北京市十年高考数学真题(2013-2022)与优质模拟题(一二模等)精华汇编专题03函数概念与基本初等函数(含详解)

大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(北京卷)专题03函数概念与基本初等函数真题汇总1.【2022年北京卷04】己知函数/(x)=3万，则对任意实数X,真题汇总有()/(-x)+/(x)=0C.f(-x)+/(x)=l/(-x)-/(x)=0D./(r)-/(x)=：2.【2.【2022年北京卷07】在北京冬奥会上,术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与7和IgP的关系，其中7表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar下列结论中正确的是()当T=220,P=1026时，二氧化碳处于液态B.当7=270,P=128时，二氧化碳处于气态C.当7=300,P=9987时，二氧化碳处于超临界状态D.当7=360,P=729时，二氧化碳处于超临界状态3.(2021年北京3】已知“X)是定义在上［0,1］的函数，那么''函数/(x)在［0,1］上单调递增''是"函数f(x)在［0,1］上的最大值为/(I)”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.【2020年北京卷06】已知函数f(x)=2X-x-l,则不等式/(x)>0的解集是().A.(-1,1)B.(-oo,-l)u(l,+oo)(0,1)D.(-00,0)U(1,+00)5.【2018年北京理科04】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载埴最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从

第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于T遮.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( )A.V2fB.V2VC.以岳于D.'近灯16.【2017年北京理科05】已知函数/(x)=3J-(一)x,则/(x)(A.是奇函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数D.是偶函数，且在R上是减函数.【2017年北京理科08】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物M质的原子总数N约为1()8。，则下列各数中与工■最接近的是(N(参考数据：/g3=0.48)A.IO33B.IO53C.1073D.1()93.【2015年北京理科07]如图，函数f(x)的图象为折线AC8,则不等式f(x)210g2(x+1)的解集是(-Kx^O}B.{x|-l«l}C.{x|-l<x^l}D.{x|-l<x^2}9.[2015年北京理科08】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是(路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多乙车最多可行驶5路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同C.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油TOC\o"1-5"\h\z10.【2014年北京理科02】下列函数中，在区间(0,+8)上为增函数的是( )A.y=y/x+1B.y=(x-1)2C.y=2xD.y=logo,5(x+1)IL【2013年北京理科05】函数/CO的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线丁="关于y轴对称，则/(x)=( )A.-B.C. e'x~}［2022年北京卷11】函数f(x)=：+41一%的定义域是-(2022年北京卷14］设函数/⑴=匚°： 若/"(%)存在最小值，则a的一个取值为；a的最大值为.［2020年北京卷13】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间，的关系为W=/(t),用|一"?-/⑷的大小评价在口句这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所①在山,t2〕这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在《2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在七时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在［0,切,付1/2］,心"3］这三段时间中，在［0,目的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是.15.【2018年北京理科13］能说明“若f(x)>/(0)对任意的(0,2］都成立，则/(x)在［0,2］上是增函数”为假命题的一个函数是.{□X_° Y<f1，，4(x—a)(x—2a)/x>1①若a=l,则/(x)的最小值为；②若/(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是.

