等离子体物理：chap 8动理学理论介绍课件

等离子体物理动理学理论介绍等离子体物理动理学理论介绍等离子体描述方法对于极其稀薄的等离子体，粒子间的碰撞和集体效应可以忽略，可采用单粒子轨道理论研究等离子体在磁场中的运动。对于密度比较大的等离子体，粒子间的碰撞起主要作用，通常把这种等离子体看成一种导电流体来处理。有两种方法是常用的：一是连续介质力学方法即磁流体力学，把等离子体当作连续介质来研究它在磁场中的运动;二是统计力学方法，即所谓等离子体动理论，它从微观出发，用统计方法研究等离子体在磁场中的宏观运动.动理学理论介绍等离子体描述方法对于极其稀薄的等离子体，粒子间的碰撞和集体效双磁流体力学方程组方程组中的任何一个物理量都可能发生波动，即偏离平衡位置（E,B,u,J,p,………）。等离子体中的波等离子体平衡与稳定性等离子体中碰撞与输运双磁流体力学方程组方程组中的任何一个物理量都可能发生波动，即我们在以上讨论磁流体力学、等离子体波、等离子体稳定性以及等离子体输运现象时，都隐含一个假设：即假设所有同种带电粒子（电子或者粒子）具有同样的宏观速度，也就是说我们没有区分粒子的运动速度。这种假设很有效，能描述我们所观察到的众多现象，但是，很显然这样的假设与实际相差比较远。7.1引言_弗拉索夫方程因为，实际的等离子体中，由于无规则的热运动，除非在绝对零度，多粒子体系中的粒子速度将会分布在其宏观速度附近的一个范围内。平均热运动速度我们在以上讨论磁流体力学、等离子体波、等离子体稳定性以及等离对于没有外场的热力学平衡体系，这种速度的分布就是麦克斯韦分布

这个时候粒子速度可以用平均热运动速度来描述：对于等离子体，如果等离子体波的相速远远超过粒子的热运动速度，以前的等离子体理论可以很好的描述其行为。即可以不用考虑等离子体中粒子速度分布。对于没有外场的热力学平衡体系，这种速度的分布就是麦克斯韦分布则有相当数量的粒子具有和相速度相近的运动速度，等离子体的许多行为将发生非常大的变化，因此这个时候必须考虑等离子体中各粒子速度分布的作用。但是，如果等离子体波的相速可以和粒子的热运动速度相比拟时最典型的例子就是等离子体中的共振和非共振现象，当一部分粒子具有和等离子体波相同的运动方向和相近的速度时，相对于等离子体波，粒子时静止的，有可能从等离子体波中吸收能量——共振，这样使等离子体波衰减——朗道阻尼。必须知道粒子速度分布函数则有相当数量的粒子具有和相速度相近的运动速度，等离子体的许多7.1.1粒子分布函数流体近似能够精确地描述大多数观察到的现象，但是存在着某些现象并不适用于流体理论。对于这些现象，必须对每个属种考虑其速度分布函数f()，这种处理称为动理学理论(kinetictheory)。在流体理论中，应变量是四个独立变量x,y,z和t的函数，这是假定了每个属种的速度分布到处都是麦克斯韦分布。所以只用一个数(温度T)就能完全确定分布。相空间及相空间粒子速度分布函数共振现象碰撞使系统达到热平衡7.1.1粒子分布函数流体近似能够精确地描述大多数观察到在高温等离子体中碰撞是稀少的，且热平衡的偏离能保持较长时间。例如，一维系统中的两个速度分布f1(x)和f2(

x)，如图。这两个分布具有完全不同的性状，但只要其面积相同，流体理论就不能区分两者。流体理论关注：一个温度T在高温等离子体中碰撞是稀少的，且热平衡的偏离能保持较长时间。密度是四个标量变量的函数：n=n(r,t)，考虑速度分布时，就有7个独立变量f=f(r,,t)。它的意义是，在时间t位置r，速度分量在

x和x+dx、y和y+dy

、z和z+dz之间每cm3的粒子数为：在速度空间积分就可以获得粒子密度：密度是四个标量变量的函数：n=n(r,t)，考虑速度分布为了定量的表示分布函数，引进结构空间和速度空间。把结构空间体积元表示成

。速度空间体积元为

。要完全确定粒子的运动状态，需要同时给出粒子在结构空间和速度空间的位置，所以经常采用六维相空间的概念。每个粒子的运动状态以这个空间的一个代表点表示。所谓分布函数就是这个空间中代表点的密度。六维相空间的体积元为六维相空间的体积元中代表点数或粒子数目为为了定量的表示分布函数，引进结构空间和速度空间。把结构空间体所代表的就是t时刻相空间点的粒子密度：按速度积分，就给出结构空间体积元中的粒子数其中：显然是结构空间的粒子密度。如果把相空间分布函数写成：称为粒子速度分布函数所代表的就是t时刻相空间点的粒子密度：按速度积分具有归一化性质，所以该函数含有概率的意义在内，表示在相空间的概率。速度分布函数决定速度处于＋d(在r点时刻t)的粒子的相对数目，或几率。具有归一化性质，所以该函数含有概率的意义在内，表示在相空间的通常能给出速率分布函数对于我们处理问题非常方便。利用速度空间的球坐标系，并完成对所有的角度积分则在

