二次函数图像及性质课件

二次函数图象及性质二次函数图象及性质1温故而知新观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?x

y=x2

x…-3-2-10123…y=x2

x

y=x2…9410149…用描点法作函数图象的步骤：列表描点连线温故而知新观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计2描点,连线xy0-4-3-2-11234108642-21y=x2(-3,9)(-2,4)(-1,1)(0,0)(1,1)(2,4)(3,9)描点,连线xy0-4-3-2-11234108642-23观察图象,回答问题xy0-4-3-2-11234108642-21y=x2(1)你能描述图象的形状吗?(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?(3)图象与y轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?观察图象,回答问题xy0-4-3-2-11234104这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.

对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于对称轴与抛物二次函数y=x2的5二次函数y=-x2，y=2x2

，y=-2x2的图象是什么形状？请每一学习小组分工完成三个函数的图象。一同学作y=-x2，一同学作y=2x2

，两同学作

y=-2x2，每一同学的图象作在相应的坐标系中。

学中做—做中学二次函数y=-x2，y=2x2，y=-2x2的图象是什6１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.根据图形填表：在同一坐标系中作出函数y=x2和y=-x2的图象在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线7抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

若把表中y=x2，y=-x2分别改为y=2x2，

y=-2x2，结合图形，观察你下表中所填写的信息是否也要作相应修正呢？y=2x2y=-2x2抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=x2y=-x8抛物线y=x2，y=2x2有何共同点及不同点共同点：抛物线y=x2，y=2x2的开口都向上，顶点坐标都是(0,0)，对称轴都是y轴，在对称轴的左侧,y都随着x的增大而减小；在对称轴的右侧,y都随着x的增大而增大，当x=0时,函数y的值最小,最小值是0,两条抛物线都在x轴的上方(除顶点外).不同点：开口大小不同，y=x2开口较大，y=2x2开口较小抛物线y=x2，y=2x2有何共同点及不同点共同点：9抛物线y=-x2，y=-2x2有何共同点及不同点共同点：抛物线y=-x2，y=-2x2的开口都向下，顶点坐标都是(0,0)，对称轴都是y轴，在对称轴的左侧,y都随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y都随着x的增大而减小，当x=0时,函数y的值最大,最大值是0,两条抛物线都在x轴的下方(除顶点外).不同点：开口大小不同，y=-x2开口较大，y=-2x2开口较小抛物线y=-x2，y=-2x2有何共同点及不同点共同点101.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.2.当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，抛物线在x轴的上方(除顶点外),并且向上无限伸展；当a<0时,抛物线y=ax2的开口向下，抛物线在x轴的下方(除顶点外),并且向下无限伸展.

︱a︱越大，图象开口就越小3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.二次函数y=ax2的性质1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.2.当a>011函数

开口方向对称轴

顶点坐标

最高点或最低点Y=-4x2

Y=x2

Y=5x2

Y=-x2

上上下下Y轴Y轴Y轴Y轴(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)最高点最高点最低点最低点口答，又快又对1函数开口方向对称轴顶点坐标最高点或最低点Y=-4x212函数y=kx2的图象如图所示：则k

0，在对称轴的左侧，y随x的增大而

；在对称轴右侧，y随x的增大而

；顶点坐标是

，函数有最

值，是

。

<0增大减小(0,0)大0口答，又快又对2函数y=kx2的图象如图所示：则k13函数y=(m+1)是二次函数(1)求m的值(2)若图象开口向下，则求解析式(3)若抛物线有最高点，则m的值是多少？并说出它的增减性及最值。

让我们再显身手1函数y=(m+1)是二次函数14已知正方形的边长为x，面积为y，(1)写出y与x的函数关系式。(2)当x=1,2，3，求正方形的面积(3)画出它的图象让我们再显身手2已知正方形的边长为x，面积为y，让我们再显身手215函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:总结：看图说话y=ax2(a>0)y=ax2(a<0)xy0yx0１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:总结：看图说话161.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.2.当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，抛物线在x轴的上方(除顶点外),并且向上无限伸展；当a<0时,抛物线y=ax2的开口向下，抛物线在x轴的下方(除顶点外),并且向下无限伸展.