模拟好题A.是偶函数，且在R是单调递增C.是偶函数，且在R是单调递减TOC\o"1-5"\h\z.已知函数/'(x)=3X-模拟好题A.是偶函数，且在R是单调递增C.是偶函数，且在R是单调递减B.是奇函数，且在R是单调递增D.是奇函数，且在R是单调递减2.下列函数中，既是偶函数又在(0,2)上单调递减的是( )A.y=2团 B.y=—x3C-y=cos& D.y=in^;3.函数/(x)的图象与函数y=log2》的图象关于y轴对称，则/(一2)=( )A.2 B.iC.4 D.1.下列函数中，既是偶函数又在(0,+8)单调递增的函数是( )A.y—Inx B.y=|x|4-1 C.y——x24-1 D.y=3一国.下列函数中，是偶函数且在区间(0,+8)上为增函数的是()A.y=3X B.y=log3|x| C.y=： D.y=—x2+1.已知函数/'(幻:］］。：；［；?］；。，其中a>。，且aHl.给出下列三个结论：①函数/(x)是单调函数；②当0<a<1时，函数f(x)的图象关于直线y=x对称;③当a>1时，方程f(x)=x根的个数可能是1或2.其中所有正确结论的序号是( )A.①② B.①③ C.②③ D.①@③.下列函数中，与函数y=x3的奇偶性相同，且在(0,+8)上有相同单调性的是()A.y=(；)XB.y=InxC.y=sinx D.y=x\x\(2X4-3x<0.若函数/G)=/ ^2n~t的定义域和值域的交集为空集，则正数a的取值范围是()((x-2)z,0<x<aA.(0,1] B.(0,1)c.(1,4) D.(2,4).下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+8)上单调递减的函数为( )A./(x)=%"1B./(x)=cosx C./W=logll^l D./(x)=2|x,.已知函数/(%)=log2(x+1)-|x|，则不等式f(x)>0的解集是( )A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0) D.0.已知函数/(x)=[ 无最小值，贝Ija的取值范围是()(x—3x,x>aA.(-oo,-l] B.(-00,-1) C.[l,4-oo) D.(1,4-oo).已知函数y=/(x),xGD,若存在实数m,使得对于任意的xGD,都有f(x)>m,则称函数y=/(x),xCD有下界，，"为其一个下界；类似的，若存在实数M,使得对于任意的xCD,都有f(x)4M,则称函数y=/(x),X6D有上界，M为其一个上界.若函数y=f(x),x6D既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.对于下列4个结论中正确的序号是.①若函数y=/(x)有下界，则函数y=/(x)有最小值；②若定义在r上的奇函数y=f(x)有上界，则该函数是有界函数；③对于函数y=/(X),若函数y=|f(x)|有最大值，则该函数是有界函数；④若函数y=/'(x)的定义域为闭区间[a,b],则该函数是有界函数..已知函数f(x)=2lxl+/+a.①对于任意实数a，f(x)为偶函数；②对于任意实数a，f(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增；③存在实数a,使得/(x)有3个零点；④存在实数a,使得关于x的不等式f(x)22022的解集为(一8,-1]u[l,+oo).所有正确命题的序号为..对于函数f(x)=也套;和g(x)=也*-ln(2x-1)，给出下列四个结论：①设f(x)的定义域为M,g(x)的定义域为N,则N是M的真子集.②函数g(x)的图像在x=1处的切线斜率为0.③函数/'(X)的单调减区间是(一8,0),G，+8).④函数/(幻的图像关于点G，—]n2)对称.其中所有正确结论的序号是..在人工智能领域，神经网络是一个比较热门的话题.由神经网络发展而来的深度学习正在飞速改变着我们身边的世界.从AlphaG。到自动驾驶汽车，这些大家耳熟能详的例子，都是以神经网络作为其理论基础的.在神经网络当中，有一类很重要的函数称为激活函数，Sigmoid函数仪幻即是神经网络中最有名的激活函数之一，其解析式为：。(幻=系三下列关于Sigmoid函数的表述正确的是：.①Sigmoid函数是单调递增函数；②Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为③对于任意正实数”，方程。(x)=a有且只有一个解；④Sigmoid函数的导数满足：t7'(x)= -<7(x))..已知函数/1)=呼，XW[-2兀,0)11。,2扪,给出下列四个结论：①/'(X)是偶函数；②/(»有4个零点；③的最小值为一3④/'(x)</的解集为(一州匹一，)U(0*)U0,2兀).