各向同性的情况下，即当它只依赖于速度值而不依赖于角度、时方位角极角粒子速率分布函数速率分布通常能给出速率分布函数对于我们处理问题非常方便。利用速度空间用对应的能量区间替换速度区间就可以得到动能分布函数，即：有所以：已知等离子体粒子的密度和速度分布函数可以获得表征等离子体性质的宏观量的完整知识。用对应的能量区间替换速度区间就可以得到动能分布函数，即：有通常最常用的速度分布函数是麦克斯韦分布,即热力学平衡分布：其中：热速度很显然这个分布函数满足归一化条件，因为：麦克斯韦分布通常最常用的速度分布函数是麦克斯韦分布,即热力学平衡分布：麦克斯韦分布可以计算出：1、平均速度：归一化麦克斯韦分布可以计算出：1、平均速度：归一化2、方均根速率（root－mean－squarespeed）3、平均速率4、沿着某一方向的平均速率2、方均根速率（root－mean－squarespeed5、平均碰壁数射向固体壁面的电子流密度，即单位时间通过单位面积的粒子数。先计算电子流（y方向）：式fe()为电子的麦克斯韦速度分布函数，积分限υy0是这样确定的：并非所有飞向固体壁的电子都能达到固体壁表面，只有能量大到足以克服固体壁负电位所产生的位势的电子，才能到达固体壁，因此到达固体壁的最小动能为：5、平均碰壁数射向固体壁面的电子流密度，即单位时间通过单位面射向固体壁面的电子流密度，即单位时间通过单位面积的粒子数。射向固体壁面的电子流密度，即单位时间通过单位面积的粒子数。6、速率分布函数由于麦克斯韦速度分布是各向同性的，即与方向无关，所以定义一个速率分布函数更加方便。定义速率分布函数g():把方向积分掉6、速率分布函数由于麦克斯韦速度分布是各向同性的，即与方向无麦克斯韦速度分布麦克斯韦速率分布麦克斯韦速度分布麦克斯韦速率分布问题：多维相空间中代表点的密度是什么样子？多维相空间无法用图形描述，但是我们可以用低维相空间一维速度空间二维相空间问题：多维相空间中代表点的密度是什么样子？多维相空间无法用图二维相空间如何随时间变化呢？分布函数二维相空间如何随时间变化呢？分布函数7.1.2弗拉索夫方程在理想等离子体中，粒子间的相互作用比粒子本身的动能小很多，因此用上一节给出的单粒子的分布函数(麦克斯韦)可以很好地描述体系地性质。值得注意的是前面给出的是热平衡时候粒子的分布函数，但当外界环境条件变化，如外场、温度不均匀时，粒子将偏离热平衡，这个时候我们需要知道粒子分布函数随时间和位置的变化。玻尔兹曼方程波耳滋曼方程统计物理7.1.2弗拉索夫方程在理想等离子体中，粒子间的相互作用比如何随时间变化呢？分布函数考察如图所示的一个区域，影响这个区域内粒子数的机制有两种：外场（电磁场、压力）中的漂移和区域内粒子之间的碰撞。利用粒子守恒条件，分布函数的变化率由两部分组成：代表外场引起的分布函数的变化代表碰撞引起的分布函数的变化如果系统是稳态的，即分布函数不随时间变化：如何随时间变化呢？分布函数考察如图所示的一个区域，影响这个区考虑漂移项考虑t时刻,在(r,)附近的电子是t-dt时刻漂移来损失部分在相空间考虑漂移项考虑t时刻,在(r,)附近的电子是t-dt时刻所以：t时刻,在（r,）附近的电子分布函数的变化分子上减一项：所以：t时刻,在（r,）附近的电子分布函数的变化分子上减一波耳滋曼方程与位置有关的量：温度梯度引起的与速度空间有关的量：外场引起的当地导数坐标空间随流导数速度空间随流导数波耳滋曼方程与位置有关的量：温度梯度引起的与速度空间有关的量实际上，我们从全微分的观念出发也可以获得玻尔滋曼方程。由于在分布函数中的位置和速度都是时间的函数，因此分布函数应该写成:波耳滋曼方程分布函数的全微分：显然：实际上，我们从全微分的观念出发也可以获得玻尔滋曼方程。由于在波耳滋曼方程式中，F代表作用在粒子上的力，(əf/ət)c是碰撞引起的f随时间的变化率，▽代表空间梯度，▽代表速度空间的梯度。əf/ət能解释为随粒子运动的坐标系中所观察到的变化率，是相空间中的运流微商。波耳滋曼方程则简单地说明：除了有碰撞以外，df/dt是零,即相空间粒子数守恒。或者说，在与粒子一起运动的坐标系上看，周围的粒子数密度是不变的，当有碰撞存在的时候，则有些粒子被碰出去，有些粒子被碰进来，粒子数不守恒，粒子数目的变化也就等于碰撞引起的变化。？波耳滋曼方程式中，F代表作用在粒子上的力，(əf/ət)c玻尔兹曼方程最复杂的是碰撞项的处理，不同的情况需要不同的处理方法。相空间粒子数守恒的物理图像取一无限小体积元t时刻处于A,t+t时刻到达B由于无限小体积元内的粒子运动速度和受力完全一样,所以到达B后,体积元的大小和内部的粒子数都没有变化,也就是说粒子数密度没有变,所以没有碰撞的时候:玻尔兹曼方程最复杂的是碰撞项的处理，不同的情况需要不同的处理考虑刚性球碰撞时，波耳兹曼方程可导得波耳兹曼积分微分方程:波耳滋曼方程几种常见的情况：考虑刚性球碰撞时，波耳兹曼方程可导得波耳兹曼积分微分方程:波存在库仑碰撞时，波耳滋曼方程可由福克－普朗克方程(Fokker-Planck)来近似这里是在一次碰撞中的速度变化，这是一个相当复杂表达式的简便写法。存在库仑碰撞时，波耳滋曼方程可由福克－普朗克方程(Fokke如存在中性原子的碰撞，波耳滋曼方程的碰撞项能用克洛克碰撞项这里fn是中性原子的分布函数，τ为碰撞时间函数。克洛克模型（Krook）该方程可研究等离子体中各输运过程如存在中性原子的碰撞，波耳滋曼方程的碰撞项能用克洛克碰撞项这在足够热的等离子体中，碰撞可以忽略，当F完全是电磁力时，波耳滋曼方程应当取下面的特殊形式这称为弗拉索夫(Vlasov)方程，它形式简单，是动理学理论中研究最普遍的方程。对于高温等离子体，碰撞不频繁，所以可以使用弗拉索夫方程在足够热的等离子体中，碰撞可以忽略，当F完全是电磁力时，波耳波耳滋曼方程没有碰撞时:在相空间中粒子将沿着等f线运动,因此利用等f线很容易知道粒子所走的轨迹.比如:一维粒子束,平衡态粒子束具有相同的速度:分布函数为:波耳滋曼方程没有碰撞时:在相空间中粒子将沿着等f线运动,因一维粒子束,粒子束分布在平衡态附近有扰动,不具有相同的速度,自由粒子捕获粒子相速度:自由粒子如果如果可能变成捕获粒子扰动电场的加速和减速假设等离子体波存在一维粒子束,粒子束分布在平衡态附近有扰动,不具有相同的速度随着波相速度一起运动的坐标系自由粒子捕获粒子自由粒子随着波相速度一起运动的坐标系自由粒子捕获粒子自由粒子粒子分布函数小结六维相空间中代表点的密度or六维相空间的体积元中粒子数目为在速度空间积分就可以获得粒子密度：如果把相空间分布函数写成：称为粒子速度分布函数该函数含有概率的意义在内，表示在相空间的概率。粒子分布函数小结六维相空间中代表点的密度or六维相空间的体积速率分布函数粒子分布函数小结各向同性的情况下动能分布函数已知等离子体粒子的密度和速度分布函数可以获得表征等离子体性质的宏观量的完整知识。速率分布函数粒子分布函数小结各向同性的情况下动能分布函数已知波耳滋曼方程在足够热的等离子体中，碰撞可以忽略，当F完全是电磁力时，波耳滋曼方程应当取下面的特殊形式这称为弗拉索夫(Vlasov)方程，它形式简单，是动力学理论中研究最普遍的方程。波耳滋曼方程在足够热的等离子体中，碰撞可以忽略，当F完全是电7.2电子等离子体波及朗道阻尼弗拉索夫(Vlasov)方程研究朗谬静电波7.2电子等离子体波及朗道阻尼弗拉索夫(Vlasov)方程泊松方程连续方程运动方程给一个小扰动!回顾：磁流体力学方法处理电子等离子体波朗缪尔波的色散关系能传播泊松方程连续方程运动方程给一个小扰动!回顾：磁流体力学方法处主要是利用弗拉索夫方程研究无碰撞等离子体中的朗缪尔波，并将讨论朗道阻尼现象。以弗拉索夫(Vlasov)方程为实例的一组动力学方程7.2.1电子等离子体波的动力学描述主要是利用弗拉索夫方程研究无碰撞等离子体中的朗缪尔波，并将讨假设平衡态为均匀等离子体，分布函数为f0()。由于我们讨论的是电子波，所以是静电波，没有磁场扰动设弗拉索夫方程令扰动化无碰撞等离子体中的朗缪尔波色散关系假设平衡态为均匀等离子体，分布函数为f0()。由于我们讨论扰动化后，电子的一阶符拉索夫方程：假定波是x在方向泊松方程：扰动化后，电子的一阶符拉索夫方程：假定波是x在方向泊松方程：只考虑电子波只考虑电子波电子等离子体振荡的色散关系电子等离子体振荡的色散关系令：表示归一化分布函数令：表示归一化分布函数色散关系为：为了书写方便（一维，u就是波矢方向）：动理学描述下的等离子体波的色散关系这里的积分不能直接计算，因为u=ω/k处有奇点。朗道发现：奇点的存在对等离子体波的色散关系引入了一个重要的修正，这是流体理论所不能预言的。色散关系为：为了书写方便（一维，u就是波矢方向）：动理学描述通常，将静电波的色散关系写成等离子体介电函数电子离子的极化率所以：动理学描述下的等离子体波的色散关系通常，将静电波的色散关系写成等离子体介电函数电子离子的极化分布积分后有：注意函数中有一个奇点关键是如何处理奇点的问题表示归一化分布函数弗拉索夫朗道分布积分后有：注意函数中有一个奇点关键是如何处理奇点的问题表7.2.2弗拉索夫方法弗拉索夫采用无限接近但去除奇点来积分上面的色散关系，即：近似：对于电子等离子体波，波的相速度远远大于电子的热运动：其中:近似数值解7.2.2弗拉索夫方法弗拉索夫采用无限接近但去除奇点来积分对于平衡态是麦克斯韦分布的粒子，绝大多数电子的速度远小于波的速度，只有极少部分超过波的速度,所以：可以展开对于平衡态是麦克斯韦分布的粒子，绝大多数电子的速度远小于波的忽略高阶小量后有：利用：为奇函数为偶函数麦克斯韦分布是偶函数忽略高阶小量后有：利用：为奇函数为偶函数麦克斯韦分布是偶函数其中的代表沿着波传播方向速度平方的平均值，已经知道对于麦克斯韦分布：电子极化率为:省略了kB电子极化率为:利用：其中的代表沿着波传播方向速度平方的平均值，已经利用电子静电波的色散关系一般热色散修正很小：电子极化率为:热速度问题：奇点的出现似乎没有什么新内容与流体力学描述的电子等离子体波色散关系一样.利用电子静电波的色散关系一般热色散修正很小：电子极化率为:热7.2.3朗道阻尼

