax,7"(%)=12%—6。，

由1(x)=0ox或于是该三次函数的对称中心为，J,

由题意(1J⑴)也是对称中心，故£=10。=2,

即存在a=2使得(1,7(1))是f(X)的对称中心，D选项正确.

故选：AD

11.(多选题)(2023年新课标全国H卷数学真题)若函数y(x)=alnx+g+5(aw0)既有极大值也有极小

值，则().

A.bc>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】函数〃x)=alnx+2+二的定义域为(0,+s),求导得八当=

%%XXXX

因为函数/(兄)既有极大值也有极小值，则函数/'(X)在(0,+8)上有两个变号零点，而〃W0,

因此方程欠2一2c=0有两个不等的正根石，九2，

A=/?2+Sac>0

b八

于是再+"2=—>。即有/+8ac>0,ab>0,ac<0,显然a%c<0,即6c<0,A错误，BCD正确.

a

2c八

再“2二----〉0

a

故选：BCD

12.(2023年新课标全国II卷数学真题)已知函数/(x)=ae£-lnx在区间(1,2)上单调递增，则”的最小值

为(),

A.e1B.eC.JD.e-2

【答案】C

【解析】依题可知，尸(X)=改一^20在(1,2)上恒成立，显然。〉0,所以xe-：,

设g(x)=xe，,xe(l,2),所以g〈x)=(x+l)e*>0,所以g(x)在(1,2)上单调递增,

g(x)>g(l)=e,故即=即a的最小值为

故选：C.

13.(2022年高考全国乙卷数学(文)真题)函数/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在区间［0,2司的最小值、最大

值分别为()

,兀兀3兀71一兀兀C37171c

A.—，一B.,一C.—,—F2D.-----,—F2

22222222

【答案】D

【解析】/r(%)=-sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+l)cosx,

所以“X)在区间(0马和仔,上用X)>0,即/(X)单调递增；

在区间上/'(力<。，即单调递减，

又〃。)=〃2兀)=2,佃=>2,哈‘倡+11

所以/(%)在区间［0,2司上的最小值为-年,最大值为］+2.

故选：D

考点3:比较大小问题

14.(2022年高考全国甲卷数学(文)真题)已知9m=10,a=10'"-11,6=8"<9,则()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【解析】［方法一］:(指对数函数性质)

由9"=10可得机=1嗝1。=瞿>1，而lg91gli<(lg9+lgU］=(粤］<l=(lglO)\所以瞿〉黑，

1g92J{2Jv'1g9IglO

即〃z>lgll,所以o=l(T-11>10电"_11=0.

又lg81glO<［g8；gl°J=僵2)<(则,所以督〉个,BPlog89>m,

所以/,=8"'-9<8叱'9-9=0.综上，a>Q>b.

［方法二］：【最优解】(构造函数)

由9"=10,可得m=log910e(l,L5).

根据的形式构造函数/(了)=尤皿-尤-1(尤>1),则据(x)=%x"T-l,

令/'(x)=0,解得%=机占，由机=log910e(l,L5)知不€(0,1).

f(x)在(1,+®)上单调递增，所以〃10)>/(8),即a>b,

又因为/(9)=9|。凝|。-10=0,所以。>0>b.

故选：A.

【点评】法—：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；

法二：利用的形式构造函数/(x)=--x-l(x>l),根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该

题的最优解.

3111

15.(2022年高考全国甲卷数学(理)真题)已知。=J,6=cos—,c=4sin—,贝ij()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】［方法一］:构造函数

因为当xe<tanx

C1c

故一=4tan—>1,故J>1,所以c>Z?；

b4b

12

f(x)=cosx+—x-1,XG(0,4-00),

f'(x)=-sinx+x>0,所以/(x)在(0,+oo)单调递增，

故弁］>/(。)=。，所以COS」1^>0,

14；432

所以">“，所以c>〃>4,故选A

［方法二］:不等式放缩

因为当x£[o,]J,sinx<x,

取龙=!得：cos^=l-2sin匚>1-2已]=—,故

848⑻32

4sin—+cos—=J17sin+9],其中夕e(0,—,且sin(p——,coscp——

..11r~r_L1冗p711

当>lz4sin—+cos—=J17时，一+0=—,及(p=-------

444224

…•141.1

止匕时sin—=coscp-,cos—=sin0=—j=

4V174V17

u114・14•1乂

故cos：=r=<—j==sm—<4sm—,故Z?v。

4V17V1744

所以匕>。，所以C〉Z?〉Q,故选A

[方法三]:泰勒展开

3102s20.2520.254

设％=0.25,贝lj〃=卫=1—22-b=cos'l-H--------

322424!

