湘教版高中数学必修5全套课件

湘教版高中数学必修5全套PPT课件【课标要求】1．通过对解决具体问题过程与步骤的分析，体会算法是解决问题的“机械”程序，并能在有限步内完成，体会算法的思想．2．通过对具体问题解决过程的探索和研究，掌握算法步骤，了解算法与求解一个具体问题在方法上的区别，明确算法的要求．3．初步学会为一个具体问题设计算法．算法的概念自学导引1．算法的概念算法(algorithm)通常是指由

组成的求解某

的通用的方法，对于该类问题中的每个给定的具体问题，机械地执行这些步骤就可以得到问题的解答．2．算法的要求(1)写出的算法，必须能解决

(例如解任意一个二元一次方程组)，并且能

；(2)算法过程要能

，每一步执行的操作，必须

，不能含混不清，而且经过有限步后能 ．有限多个步骤一类问题一类问题重复使用一步一步执行确切得出结果3．算法的特点算法具有确定性、

和 ．4．更相减损术对于给定两个正整数， ．作差后将所得的

与

的数构成一对新数，对这对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数．有效性有限性用较大的数减去较小的数差较小自主探究1．算法与一般意义上的数学问题的解法一样吗？答案算法与一般意义上的数学问题的解法既有联系又有区别．(1)联系：算法与解法是一般与特殊、抽象与具体的关系．例如：教材先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程(解法)出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤，并且指出，这样的求解步骤也适合所有满足限制条件的二元一次方程组，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法；(2)区别：算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称，也可理解为数学中的“通法”；解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，是具体的解题过程．2．怎样正确理解更相减损术？答案所谓更相减损术就是对于给定的两个数，以两数中较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成一对新数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数与较小的数相等，此时相等的两数便为原两数的最大公约数．算法步骤：(以求a，b两整数的最大公约数为例)S1：输入两个正整数a，b(a＞b)；S2：若a不等于b，则执行第三步，否则执行第五步；S3：把a－b的差赋给r；S4：如果b＞r，则把b赋给a，把r赋给b；否则把r赋给a，执行第二步；S5：输出最大公约数b.预习测评1．用更相减损术求98与56的最大公约数为(

)．A．2 B．7C．14 D．56答案C解析D中所示求解是无限个数相加，不具备算法的有限性特点，因此不可以用算法求解．答案D3．以下有六个步骤：①拨号；②等拨号音；③提起话筒(或免提功能)；④开始通话或挂机(线路不通)；⑤等复话方信号；⑥结束通话．试写出打一个本地电话的算法________(只写编号)．答案③②①⑤④⑥4．假设家中生火泡茶有下列几个步骤，最优的一个算法是________(只写编号)．a．生火；b.将水倒入锅中；c.找茶叶；d.洗茶壶茶杯；e.用开水冲茶．解析遵循时间最短原则设计最优算法．答案bacde(或badce)

要点阐释1．算法概念的理解算法就是对一类问题(不是个别问题)都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到唯一的结果，通常我们把这一类问题的求解过程，叫做解决这一类问题的算法．算法一般是机械的，有时要进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总能算出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”．数学机械化最大的优点，是它可以让计算机来完成．2．算法可概括为以下几个特点(1)有限性一个算法应包含有限的操作步骤，而不能是无限的．(2)确定性算法中的每一个步骤都应当是确定的，而不应当是模棱两可的．(3)顺序性与正确性算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能解决问题．(4)不唯一性求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法．(5)普遍性很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限的、事先设计好的步骤加以解决．3．更相减损术求两个数的最大公约数时，一定要弄清每一次减法中的被减数、减数，同时要掌握减法应在何种情况下停止运算，得出结果．典例剖析题型一算法的概念【例1】

下列关于算法的描述正确的是(

)．A．算法与求解一个问题的方法相同B．算法只能解决一个问题，不能重复使用C．算法过程要一步一步执行，每步执行的操作必须确切D．有的算法执行完后，可能无结果解析算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系，故A不对；算法能重复使用，故B不对；每个算法执行后必须有结果，故D不对；由算法的有序性和确定性可知C正确．答案C方法点评算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常指向某一个或一类问题，而解决的过程是程序性和构造性的．算法也可以看成解决问题的特殊的、有效的方法．1．下列关于算法的说法，正确的有(

)．①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生确定的结果．A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析解决某一类问题的算法不唯一，第①个说法错误，②③④正确，故选C.答案C题型二更相减损术【例2】

用更相减损术求下列两数的最大公约数：(1)261,319；(2)1734,816.解用更相减损术就是根据m－n＝r，反复执行，直到n＝r为止．(1)更相减损术：319－261＝58，261－58＝203，203－58＝145，145－58＝87，87－58＝29，58－29＝29，∴319与261的最大公约数是29.(2)更相减损术：因为两数皆为偶数，首先除以2得到867,408，再求867与408的最大公约数．867－408＝459，459－408＝51，408－51＝357，357－51＝306，306－51＝255，255－51＝204，204－51＝153，153－51＝102，102－51＝51，∴1734与816的最大公约数是51×2＝102.方法点评通过上例可以发现用更相减损术求最大公约数，运算简单，程序易编．2．用更相减损术求63和98的最大公约数．解由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，如下图所示：所以98和63的最大公约数是7.题型三实际问题的算法【例3】

一个人带三只狼和三只羚羊过河．只有一条船，同船可以容一个人和两只动物．没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量就会吃掉羚羊．请你设计安全渡河的算法．解要想安全过河，每一步都要遵循一个共同原则：在人运送动物过河的过程中，人离开岸边时必须保证每个岸边的羚羊数目要大于狼的数目．算法如下：S1：人带两只狼过河；S2：人自己返回；S3：人带一只狼过河；S4：人自己返回；S5：人带两只羚羊过河；S6：人带两只狼返回；S7：人带一只羚羊过河；S8：人自己返回；S9：人带两只狼过河．方法点评实际问题的算法与数学问题的算法是有区别的，一般数学问题的算法可以设计程序用计算机求解，而实际问题的算法一般不能用计算机解决．3．两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡一个大人或两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳．同学们现在想一想，他们怎样渡过河去？请写一写你的渡河方案．解因为一次只能渡过一个大人，而船还要回来渡其他人，所以只能让两个小孩先过河，渡河的方法与步骤为：S1：两个小孩同船渡过河去；S2：一个小孩划船回来；S3：一个大人独自划船渡过河去；S4：对岸的小孩划船回来；S5：两个小孩再同船渡过河去；S6：一个小孩划船回来；S7：余下的一个大人独自划船渡过河去；S8：对岸的小孩划船回来；S9：两个小孩再同船渡过河去．误区警示因对算法步骤理解不明确而致误【例4】