仍然围绕着积分：弗拉索夫通过无限逼近的方法绕开了奇点的积分问题，得到的是积分的主值。从数学上这样的处理没有什么问题，但是在物理上，我们必须考虑这样的处理方法可能导致的包含在积分中物理意义的缺失。比如：奇点具有什么样的物理意义？不能绕开这个问题。7.2.3朗道阻尼仍然围绕着积分：弗拉索夫通过无限逼近的朗道利用拉普拉斯变换方法来线性化弗拉索夫方程，用路径积分代替简单的积分方式，这样的方法既避开了奇点又包含奇点的贡献，获得了一个新的物理现象。朗道认为弗拉索夫在处理奇点问题上是错误的！拉普拉斯变换：是为了简化计算而建立起来的实变函数和复变函数间的一种函数变换.对一个实变函数作拉普拉斯变换,并在复数域中作各种运算,再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域的相应结果,这样可以使计算过程大大简化.朗道利用拉普拉斯变换方法来线性化弗拉索夫方程，用路径积分代替朗道证明：当对初值问题适当处理后，速度空间的积分等价于复数空间的路径积分。在速度空间，奇点变成为：朗道所用的方法是空间用傅立叶变换，时间是利用拉普拉斯变换（初值问题），把波矢看成实数，而把频率看成虚数：朗道的方法:拉普拉斯反变换是复数空间的路径积分朗道证明：当对初值问题适当处理后，速度空间的积分等价于复数空朗道的路径积分：(a)：如果非常小，奇点就非常接近实轴，则积分路径如图(a)所示。(b):如果有限且大于零，奇点在实轴上方，积分路径如图(b)所示。(c):如果有限且小于零，奇点在实轴下方，积分路径如图(c)所示。朗道的路径积分：(a)：如果非常小，奇点就非常接近实轴，则现在来处理积分：注意：由于波的相速度远远大于电子的热运动速度，所以非常小（弱阻尼），这样奇点就在实轴附近，如图.奇点需要用到留数定理实数求函数在复数空间的路径积分现在来处理积分：注意：由于波的相速度远远大于电子的热运动速度留数及留数定理记作内包含的任意一条简单闭曲线

C的积分的值除后所得的数称为以的一个孤立奇点,则沿如果留数.点的一条正向简单闭曲线,那末外处处解析,C是D内包围诸奇立奇点在区域

D内除有限个孤函数留数定理...留数及留数定理记作内包含的任意一条简单闭曲线C的积分的值如果为的奇点,那末规则:留数的计算方法奇点留数如果为的奇点,那末规则:留数的计算分两部分：如何计算?积分主值分两部分：如何计算?积分主值注意：积分本来是不闭合的！注意：积分本来是不闭合的！柯西积分定理闭路变形原理:解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值假设C及C1为任意两条简单闭曲线,C1在C内部,设函数f(z)在C及C1所围的二连域D内解析,在边界上连续，则柯西积分定理闭路变形原理:解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线实部：弗拉索夫结果虚部：朗道路径积分的结果，代表被积函数奇点的贡献色散关系为：实部：弗拉索夫结果虚部：朗道路径积分的结果，代表被积函数奇点把介电函数写成：由于是个小量，泰勒展开把介电函数中第一项作为小量展开：把介电函数中第二项作为小量展开(忽略导数项)把介电函数写成：由于是个小量，泰勒展开把介电函数中第一项作实部和虚部==零。实部虚部可以获得与弗拉索夫方法相同的色散关系：弗拉索夫结果利用实部等于零与流体力学描述的电子等离子体波色散关系一样.实部和虚部==零。实部虚部可以获得与弗拉索夫方法相同的色散关利用虚部等于零一般电子等离子体波的热色散修正很小：所以在使用上式求时候，认为由弗拉索夫方法知道利用虚部等于零一般电子等离子体波的热色散修正很小：所以在使用等离子体物理：chap8动理学理论介绍课件注意：所以波是阻尼的对于热平衡分布，在所以无碰撞的朗道阻尼注意：所以波是阻尼的对于热平衡分布，在所以无碰撞的朗道阻尼存在等离子体波无碰撞阻尼，称为朗道阻尼。是考虑到奇点的贡献，它的存在对等离子体波的色散关系引入了一个重要的修正，这是流体理论所不能预言的。麦克斯韦速度分布存在等离子体波无碰撞阻尼，称为朗道阻尼。是考虑到奇点的贡献，讨论：1.长波情况下很小朗道阻尼可以忽略2.短波情况下很大朗道阻尼很大这就是为什么在实验上只能观察到长波的等离子体波而短波的等离子体波不容易观察到的原因.讨论：1.长波情况下很小朗道阻尼可以忽略2.短波情况下很大朗无碰撞的朗道阻尼无碰撞的朗道阻尼7.3朗道阻尼的物理意义7.3.1朗道阻尼的物理图象朗道阻尼现象可以说是物理学研究领域特别是等离子体力领域的一个非常重要的现象，这个现象在1965年被实验证实。波阻尼而又没有由碰撞引起的能量消耗的理论发现是令人震惊的，但这在实验中已经得到了证明。朗道阻尼是无碰撞等离子体的一种特征，但是在其它领域他可能也有应用。我们应该注意到，朗道阻尼发生在粒子的运动速度等于波的相速度这个奇点上，即与分布函数在u=附近的粒子有关。7.3朗道阻尼的物理意义7.3.1朗道阻尼的物理图象朗道

朗道阻尼是由与极点u=φ相联系的，那些在分布中速度接近于波速的粒子引起的，这些粒子被称为“共振粒子”。它们能与波一起传播，并且感觉不到迅速波动的电场，因此能够有效地与波交换能量。唯像的图像朗道阻尼是由与极点u=φ相联系的，那些在分布中速度接冲浪运动1、如果冲浪板原来静止或者远大于波相速度运动，当波通过冲浪板时，冲浪板只能感知到波的振荡，不会改变其运动状态，没有能量交换。2、如果冲浪板以和波相速度相近的速度前进，则在随着波一起运动的坐标系中看到冲浪板开始是静止的，但是以后的运动将取决于冲浪板与波的相对位置：A：如果最初是在A面，则将被波所推动，速度变大，冲浪板从波中获得能量；B：如果最初是在B面，则将被波所阻碍，速度变小，冲浪板传递给波能量；冲浪运动1、如果冲浪板原来静止或者远大于波相速度运动，当波通冲浪运动对于初始速度的粒子，在波的坐标系中最初是向后运动，但是它爬不过波峰，处于A的位置，被波加速。对于初始速度的粒子，在波的坐标系中最初是向前运动，但是它爬不过波峰，处于B的位置，被波减速。在麦克斯韦分布中，慢电子要比快点子多（如图所示），所以从波获得能量的粒子多于给予能量的粒子，因此波受到阻尼。冲浪运动对于初始速度的粒子，在波的由于共振粒子的速度和波的相速度相近，所以它们和等离子体波一起运动，形象地称这些粒子为捕获粒子。这些粒子的特点是被波的势场所捕获，不能逃离出波峰，只能在两个波峰之间振荡。冲浪运动这些捕获粒子能够长时间与波相互作用，其结果是原来速度小的粒子得到能量后变成速度大的粒子这样就会影响到粒子的分布函数。由于共振粒子的速度和波的相速度相近，所以它们和等离子体波一起

