2020高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4. 函数的应用（二）学案 第二册

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE22-学必求其心得，业必贵于专精4．6函数的应用（二）4．7数学建模活动:生长规律的描述(略）考点学习目标核心素养指数、对数函数模型在实际问题中的应用会利用已知函数模型解决实际问题数学建模根据实际问题建立函数模型能根据实际问题，建立恰当的函数模型求解问题数学建模问题导学预习教材P42－P44的内容，思考以下问题:1．一次、二次函数的表达形式分别是什么?2．指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？几类常见的函数模型名称解析式条件一次函数模型y＝kx＋bk≠0反比例函数模型y＝eq\f（k，x）＋bk≠0二次函数模型一般式：y＝ax2＋bx＋c顶点式：y＝aeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f（b,2a）))eq\s\up12（2)＋eq\f（4ac－b2,4a)a≠0指数函数模型y＝b·ax＋ca＞0且a≠1，b≠0对数函数模型y＝mlogax＋na＞0且a≠1，m≠0幂函数模型y＝axn＋ma≠0,n≠1判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在一次函数模型中,系数k的取值会影响函数的性质．()(2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性．()答案：(1）√(2）√某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为电动自行车0。3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次,存车费总收入为y元,则y与x的函数关系式为（）A．y＝0.2x(0≤x≤4000）B．y＝0。5x(0≤x≤4000)C．y＝－0。1x＋1200(0≤x≤4000)D．y＝0.1x＋1200（0≤x≤4000)答案：C某工厂2018年生产某产品2万件,计划从2019年开始每年比上一年增产20％，则这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件的起始年份是（参考数据：lg2≈0。3010，lg3≈0。4771)（）A．2022年 B．2023年C．2024年 D．2025年答案:D利用已知函数模型解决问题某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加成本100元，已知总收益满足函数：R(x)＝eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(400x－\f(1，2)x2（0≤x≤400），80000(x〉400））)，其中x为月产量．（1）将利润表示为月产量x的函数；(2）当月产量为何值时，公司所获利润最大?最大利润为多少？【解】（1)设月产量为x台，则总成本G(x)＝20000＋100x，利润f(x）＝R（x）－G(x)＝eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(－\f（1,2)x2＋300x－20000（0≤x≤400），60000－100x（x〉400)）)。（2)由0≤x≤400时，f（x)＝－eq\f（1,2)(x－300)2＋25000.所以当x＝300时,f(x)取得最大值25000元．当x＞400时，f(x）＝60000－100x是减函数，f(x)＜60000－100×400＝20000＜25000。所以当x＝300时,f(x）的最大值为25000元．即每月生产300台仪器时，能获得最大利润，最大利润为25000元．eq\a\vs4\al（)理解所给函数模型中各量的意义，利用已知量求解析式，进而求函数的问题来解释实际问题．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一个单位产品,成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数:R(Q)＝4Q－eq\f(1,200)Q2，则总利润L(Q）的最大值是__________万元，这时产品的生产数量为________单位．解析：总利润＝总收入－成本，L（Q)＝4Q－eq\f（1，200)Q2－(200＋Q)＝－eq\f(1,200）(Q－300）2＋250。所以产品的生产数量为300单位时，总利润L（Q）的最大值是250万元．答案:250300构造函数模型解决问题目前某县有100万人,经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(1）写出y关于x的函数解析式;（2）计算10年后该县的人口总数（精确到0.1万人）；（3）计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万．(精确到1年)【解】(1）当x＝1时，y＝100＋100×1。2％＝100（1＋1。2%);当x＝2时,y＝100(1＋1.2％）＋100(1＋1.2%)×1。2％＝100（1＋1.2％）2；当x＝3时，y＝100（1＋1.2％)2＋100(1＋1。2％）2×1。2%＝100(1＋1.2％)3；…故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2％）x（x∈N*）．(2）当x＝10时，y＝100×(1＋1。2％)10＝100×1。01210≈112。7。故10年后该县约有112。7万人．(3）设x年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1。2%)x＝120，解得x＝log1。012eq\f（120,100)≈16.故大约16年后该县的人口总数将达到120万．eq\a\vs4\al(）建立函数模型应把握的三个关口(1)事理关：通过阅读、理解,明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口．(2）文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系．(3）数理关：在构建数学模型的过程中,对已有的数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学问题．某旅游区提倡低碳生活,在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元,则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元）只取整数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(日净收入＝一日出租自行车的总收入－管理费用)．