︱a︱越大，图象开口就越小3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.二次函数y=ax2的性质1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.2.当a>017结束寄语:只有不断的思考,才会有新的发现;只有量的变化,才会有质的进步.结束寄语:只有不断的思考,才会有新的发现;只有量的变化,才会18二次函数图像及性质课件19我也来试一试(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是

,对称轴是

,在

侧,y随着x的增大而减小；在

侧,y随着x的增大而增大,当x=

时,函数y的值最小,最小值是

,抛物线y=2x2在x轴的

方(除顶点外).(2)抛物线y=-2x2的顶点坐标是

,对称轴是

,在对称轴的左侧,y随着x的

；在对称轴的右侧,y随着x的

,当x=

时,函数y的值最小,最小值是

,抛物线y=-2x2在x轴的

方(除顶点外).（0，0）y轴对称轴的右对称轴的左00上下增大而增大增大而减小0（0，0）y轴0我也来试一试(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是20当x<0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而增大.

当x>0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而减小.

y当x=-2时,y=-4当x=-1时,y=-1当x=1时,y=-1当x=2时,y=-4当x<0(在对称轴的当x>0(在对称轴y当x=21当x<0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而减小.

当x>0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而增大.

当x=-2时，y=4当x=-1时，y=1当x=1时，y=1当x=2时，y=4当x<0(在对称轴的当x>0(在对称轴的当x=-2时，22函数y=x2和y=-x2的图象１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

根据图形填表：函数y=x2和y=-x2的图象１.顶点坐标与对称轴２.位置与23１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

根据图形填表：函数y=x2和y=-x2的图象１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线24这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.

对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.二次函数y=-x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.y这条抛物线关于对称轴与抛物二次函数y=-x2的y25(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？

学中做—做中学你能根据表格中的数据作出猜想吗？(2)先想一想，然后作出它的图象．(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？x

y=-x2

x…-3-2-10123…y=-x2

x

…-9-4-10-1-4-9…(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？26xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1y=-x2xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1y27二次函数图象及性质二次函数图象及性质28温故而知新观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?x

y=x2

x…-3-2-10123…y=x2

x

y=x2…9410149…用描点法作函数图象的步骤：列表描点连线温故而知新观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计29描点,连线xy0-4-3-2-11234108642-21y=x2(-3,9)(-2,4)(-1,1)(0,0)(1,1)(2,4)(3,9)描点,连线xy0-4-3-2-11234108642-230观察图象,回答问题xy0-4-3-2-11234108642-21y=x2(1)你能描述图象的形状吗?(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?(3)图象与y轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?观察图象,回答问题xy0-4-3-2-112341031这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.

对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于对称轴与抛物二次函数y=x2的32二次函数y=-x2，y=2x2

，y=-2x2的图象是什么形状？请每一学习小组分工完成三个函数的图象。一同学作y=-x2，一同学作y=2x2

，两同学作

y=-2x2，每一同学的图象作在相应的坐标系中。

学中做—做中学二次函数y=-x2，y=2x2，y=-2x2的图象是什33１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.根据图形填表：在同一坐标系中作出函数y=x2和y=-x2的图象在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线34抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