随着u≈φ的粒子在波中俘获，在接近相速度处f(u)会变平出现一个平台。如下图，扰动了的分布函数包含的粒子数相同，但已经得到了能量。在u=φ区域，朗道阻尼引起麦克斯韦分布变形ufm

(u)ufm

(u)这个变形的部分就是扰动分布函数。注意：变形前后的粒子数没有改变。但是粒子的总动能变大了，增加的能量是从波中获得的。随着u≈φ的粒子在波中俘获，在接近相速度处f如果f0(u)包含的快粒子比慢粒子多，波就会被激起。φ处于斜率为正的区域波浪将是不稳定的，它消耗粒子能量而得到能量。f0(v)vvφ以上利用冲浪运动形象的说明了朗道阻尼，但是是唯像的，没有给出朗道阻尼的真正原因。所以如果f0(u)包含的快粒子比慢粒子多，波就会被激起。φ处上面所描述的是非线性阻尼，是在振幅有限的情况下发生的，振幅越大，被捕获的粒子数越多。对于这种非线性阻尼，波的振幅不是单调衰减的，是周期性的。因为粒子与波的能量交换是具有周期性的。线性阻尼非线性阻尼朗道阻尼分为：它们均是无碰撞阻尼冲浪运动上面所描述的是非线性阻尼，是在振幅有限的情况下发生的，振幅越对于振幅非常小的线性波而言，又是什么机制导致波振幅的衰减呢？非共振粒子在整个过程中又有什么作用呢？冲浪运动对于振幅非常小的线性波而言，又是什么机制导致波振幅的衰减呢？7.3.2非捕获粒子的动能为了说明非共振粒子与波的能量交换，我们把分布函数分成许多单能粒子束，如图，每一各小间隔粒子能量相近，可以看成一粒子束。考虑其中一束，假定没有扰动时粒子束的速度为u，密度为nu，考虑这一粒子束在波的扰动电场E(x,t)中运动。7.3.2非捕获粒子的动能为了说明非共振粒子与波的能量交换扰动电场E(x,t)等离子体的流动及电荷之间的相互作用会产生电磁场，等离子体又会受电磁场的影响，此流动的电荷与磁场相互作用，产生洛伦兹力，从而改变流体的运动，同时此电流又导致电磁场的改变。扰动电场是所有束中运动的集体贡献，是自恰的，如果在所考虑的束中粒子的密度很小，可以认为扰动电场是恒定的不受该束的影响。假设扰动场：电场、电势、速度、密度如何变化？扰动电场E(x,t)等离子体的流动及电荷之间的相互作用会产生所以有：束的线性化运动方程：设试解：可得：所以有：束的线性化运动方程：设试解：可得：所以束的扰动速度为：扰动速度与u-成反比所以束的扰动速度为：扰动速度与u-成反比束的线性化连续性方程：设试解：可得：所以束的扰动密度为：扰动密度与u-的平方成反比束的线性化连续性方程：设试解：可得：所以束的扰动密度为：扰动扰动场：扰动势：扰动速度：扰动密度：扰动场：扰动势：扰动速度：扰动密度：先定性考察一下非共振粒子的运动及能量变化先定性考察一下非共振粒子的运动及能量变化对于u<的束，扰动速度与电子在波场中的势能-e是同相位的，即势能小扰动速度小，势能大的地方扰动速度大。也即从势阱向势垒的爬坡过程是加速的如图中阿a,b粒子。势阱势垒对于u<的束，扰动速度与电子在波场中的势能-e是同相位对于u>的束，扰动速度与电子在波场中的势能-e是反相位的，即势能小的地方扰动速度大，势能大的地方扰动速度小。也即从势阱向势垒的爬坡过程是减速的，如图中阿a,b粒子。势阱势垒对于u>的束，扰动速度与电子在波场中的势能-e是反相位我们希望给出朗道阻尼的真正原因，必须从能量角度去理解。对于我们所考虑的束，束的动能密度（单位体积内的动能）可以表示为：在一个周期内平均再定量考察一下非共振粒子的运动机能量变化我们希望给出朗道阻尼的真正原因，必须从能量角度去理解。对于我则波所引起的动能变化为：在一个周期内平均注意到扰动的奇次方的平均为零。则波所引起的动能变化为：在一个周期内平均注意到扰动的奇次方的??、是个常数，与时间无关；、与坐标系的选取有关，在以波的相速度运动坐标系中，，对所有速度的束，均小于零，也就是说束失去了能量。、在静止坐标系中，与束的速度相关，速度的束，是失去能量，速度的束，是得到能量。、是个常数，与时间无关；、与坐标由此可见这种非共振粒子动能的改变的图象仍然不能解释线性朗道阻尼。因为阻尼要求的振幅随时间持续变小，粒子的平均动能随时间持续增加，为了说明线性朗道机制，需要考虑初始条件。、在静止坐标系中，与束的速度相关，速度的束，是失去能量，速度的束，是得到能量。以上无论是唯像的或者是定量的图像仅仅告诉我们粒子与波的相互作用，我们也仅仅知道在此过程中波可能失去能量也可能获得能量由此可见这种非共振粒子动能的改变的图象仍然不能解释线性朗道阻7.3.3初始条件的影响首先要说明的是，线性波动理论只适用于扰动的初始阶段，波的阻尼或者是增加率只与初始分布函数有关，随着时间的推移，粒子与波相互作用必然会改变原来的分布函数。如果波是不稳定的则其振幅会非线性变化直至饱和，如果波是阻尼的，则波的能量将转移成粒子的动能，最终变成热能。因此为了理解线性朗道阻尼，必须考虑初始条件。7.3.3初始条件的影响首先要说明的是，线性波动理论只适用为了更好地说明朗道阻尼，我们用相空间轨道来描述，如图，图所表示地是随着波一起运动的坐标系中相空间坐标，同时也画出了初始速度分布函数随变化曲线，在垂直于纸面内。相空间轨道为了更好地说明朗道阻尼，我们用相空间轨道来描述，如图，图所表相空间轨道相空间轨道电子在波场中势能随的变化。是均匀的垂直于纸面相空间轨道为了便于理解这里我们假设初始时刻存在扰动电场，即存在扰动分布函数f1,但是扰动分布函数对阻尼的影响是高阶效应，所以在线性范畴内可以忽略。电子在波场中势能随的变化。是均匀的对于捕获粒子来讲，由于它只能在两个波峰之间来回运动，因而在相空间中的轨道是围绕的闭合曲线。对于的非共振粒子，相空间的轨道是在的上方向右运动的曲线；对于捕获粒子来讲，由于它只能在两个波峰之间来回运动，因而在相对于的非共振粒子，相空间的轨道是在的下方向左运动的曲线；对于捕获粒子来讲，由于它只能在两个波峰之间来回运动，因而在相空间中的轨道是围绕的闭合曲线。对于的非共振粒子，相空间的轨道是而处于B点的粒子，，在波坐标系中向左运动，速度减小，动能减少。对于初始时刻处于A点和B点的两种粒子，在能量曲线的波峰上。由于在A点，在波坐标系中向右运动，速度增加，动能也增加。而处于B点的粒子，，在波坐标系中向左而处于D点的粒子，，在波坐标系中向左运动，速度增加，动能也增加。对于初始时刻处于C点和D点的两种粒子，在能量曲线的波谷上。由于在C点，在波坐标系中向右运动，速度减小，动能也降低。而处于D点的粒子，，在波坐标系中向左初始时刻处于A点的粒子束比C点多，得到的能量的粒子数比失去的能量的多。同样，处于D点的粒子束比B点多，得到的能量的粒子数比失去的能量的多。因此从分布函数曲线可以看出：增加降低动能初始时刻处于A点的粒子束比C点多，得到的能量的粒子数比失去的无论粒子的速度是大于还是小于波的相速度，总是得到的能量的粒子数比失去的能量的多，因此总的来说粒子得到了能量，即波失去了能量。对于共振粒子所走的闭合曲线，也有类似的图象，这就是朗道线性阻尼的物理图象。从分布函数曲线可以看出：最后的效果是：所有的粒子对朗道阻尼都有贡献共振的粒子非共振的粒子！注意无论粒子的速度是大于还是小于波的相速度，总是得到的能量的粒子所有的粒子对朗道阻尼都有贡献共振的粒子非共振的粒子！注意共振粒子数目少,但是与波的作用时间长,决定了的符号.非共振离子数目多,但是与波作用时间短,仅仅对的大小有贡献.时间长了以后,初始条件被遗忘,粒子能量变化:所有的粒子对朗道阻尼都有贡献共振的粒子非共振的粒子！注意共振7.4非磁化等离子体中静电波色散关系的一般形式以上是电子等离子体波的动理学描述，对于一般情况下的静电波问题，同样存在波与粒子的相互作用和朗道阻尼。一般情况下，等离子体由电子和各种成分的离子组成，每一种成分都服从各自的动力学方程，在非磁化等离子体中，一般用玻尔兹曼方程描述：波耳滋曼方程对于热等离子体，忽略碰撞后就变成了弗拉索夫方程：7.4非磁化等离子体中静电波色散关系的一般形式以上是电子等对弗拉索夫方程线性化后,且考虑电场力的作用，则有：实际上在等离子体内所有的电荷粒子都可以用这个方程进行描述，为了统一，我们可以表述成泊松方程线性化后要解这两个方程比较困难，我们进行如下变换：对弗拉索夫方程线性化后,且考虑电场力的作用，则有：实际上在设：代入上面的线性化方程即有弗拉索夫方程泊松方程注意：设：代入上面的线性化方程即有弗拉索夫方程泊松方程注意：记得朗道积分？定义一个归一化平衡态分布函数：振荡频率：记得朗道积分？定义一个归一化平衡态分布函数：振荡频率：整理后有：通常将色散关系写成介电函数的形式：其中，极化率整理后有：通常将色散关系写成介电函数的形式：其中，极化率色散关系与平衡态分布函数有关，分布函数不同可以出现波的阻尼和增长，波与粒子相互作用机制和前面所讲类似。在情况下，有：由于的虚部为所有的虚部之和，因此每种粒子与波的相互作用都对波的阻尼率或增长率有贡献。色散关系与平衡态分布函数有关，分布函数不同7.5等离子体的色散函数在等离子体物理中经常拥到一类路径积分函数，称之为等离子态色散函数，对于上面我们给出静电波的色散关系:通常最常用的分布函数是麦克斯韦分布,即热力学平衡分布：热平均速度：7.5等离子体的色散函数在等离子体物理中经常拥到一类路径积热力学平衡分布：代入极化率公式为了简化公式，我们假设沿着波矢方向的速度为u，利用麦克斯韦分布的归一化，把垂直于波矢方向的速度进行积分，可以把垂直于波矢方向的速度积分去掉，剩下的就是平行于波矢方向的积分：热力学平衡分布：代入极化率公式为了简化公式，我们假设沿着波矢分布积分一次后有：德拜长度：为了以更简单的方式表达色散函数，假设定义等离子体色散函数：极化率可以写成：分布积分一次后有：德拜长度：为了以更简单的方式表达色散函数，极化率：等离子体色散函数：在等离子体动力学理论中是常用形式，对于磁化或者非磁化等离子体都可以，只是在函数中的的具体形式有点区别。我们注意到这个积分也是个路径积分，可以用朗道积分方式处理，显然这是一个复变函数，其中实部就是克西主值，即弗拉索夫积分路径下的数值。极化率：等离子体色散函数：在等离子体动力学理论中是常用形式，等离子体色散函数：显然这个函数的虚部应该和的虚部有关，通常对于弱耗散的等离子体，的虚部远远小于实部，则奇点非常靠近实轴。可以用如图的积分路径。因此：可见其虚部的形式非常简单，实部很难给出解析表达式，但是可以查表。通常对于三是不作一些近似处理而得到近似表达式。等离子体色散函数：显然这个函数的虚部应该和的虚部有关最常用的是在极端条件下获得的近似表达式：1、冷等离子体，温度很低，热运动速度远小于相速度，或这样，绝大部分粒子速度都远小于相速度，或者说等离子体色散函数的积分中可以展开色散函数实部分母然后积分得：最常用的是在极端条件下获得的近似表达式：1、冷等离子体，温度2、极端热等离子体，热运动速度远大于相速度，或这样，绝大部分粒子速度都远大于相速度，或者说等离子体色散函数的积分中可以展开色散函数实部分母然后积分有：2、极端热等离子体，热运动速度远大于相速度，或这样，绝大部分7.6离子声波及朗道阻尼略！7.6离子声波及朗道阻尼略！ThanksThanks等离子体物理动理学理论介绍等离子体物理动理学理论介绍等离子体描述方法对于极其稀薄的等离子体，粒子间的碰撞和集体效应可以忽略，可采用单粒子轨道理论研究等离子体在磁场中的运动。对于密度比较大的等离子体，粒子间的碰撞起主要作用，通常把这种等离子体看成一种导电流体来处理。有两种方法是常用的：一是连续介质力学方法即磁流体力学，把等离子体当作连续介质来研究它在磁场中的运动;二是统计力学方法，即所谓等离子体动理论，它从微观出发，用统计方法研究等离子体在磁场中的宏观运动.动理学理论介绍等离子体描述方法对于极其稀薄的等离子体，粒子间的碰撞和集体效双磁流体力学方程组方程组中的任何一个物理量都可能发生波动，即偏离平衡位置（E,B,u,J,p,………）。等离子体中的波等离子体平衡与稳定性等离子体中碰撞与输运双磁流体力学方程组方程组中的任何一个物理量都可能发生波动，即我们在以上讨论磁流体力学、等离子体波、等离子体稳定性以及等离子体输运现象时，都隐含一个假设：即假设所有同种带电粒子（电子或者粒子）具有同样的宏观速度，也就是说我们没有区分粒子的运动速度。这种假设很有效，能描述我们所观察到的众多现象，但是，很显然这样的假设与实际相差比较远。7.1引言_弗拉索夫方程因为，实际的等离子体中，由于无规则的热运动，除非在绝对零度，多粒子体系中的粒子速度将会分布在其宏观速度附近的一个范围内。平均热运动速度我们在以上讨论磁流体力学、等离子体波、等离子体稳定性以及等离对于没有外场的热力学平衡体系，这种速度的分布就是麦克斯韦分布