其中，所有正确结论的序号为..已知函数/(x)=剑*虻，在下列结论中：sin*cos*①乃是/(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线X=：对称；③f(x)在(一90)上单调递减；④f(x)在(一也0)无最大值.正确结论的有..己知函数/Xx)= 下列说法正确的是.①当a20时，/(x)的值域为[0,+8)；②VaeR,f(x)有最小值；@3aeR，/(吗在(0,+8)上单调递增：④若方程=1有唯一解，则a的取值范围是(一8,-2)..写出一个同时具有下列性质①②③的函数40=：①/(与小)=f(5)/(X2)：②当XG(0,+8)时，/Q)>0：③尸(幻是偶函数..己知非空集合A,8满足：AUB=R,4nB=0,函数/(x)=，彳'£对于下列结论:①不存在非空集合对(48),使得f(x)为偶函数；②存在唯一非空集合对(4,B),使得f(x)为奇函数；③存在无穷多非空集合对(4B),使得方程f(x)=0无解.其中正确结论的序号为.大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（北京卷）专题03函数概念与基本初等函数真题汇总1.【2022年北京卷04】己知函数/（x）=去，则对任意实数x,真题汇总有()/(-x)+/(x)=0C.f(-x)+/(x)=l【答案】C【解析】/(-x)-/(x)=0D./(r)-/(x)=：/(-X)+/W=T+22*+1^*=1+2*+1+2^=1,故A错误，C正确f（一幻一/（幻=一一白=三一白=W=1-岛，不是常数，故BD错误;故选：C.2.【2022年北京卷07】在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和IgP的关系，其中T表示温度，单位是K：P表示压强，单位是ba「下列结论中正确的是（ ）当7=220,P=1026时，二氧化碳处于液态B.当7=270,P=128时，二氧化碳处于气态C.当7=300,P=9987时，二氧化碳处于超临界状态D.当7=360,P=729时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【解析】当7=220,P=102601，IgP>3,此时二氧化碳处于固态，故A错误.当7=270,P=128时，2<lgP<3,此时二氧化碳处于液态，故B错误.当T=300,P=9987时，IgP与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，另一方面，T=300时对应的是非超临界状态，故C错误.当7=360,P=729时，因2<lgP<3,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故选：D3.［2021年北京3】已知/(x)是定义在上［0,1］的函数，那么“函数/(x)在［0,1］上单调递增”是“函数/(x)在［0,1］上的最大值为f(l)”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A若函数f(x)在［0,1)上单调递增，则/'(x)在［0,1］上的最大值为/⑴，若/'(x)在［0,1］上的最大值为/(I),比如f(x)=(X—1)2,但/(x)=3-}2在［0,：］为减函数,在字1］为增函数，故f(x)在［0,耳上的最大值为/⑴推不出f(x)在［0,1］上单调递增，故“函数/(x)在［0,1］上单调递增”是“/(x)在［0,1］上的最大值为了⑴”的充分不必要条件，故选：A.4.12020年北京卷06】已知函数/(%)=2、一%-1,则不等式/(%)>0的解集是().A.(-1,1)B.(-oo,-l)u(l,+oo)(0,1)D.(-co,0)U(1,+oo)【答案】D【解析】两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),不等式2*>x+1的解为x<0或x>1.所以不等式f(x)>0的解集为；(—8,0)u(l,+8).故选：D.5.[2018年北京理科04】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载埴最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于‘好.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( )A.V2fB.VFfC. D.F打【答案】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于I冠.