.I

.1Sin410.2520.254、1生/口43

c=4Asm-=-^—^l-+,计算得c>b7〉〃，故选A.

4

[方法四]:构造函数

因为£=4tan!，因为当％£(0,=],sinx<x<tan%,所以即所以c>b；设

b4V2J44b

f(x)=cosx+x2-1,xG(0,+co),/'(x)=—sinx+x>0,所以了。)在(0,+8)单调递增，则>/(0)=。,

131

所以COS1—石■>0,所以所以c>Z?〉〃，

故选:A.

[方法五]:【最优解】不等式放缩

因为£=4tan!，因为当无/0,g],sinx<x<tanx,所以tan，>L即f>1,所以c〉b；因为当

b4I2J^44%

尤e(0，V],sinx<x,MXx=-^cos-=l-2sin2->l-2f->|=—,故〃>。，所以c>b>a.

12)848⑻32

故选：A.

【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法;

方法5：利用二倍角公式以及不等式无e[o,",sinx<x<tanx放缩，即可得出大小关系，属于最优解.

16.(2022年新高考全国I卷数学真题)设。=0.卜°/力=，c=-ln0.9,贝ij()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【解析】方法一：构造法

1Y

设f(x)=ln(l+x)-Xx>-1),因为/(%)=J--1=—丹，

1+x1+x

当xw(—l,0)时，f\x)>0,当％w(0,+8)时r(无)<0,

所以函数fM=ln(l+%)—x在(0,+s)单调递减，在(-1,0)上单调递增，

所以/('</(0)=0,所以批午一1<0,故;>皿?=一1110.9，即6>c，

所以/(--)</(0)=0,所以In—+—<0,故三<屋。，所以,修。<上，

10101010109

故。<6,

设8。)=尤1+111(1一》)(0<尤<1),则g，(x)=(尤+i)e*+^^=I^~1)；+J

令〃(x)=e*(x?-1)+1,h'(x)=er(x2+2%-l),

当O<x<0-1时，h'(x)<0,函数/尤)=1(/-1)+1单调递减，

当应时,/7'(x)>0,函数//(x)=e*(f-1)+1单调递增，

又力(0)=0,

所以当0〈尤<0—1时，/心)<。，

所以当0<尤〈近一1时，g'(x)>0,函数8。)=尤。'+111(1-回单调递增,

所以g(01)>g(0)=0,即(Me。」>—lnQ9,所以0>c

故选：C.

方法二：比较法

a=O.le01,b=-^,c=-ln(l-O.l),

1—0.1

①lna-lnb=O.l+ln(l-O.l),

令f(x)=x+ln(l—x),xe(0,0.1],

1—x

贝urw=i---=--<o,

i-xl-x

故/(x)在(0,0.1]上单调递减,

可得/(0.1)</(0)=0,即]na-]nb<0,所以a<b；

②〃—c=0.1网+ln(l—0.1),

令^(x)=xex+ln(l—x),xe(0,0.1],

则g'(x)=x/+e'-一匚=0+x)(j)e'T,

v71-x1-x

令k(x)=(l-^x)(l-x)ex-1,所以kr(x)=(l-x2-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1］上单调递增，可得左(x)>左(。)>。,即gr(x)>0,

所以g(M在(0,0.1］上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

17.(2024年北京高考数学真题)已知(国,弘)，(々，%)是函数丁=2工的图象上两个不同的点，则()

必+丁2)玉+%2

A.logB.log

222222

C.1暇"；％+%2D.log2'；%+%2

【答案】B

【解析】由题意不妨设石<々，因为函数y=2"是增函数，所以0<2%<2巧，即。<必〈为，

2

对于选项AB：可得々二>，2』？=2=,即入±&>22>o,

22

X［+巧.

根据函数y=log2X是增函数，所以log?咤匹>log22'=土产，故A正确，B错误；

对于选项C：例如%=0,%2=1，则X=1，%=2,

可得log2H>=1。殳|€(0,1),即log?且产<1=%+%,故C错误；

对于选项D：例如玉=—I,3=—2,则

1O

nTMlog2=S2j=log23-3e(-2,-1),即log?>.3=%+9,故D错误，

2X2

故选：B.