这个时候粒子速度可以用平均热运动速度来描述：对于等离子体，如果等离子体波的相速远远超过粒子的热运动速度，以前的等离子体理论可以很好的描述其行为。即可以不用考虑等离子体中粒子速度分布。对于没有外场的热力学平衡体系，这种速度的分布就是麦克斯韦分布则有相当数量的粒子具有和相速度相近的运动速度，等离子体的许多行为将发生非常大的变化，因此这个时候必须考虑等离子体中各粒子速度分布的作用。但是，如果等离子体波的相速可以和粒子的热运动速度相比拟时最典型的例子就是等离子体中的共振和非共振现象，当一部分粒子具有和等离子体波相同的运动方向和相近的速度时，相对于等离子体波，粒子时静止的，有可能从等离子体波中吸收能量——共振，这样使等离子体波衰减——朗道阻尼。必须知道粒子速度分布函数则有相当数量的粒子具有和相速度相近的运动速度，等离子体的许多7.1.1粒子分布函数流体近似能够精确地描述大多数观察到的现象，但是存在着某些现象并不适用于流体理论。对于这些现象，必须对每个属种考虑其速度分布函数f()，这种处理称为动理学理论(kinetictheory)。在流体理论中，应变量是四个独立变量x,y,z和t的函数，这是假定了每个属种的速度分布到处都是麦克斯韦分布。所以只用一个数(温度T)就能完全确定分布。相空间及相空间粒子速度分布函数共振现象碰撞使系统达到热平衡7.1.1粒子分布函数流体近似能够精确地描述大多数观察到在高温等离子体中碰撞是稀少的，且热平衡的偏离能保持较长时间。例如，一维系统中的两个速度分布f1(x)和f2(