若第一个单音的频率为方则第八个单音的频率为：(I冠)7./=’/了.故选：D.16.【2017年北京理科05】已知函数/(x)=3X-(一)*,则/(x)( )A.是奇函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数D.是偶函数，且在R上是减函数【答案】解：f(x)=3*-(1)x=3x-3\.*./(-x)=3*-3'=-/(x),即函数『(X)为奇函数，11又由函数y=3*为增函数，y=(§)”为减函数，故函数/(x)=3X- *为增函数，故选：A.7.【2017年北京理科08】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物M质的原子总数N约为1。8°,则下列各数中与工■最接近的是( )N(参考数据：值3~0.48)A.1033B.1053C.1073D.1093【答案】解：由题意：Af^3361,根据对数性质有：3=10/«3»=10048,

.,.Af^S3615®(io048)36l««io173M10173Q,—X——=1()93,NIO80故选：D.[2015年北京理科07]如图，函数次x)的图象为折线ACB,则不等式火x)》log2(x+l)的解集是(-IVxWO}B.{R-lWxWl}C.{M-1W}D.3-lVx琶2}【答案】解：由已知/(x)的图象，在此坐标系内作出y=log2(x+1)的图象，如图满足不等式/(x)210g2(x+1)的x范围是-IVxWl；所以不等式/'(x)210g2(x+1)的解集是｛x|-l<x<1}；故选:故选:[2015年北京理科08】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是(f燃油效率伙m2)速度(km%)a.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油【答案】解：对于A，由图象可知当速度大于40hn〃?时，乙车的燃油效率大于55/心，.••当速度大于40km〃?时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5h”，故4错误；对于8,由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，•••以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C,由图象可知当速度小于80hw/〃时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，二用丙车比用乙车更省油，故C正确；对于D,由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10h”/L,即甲车行驶10bM时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km燃油为8升，故。错误.故选：C.10.【2014年北京理科02】下列函数中，在区间(0,+8)上为增函数的是( )A.y=yjx+1B.y=(x-1)2C.y=2xD.y=logo,5(x+1)【答案】解：由于函数y=V7不I在(-1,+8)上是增函数，故满足条件，由于函数)，=(X-1)2在(0,1)上是减函数，故不满足条件，由于函数y=2F在(0,+8)上是减函数，故不满足条件，由于函数y=logo.5(x+1)在(-1,+8)上是减函数，故不满足条件，故选：A..【2013年北京理科05】函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线丫=-关于y轴对称，则/(x)=( )A.-B.C.e^'D.e^'【答案】解：函数y="的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为丫=/*,而函数/(x)的图象向右平移I个单位长度，所得图象与曲线丫=/的图象关于y轴对称，所以函数f(x)的解析式为y=e-AP=e*L即f(x)=e*L故选：D..【2022年北京卷11】函数/'(x)=：+小方的定义域是.【答案】(-8,0)11(0,11【解析】解：因为/)=；+，所以｛=2°，解得且会。,