18.(2024年天津高考数学真题)若』=4*,6=4.2%c=log420.2,则a,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【解析】因为y=4.2,在R上递增，且-0.3<0<0.3,

所以0<4.24<4,2°<4.203,

所以0<4.2心<1<4.2叫即0<a<l<6,

因为y=log42x在(0,+oo)上递增,且0<0.2<1,

所以Iog4.20.2<k»g421=0,即c<0,

所以6>a>c,

故选：B

19.(2023年高考全国甲卷数学(文)真题)已知函数〃力=小叫记。=/事由=于苧,c=f/

\7\J\

则()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【解析】令g(x)=-(x-l)2,则g(x)开口向下，对称轴为x=l,

因为手--=而(逐+6)2-42=9+60-16=6应-7>0,

在i、jn1(16]^6+^34n石

所以----1-1-------=------------------>0,BP-1>1―■—

2(2)2222

由二次函数性质知g(李<g(当，

因为乎-1-1一爸=后一J,ffi(76+N/2)2-42=8+4A/3-16=4A/3-8=4(^3-2)<0,

即9-1<1-当所以gg>g岑)，

综上'g(*)<g*)<g(多，

又>=6,为增函数，i^a<c<b,即6>c>a.

故选：A.

20.(2023年天津高考数学真题)设以=1.0人力=1。俨6,C=0.6°S,则a,6,c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】由y=l.or在R上递增，贝i|a=1.01°5<方=1.01。.6,

由y=X0-5在[0,+8)上递增，贝Ua=1.01°-5>c=O.605.

所以6>o>c.

故选：D

考点4：恒成立与有解问题

22

21.(2024年新课标全国II卷数学真题)设函数/(x)=(x+a)ln(x+6),若f(x)N0,则a+b的最小值为(

A.—B.—C.—■D.1

842

【答案】C

【解析】解法一：由题意可知：“X)的定义域为(-4+8),

令犬+〃=0解得]=一〃；令ln(x+))=0角毕得犬=1一〃；

若一Q4一Z?,当工£(—七1一b)时，可知X+a>0,ln(x+Z?)<。,

此时/(%)<0,不合题意；

若一b<—a<l—b,当了£(—。,1一匕)时，可知x+a>0,ln(x+/?)<0,

此时/(%)<。，不合题意；

若—a=l—b,当了£(—"1一匕)时，可知x+a<0,ln(x+b)<0,止匕时/(x)>0；

当％E[1—仇+8)时，可知％+aN0,ln(x+/;)20,止匕时/(1)20；

可知若-。=1-匕，符合题意；

若一口>1一当了£(1-6,-Q)时，可知％+a(0/n(%+b》0,

此时/(%)<0,不合题意；

综上所述：一a=l-b,即。=〃+1,

贝|/+/=/+(。+1)2=2[。+工]+工2工，当且仅当。=一上6=!时，等号成立,

V'[2)2222

所以/+尸的最小值为g；

解法二:由题意可知：〃x)的定义域为(-6,+8)，

令无+々=0解得X=—〃；令ln(x+z?)=。解得％=1—〃；

则当了£(—七1一b)时，ln(x+Z?)<0,故x+a40,所以1一〃+Q<0；

无£(1一仇+8)时，ln(x+/?)>0,t^x+a>0,所以1一/?+120；

i^l-b+a=O,则/+/=/+(〃+]/=2〔〃+；1

当且仅当a=-g,6=g时，等号成立，

所以1+〃的最小值为

故选：C.

SIDY(jr

22.(2023年高考全国甲卷数学(文)真题)已知函数/(尤)=依---,xe0,-

COSXkL

⑴当“=1时，讨论/⑴的单调性；

⑵若〃x)+sinx<o,求。的取值范围.

SITlJC\TT.।

【解析】(1)因为a=l,所以〃x)=x-——0,-,

cosxI2J

cosxcos2x-2cosx(-sinx)sinxcos2x+2sin2x

贝了(x)=l-=1—

cos4Xcos3X

cos3x-cos2x-2(l-cos2x)_cos3%+cos2x-2

3-3

COSXCOSX

令£=cosx,由于尤e10,|■卜所以r=cosxe(0,l),

以cos^x+cos^x—2=/+/—2=/—(2+2t2—2=『—1)+2(/+1)(%—1)=+2/+2)(1—1)，

因为/+2，+2=(，+1)+1>0,%—IvO,cos3x=t>>0,

所以广⑺=cos