x)，如图。这两个分布具有完全不同的性状，但只要其面积相同，流体理论就不能区分两者。流体理论关注：一个温度T在高温等离子体中碰撞是稀少的，且热平衡的偏离能保持较长时间。密度是四个标量变量的函数：n=n(r,t)，考虑速度分布时，就有7个独立变量f=f(r,,t)。它的意义是，在时间t位置r，速度分量在

x和x+dx、y和y+dy

、z和z+dz之间每cm3的粒子数为：在速度空间积分就可以获得粒子密度：密度是四个标量变量的函数：n=n(r,t)，考虑速度分布为了定量的表示分布函数，引进结构空间和速度空间。把结构空间体积元表示成

。速度空间体积元为

。要完全确定粒子的运动状态，需要同时给出粒子在结构空间和速度空间的位置，所以经常采用六维相空间的概念。每个粒子的运动状态以这个空间的一个代表点表示。所谓分布函数就是这个空间中代表点的密度。六维相空间的体积元为六维相空间的体积元中代表点数或粒子数目为为了定量的表示分布函数，引进结构空间和速度空间。把结构空间体所代表的就是t时刻相空间点的粒子密度：按速度积分，就给出结构空间体积元中的粒子数其中：显然是结构空间的粒子密度。如果把相空间分布函数写成：称为粒子速度分布函数所代表的就是t时刻相空间点的粒子密度：按速度积分具有归一化性质，所以该函数含有概率的意义在内，表示在相空间的概率。速度分布函数决定速度处于＋d(在r点时刻t)的粒子的相对数目，或几率。具有归一化性质，所以该函数含有概率的意义在内，表示在相空间的通常能给出速率分布函数对于我们处理问题非常方便。利用速度空间的球坐标系，并完成对所有的角度积分则在