故函数的定义域为(—8,0)U(0,1］；故答案为：(-oo,0)U(0,1］13.［2022年北京卷14］设函数f(x)=2)^13.［2022年北京卷14］设函数f(x)=【答案】0(答案不唯一) 1【解析】解：若a=0时，= ,/(GminuO;若QV0时，当X<Q时，f(汇)=-ax+1单调递增，当XT—8时，f(x)T-8,故/'(X)没有最小值，不符合题目要求：若a>0时,当％<q时，/(x)=—ax+1单调递减，/(x)>/(a)=-a2+1,w 「 0 (0<a<2)当x>a时，={(a_2)2(a>2)a2+l>0或_。2+1>(a-2)2解得0<aW1,综上可得0<a<1；故答案为：0(答案不唯一)，114.［2020年北京卷13】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量卬与时间，的关系为w=/(t),用一"?一/⑷的大小评价在口玩D—Q.这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所①在L，t2］这段时间内①在L，t2］这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强;给出下列四个结论:②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强;③在J时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在［0,&］,上52］,匕"3］这三段时间中，在［0,tJ的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是.【答案】①②®【解析】-⑷表示区间端点连线斜率的负数，在上,士2】这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强;①正确；甲企业在［O/JL/zLL&l这三段时间中，甲企业在住,12】这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强.④错误；在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在J时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都己达标；③正确；故答案为：①0③15.【2018年北京理科13］能说明“若f(x)>/(0)对任意的xe(0,2］都成立，则f(x)在［0,2］上是增函数”为假命题的一个函数是.【答案】解：例如/(x)=sinx,尽管/(x)>/(0)对任意的在(0,2］都成立，71 71当xW［0,-)上为增函数，在(3,2］为减函数，故答案为：/(x)=sinx.{24一q yv］4(x—a)(x—2a),x>1①若a=l,则/(x)的最小值为；②若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是.{•IX_IyI ，4(x-l)(x-2),x>1当xV1时，/(x)=2X-1为增函数，/(x)>-1,当x>1时，f(x)=4(x-1)(x-2)=4(x2-3x+2)=4(x—2-1♦当IVxV,时，函数单调递减，当时，函数单.调递增，故当X—5时，f(X)niin=f(~)=-1,②设4(x)=2X-a>g(x)=4(x-a)(x-2a)

若在X<1时，h(x)=与x轴有一个交点，所以a>0,并且当x=l时，h(1)=2-a>0,所以0<aV2,而函数g(x)=4(x-a)(x-2a)有一个交点，所以2。21,且“VI,所以1<a<l,若函数〃(x)=2*-。在I<1时，与x轴没有交点，则函数g(x)=4(x-a)(x-2«)有两个交点，当“WO时，h(x)与x轴无交点，g(x)无交点，所以不满足题意(舍去)，当〃(1)=2-aWO时，，即。》2时;g(x)的两个交点满足xi=a,x2—2a,都是满足题意的综上所述a综上所述a的取值范围是工Wa<l,或a22.©模拟好题A.是偶函数，且在R是单调递增C.是偶函数，且在R是单调递减1.已知函数/'(X)=3、一贝ijf(x)()B.是奇函数，且在R是单调递增D.是奇函数，且在R是单调递减【答案】B【解析】解：/(X)=3X-(3、定义域为R，且/'(-X)=3r- -3X=-/(x).所以/(x)=3X-6y为奇函数，又y=3*与y=-(O”在定义域上单调递增，所以f(X)=3》一G)"在R上单调递增:故选：B.