若把表中y=x2，y=-x2分别改为y=2x2，

y=-2x2，结合图形，观察你下表中所填写的信息是否也要作相应修正呢？y=2x2y=-2x2抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=x2y=-x35抛物线y=x2，y=2x2有何共同点及不同点共同点：抛物线y=x2，y=2x2的开口都向上，顶点坐标都是(0,0)，对称轴都是y轴，在对称轴的左侧,y都随着x的增大而减小；在对称轴的右侧,y都随着x的增大而增大，当x=0时,函数y的值最小,最小值是0,两条抛物线都在x轴的上方(除顶点外).不同点：开口大小不同，y=x2开口较大，y=2x2开口较小抛物线y=x2，y=2x2有何共同点及不同点共同点：36抛物线y=-x2，y=-2x2有何共同点及不同点共同点：抛物线y=-x2，y=-2x2的开口都向下，顶点坐标都是(0,0)，对称轴都是y轴，在对称轴的左侧,y都随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y都随着x的增大而减小，当x=0时,函数y的值最大,最大值是0,两条抛物线都在x轴的下方(除顶点外).不同点：开口大小不同，y=-x2开口较大，y=-2x2开口较小抛物线y=-x2，y=-2x2有何共同点及不同点共同点371.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.2.当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，抛物线在x轴的上方(除顶点外),并且向上无限伸展；当a<0时,抛物线y=ax2的开口向下，抛物线在x轴的下方(除顶点外),并且向下无限伸展.

︱a︱越大，图象开口就越小3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.二次函数y=ax2的性质1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.2.当a>038函数

开口方向对称轴

顶点坐标

最高点或最低点Y=-4x2

Y=x2

Y=5x2

Y=-x2

上上下下Y轴Y轴Y轴Y轴(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)最高点最高点最低点最低点口答，又快又对1函数开口方向对称轴顶点坐标最高点或最低点Y=-4x239函数y=kx2的图象如图所示：则k

0，在对称轴的左侧，y随x的增大而

；在对称轴右侧，y随x的增大而

；顶点坐标是

，函数有最

值，是

。

<0增大减小(0,0)大0口答，又快又对2函数y=kx2的图象如图所示：则k40函数y=(m+1)是二次函数(1)求m的值(2)若图象开口向下，则求解析式(3)若抛物线有最高点，则m的值是多少？并说出它的增减性及最值。

让我们再显身手1函数y=(m+1)是二次函数41已知正方形的边长为x，面积为y，(1)写出y与x的函数关系式。(2)当x=1,2，3，求正方形的面积(3)画出它的图象让我们再显身手2已知正方形的边长为x，面积为y，让我们再显身手242函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:总结：看图说话y=ax2(a>0)y=ax2(a<0)xy0yx0１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:总结：看图说话431.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.2.当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，抛物线在x轴的上方(除顶点外),并且向上无限伸展；当a<0时,抛物线y=ax2的开口向下，抛物线在x轴的下方(除顶点外),并且向下无限伸展.

︱a︱越大，图象开口就越小3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.二次函数y=ax2的性质1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.2.当a>044结束寄语:只有不断的思考,才会有新的发现;只有量的变化,才会有质的进步.结束寄语:只有不断的思考,才会有新的发现;只有量的变化,才会45二次函数图像及性质课件46我也来试一试(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是

,对称轴是

,在

侧,y随着x的增大而减小；在

侧,y随着x的增大而增大,当x=

时,函数y的值最小,最小值是

,抛物线y=2x2在x轴的

方(除顶点外).(2)抛物线y=-2x2的顶点坐标是

,对称轴是

,在对称轴的左侧,y随着x的

；在对称轴的右侧,y随着x的

,当x=

时,函数y的值最小,最小值是

,抛物线y=-2x2在x轴的

方(除顶点外).（0，0）y轴对称轴的右对称轴的左00上下增大而增大增大而减小0（0，0）y轴0我也来试一试(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是47当x<0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而增大.

当x>0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而减小.

y当x=-2时,y=-4当x=-1时,y=-1当x=1时,y=-1当x=2时,y=-4当x<0(在对称轴的当x>0(在对称轴y当x=48当x<0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而减小.

当x>0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而增大.

当x=-2时，y=4当x=-1时，y=1当x=1时，y=1当x=2时，y=4当x<0(在