六上海交通大学数学系课件

数学实验行星的轨道和位置数学实验行星的轨道

他以几乎神一般的思维力,最先说明了行星的运动和图像,慧星的轨道和大海的潮汐.─Newton墓志铭他以几乎神一般的思维力,最先说明了行星的运动和图像,背景介绍

哥白尼(波兰，1473-1543)日心说地球－我们的家园金星－看起来最亮的行星46亿岁

,赤道半径6378.14公里，比极半径长21公里

半径约为6073公里,表面温度高达465至485度,自转方向与其它行星相反

16世纪前，人们认为太阳只有6大行星托勒密（古希腊）地心说

背景介绍哥白尼(波兰，1473-1543)土星－最美丽的行星木星－行星中的巨无霸火星－离地球最近、人们最关注的行星：半径为2440公里

,较小，难以观察

水星－距太阳最近的行星火星上有无生命？卫星数目最多,23颗.光环由无数块冰状物组成的

赤道半径约为71400公里，是地球的11.2倍土星－最美丽的行星木星－行星中的巨无霸火星－离地球最近、人们开普勒(1571－1630)(观察分析数据)3.行星运行周期的平方与其运行轨道椭圆长轴行星运行三大规律1.行星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆;2.从太阳指向某一行星的线段在单位时间内的立方之比值是不随行星而改变的常数.扫过的面积相同;在第谷·布拉赫(1546-1601)的基础上提出开普勒(1571－1630)(观察分析数据)

万有引力定律

冥王星－离太阳最远、未知数最多的行星天王星－乐师(Herschel)发现的行星

(1781)海王星－笔尖上的行星(Adams1845,Leverrier1846)“自然哲学的数学原理”(1687牛顿)2006年8月24日国际天文学联合大会决定：冥王星降级为“矮行星”(大行星的定义)

太阳只有八大行星！万有引力定律冥王星－离太阳最六上海交通大学数学系课件实际问题度为2.929×104m/s,试求:1)地球距太阳的最近距离地球距太阳最远处(远日点)距离为1.521×1011m,此时地球绕太阳运动(公转)的速2)地球绕太阳运转的周期3)在从远日点开始的第100天结束时,地球的位置与速度实际问题度为2.929×104m/s,试求:1)地球行星运动轨迹位于一个平面上

把太阳置于坐标系的原点，记行星的位置向量为于是，因为由牛顿第二运动定律及万有引力定律得所以即，故行星位于一个过原点且垂直于的平面上.，那么行星的速度为，加速度为.行星运动轨迹位于一个平面上把太阳置于坐标系的原点，记行数学模型

在运动学中常采用复坐标系(点用复数表示)

速度为加速度设太阳中心所在位置为复平面之原点,在时刻t,行星位于以下复数代表的点数学模型在运动学中常采用复坐标系(点用复数表示)

根据Newton

第二定律比较虚实部导出微分方程组根据Newton第二定律比较虚实部导出

方程初始条件导出行星运行第二定律（后两个如何得到？）右边正是面积方程初始条件导出行星运行第二定律（后两个如右边正轨道方程请尝试推导出行星的轨道方程？(p,e是常数,根据相关已知数据导出)改写前面积分表达式成为给出时间T1，要求位置即求出θ1与r，较难！轨道方程请尝试推导出行星的轨道方程？(p,e是常数,根据求解思路求解思路functionm5_1(h)ep=0.01672;C1=4.455e15;p=1.496e11;T1=100*24*3600;f=C1*T1/p^2;theta(1)=0;F(1)=0;fori=2:1e6theta(i)=theta(i-1)+h;F(i)=F(i-1)+h*((1-ep*cos(theta(i-1)))^-2+(1-ep*cos(theta(i)))^-2)/2;ifF(i)>fbreak;endendn=i-2t=n*hr=p/(1-ep*cos(t))dtheta=C1/r^2v=r*dthetaMatlab程序functionm5_1(h)Matlab程序取不同步长实验结果hnrv0.05331.65001.49402.98190.011681.68001.49442.98340.0053371.68501.49322.98360.00116861.68601.49312.9837表1其中h,n,,r,v单位分别为s,次，弧度，m,m/s取不同步长实验结果hnrv0.05331.65001.494代入再设代入上式得数值方法将高阶微分方程降阶为一阶方程组再离散化代入再设代入上式得数值方法将高阶微分方程降阶为一阶方程组再离Euler迭代格式计算到第n

步得到周期由时间T1易得到θ，rEuler迭代格式计算到第n步得到周期由时间T1易得到θ

将计算所得的数据，利用Matlab作图可得轨道图形将计算所得的数据，利用Matlab作图可得轨道改进Euler

迭代格式对上面方程组用改进Euler迭代格式其中任务：写出这方程组的改进Euler迭代格式并用Matlab

实现改进Euler迭代格式对上面方程组用改进Euler迭代

艾萨克•牛顿SirIsaacNewton

(英格兰1643－1727年)物理学家数学家天文学家哲学家

炼金术士造币厂总监

科学史上最有影响力的人

较之科学他更多致力于《圣经》的研究

专心于科学研究到痴情艾萨克•牛顿SirIsaacNewton(WhatDescartesdidwasagoodstepyouhaveaddedmuchseveralways&especiallyintakingthecolorsofthethinplatesintophilosophicalconsideration.IfIhaveseenfurtheritisbystandingontheshouldersofGiants.