下列函数中，既是偶函数又在(0,2)上单调递减的是( )A.y=2团 B.y=—x3T 7—TC-y=cosi D.y=m本【答案】C【解析】对于A,函数f(x)=2国的定义域为R,关于原点对称，且f(—x)=21rl=2闺=f(x),所以函数f(x)为偶函数，当x6(0,2)时/(x)=2*,函数/(x)单调递增，故A不符合题意；对于B,函数/'(x)=-/的定义域为R,关于原点对称，且f(-x)=—(―X)3=X3=—fix'),所以函数/(X)为奇函数，由事函数的性质知函数y=/在r上单调递增，所以函数f(x)=—/在R上单调递减，故B不符合题意；对于C,函数/'(X)=cos|的定义域为R,关于原点对称，口/(一X)=cos(-|)=cos|=/(x),所以函数f(x)为偶函数，当x6(0,2)时;e(0,1),又(0,1)£(0,5，所以函数/(X)=cos]在(0,1)上单调递减，故C符合题意；对于D,函数f(x)=ln芸的定义域为(-2,2),关于原点对称，且/(t)=In—=ln(—)-1=-In—=-/(x),''J2-X 、2+d 2+X '、'所以f(x)是奇函数，又尸(x)=O=正诉，令((x)<0=>-2<x<0,令((x)>0=>0<x<2,所以函数f(x)在(-2,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增，故D不符合题意.故选：C..函数/'(x)的图象与函数y=log2》的图象关于y轴对称，贝!]/(-2)=()A.2 B.-2C.4 D.1【答案】D【解析】因为数f(x)的图象与函数y=Iog2》的图象关于y轴对称，则y=logz2=l,所以/'(一2)=1.故选：D..下列函数中，既是偶函数又在(0,+8)单调递增的函数是( )A.y=Inx B.y=|x|+1C.y——x2+1D.y=3*1【答案】B【解析】对于A,函数y=Inx定义域是(0,+8),不是偶函数，A不是；对于B,函数y=|x|+1定义域为R,是偶函数且在(0,+8)上单调递增，B是：对于C,函数y=-/+1定义域为R,是偶函数且在(0,+8)上单调递减，C不是；对于D,函数丫=3-团定义域为R,是偶函数且在(0,+8)上单调递减，D不是.故选：B.下列函数中，是偶函数且在区间(0,+8)上为增函数的是( )A.y=3*B.y=log3|x|C.y=［d.y=-x24-1【答案】B【解析】y=3”为非奇非偶函数，y=：为奇函数，故A、C不符合；y=log3|x|>y——x2+1为偶函数,在(0,+8)上y=log3|x|递增，而丫=一"+1递减，B符合，D不符合.故选：B{/7%—1XV0其中a>0,且aKl.给出下列三个结论：①函数/(x)是单调函数；②当0<a<l时，函数/1(x)的图象关于直线y=x对称；③当a>1时，方程“公=》根的个数可能是1或2.其中所有正确结论的序号是( )A.①② B.①③ C.②③ D.①@③【答案】D【解析】当0<a<l时，/(x)=a*—1在(―8,0］单调递减，且f(x)=Q*—1N/(0)=0,f(x)=loga(x+1)在(0,+8)单调递减，且/(x)=loga(x+1)<logal=0,故/(x)在R上单调递减；当1<a时，/(x)=ax-1在(-8,0］单调递增,且/(<=ax-l</(0)=0,f(x)=loga(x+1)在(0,+8)单调递增，且/(X)=loga(x+1)>logal=0,故f(x)在R上单调递增；则①正确；设P(x】，yi)为/(x)图象上的任一点，不妨设力>0,因为0<a<1则%=k)ga(xi+1)<0点P(xi，y1)关于直线y=x对称的对称点为P'Oi，%)由％=loga(*i+1)得%=ay1-1,所以点P'(yi，*i)符合f(x)=ax-1所以当0<a<l时，函数f(x)的图象关于直线丫=x对称：故②正确：当a>1时，令/(x)=x若x<0.则a*=x+1；若x>0,则loga(x+1)=x化为a*=x+1.设、=。巴则/=@勺1m,所以在点(0,1)处的切线的斜率为k=Ina当Q=e时，直线y=x+1与、=a*相切，方程f(x)=x根的个数是I,当q>1且Q^e时，直线y=%+1与、=a"相交，方程/(x)=x根的个数是2,则③正确.故选：D7.下列函数中，与函数y=/的奇偶性相同，且在(0,+8)上有相同单调性的是( )A.y=弓尸 B.y=InxC.y=sinx D.y=x\x\【答案】D【解析】由y=/为奇函数且在(o,+8)上递增，A、B：y=G尸、y=Ex非奇非偶函数，排除；C：y=sinx为奇函数，但在(0,+8)上不单调，排除；D：y=/(X)=CX2，X-?>显然/(一切=一/(均且定义域关于原点对称，在(0,+8)上递增，满足.故选：D8.若函数= 2；13fl的定义域和值域的交集为空集，则正数a的取值范围是()((%—2)。0<x<aA.(0,1] B.(0,1)c.(1,4) D.(2,4)【答案】B【解析】解：因为f(x)=，r <，所以f(x)的定义域为(一8,a],a>0,当xWO时外>)=2*+3,则/(x)在(-8,0]上单调递增，所以/(x)W(3,4]；要使定义域和值域的交集为空集，显然0<aW3,当0<xWa时/(x)=(x—2/，若a>2则八2)=0,此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，若0<a<2时f(x)在(0,a]上单调递减，此时/(x)€[(a-2/,4),则/(x)G[(a-2汽4)U(3,4],所以卜：(a- 解得°<a<i,即a6(0,1)(0<a<2故选：B