写出求2＋4＋6＋8＋…＋100的算法．[错解]

算法：S1：计算2＋4＋6＋8＋…＋100；S2：输出第一步中的结果．错因分析对于连加连乘的问题，不能直接得到答案，应当逐步进行．[正解]

算法：S1：计算2＋4得到6；S2：将第一步的结果与6相加得到12；S3：将第二步的结果与8相加得到20；S4：如此继续下去，一直加到100；S5：输出运算结果．纠错心得

算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的，从而组成了一个有着很强逻辑性的步骤序列．课堂总结1．给出一个问题，设计其算法时应注意：(1)认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法；(2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况；(3)借助有关的变量或参数对算法加以表述；(4)将解决问题的过程划分为若干个步骤；(5)用简炼的语言将各个步骤表示出来．2．对于数值计算问题，如解方程、求方程组的解、解不等式、解不等式组、套用公式判断性的问题、累加累乘等这一类算法的描述，一般可以通过数学模型借助数学计算方法，分解成清晰的步骤，使之条理化就可以了．3．对于非数值性计算问题(例如：排序、查找、变量的替换、文字处理等)需要建立过程模型解决问题．4．对于某一问题往往可以设计出多种算法，通常选用步骤较少、结构较好的算法．5．更相减损术求两数最大公约数时，是当较大的数减较小的数恰好等于较小的数时停止减法，这时的较小的数就是要求的两数的最大公约数.

算法结构与程序框图【课标要求】通过模仿、操作、探索，经历设计程序框图表达问题解决的过程，在具体问题的解决过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．自学导引1．程序框图(1)定义：程序框图是一种用

、

以及文字符号说明等基本元件的组合来表示算法的图形．(2)组成程序框：表示算法中的一个 ．流程线：表示算法步骤的执行 ．程序框流程线步骤顺序(3)常见的程序框、流程线及各自功能．起始结束输入输出是否程序框程序框图2.算法的三种基本逻辑结构和框图表示重复执行由上而下3.程序框图的画法在用自然语言表述一个算法后，可以画出程序框图，用

、

和

来表示这个算法．这样表示的算法清楚、简练，便于阅读和交流．4．直到型循环结构在执行了

，对条件进行

，如果条件

，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．因此，这种循环结构称为直到型循环结构．5．当型循环结构在每次执行

前，对条件进行判断，当条件

时，执行循环体，否则终止循环．因此，这种循环结构称为当型循环结构．顺序结构条件结构循环结构一次循环体后判断不满足循环体满足自主探究1．用程序框图表示算法，相对于自然语言描述的算法有什么优点？答案程序框图相对于自然语言表述算法，看起来更清晰，更明确，也更接近于计算机的程序设计．2．条件结构中的判断有两个出口，由此说明条件结构执行的结果不唯一，对吗？答案不对．判断框虽然有两个出口，但根据条件是否成立，选择的出口是确定的，故执行结果也是唯一的．答案D2．右图中的程序框图中结构是(

)．A．条件结构B．顺序结构C．循环结构D．以上都不对答案B答案B4．阅读程序框图(如图所示)，其输出的结果是________．解析b＝3(2×2＋1)－2＝13.答案13

要点阐释1．画流程图的规则(1)使用标准的图形符号．(2)程序框图一般按从上到下，从左到右的方向画．(3)除判断框外，大多数流程框只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号．(4)在图形符号内描述的语言要简练、清楚．2．三种基本结构的共同特点(1)只有一个入口．(2)只有一个出口，请注意一个菱形判断框有两个出口，而一个条件结构只有一个出口，不要将菱形框的出口和条件结构的出口混为一谈．(3)结构内的每一部分都有机会被执行到，也就是说对每一个框来说都应当有一条从入口到出口的路径通过它．像图中的A框，没有一条从入口到出口的路径通过它，就是不符合要求的程序框图．(4)结构内不存在死循环，即无终止的循环．像右图就是一个死循环．在程序框图中是不允许有死循环出现的．三种基本逻辑结构的这些共同特点，也是检查一个程序框图或算法是否正确、合理的有效方法．典例剖析题型一与顺序结构有关的算法【例1】