各向同性的情况下，即当它只依赖于速度值而不依赖于角度、时方位角极角粒子速率分布函数速率分布通常能给出速率分布函数对于我们处理问题非常方便。利用速度空间用对应的能量区间替换速度区间就可以得到动能分布函数，即：有所以：已知等离子体粒子的密度和速度分布函数可以获得表征等离子体性质的宏观量的完整知识。用对应的能量区间替换速度区间就可以得到动能分布函数，即：有通常最常用的速度分布函数是麦克斯韦分布,即热力学平衡分布：其中：热速度很显然这个分布函数满足归一化条件，因为：麦克斯韦分布通常最常用的速度分布函数是麦克斯韦分布,即热力学平衡分布：麦克斯韦分布可以计算出：1、平均速度：归一化麦克斯韦分布可以计算出：1、平均速度：归一化2、方均根速率（root－mean－squarespeed）3、平均速率4、沿着某一方向的平均速率2、方均根速率（root－mean－squarespeed5、平均碰壁数射向固体壁面的电子流密度，即单位时间通过单位面积的粒子数。先计算电子流（y方向）：式fe()为电子的麦克斯韦速度分布函数，积分限υy0是这样确定的：并非所有飞向固体壁的电子都能达到固体壁表面，只有能量大到足以克服固体壁负电位所产生的位势的电子，才能到达固体壁，因此到达固体壁的最小动能为：5、平均碰壁数射向固体壁面的电子流密度，即单位时间通过单位面射向固体壁面的电子流密度，即单位时间通过单位面积的粒子数。射向固体壁面的电子流密度，即单位时间通过单位面积的粒子数。6、速率分布函数由于麦克斯韦速度分布是各向同性的，即与方向无关，所以定义一个速率分布函数更加方便。定义速率分布函数g():把方向积分掉6、速率分布函数由于麦克斯韦速度分布是各向同性的，即与方向无麦克斯韦速度分布麦克斯韦速率分布麦克斯韦速度分布麦克斯韦速率分布问题：多维相空间中代表点的密度是什么样子？多维相空间无法用图形描述，但是我们可以用低维相空间一维速度空间二维相空间问题：多维相空间中代表点的密度是什么样子？多维相空间无法用图二维相空间如何随时间变化呢？分布函数二维相空间如何随时间变化呢？分布函数7.1.2弗拉索夫方程在理想等离子体中，粒子间的相互作用比粒子本身的动能小很多，因此用上一节给出的单粒子的分布函数(麦克斯韦)可以很好地描述体系地性质。值得注意的是前面给出的是热平衡时候粒子的分布函数，但当外界环境条件变化，如外场、温度不均匀时，粒子将偏离热平衡，这个时候我们需要知道粒子分布函数随时间和位置的变化。玻尔兹曼方程波耳滋曼方程统计物理7.1.2弗拉索夫方程在理想等离子体中，粒子间的相互作用比如何随时间变化呢？分布函数考察如图所示的一个区域，影响这个区域内粒子数的机制有两种：外场（电磁场、压力）中的漂移和区域内粒子之间的碰撞。利用粒子守恒条件，分布函数的变化率由两部分组成：代表外场引起的分布函数的变化代表碰撞引起的分布函数的变化如果系统是稳态的，即分布函数不随时间变化：如何随时间变化呢？分布函数考察如图所示的一个区域，影响这个区考虑漂移项考虑t时刻,在(r,)附近的电子是t-dt时刻漂移来损失部分在相空间考虑漂移项考虑t时刻,在(r,)附近的电子是t-dt时刻所以：t时刻,在（r,）附近的电子分布函数的变化分子上减一项：所以：t时刻,在（r,）附近的电子分布函数的变化分子上减一波耳滋曼方程与位置有关的量：温度梯度引起的与速度空间有关的量：外场引起的当地导数坐标空间随流导数速度空间随流导数波耳滋曼方程与位置有关的量：温度梯度引起的与速度空间有关的量实际上，我们从全微分的观念出发也可以获得玻尔滋曼方程。由于在分布函数中的位置和速度都是时间的函数，因此分布函数应该写成:波耳滋曼方程分布函数的全微分：显然：实际上，我们从全微分的观念出发也可以获得玻尔滋曼方程。由于在波耳滋曼方程式中，F代表作用在粒子上的力，(əf/ət)c是碰撞引起的f随时间的变化率，▽代表空间梯度，▽代表速度空间的梯度。əf/ət能解释为随粒子运动的坐标系中所观察到的变化率，是相空间中的运流微商。波耳滋曼方程则简单地说明：除了有碰撞以外，df/dt是零,即相空间粒子数守恒。或者说，在与粒子一起运动的坐标系上看，周围的粒子数密度是不变的，当有碰撞存在的时候，则有些粒子被碰出去，有些粒子被碰进来，粒子数不守恒，粒子数目的变化也就等于碰撞引起的变化。？波耳滋曼方程式中，F代表作用在粒子上的力，(əf/ət)c玻尔兹曼方程最复杂的是碰撞项的处理，不同的情况需要不同的处理方法。相空间粒子数守恒的物理图像取一无限小体积元t时刻处于A,t+t时刻到达B由于无限小体积元内的粒子运动速度和受力完全一样,所以到达B后,体积元的大小和内部的粒子数都没有变化,也就是说粒子数密度没有变,所以没有碰撞的时候:玻尔兹曼方程最复杂的是碰撞项的处理，不同的情况需要不同的处理考虑刚性球碰撞时，波耳兹曼方程可导得波耳兹曼积分微分方程:波耳滋曼方程几种常见的情况：考虑刚性球碰撞时，波耳兹曼方程可导得波耳兹曼积分微分方程:波存在库仑碰撞时，波耳滋曼方程可由福克－普朗克方程(Fokker-Planck)来近似这里是在一次碰撞中的速度变化，这是一个相当复杂表达式的简便写法。存在库仑碰撞时，波耳滋曼方程可由福克－普朗克方程(Fokke如存在中性原子的碰撞，波耳滋曼方程的碰撞项能用克洛克碰撞项这里fn是中性原子的分布函数，τ为碰撞时间函数。克洛克模型（Krook）该方程可研究等离子体中各输运过程如存在中性原子的碰撞，波耳滋曼方程的碰撞项能用克洛克碰撞项这在足够热的等离子体中，碰撞可以忽略，当F完全是电磁力时，波耳滋曼方程应当取下面的特殊形式这称为弗拉索夫(Vlasov)方程，它形式简单，是动理学理论中研究最普遍的方程。对于高温等离子体，碰撞不频繁，所以可以使用弗拉索夫方程在足够热的等离子体中，碰撞可以忽略，当F完全是电磁力时，波耳波耳滋曼方程没有碰撞时:在相空间中粒子将沿着等f线运动,因此利用等f线很容易知道粒子所走的轨迹.比如:一维粒子束,平衡态粒子束具有相同的速度:分布函数为:波耳滋曼方程没有碰撞时:在相空间中粒子将沿着等f线运动,因一维粒子束,粒子束分布在平衡态附近有扰动,不具有相同的速度,自由粒子捕获粒子相速度:自由粒子如果如果可能变成捕获粒子扰动电场的加速和减速假设等离子体波存在一维粒子束,粒子束分布在平衡态附近有扰动,不具有相同的速度随着波相速度一起运动的坐标系自由粒子捕获粒子自由粒子随着波相速度一起运动的坐标系自由粒子捕获粒子自由粒子粒子分布函数小结六维相空间中代表点的密度or六维相空间的体积元中粒子数目为在速度空间积分就可以获得粒子密度：如果把相空间分布函数写成：称为粒子速度分布函数该函数含有概率的意义在内，表示在相空间的概率。粒子分布函数小结六维相空间中代表点的密度or六维相空间的体积速率分布函数粒子分布函数小结各向同性的情况下动能分布函数已知等离子体粒子的密度和速度分布函数可以获得表征等离子体性质的宏观量的完整知识。速率分布函数粒子分布函数小结各向同性的情况下动能分布函数已知波耳滋曼方程在足够热的等离子体中，碰撞可以忽略，当F完全是电磁力时，波耳滋曼方程应当取下面的特殊形式这称为弗拉索夫(Vlasov)方程，它形式简单，是动力学理论中研究最普遍的方程。波耳滋曼方程在足够热的等离子体中，碰撞可以忽略，当F完全是电7.2电子等离子体波及朗道阻尼弗拉索夫(Vlasov)方程研究朗谬静电波7.2电子等离子体波及朗道阻尼弗拉索夫(Vlasov)方程泊松方程连续方程运动方程给一个小扰动!回顾：磁流体力学方法处理电子等离子体波朗缪尔波的色散关系能传播泊松方程连续方程运动方程给一个小扰动!回顾：磁流体力学方法处主要是利用弗拉索夫方程研究无碰撞等离子体中的朗缪尔波，并将讨论朗道阻尼现象。以弗拉索夫(Vlasov)方程为实例的一组动力学方程7.2.1电子等离子体波的动力学描述主要是利用弗拉索夫方程研究无碰撞等离子体中的朗缪尔波，并将讨假设平衡态为均匀等离子体，分布函数为f0()。由于我们讨论的是电子波，所以是静电波，没有磁场扰动设弗拉索夫方程令扰动化无碰撞等离子体中的朗缪尔波色散关系假设平衡态为均匀等离子体，分布函数为f0()。由于我们讨论扰动化后，电子的一阶符拉索夫方程：假定波是x在方向泊松方程：扰动化后，电子的一阶符拉索夫方程：假定波是x在方向泊松方程：只考虑电子波只考虑电子波电子等离子体振荡的色散关系电子等离子体振荡的色散关系令：表示归一化分布函数令：表示归一化分布函数色散关系为：为了书写方便（一维，u就是波矢方向）：动理学描述下的等离子体波的色散关系这里的积分不能直接计算，因为u=ω/k处有奇点。朗道发现：奇点的存在对等离子体波的色散关系引入了一个重要的修正，这是流体理论所不能预言的。色散关系为：为了书写方便（一维，u就是波矢方向）：动理学描述通常，将静电波的色散关系写成等离子体介电函数电子离子的极化率所以：动理学描述下的等离子体波的色散关系通常，将静电波的色散关系写成等离子体介电函数电子离子的极化分布积分后有：注意函数中有一个奇点关键是如何处理奇点的问题表示归一化分布函数弗拉索夫朗道分布积分后有：注意函数中有一个奇点关键是如何处理奇点的问题表7.2.2弗拉索夫方法弗拉索夫采用无限接近但去除奇点来积分上面的色散关系，即：近似：对于电子等离子体波，波的相速度远远大于电子的热运动：其中:近似数值解7.2.2弗拉索夫方法弗拉索夫采用无限接近但去除奇点来积分对于平衡态是麦克斯韦分布的粒子，绝大多数电子的速度远小于波的速度，只有极少部分超过波的速度,所以：可以展开对于平衡态是麦克斯韦分布的粒子，绝大多数电子的速度远小于波的忽略高阶小量后有：利用：为奇函数为偶函数麦克斯韦分布是偶函数忽略高阶小量后有：利用：为奇函数为偶函数麦克斯韦分布是偶函数其中的代表沿着波传播方向速度平方的平均值，已经知道对于麦克斯韦分布：电子极化率为:省略了kB电子极化率为:利用：其中的代表沿着波传播方向速度平方的平均值，已经利用电子静电波的色散关系一般热色散修正很小：电子极化率为:热速度问题：奇点的出现似乎没有什么新内容与流体力学描述的电子等离子体波色散关系一样.利用电子静电波的色散关系一般热色散修正很小：电子极化率为:热7.2.3朗道阻尼

仍然围绕着积分：弗拉索夫通过无限逼近的方法绕开了奇点的积分问题，得到的是积分的主值。从数学上这样的处理没有什么问题，但是在物理上，我们必须考虑这样的处理方法可能导致的包含在积分中物理意义的缺失。比如：奇点具有什么样的物理意义？不能绕开这个问题。7.2.3朗道阻尼仍然围绕着积分：弗拉索夫通过无限逼近的朗道利用拉普拉斯变换方法来线性化弗拉索夫方程，用路径积分代替简单的积分方式，这样的方法既避开了奇点又包含奇点的贡献，获得了一个新的物理现象。朗道认为弗拉索夫在处理奇点问题上是错误的！拉普拉斯变换：是为了简化计算而建立起来的实变函数和复变函数间的一种函数变换.对一个实变函数作拉普拉斯变换,并在复数域中作各种运算,再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域的相应结果,这样可以使计算过程大大简化.朗道利用拉普拉斯变换方法来线性化弗拉索夫方程，用路径积分代替朗道证明：当对初值问题适当处理后，速度空间的积分等价于复数空间的路径积分。在速度空间，奇点变成为：朗道所用的方法是空间用傅立叶变换，时间是利用拉普拉斯变换（初值问题），把波矢看成实数，而把频率看成虚数：朗道的方法:拉普拉斯反变换是复数空间的路径积分朗道证明：当对初值问题适当处理后，速度空间的积分等价于复数空朗道的路径积分：(a)：如果非常小，奇点就非常接近实轴，则积分路径如图(a)所示。(b):如果有限且大于零，奇点在实轴上方，积分路径如图(b)所示。(c):如果有限且小于零，奇点在实轴下方，积分路径如图(c)所示。朗道的路径积分：(a)：如果非常小，奇点就非常接近实轴，则现在来处理积分：注意：由于波的相速度远远大于电子的热运动速度，所以非常小（弱阻尼），这样奇点就在实轴附近，如图.奇点需要用到留数定理实数求函数在复数空间的路径积分现在来处理积分：注意：由于波的相速度远远大于电子的热运动速度留数及留数定理记作内包含的任意一条简单闭曲线