B./(x)9.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+8)上单调递减的函数为( )A./(x)=B./(x)cosx C.f(x)=log/lD./⑶=2m【答案】C【解析】A:f(x)=xT=，(XHO)为奇函数，不符合题意；B:f(x)=COSX为偶函数,当X6(0,兀)时递减，X€(7T,2兀)时递增，不符合题意;(logix,%>01翼乙),X<。，满足仆)=911=做，且当x>0时，/(x)=logix为减函数，符合题意：ZD:/(x)=2w=[?JX-®,当xe(0,+8)时，/(X)=2X为增函数，不符合题意,故选：c.已知函数/'(X)=log2(x+1)-四，则不等式/(X)>0的解集是( )A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0) D.0【答案】B【解析】不等式f(x)>0<=>log2(x+1)>|x|,分别画出函数y=log2(x+1)和y=|x|的图象，由图象可知y=log2(x+1)和y=|x|有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)，由图象可知10g2(X+1)>|x|的解集是(0,1)即不等式f(x)>0的解集是(0,1).故选：B.已知函数无最小值，则a的取值范围是(

A.(-oo.-l]B.(-oo.-l)C.[l,+oo)D.(l,+8)【答案】D【解析】对于函数y=x3-3x.可得y'=3x2-3=3(x+l)(x—1),由y，>0,得x<—1或x>1.由y，<0.得一1<x<1,二函数y=/—3x在(—8,-1)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,二函数y=/-3x在x=-l时有极大值2,在》=1时有极小值-2,作出函数y=x3-3*与直线y=-2x的图象，由图可知，当a41时，函数f(x)有最小值*1)=-2,当a>l时,函数/'(x)没有最小值.故选：D..已知函数y=f(x),xGD,若存在实数m,使得对于任意的xGD,都有/'(x)>m,则称函数y=/(x),xCD有下界，胆为其一个下界；类似的，若存在实数M,使得对于任意的xCD,都有/(x)4M,则称函数y=/(x),x6。有上界，M为其一个上界.若函数y=/(x),x6D既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.对于下列4个结论中正确的序号是.①若函数y=/(x)有下界，则函数y=/(x)有最小值；②若定义在r上的奇函数y=f(x)有上界，则该函数是有界函数；③对于函数y=/(x),若函数y=|/(x)|有最大值，则该函数是有界函数：④若函数y=/(x)的定义域为闭区间[a,句，则该函数是有界函数.【答案】②®【解析】解：①当x>0时，/(x)= 则/"(x)>0恒成立，则函数y=f(x)有下界，但函数y=f(x)没有最小值，故①错误：②若定义在r上的奇函数y=f(x)有上界，不妨设当x>0时，/(x)<M成立,则当x<0时，-X>0,则/(一x)<M,即一则/'(x)》-M,该/'(x)的下界是-M,则函数是有界函数，故②正确；③对于函数y=/(x),若函数y=|/(x)|有最大值，设|/(x)|《M,则一M</(x)<M,该函数是有界函数，故③正确；(tanx,0<x<- ri0万_巳"则函数y=f(x)的定义域为闭区间[o，3，则函数/(x)的值域为[0,+8),则f(x)只有下界，没有上界，即该函数不是有界函数.故④错误；故答案为：(2X3)..已知函数/(*)=2闺+*2+4①对于任意实数a,/(x)为偶函数；②对于任意实数a,/(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增；③存在实数a，使得/(x)有3个零点；④存在实数a,使得关于x的不等式f(x)N2022的解集为(一8,-1]u[1,+oo).所有正确命题的序号为.【答案】①②®【解析】/(-x)=21H+(-x)2+a=2⑶+/+a=/(x),f(x)为偶函数，①正确；当xNO时，f(x)=2*+/+a在(0,+8)上单调递增，再根据偶函数可得/(x)在(-8,0)上单调递减，②正确；令/'(*)=0,则2罔+/=-£1,结合图像可知：y=2闺+工2与了=-a至多有两个交点，则f(x)至多有两个零点，③不正确；当a=2019时，/(x)=2凶+/+2019,根据②可知/'(x)在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，且/(-1)=/(1)=2022二不等式f(x)N2022的解集为(一8,-1]u[l,+oo),④正确；.