已知P0(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，写出求点P0到直线l的距离d的算法，并用程序框图来描述．方法点评本例中的结构是由依次执行的步骤组成的，这种结构为顺序结构．1．写出求坐标平面内两点A(a，b)，B(c，d)之间的距离的算法，并画出其程序框图．方法点评an是关于n的分段函数，因此用条件结构，判断框中若n为奇数成立，则沿着“是”分支执行；反之，则沿“否”分支执行．2．如图所示的程序框图，若a＝5，则输出b＝________.答案26题型三循环结构的应用【例3】画出一个计算1×3×5×…×99的程序框图．解法一当型循环结构程序框图如图．法二直到型循环结构程序框图如图．法三如图所示．法四如图所示．方法点评在科学计算中，有许多有规律的重要计算，如累加求和、累乘求积的问题，这些算法中往往包含循环结构，解决这类问题的关键是选择一个计数变量，一个累加变量或累积变量，由于两个变量的选择不同，得到的程序框图或程序也就不同，但本质是一样的．题型四循环结构的实际应用【例4】某班共有学生50人．在一次数学测试中，要搜索出测试中及格(60分以上)的成绩，试设计一个算法，并画出程序框图．解算法步骤如下：S1，把计数变量n的初始值设为1.S2，输入一个成绩r，比较r与60的大小．若r≥60，则输出r，然后执行下一步；若r<60，则执行S3.S3，使计数变量n的值增加1.S4，判断计数变量n与学生个数50的大小，若n≤50，返回S2，若n>50，则结束．程序框图如图．方法点评设计一个程序框图算法的一般步骤：(1)用自然语言表述算法步骤；(2)确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构，并用相应的程序框图表示，得到表示该步骤的程序框图；(3)将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到表示整个算法的程序框图．4．相传古代印度国王舍罕要褒赏他聪明能干的宰相达依尔(国际象棋的发明者)，问他需要什么，达依尔说：“国王只要在国际象棋的棋盘第一个格子上放一粒麦子，第二个格子上放两粒，第三个格子上放四粒，以后按此比例每一格加一倍，一直放到第64格(国际象棋8×8＝64格)，我就感恩不尽，其他什么也不要了．”国王想：“这有多少，还不容易！”让人扛来一袋小麦，但不到一会儿就全用没了，再来一袋很快又没有了，结果全印度的粮食用完还不够，国王很奇怪，怎么也算不清这笔账．一个国际象棋棋盘一共能放多少粒小麦．请你帮助国王设计一个程序框图表示其算法．解根据题目可知：第一个格放1粒＝20，第二个格放2粒＝21，第三个格放4粒＝22，第四个格放8粒＝23，…，第六十四格放263粒．则此题就转化为求1＋21＋22＋23＋24＋…＋263的和的问题．我们可引入一个累加变量S，一个计数变量i，累加64次就能算出一共有多少粒小麦．误区警示由于循环体内S＝S＋n，n＝n＋1的顺序颠倒而出错【例5】求使1＋2＋3＋4＋5＋…＋n>100成立的最小自然数n的值，画出程序框图．错因分析解答本题时易出现初始值n＝1且循环体内按S＝S＋n，n＝n＋1顺序的错误，出现这种错误的原因是将循环终止的条件与n满足的条件混淆所致．课堂总结1．正确使用算法的程序框图，一个程序的流程图要基于它的算法，在对一个算法作了透彻分析的基础上再设计流程图．2．在设计流程图的时候要分步进行，把一个大的流程图分割成小的部分按照三个基本结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，来局部安排，最后把流程图进行部分之间的组装，从而完成完整的程序流程图.

算法结构与程序框图【课标要求】通过模仿、操作、探索，经历设计程序框图表达问题解决的过程，在具体问题的解决过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．自学导引1．程序框图(1)定义：程序框图是一种用

、

以及文字符号说明等基本元件的组合来表示算法的图形．(2)组成程序框：表示算法中的一个 ．流程线：表示算法步骤的执行 ．程序框流程线步骤顺序(3)常见的程序框、流程线及各自功能．起始结束输入输出是否程序框程序框图2.算法的三种基本逻辑结构和框图表示重复执行由上而下3.程序框图的画法在用自然语言表述一个算法后，可以画出程序框图，用

、

和

来表示这个算法．这样表示的算法清楚、简练，便于阅读和交流．4．直到型循环结构在执行了

，对条件进行

，如果条件

，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．因此，这种循环结构称为直到型循环结构．5．当型循环结构在每次执行

前，对条件进行判断，当条件

时，执行循环体，否则终止循环．因此，这种循环结构称为当型循环结构．顺序结构条件结构循环结构一次循环体后判断不满足循环体满足自主探究1．用程序框图表示算法，相对于自然语言描述的算法有什么优点？答案程序框图相对于自然语言表述算法，看起来更清晰，更明确，也更接近于计算机的程序设计．2．条件结构中的判断有两个出口，由此说明条件结构执行的结果不唯一，对吗？答案不对．判断框虽然有两个出口，但根据条件是否成立，选择的出口是确定的，故执行结果也是唯一的．答案D2．右图中的程序框图中结构是(

)．A．条件结构B．顺序结构C．循环结构D．以上都不对答案B答案B4．阅读程序框图(如图所示)，其输出的结果是________．解析b＝3(2×2＋1)－2＝13.答案13

要点阐释1．画流程图的规则(1)使用标准的图形符号．(2)程序框图一般按从上到下，从左到右的方向画．(3)除判断框外，大多数流程框只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号．(4)在图形符号内描述的语言要简练、清楚．2．三种基本结构的共同特点(1)只有一个入口．(2)只有一个出口，请注意一个菱形判断框有两个出口，而一个条件结构只有一个出口，不要将菱形框的出口和条件结构的出口混为一谈．(3)结构内的每一部分都有机会被执行到，也就是说对每一个框来说都应当有一条从入口到出口的路径通过它．像图中的A框，没有一条从入口到出口的路径通过它，就是不符合要求的程序框图．(4)结构内不存在死循环，即无终止的循环．像右图就是一个死循环．在程序框图中是不允许有死循环出现的．三种基本逻辑结构的这些共同特点，也是检查一个程序框图或算法是否正确、合理的有效方法．典例剖析题型一与顺序结构有关的算法【例1】