牛顿的一句名言

性格内向独身一生WhatDescartesdidwasag

在确定行星轨道为椭圆以后可取t=T/4

（需要取比较小的步长h）近日点的确定处r

的值为近日点，也可以求

r

的最小值作为近日点距离

相应点的速度怎么求？在确定行星轨道为椭圆以后可取t=T/4（需要取

可以求得地球的近日点距太阳rmin

=1.471×1011m而在第100天结束时的位置，则只要求这个时间tk所对应的

rk

就可以了，此时r=1.493×1011m可以求得地球的近日点距太阳rmin=1.471×1微分方程的Runge-kutta

方法以一元为例设步长为h,则（Taylor

展开）其中可以求出各阶导数微分方程的Runge-kutta方法以一元为例设步长为h计算高阶导数代之以f

在一些点的值的组合当Taylor展开到四阶项，可取其中Runge-Kutte迭代格式在Matlab可以直接调用计算高阶导数代之以f在一些点的值的组合当Taylor使用Matlabfunctiondy=m5_2_fun(t,y)C1=4.455e15;MG=1.989e30*6.672e-11;dy=zeros(3,1);dy(1)=C1^2/y(2)^3-MG/y(2)^2;dy(2)=y(1);dy(3)=C1/y(2)^2;先定义一阶微分方程组函数组使用Matlabfunctiondy=m5_2_fun(t再调用Runge-kutte方法专用程序：functionT=m5_2(h)[t,y]=ode45(@m5_2_fun,[0:h:400*24*36

00],[0,1.521e11,0]);n=max(find(y(:,3)<2*pi));%查找小于

2pi所对应的最大n值T=t(n);r=y(round(n/2),2);polar(y(:,3),y(:,2))再调用Runge-kutte方法专用程序：function取不同步长实验结果hTTr0.013.1500364.581.47100.0053.1550365.161.47100.00053.1555365.221.47100.00013.1559365.231.4710表2两个小软件展示取不同步长实验结果hTTr0.013.1500364.581实验任务

任务2.水星距太阳最远处距离为0.6982×1011m,

此时水星绕太阳运行的线速度为3.886×104

m/s,画出水星绕太阳运行的轨道曲线,试求:

1)水星绕太阳运行的周期2)水星到太阳的最近距离

3)求从远日点开始的第50天(地球天)

结束时水星的位置实验任务任务2.水星距太阳最远处距离为0.6982×101任务4.冥王星在1989年10月处于近日点距太阳44.4×1011m,此时其线速度为0.6122×104m/s,试求:1)它在什么时间到达远日点，此时它的

2)远日点到太阳的距离；3)其椭圆轨道的偏心率并作图线速度为多少?

完成此任务或任务2的不同方法应作比较任务4.冥王星在1989年10月处于近日点距太阳44.4先仔细阅读教材中解析方法推导开普勒第一有引力定律，试完成这个推导。

任务3.

利用开普勒三定律，也可以推导出万和第三定律，然后完成如下的：先仔细阅读教材中解析方法推导开普勒第一有引力定律，试完成这个谢谢各位！谢谢各位！数学实验行星的轨道和位置数学实验行星的轨道

他以几乎神一般的思维力,最先说明了行星的运动和图像,慧星的轨道和大海的潮汐.─Newton墓志铭他以几乎神一般的思维力,最先说明了行星的运动和图像,背景介绍

哥白尼(波兰，1473-1543)日心说地球－我们的家园金星－看起来最亮的行星46亿岁

,赤道半径6378.14公里，比极半径长21公里

半径约为6073公里,表面温度高达465至485度,自转方向与其它行星相反

16世纪前，人们认为太阳只有6大行星托勒密（古希腊）地心说

背景介绍哥白尼(波兰，1473-1543)土星－最美丽的行星木星－行星中的巨无霸火星－离地球最近、人们最关注的行星：半径为2440公里

,较小，难以观察

水星－距太阳最近的行星火星上有无生命？卫星数目最多,23颗.光环由无数块冰状物组成的

赤道半径约为71400公里，是地球的11.2倍土星－最美丽的行星木星－行星中的巨无霸火星－离地球最近、人们开普勒(1571－1630)(观察分析数据)3.行星运行周期的平方与其运行轨道椭圆长轴行星运行三大规律1.行星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆;2.从太阳指向某一行星的线段在单位时间内的立方之比值是不随行星而改变的常数.扫过的面积相同;在第谷·布拉赫(1546-1601)的基础上提出开普勒(1571－1630)(观察分析数据)

万有引力定律

冥王星－离太阳最远、未知数最多的行星天王星－乐师(Herschel)发现的行星

(1781)海王星－笔尖上的行星(Adams1845,Leverrier1846)“自然哲学的数学原理”(1687牛顿)2006年8月24日国际天文学联合大会决定：冥王星降级为“矮行星”(大行星的定义)