对于函数/(X)=]nJ：]■和g(x)=in》-ln(2x-1)，给出下列四个结论：①设/(x)的定义域为M,g(x)的定义域为N,则N是M的真子集.②函数g(x)的图像在x=1处的切线斜率为0.③函数f(x)的单调减区间是(一8,0),(a+8).④函数“X)的图像关于点弓,一52)对称.其中所有正确结论的序号是.【答案】①③@【解析】对于①，由题意得,函数/'(X)的定义域M=卜|会^>。}=(―8,0)UC，+8),函数g(幻的定义域N={x|x>#所以N是M的真子集，则①正确.对于②，g'W=---^-,则在x=l处的切线斜率k=g'(l)=；=一1,则②错误.对于③，“X)的定义域是(一8,0)1)住,+8),而函数y=蠢=二等=：+公石在区间(一8,0),(}+8)上都是单调递减且值为正，又因为函数y=ex在其定义域上单调递增，因此复合后得到的汽切=indr在这两个区间上也是单调递减，则③正确.a，1 1④只需验证：当M+外一时，f5)+/(&)=In-=-蒸=一距2,则④正确.故答案为：①(③④..在人工智能领域，神经网络是一个比较热门的话题.由神经网络发展而来的深度学习正在飞速改变着我们身边的世界.从AlphaG。到自动驾驶汽车，这些大家耳熟能详的例子，都是以神经网络作为其理论基础的.在神经网络当中，有一类很重要的函数称为激活函数，Sigmoid函数o(x)即是神经网络中最有名的激活函数之一，其解析式为：武外=高.下列关于Sigmoid函数的表述正确的是：.①Sigmoid函数是单调递增函数；②Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为(0,3；③对于任意正实数”，方程。(x)=a有且只有一个解；©Sigmoid函数的导数满足:ff'(x)=ct(x)(1-ff(x)).【答案】①②®【解析】因为y=1 为单调递减函数，所以。(x)=3为单调递增函数，故①正确；因为(r(x)+a(—X)=—=4—=-e—H—1=1，所以Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中1+e 1+e 1+e 1+e心为(o,3,故②正确；因为。(幻=为单调递增函数，且、=1+屋*>1，仪X)6(0,1)，1+e仅当a6(0,1)时，方程。(x)=a有且只有一个解，故③错误；如)。-仪幻)=寺(1一卷)=去x举=忐b'(X)=二j=3所以。'(X)=<7(X)(1-。(幻)，故④正确・(1+e)故答案为：①@④..已知函数f(x)=呼4€[-2n;0)U(0,2兀],给出下列四个结论：①/(幻是偶函数：②/(%)有4个零点；③/(x)的最小值为一3④/(x)</的解集为(一号乃,一，)U(0,巳)U0,2兀).其中，所有正确结论的序号为.【答案】①②【解析】对于①：因为函数的定义域为[一2n•,0)U(0,2tt],且/"(-X)=疝七2=*=/(“)，所以/(均是偶函数.故①~X ~"X正确；对于②：在xW[―2tt,0)U(0,2tt],令/(%)=0,解得：x=-2tt,x=—zr,x=n,x=2m所以/(x)有4个零点.故②正确；对于③：因为f(x)是偶函数，所以只需研究x6(0,2兀]的情况.如图示，作出y=sinx(x6(0,2加)和y=

X的图像如图所示:在xw(o,2/r］上，有sinx>-$所以萼>一£即/(%)的最小值大于一］.故③错误;对于④：当为e［-2tt,0)X的图像如图所示:在xw(o,2/r］上，有sinx>-$所以萼>一£即/(%)的最小值大于一］.故③错误;对于④：当为e［-2tt,0)U(0,2用时，/(%)<《可化为：当%>0时，sinx<解得：xW(0()U(*2兀|；当NV0时，sinx> 解得：％W(—二兀,一；九)；综上所述：<盘的解集为(一4,一))U(05)U(),2扪.故④不正确.故答案为：①@17.已知函数/(x)=疝$史，在下列结论中:sin*cos*①7T是/(幻的一个周期；②/(%)的图象关于直线》=:对称；③/(x)在(一1,0)上单调递减；④/(%)在(-热0)无最大值.正确结论的有.【答案】②③④【解析】因为/1("■+%)=sin(7r+尤)+<05；(尸+")__sin"+ccs”sin(n+x)cos(n+x)sinxcosx=一/(%)"@故①错误;因为花_A_sincoscosxn,1 -，)sin(4-x^cos(4-x^^cos2x=吟亭喏=区受所以/(：_*)