C的积分的值除后所得的数称为以的一个孤立奇点,则沿如果留数.点的一条正向简单闭曲线,那末外处处解析,C是D内包围诸奇立奇点在区域

D内除有限个孤函数留数定理...留数及留数定理记作内包含的任意一条简单闭曲线C的积分的值如果为的奇点,那末规则:留数的计算方法奇点留数如果为的奇点,那末规则:留数的计算分两部分：如何计算?积分主值分两部分：如何计算?积分主值注意：积分本来是不闭合的！注意：积分本来是不闭合的！柯西积分定理闭路变形原理:解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值假设C及C1为任意两条简单闭曲线,C1在C内部,设函数f(z)在C及C1所围的二连域D内解析,在边界上连续，则柯西积分定理闭路变形原理:解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线实部：弗拉索夫结果虚部：朗道路径积分的结果，代表被积函数奇点的贡献色散关系为：实部：弗拉索夫结果虚部：朗道路径积分的结果，代表被积函数奇点把介电函数写成：由于是个小量，泰勒展开把介电函数中第一项作为小量展开：把介电函数中第二项作为小量展开(忽略导数项)把介电函数写成：由于是个小量，泰勒展开把介电函数中第一项作实部和虚部==零。实部虚部可以获得与弗拉索夫方法相同的色散关系：弗拉索夫结果利用实部等于零与流体力学描述的电子等离子体波色散关系一样.实部和虚部==零。实部虚部可以获得与弗拉索夫方法相同的色散关利用虚部等于零一般电子等离子体波的热色散修正很小：所以在使用上式求时候，认为由弗拉索夫方法知道利用虚部等于零一般电子等离子体波的热色散修正很小：所以在使用等离子体物理：chap8动理学理论介绍课件注意：所以波是阻尼的对于热平衡分布，在所以无碰撞的朗道阻尼注意：所以波是阻尼的对于热平衡分布，在所以无碰撞的朗道阻尼存在等离子体波无碰撞阻尼，称为朗道阻尼。是考虑到奇点的贡献，它的存在对等离子体波的色散关系引入了一个重要的修正，这是流体理论所不能预言的。麦克斯韦速度分布存在等离子体波无碰撞阻尼，称为朗道阻尼。是考虑到奇点的贡献，讨论：1.长波情况下很小朗道阻尼可以忽略2.短波情况下很大朗道阻尼很大这就是为什么在实验上只能观察到长波的等离子体波而短波的等离子体波不容易观察到的原因.讨论：1.长波情况下很小朗道阻尼可以忽略2.短波情况下很大朗无碰撞的朗道阻尼无碰撞的朗道阻尼7.3朗道阻尼的物理意义7.3.1朗道阻尼的物理图象朗道阻尼现象可以说是物理学研究领域特别是等离子体力领域的一个非常重要的现象，这个现象在1965年被实验证实。波阻尼而又没有由碰撞引起的能量消耗的理论发现是令人震惊的，但这在实验中已经得到了证明。朗道阻尼是无碰撞等离子体的一种特征，但是在其它领域他可能也有应用。我们应该注意到，朗道阻尼发生在粒子的运动速度等于波的相速度这个奇点上，即与分布函数在u=附近的粒子有关。7.3朗道阻尼的物理意义7.3.1朗道阻尼的物理图象朗道

朗道阻尼是由与极点u=φ相联系的，那些在分布中速度接近于波速的粒子引起的，这些粒子被称为“共振粒子”。它们能与波一起传播，并且感觉不到迅速波动的电场，因此能够有效地与波交换能量。唯像的图像朗道阻尼是由与极点u=φ相联系的，那些在分布中速度接冲浪运动1、如果冲浪板原来静止或者远大于波相速度运动，当波通过冲浪板时，冲浪板只能感知到波的振荡，不会改变其运动状态，没有能量交换。2、如果冲浪板以和波相速度相近的速度前进，则在随着波一起运动的坐标系中看到冲浪板开始是静止的，但是以后的运动将取决于冲浪板与波的相对位置：A：如果最初是在A面，则将被波所推动，速度变大，冲浪板从波中获得能量；B：如果最初是在B面，则将被波所阻碍，速度变小，冲浪板传递给波能量；冲浪运动1、如果冲浪板原来静止或者远大于波相速度运动，当波通冲浪运动对于初始速度的粒子，在波的坐标系中最初是向后运动，但是它爬不过波峰，处于A的位置，被波加速。对于初始速度的粒子，在波的坐标系中最初是向前运动，但是它爬不过波峰，处于B的位置，被波减速。在麦克斯韦分布中，慢电子要比快点子多（如图所示），所以从波获得能量的粒子多于给予能量的粒子，因此波受到阻尼。冲浪运动对于初始速度的粒子，在波的由于共振粒子的速度和波的相速度相近，所以它们和等离子体波一起运动，形象地称这些粒子为捕获粒子。这些粒子的特点是被波的势场所捕获，不能逃离出波峰，只能在两个波峰之间振荡。冲浪运动这些捕获粒子能够长时间与波相互作用，其结果是原来速度小的粒子得到能量后变成速度大的粒子这样就会影响到粒子的分布函数。由于共振粒子的速度和波的相速度相近，所以它们和等离子体波一起

随着u≈φ的粒子在波中俘获，在接近相速度处f(u)会变平出现一个平台。如下图，扰动了的分布函数包含的粒子数相同，但已经得到了能量。在u=φ区域，朗道阻尼引起麦克斯韦分布变形ufm

(u)ufm

(u)这个变形的部分就是扰动分布函数。注意：变形前后的粒子数没有改变。但是粒子的总动能变大了，增加的能量是从波中获得的。随着u≈φ的粒子在波中俘获，在接近相速度处f如果f0(u)包含的快粒子比慢粒子多，波就会被激起。φ处于斜率为正的区域波浪将是不稳定的，它消耗粒子能量而得到能量。f0(v)vvφ以上利用冲浪运动形象的说明了朗道阻尼，但是是唯像的，没有给出朗道阻尼的真正原因。所以如果f0(u)包含的快粒子比慢粒子多，波就会被激起。φ处上面所描述的是非线性阻尼，是在振幅有限的情况下发生的，振幅越大，被捕获的粒子数越多。对于这种非线性阻尼，波的振幅不是单调衰减的，是周期性的。因为粒子与波的能量交换是具有周期性的。线性阻尼非线性阻尼朗道阻尼分为：它们均是无碰撞阻尼冲浪运动上面所描述的是非线性阻尼，是在振幅有限的情况下发生的，振幅越对于振幅非常小的线性波而言，又是什么机制导致波振幅的衰减呢？非共振粒子在整个过程中又有什么作用呢？冲浪运动对于振幅非常小的线性波而言，又是什么机制导致波振幅的衰减呢？7.3.2非捕获粒子的动能为了说明非共振粒子与波的能量交换，我们把分布函数分成许多单能粒子束，如图，每一各小间隔粒子能量相近，可以看成一粒子束。考虑其中一束，假定没有扰动时粒子束的速度为u，密度为nu，考虑这一粒子束在波的扰动电场E(x,t)中运动。7.3.2非捕获粒子的动能为了说明非共振粒子与波的能量交换扰动电场E(x,t)等离子体的流动及电荷之间的相互作用会产生电磁场，等离子体又会受电磁场的影响，此流动的电荷与磁场相互作用，产生洛伦兹力，从而改变流体的运动，同时此电流又导致电磁场的改变。扰动电场是所有束中运动的集体贡献，是自恰的，如果在所考虑的束中粒子的密度很小，可以认为扰动电场是恒定的不受该束的影响。假设扰动场：电场、电势、速度、密度如何变化？扰动电场E(x,t)等离子体的流动及电荷之间的相互作用会产生所以有：束