已知P0(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，写出求点P0到直线l的距离d的算法，并用程序框图来描述．方法点评本例中的结构是由依次执行的步骤组成的，这种结构为顺序结构．1．写出求坐标平面内两点A(a，b)，B(c，d)之间的距离的算法，并画出其程序框图．方法点评an是关于n的分段函数，因此用条件结构，判断框中若n为奇数成立，则沿着“是”分支执行；反之，则沿“否”分支执行．2．如图所示的程序框图，若a＝5，则输出b＝________.答案26题型三循环结构的应用【例3】画出一个计算1×3×5×…×99的程序框图．解法一当型循环结构程序框图如图．法二直到型循环结构程序框图如图．法三如图所示．法四如图所示．方法点评在科学计算中，有许多有规律的重要计算，如累加求和、累乘求积的问题，这些算法中往往包含循环结构，解决这类问题的关键是选择一个计数变量，一个累加变量或累积变量，由于两个变量的选择不同，得到的程序框图或程序也就不同，但本质是一样的．题型四循环结构的实际应用【例4】某班共有学生50人．在一次数学测试中，要搜索出测试中及格(60分以上)的成绩，试设计一个算法，并画出程序框图．解算法步骤如下：S1，把计数变量n的初始值设为1.S2，输入一个成绩r，比较r与60的大小．若r≥60，则输出r，然后执行下一步；若r<60，则执行S3.S3，使计数变量n的值增加1.S4，判断计数变量n与学生个数50的大小，若n≤50，返回S2，若n>50，则结束．程序框图如图．方法点评设计一个程序框图算法的一般步骤：(1)用自然语言表述算法步骤；(2)确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构，并用相应的程序框图表示，得到表示该步骤的程序框图；(3)将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到表示整个算法的程序框图．4．相传古代印度国王舍罕要褒赏他聪明能干的宰相达依尔(国际象棋的发明者)，问他需要什么，达依尔说：“国王只要在国际象棋的棋盘第一个格子上放一粒麦子，第二个格子上放两粒，第三个格子上放四粒，以后按此比例每一格加一倍，一直放到第64格(国际象棋8×8＝64格)，我就感恩不尽，其他什么也不要了．”国王想：“这有多少，还不容易！”让人扛来一袋小麦，但不到一会儿就全用没了，再来一袋很快又没有了，结果全印度的粮食用完还不够，国王很奇怪，怎么也算不清这笔账．一个国际象棋棋盘一共能放多少粒小麦．请你帮助国王设计一个程序框图表示其算法．解根据题目可知：第一个格放1粒＝20，第二个格放2粒＝21，第三个格放4粒＝22，第四个格放8粒＝23，…，第六十四格放263粒．则此题就转化为求1＋21＋22＋23＋24＋…＋263的和的问题．我们可引入一个累加变量S，一个计数变量i，累加64次就能算出一共有多少粒小麦．误区警示由于循环体内S＝S＋n，n＝n＋1的顺序颠倒而出错【例5】求使1＋2＋3＋4＋5＋…＋n>100成立的最小自然数n的值，画出程序框图．错因分析解答本题时易出现初始值n＝1且循环体内按S＝S＋n，n＝n＋1顺序的错误，出现这种错误的原因是将循环终止的条件与n满足的条件混淆所致．课堂总结1．正确使用算法的程序框图，一个程序的流程图要基于它的算法，在对一个算法作了透彻分析的基础上再设计流程图．2．在设计流程图的时候要分步进行，把一个大的流程图分割成小的部分按照三个基本结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，来局部安排，最后把流程图进行部分之间的组装，从而完成完整的程序流程图.

算法结构与程序框图【课标要求】通过模仿、操作、探索，经历设计程序框图表达问题解决的过程，在具体问题的解决过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．自学导引1．程序框图(1)定义：程序框图是一种用

、

以及文字符号说明等基本元件的组合来表示算法的图形．(2)组成程序框：表示算法中的一个 ．流程线：表示算法步骤的执行 ．程序框流程线步骤顺序(3)常见的程序框、流程线及各自功能．起始结束输入输出是否程序框程序框图2.算法的三种基本逻辑结构和框图表示重复执行由上而下3.程序框图的画法在用自然语言表述一个算法后，可以画出程序框图，用

、

和

来表示这个算法．这样表示的算法清楚、简练，便于阅读和交流．4．直到型循环结构在执行了

，对条件进行

，如果条件

，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．因此，这种循环结构称为直到型循环结构．5．当型循环结构在每次执行

前，对条件进行判断，当条件

时，执行循环体，否则终止循环．因此，这种循环结构称为当型循环结构．顺序结构条件结构循环结构一次循环体后判断不满足循环体满足自主探究1．用程序框图表示算法，相对于自然语言描述的算法有什么优点？答案程序框图相对于自然语言表述算法，看起来更清晰，更明确，也更接近于计算机的程序设计．2．条件结构中的判断有两个出口，由此说明条件结构执行的结果不唯一，对吗？答案不对．判断框虽然有两个出口，但根据条件是否成立，选择的出口是确定的，故执行结果也是唯一的．答案D2．右图中的程序框图中结构是(

)．A．条件结构B．顺序结构C．循环结构D．以上都不对答案B答案B4．阅读程序框图(如图所示)，其输出的结果是________．解析b＝3(2×2＋1)－2＝13.答案13

要点阐释1．画流程图的规则(1)使用标准的图形符号．(2)程序框图一般按从上到下，从左到右的方向画．(3)除判断框外，大多数流程框只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号．(4)在图形符号内描述的语言要简练、清楚．2．三种基本结构的共同特点(1)只有一个入口．(2)只有一个出口，请注意一个菱形判断框有两个出口，而一个条件结构只有一个出口，不要将菱形框的出口和条件结构的出口混为一谈．(3)结构内的每一部分都有机会被执行到，也就是说对每一个框来说都应当有一条从入口到出口的路径通过它．像图中的A框，没有一条从入口到出口的路径通过它，就是不符合要求的程序框图．(4)结构内不存在死循环，即无终止的循环．像右图就是一个死循环．在程序框图中是不允许有死循环出现的．三种基本逻辑结构的这些共同特点，也是检查一个程序框图或算法是否正确、合理的有效方法．典例剖析题型一与顺序结构有关的算法【例1】