太阳只有八大行星！万有引力定律冥王星－离太阳最六上海交通大学数学系课件实际问题度为2.929×104m/s,试求:1)地球距太阳的最近距离地球距太阳最远处(远日点)距离为1.521×1011m,此时地球绕太阳运动(公转)的速2)地球绕太阳运转的周期3)在从远日点开始的第100天结束时,地球的位置与速度实际问题度为2.929×104m/s,试求:1)地球行星运动轨迹位于一个平面上

把太阳置于坐标系的原点，记行星的位置向量为于是，因为由牛顿第二运动定律及万有引力定律得所以即，故行星位于一个过原点且垂直于的平面上.，那么行星的速度为，加速度为.行星运动轨迹位于一个平面上把太阳置于坐标系的原点，记行数学模型

在运动学中常采用复坐标系(点用复数表示)

速度为加速度设太阳中心所在位置为复平面之原点,在时刻t,行星位于以下复数代表的点数学模型在运动学中常采用复坐标系(点用复数表示)

根据Newton

第二定律比较虚实部导出微分方程组根据Newton第二定律比较虚实部导出

方程初始条件导出行星运行第二定律（后两个如何得到？）右边正是面积方程初始条件导出行星运行第二定律（后两个如右边正轨道方程请尝试推导出行星的轨道方程？(p,e是常数,根据相关已知数据导出)改写前面积分表达式成为给出时间T1，要求位置即求出θ1与r，较难！轨道方程请尝试推导出行星的轨道方程？(p,e是常数,根据求解思路求解思路functionm5_1(h)ep=0.01672;C1=4.455e15;p=1.496e11;T1=100*24*3600;f=C1*T1/p^2;theta(1)=0;F(1)=0;fori=2:1e6theta(i)=theta(i-1)+h;F(i)=F(i-1)+h*((1-ep*cos(theta(i-1)))^-2+(1-ep*cos(theta(i)))^-2)/2;ifF(i)>fbreak;endendn=i-2t=n*hr=p/(1-ep*cos(t))dtheta=C1/r^2v=r*dthetaMatlab程序functionm5_1(h)Matlab程序取不同步长实验结果hnrv0.05331.65001.49402.98190.011681.68001.49442.98340.0053371.68501.49322.98360.00116861.68601.49312.9837表1其中h,n,,r,v单位分别为s,次，弧度，m,m/s取不同步长实验结果hnrv0.05331.65001.494代入再设代入上式得数值方法将高阶微分方程降阶为一阶方程组再离散化代入再设代入上式得数值方法将高阶微分方程降阶为一阶方程组再离Euler迭代格式计算到第n

步得到周期由时间T1易得到θ，rEuler迭代格式计算到第n步得到周期由时间T1易得到θ

将计算所得的数据，利用Matlab作图可得轨道图形将计算所得的数据，利用Matlab作图可得轨道改进Euler

迭代格式对上面方程组用改进Euler迭代格式其中任务：写出这方程组的改进Euler迭代格式并用Matlab

实现改进Euler迭代格式对上面方程组用改进Euler迭代

艾萨克•牛顿SirIsaacNewton

(英格兰1643－1727年)物理学家数学家天文学家哲学家

炼金术士造币厂总监

科学史上最有影响力的人

较之科学他更多致力于《圣经》的研究

专心于科学研究到痴情艾萨克•牛顿SirIsaacNewton(WhatDescartesdidwasagoodstepyouhaveaddedmuchseveralways&especiallyintakingthecolorsofthethinplatesintophilosophicalconsideration.IfIhaveseenfurtheritisbystandingontheshouldersofGiants.

牛顿的一句名言

性格内向独身一生WhatDescartesdidwasag

在确定行星轨道为椭圆以后可取t=T/4

（需要取比较小的步长h）近日点的确定处r

的值为近日点，也可以求

r

的最小值作为近日点距离

相应点的速度怎么求？在确定行星轨道为椭圆以后可取t=T/4（需要取

可以求得地球的近日点距太阳rmin

=1.471×1011m而在第100天结束时的位置，则只要求这个时间tk所对应的

rk

就可以了，此时r=1.493×1011m可以求得地球的近日点距太阳rmin=1.471×1微分方程的Runge-kutta

方法以一元为例设步长为h,则（Taylor

展开）其中可以求出各阶导数微分方程的Runge-kutta方法以一元为例设步长为h计算高阶导数代之以f

在一些点的值的组合当Taylor展开到四阶项，可取其中Runge-Kutte迭代格式在Matlab可以直接调用计算高阶导数代之以f在一些点的值的组合当Taylor使用Matlabfunctiondy=m5_2_fun(t,y)C1=4.455e15;MG=1.989e30*6.672e-11;dy=zeros(3,1);dy(1)=C1^2/y(2)^3-MG/y(2)^2;dy(2)=y(1);dy(3)=C1/y(2)^2;先定义一阶微分方程组函数组使用Matlabfunctiondy=m5_2_fun(t再调用R