已知P0(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，写出求点P0到直线l的距离d的算法，并用程序框图来描述．方法点评本例中的结构是由依次执行的步骤组成的，这种结构为顺序结构．1．写出求坐标平面内两点A(a，b)，B(c，d)之间的距离的算法，并画出其程序框图．方法点评an是关于n的分段函数，因此用条件结构，判断框中若n为奇数成立，则沿着“是”分支执行；反之，则沿“否”分支执行．2．如图所示的程序框图，若a＝5，则输出b＝________.答案26题型三循环结构的应用【例3】画出一个计算1×3×5×…×99的程序框图．解法一当型循环结构程序框图如图．法二直到型循环结构程序框图如图．法三如图所示．法四如图所示．方法点评在科学计算中，有许多有规律的重要计算，如累加求和、累乘求积的问题，这些算法中往往包含循环结构，解决这类问题的关键是选择一个计数变量，一个累加变量或累积变量，由于两个变量的选择不同，得到的程序框图或程序也就不同，但本质是一样的．题型四循环结构的实际应用【例4】某班共有学生50人．在一次数学测试中，要搜索出测试中及格(60分以上)的成绩，试设计一个算法，并画出程序框图．解算法步骤如下：S1，把计数变量n的初始值设为1.S2，输入一个成绩r，比较r与60的大小．若r≥60，则输出r，然后执行下一步；若r<60，则执行S3.S3，使计数变量n的值增加1.S4，判断计数变量n与学生个数50的大小，若n≤50，返回S2，若n>50，则结束．程序框图如图．方法点评设计一个程序框图算法的一般步骤：(1)用自然语言表述算法步骤；(2)确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构，并用相应的程序框图表示，得到表示该步骤的程序框图；(3)将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到表示整个算法的程序框图．4．相传古代印度国王舍罕要褒赏他聪明能干的宰相达依尔(国际象棋的发明者)，问他需要什么，达依尔说：“国王只要在国际象棋的棋盘第一个格子上放一粒麦子，第二个格子上放两粒，第三个格子上放四粒，以后按此比例每一格加一倍，一直放到第64格(国际象棋8×8＝64格)，我就感恩不尽，其他什么也不要了．”国王想：“这有多少，还不容易！”让人扛来一袋小麦，但不到一会儿就全用没了，再来一袋很快又没有了，结果全印度的粮食用完还不够，国王很奇怪，怎么也算不清这笔账．一个国际象棋棋盘一共能放多少粒小麦．请你帮助国王设计一个程序框图表示其算法．解根据题目可知：第一个格放1粒＝20，第二个格放2粒＝21，第三个格放4粒＝22，第四个格放8粒＝23，…，第六十四格放263粒．则此题就转化为求1＋21＋22＋23＋24＋…＋263的和的问题．我们可引入一个累加变量S，一个计数变量i，累加64次就能算出一共有多少粒小麦．误区警示由于循环体内S＝S＋n，n＝n＋1的顺序颠倒而出错【例5】求使1＋2＋3＋4＋5＋…＋n>100成立的最小自然数n的值，画出程序框图．错因分析解答本题时易出现初始值n＝1且循环体内按S＝S＋n，n＝n＋1顺序的错误，出现这种错误的原因是将循环终止的条件与n满足的条件混淆所致．课堂总结1．正确使用算法的程序框图，一个程序的流程图要基于它的算法，在对一个算法作了透彻分析的基础上再设计流程图．2．在设计流程图的时候要分步进行，把一个大的流程图分割成小的部分按照三个基本结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，来局部安排，最后把流程图进行部分之间的组装，从而完成完整的程序流程图.

基本算法语句

输入、输出语句和赋值语句【课标要求】1．了解程序语言与自然语言和程序框图设计算法的区别．2．理解输入、输出语句和赋值语句的功能和表示法．3．能准确应用上述语句把程序框图转化为算法语句．自学导引1．五种基本的算法语句分别是

、

、

、

、 ．输入语句输出语句赋值语句条件语句循环语句自主探究1．程序中如果连续多次对变量赋值，那么这个变量的值最后是多少？答案变量的值总是最后一次赋给它的值例如： x＝1，

x＝x＋2，

x＝4执行完每个语句时，x的值依次为1,3,4，而执行完整个程序后，x的值为4.2．现有体积相同的A、B两个杯子，其中A杯盛满酒精，B杯盛满盐水，现在需要交换A、B两个杯子中的液体，使B杯盛满酒精，A杯盛满盐水．我们自然会想到，再拿一个体积相同的空杯子X，将A杯中的酒精倒入X杯，再将B杯中的盐水倒入A杯，再将X杯中的酒精倒入B杯，这样就完成了交换过程．在基本算法语句中，如何交换两个变量A、B的值？答案X＝A，A＝B

B＝X预习测评1．下列程序输出的结果是(

)．A．27 B．9 C．2＋25 D．11解析x＋y＝6/3＋4×2＋1＝11.答案D2．下列语句中，正确表示输入语句的是(

)．A．INPUT“提示信息”；变量B．PRINT“提示信息”；变量C．INPUT“变量”；提示信息D．PRINT“变量”；提示信息答案A3．下列给出的输入、输出语句正确的是(

)．①输入语句INPUT

a；b；c②输入语句INPUT

x＝3③输出语句PRINT

A＝4④输出语句PRINT

32A①

②B.②③C．③④D．④解析①输入语句可以给多个变量赋值，变量之间用逗号“，”隔开；②INPUT语句中不能是表达式；③PRINT语句中只能输出常量变量的值和系统信息，而不能起赋值作用，从而不能在PRINT语句中用赋值号“＝”；④PRINT语句可以输出常量、表达式的值．答案D4．下面程序：则程序的结果是________．解析该程序执行过程是：A＝21B＝36X＝21A＝36B＝21则程序的结果是36,21.故填36,21.答案36,21要点阐释1．输入语句(1)输入语句的一般格式是(2)输入语句的作用是实现算法的输入信息功能．(3)“提示信息”提示用户输入什么样的内容，如INPUT“a＝，b＝，c＝”；a，b，c，当我们依次输入1,2,3时，程序在运行时把输入的值依次赋给a，b，c即a＝1，b＝2，c＝3.(2)输出语句的作用是实现算法的结果输出功能．(3)“提示信息”提示用户输出什么样的内容．(4)表达式是指程序要输出的数据．(5)输出语句可以输出常量、变量的值、表达式的值以及字符，如PRINT

3＋5；PRINT

8；PRINT

A；PRINT“STUDENT”等．(2)赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量．(3)赋值语句中的“＝”叫做赋值号，它和数学中的等号不一样，例如，a＝b，表示将b的值赋给a，而不是说a和b相等．赋值号的左右两边不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如a＝b表示用b的值代替变量a原先的值，不能写为b＝a，因为b＝a表示用a的值代替变量b原先的值．(4)格式中右边“表达式”可以是一个数据、常量和算式，当“表达式”是一个算式时，赋值语句的作用是先计算出“＝”右边表达式的值，然后将该值赋给“＝”左边的变量．如a＝1，b＝2，c＝a＋b是指先计算a＋b的值，等于3，然后赋给c，而不是将a＋b赋给c.(5)赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式，如x＝5是对的，5＝x是错误的，A＋B＝C也是错误的，而C＝A＋B是正确的．典例剖析题型一输入、输出和赋值语句的应用【例1】

编写一个程序，要求输入两个正数a和b的值，输出ab和ba的值．解法一程序为：法二程序为：方法点评可以利用INPUT语句输入两个正数，然后将ab与ba的值分别赋给两个变量，然后输出这两个变量的值即可；另一方面ab与ba作为两个幂的值，是把底数和指数进行了交换，故还可以利用赋值语句，采用将两个变量的值互换的办法实现这一算法．1．下列语句中格式正确的是(

)．A．INPUT

a，b，c.B．PRINT

“x＝”，xC．x＝5D．INPUT

“a＝”；3解析语句“INPUTa，b，c.”后面多了一个“.”不符合输入语句的格式要求，A选项不正确．语句“PRINT“x＝”，x”中的“x＝”与x之间的符号不能用“，”而应该用“；”，B选项不正确．因为3不是变量，所以语句“INPUT“a＝”；3”不符合输入语句的格式要求，D选项不正确．“x＝5”是赋值语句，符合赋值语句的格式要求，C选项正确．答案C题型二算法语句与程序框图【例2】给出如图所示程序框图，写出相应的算法语句．解方法点评算法语句和程序框图是从不同的角度以不同的形式解决问题，设计程序时一般先画程序框图，再把程序框图“翻译”成算法语句．2．给出程序如下．画出其相应的程序框图，并指出输入x，y的值分别为2和4时，输出的结果为多少？解程序框图如下：输入x＝2，y＝4时，经过每个赋值语句后结果依次为：x＝1，y＝12，x＝－11，y＝11，故输出的结果为－11,11.误区警示由于对程序设计中表达式的格式不熟悉致误【例3】下列语句①INPUT

a；b；c②INPUT

x＝3③PRINT

“x＝”；x④PRINT

“Hello！”⑤data＝b2－4ac⑥S＝3.14*R*R其中正确的有

.(将你认为正确的序号全填上)[错解]

③④⑤⑥错因分析在解答本题过程中，易出现认为⑤是正确说法的错误，导致该种错误的原因是对程序设计中表达式的格式不熟悉所致．[正解]

③④⑥纠错心得①不正确．变量之间应用“，”隔开．②不正确．输入语句中变量的值应在程序运行时输入．③正确．符合输出语句的格式．④正确．输出语句中的“表达式”可以省略．⑤不正确．不符合程序语句中表达式的写法．⑥正确．课堂总结关于赋值、输入以及输出语句，有以下几点需要注意：1．赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，并且赋值号左右不能换．2．不能利用赋值语句进行代数式(或符号)的演算(如化简、因式分解等)，如y＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．3．输入、输出语句表示在程序运行时将数据输入或输出．程序语言不同，输入输出语句也就跟着有所不同，但对于每道题来说，算法还是比较唯一的，只要把握好算法，按照某种语言进行编程，所得结果都是一样的.

条件语句学习目标1．理解条件语句及条件语句与条件结构的关系.2．能够用条件语句编写条件结构的程序．

课堂互动讲练条件语句课前自主学案课前自主学案温故夯基1．条件结构的判断框有___个入口，___个出口：即___和___．2．输入语句的作用是实现算法中______________的功能．输出语句的作用是实现算法中的_________功能.赋值语句的作用是______________________.一二是否输入变量信息输出结果将表达式的值赋给变量知新益能1．算法逻辑结构中的条件结构一般由算法语句中的条件语句来实现．2．条件语句的格式、功能及与条件结构的对应关系格式一格式二条件语句

IF条件THEN_________ENDIF

IF条件THEN

_________

ELSE

_________

ENDIF语句体A语句体A语句体B格式一格式二语句功能首先对IF后的_____进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行_________，否则执行________之后的语句首先对IF后的_____进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行_________，否则(ELSE)执行________对应条件结构框图条件语句体AEND

IF条件语句体A语句体B问题探究1．如何选择使用“IF－THEN”语句与“IF－THEN－ELSE”语句？提示：当判断语句的两个出口语句都需要执行时,使用“IF－THEN－ELSE”语句；当判断语句的两个出口语句只有一个需要执行时，使用“IF－THEN”语句．2．若情况复杂，判断结果多于2种情况时，如何处理？提示：可使用条件语句的嵌套编写程序．课堂互动讲练IF－THEN语句的应用考点一考点突破一般形式如下，该语句对应的选择结构的流程图如图所示：其功能是：如果条件A为真，则执行B，否则，直接结束判断过程．当判断语句的两个出口只有一个需要执行语句时，使用“If—Then”语句．

设计一个程序，任意输入四个数a，b，c，d,将它们按照从小到大的顺序排列后输出．【思路点拨】我们可以找出a，b，c，d四个数中的最小者放在a中，然后将余下的三个数中的最小者放在b中，再找出余下的两数中的小者放在c中，然后输出a，b，c，d即可将四个数按从小到大的顺序排列．例1【解】程序如下：【名师点评】

(1)IF－THEN语句实质上是IF－THEN－ELSE语句的简化，也就是在条件语句中，当不符合条件时不进行任何处理，即把语句体B省略不写．但需要注意的是若用这种格式编写成程序，在确定条件时，必须是符合条件需要进行处理(即需要运算)，而不符合条件就不需要进行运算．如本例中，是把条件确定为“a>b”等，若把条件确定为“a≤b”等，则不行．(2)当需要进行多次比较与判断时，则需要多次运用条件语句来编写程序，但要注意这些条件语句之间的关系．如本例中，它们之间是一个并列关系，因而它们之间按顺序编写即可．变式训练1输入任意一个数，若它小于或等于50,则将它打印出来；若它比50大，则不打印．请编写程序．解：设任意一个数为变量x.程序如下：当程序满足不同的条件有不同的语句体执行时就用该种条件语句．首先对IF后的条件进行判断，如果符合条件，则执行THEN后面的语句体；若不符合条件，则执行ELSE后面的语句体．IF－THEN－ELSE语句的应用考点二例2【思路点拨】本题是已知分段函数的解析式求函数值的问题，当输入一个x的值时，由于x所在的范围不同，因而用来计算函数值的解析式也因范围不同而有所不同，因此要计算函数值必须先判断x的范围，因而要设计求函数值的算法必须用条件结构.相应伪代码的书写也应用条件语句书写.【解】用变量x，y分别表示自变量和函数值．步骤如下：S1：输入x值．S2：判断x的范围．若x≥0，则用解析式y＝x2－1求函数值；否则，用y＝2x2－5求函数值．S3：输出y值，程序框图如图所示．伪代码如下：【名师点评】对于分段函数的求值问题，由于计算之前，需要对自变量进行判断，因此需要用到条件结构，并且本例还是一个两个分支的条件结构，所以可运用条件语句的IF－THEN－ELSE－END

IF格式来表示算法．解：算法分析：S1：输入x的值．S2：判断x的范围：若x>2.5，则用y＝x2－1求函数值．若x≤2.5，则用y＝x2＋1求函数值．S3：输出y的值．伪代码如下：条件语句的嵌套考点三当判断条件多于一个时，若重复应用条件语句，书写程序繁琐，可利用条件语句的嵌套写．例3“依法纳税是每个公民应尽的义务”，《中华人民共和国个人所得税法》第十四条中有个人所得税税率表(工资、薪金所得适用)：级数全月应纳税所得额税率(%)1不超过500元部分52超过500元至2000元部分103超过2000元至5000元部分154超过5000元至20000元部分20………9超过100000元部分45上表中“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减去2000元后的余额，例如某人月工资、薪金收入2220元，减去2000元后，应纳税所得额就是220元，应缴纳个人所得税11元．在此规定下，编写一个伪代码，输入某人月工资、薪金收入(不超过6600)，输出这个人应缴纳的个人所得税．【思路点拨】由已知可得所求个人所得税可用分段函数表示，从而可用条件结构的程序框图表示，用条件语句编写程序.伪代码：【名师点评】

1.在编写条件语句的嵌套中的“条件”时，要注意IF和ENDIF的配对，常常利用文字的缩进来表示嵌套的层次，以便于程序的阅读和理解．2．理解条件语句的嵌套时，要分清内层条件语句与外层条件语句，内层的条件结构是外层条件结构的一个分支．解：法一：(嵌套结构)程序框图如图所示：伪代码如下：法二：(叠加结构)程序框图如图所示：伪代码如下：方法感悟1．条件语句是程序设计的一个基本语句．它根据输入数据或中间计算结果的情况，选择一组语句执行(即在不同的情况下，选择不同的语句组来执行)．在编写程序时，必须将所有的这些情况都考虑进去，并写出在各种情况下所对应的语句组．当然，这里所指的语句组也可以是单个的语句．2．使用条件语句时应注意的问题(1)条件语句是一个语句，IF，THEN，ELSE，ENDIF都是语句的一部分．(2)条件语句必须是以IF开始，以ENDIF结束，一个IF必须与一个ENDIF相对应．基本算法语句

输入、输出语句和赋值语句【课标要求】1．了解程序语言与自然语言和程序框图设计算法的区别．2．理解输入、输出语句和赋值语句的功能和表示法．3．能准确应用上述语句把程序框图转化为算法语句．自学导引1．五种基本的算法语句分别是

、

、

、

、 ．输入语句输出语句赋值语句条件语句循环语句自主探究1．程序中如果连续多次对变量赋值，那么这个变量的值最后是多少？答案变量的值总是最后一次赋给它的值例如： x＝1，

x＝x＋2，

x＝4执行完每个语句时，x的值依次为1,3,4，而执行完整个程序后，x的值为4.2．现有体积相同的A、B两个杯子，其中A杯盛满酒精，B杯盛满盐水，现在需要交换A、B两个杯子中的液体，使B杯盛满酒精，A杯盛满盐水．我们自然会想到，再拿一个体积相同的空杯子X，将A杯中的酒精倒入X杯，再将B杯中的盐水倒入A杯，再将X杯中的酒精倒入B杯，这样就完成了交换过程．在基本算法语句中，如何交换两个变量A、B的值？答案X＝A，A＝B

B＝X预习测评1．下列程序输出的结果是(

)．A．27 B．9 C．2＋25 D．11解析x＋y＝6/3＋4×2＋1＝11.答案D2．下列语句中，正确表示输入语句的是(

)．A．INPUT“提示信息”；变量B．PRINT“提示信息”；变量C．INPUT“变量”；提示信息D．PRINT“变量”；提示信息答案A3．下列给出的输入、输出语句正确的是(

)．①输入语句INPUT

a；b；c②输入语句INPUT

x＝3③输出语句PRINT

A＝4④输出语句PRINT

32A①

②B.②③C．③④D．④解析①输入语句可以给多个变量赋值，变量之间用逗号“，”隔开；②INPUT语句中不能是表达式；③PRINT语句中只能输出常量变量的值和系统信息，而不能起赋值作用，从而不能在PRINT语句中用赋值号“＝”；④PRINT语句可以输出常量、表达式的值．答案D4．下面程序：则程序的结果是________．解析该程序执行过程是：A＝21B＝36X＝21A＝36B＝21则程序的结果是36,21.故填36,21.答案36,21要点阐释1．输入语句(1)输入语句的一般格式是(2)输入语句的作用是实现算法的输入信息功能．(3)“提示信息”提示用户输入什么样的内容，如INPUT“a＝，b＝，c＝”；a，b，c，当我们依次输入1,2,3时，程序在运行时把输入的值依次赋给a，b，c即a＝1，b＝2，c＝3.(2)输出语句的作用是实现算法的结果输出功能．(3)“提示信息”提示用户输出什么样的内容．(4)表达式是指程序要输出的数据．(5)输出语句可以输出常量、变量的值、表达式的值以及字符，如PRINT

3＋5；PRINT

8；PRINT

A；PRINT“STUDENT”等．(2)赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量．(3)赋值语句中的“＝”叫做赋值号，它和数学中的等号不一样，例如，a＝b，表示将b的值赋给a，而不是说a和b相等．赋值号的左右两边不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如a＝b表示用b的值代替变量a原先的值，不能写为b＝a，因为b＝a表示用a的值代替变量b原先的值．(4)格式中右边“表达式”可以是一个数据、常量和算式，当“表达式”是一个算式时，赋值语句的作用是先计算出“＝”右边表达式的值，然后将该值赋给“＝”左边的变量．如a＝1，b＝2，c＝a＋b是指先计算a＋b的值，等于3，然后赋给c，而不是将a＋b赋给c.(5)赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式，如x＝5是对的，5＝x是错误的，A＋B＝C也是错误的，而C＝A＋B是正确的．典例剖析题型一输入、输出和赋值语句的应用【例1】

编写一个程序，要求输入两个正数a和b的值，输出ab和ba的值．解法一程序为：法二程序为：方法点评可以利用INPUT语句输入两个正数，然后将ab与ba的值分别赋给两个变量，然后输出这两个变量的值即可；另一方面ab与ba作为两个幂的值，是把底数和指数进行了交换，故还可以利用赋值语句，采用将两个变量的值互换的办法实现这一算法．1．下列语句中格式正确的是(

)．A．INPUT

a，b，c.B．PRINT

“x＝”，xC．x＝5D．INPUT

“a＝”；3解析语句“INPUTa，b，c.”后面多了一个“.”不符合输入语句的格式要求，A选项不正确．语句“PRINT“x＝”，x”中的“x＝”与x之间的符号不能用“，”而应该用“；”，B选项不正确．因为3不是变量，所以语句“INPUT“a＝”；3”不符合输入语句的格式要求，D选项不正确．“x＝5”是赋值语句，符合赋值语句的格式要求，C选项正确．答案C题型二算法语句与程序框图【例2】给出如图所示程序框图，写出相应的算法语句．解方法点评算法语句和程序框图是从不同的角度以不同的形式解决问题，设计程序时一般先画程序框图，再把程序框图“翻译”成算法语句．2．给出程序如下．画出其相应的程序框图，并指出输入x，y的值分别为2和4时，输出的结果为多少？解程序框图如下：输入x＝2，y＝4时，经过每个赋值语句后结果依次为：x＝1，y＝12，x＝－11，y＝11，故输出的结果为－11,11.误区警示由于对程序设计中表达式的格式不熟悉致误【例3】下列语句①INPUT

a；b；c②INPUT

x＝3③PRINT

“x＝”；x④PRINT

“Hello！”⑤data＝b2－4ac⑥S＝3.14*R*R其中正确的有

.(将你认为正确的序号全填上)[错解]

③④⑤⑥错因分析在解答本题过程中，易出现认为⑤是正确说法的错误，导致该种错误的原因是对程序设计中表达式的格式不熟悉所致．[正解]

③④⑥纠错心得①不正确．变量之间应用“，”隔开．②不正确．输入语句中变量的值应在程序运行时输入．③正确．符合输出语句的格式．④正确．输出语句中的“表达式”可以省略．⑤不正确．不符合程序语句中表达式的写法．⑥正确．课堂总结关于赋值、输入以及输出语句，有以下几点需要注意：1．赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，并且赋值号左右不能换．2．不能利用赋值语句进行代数式(或符号)的演算(如化简、因式分解等)，如y＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．3．输入、输出语句表示在程序运行时将数据输入或输出．程序语言不同，输入输出语句也就跟着有所不同，但对于每道题来说，算法还是比较唯一的，只要把握好算法，按照某种语言进行编程，所得结果都是一样的.

算法案例【课标要求】1．理解辗转相除法与二分法及中国剩余定理的含义，了解其执行过程．2．掌握秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率的实质．自学导引1．辗转相除法是用于求

的一种方法．所谓辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数．若余数

，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数

，则这时的小数就是原来两个数的最大公约数．两个数的最大公约数不为零除尽x0

x0

(a，x0)4．秦九韶算法是我国南宋数学家

在他的代表作

中提出的一种用于计算

的方法．对于任意一元n次多项式，秦九韶算法的步骤是：首先将多项式改写为P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.令vk＝(…(anx＋an－1)x＋…＋an－(k－1))x＋an－k，秦九韶《数学九章》一元n次多项式的值an

vk－1x＋an－k

说明：①计算时，首先计算最内层的括号，然后由内向外逐层计算，直到最外层的一个括号，然后加上常数项．②利用上面方法求一元n次多项式值的计算量仅需n次乘法和n次加法．自主探究1．任意给定两个正整数，用辗转相除法和更相减损术是否都可以求它们的最大公约数？答案是．更相减损术与辗转相除法都能在有限步内结束，故均可以用来求两个正整数的最大公约数．2．秦九韶算法与直接计算相比有什么优缺点？(2)秦九韶算法：利用秦九韶算法求上述f(5)时只需要进行4次乘法运算和5次加减运算即可．与直接计算相比大大节省了乘法运算的次数，还避免了对自变量x单独做幂的计算，而与系数一起逐步增长幂次，从而提高计算的精度．又如利用秦九韶算法求多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值时，通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加减运算最多n次．预习测评1．用辗转相除法求36与134的最大公约数，第一步是(

)．A．134－36＝98B．134＝3×36＋26C．先除以2，得到18与67D．134÷36＝3(余26)答案B2．求数320和2400的最大公约数为________．答案160答案an－k循环

要点阐释1．辗转相除法(1)所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数．若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小的数就是原来两个数的最大公约数．(2)算法步骤：(以求两正整数a，b的最大公约数为例)S1：输入两个正整数a，b(a>b)；S2：把a÷b的余数赋予r；S3：如果r≠0，那么把b赋予a，把r赋予b，转到第二步，否则转到第四步；S4：输出最大公约数b.(3)程序框图如图所示：(4)程序：程序框图如图 伪代码：程序框图，如图伪代码：4．秦九韶算法(1)特点：通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可．(2)算法步骤：设Pn(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，将其改写为Pn(x)＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.S1：计算最内层anx＋an－1的值，将anx＋an－1的值赋给一个变量v1(为方便将an赋予变量v0)；S2：计算(anx＋an－1)x＋an－2的值，可以改写为v1x＋an－2，将v1x＋an－2的值赋给一个变量v2；依次类推，即每一步的计算之后都赋予一个新值vk，即从最内层的括号到最外层括号的值依次赋予变量v1，v2，…，vk，…，vn，第n步所求值vn＝vn－1x＋a0即为所求多项式的值．典例剖析题型一最大公约数的求法【例1】

用辗转相除法求下列两组数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果．(1)80,36；(2)294,84.解(1)80＝36×2＋8，36＝8×4＋4,8＝4×2＋0，即80与36的最大公约数是4.验证：80÷2＝40

36÷2＝1840÷2＝20

18÷2＝920—9＝11

11－9＝29－2＝7

7－2＝55－2＝3

3－2＝12－1＝1

1×2×2＝4所以80与36的最大公约数为4.(2)294＝84×3＋42,84＝42×2，即294与84的最大公约数是42.验证：因为294与84都是偶数，可同时除以2，即取147与42的最大公约数后再乘2.147－42＝105

105－42＝6363－42＝21