(1）求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；(2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使日净收入最多？解：(1）当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2。3.因为x∈N＊，所以3≤x≤6，x∈N*，当x＞6时，y＝［50－3(x－6）]x－115。令[50－3（x－6)］x－115＞0，得3x2－68x＋115＜0。又x∈N＊，解得2≤x≤20,所以6＜x≤20，x∈N＊，故y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50x－115，3≤x≤6，x∈N*，，－3x2＋68x－115,6＜x≤20，x∈N＊，）)定义域为{x|3≤x≤20，x∈N*}．（2）对于y＝50x－115（3≤x≤6,x∈N*），显然当x＝6时,ymax＝185，对于y＝－3x2＋68x－115＝－3eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－\f(34,3)））eq\s\up12(2）＋eq\f(811,3）(6＜x≤20，x∈N＊)．当x＝11时,ymax＝270,因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使日净收入最多．拟合函数模型解决问题某经营商经营了A、B两种商品，逐月投资金额与所获纯利润列表如下：投资A种商品金额(万元）123456获纯利润（万元)0.651。391。8521.841.40投资B种商品金额（万元)123456获纯利润（万元）0。250。490.7611.261.51该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品,但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．【解】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中画出A,B两种商品的散点图分别如图①②所示．观察散点图可以看出,A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟．取点(4，2）为最高点,则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1，0.65)代入，得0.65＝a(1－4）2＋2，解得a＝－0。15，所以y＝－0.15（x－4）2＋2。B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用一次函数模型进行模拟．设y＝kx＋b，取点（1，0.25)和点（4，1)，代入得eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（0。25＝k＋b，，1＝4k＋b，））解得eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（k＝0.25，,b＝0,)）所以y＝0.25x。故前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4）2＋2，前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x.设第七个月投入A,B两种商品的资金分别为xA，xB（万元），总利润为W（万元)，那么eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(xA＋xB＝12,，W＝yA＋yB＝－0。15(xA－4）2＋2＋0.25xB.））所以W＝－0。15eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（xA－\f(19，6））)eq\s\up12（2)＋0.15×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（19，6)））eq\s\up12（2)＋2.6.所以当xA≈3。2时W最大约为4.1，此时xB≈8.8。即该经营者第七个月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元．eq\a\vs4\al(）函数拟合与预测的一般步骤（1）根据原始数据、表格，绘出散点图．（2）通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．(3）求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．（4）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可美化居室、净化空气，还可美容保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研,从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10kg)与上市时间t（单位：天)的数据情况如下表:t50110250Q150108150（1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c,Q＝a·bt，Q＝alogbt。（2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．解：（1）由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0,且上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述,将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c,可得eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(150＝2500a＋50b＋c，，108＝12100a＋110b＋c，,150＝62500a＋250b＋c.)）解得a＝eq\f(1，200），b＝－eq\f(3，2)，c＝eq\f（425，2）。所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝eq\f（1,200)t2－eq\f(3,2）t＋eq\f（425，2）.(2）当t＝－eq\f（－\f（3,2），2×\f(1，200))＝150(天)时，芦荟种植成本最低为Q＝eq\f（1,200)×1502－eq\f（3，2）×150＋eq\f(425，2)＝100(元/10kg)．1．某市的房价(均价)经过6年时间从1200元/m2增加到了4800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是（）A．600元 B．50％C.eq\r(3,2）－1 D.eq\r(3，2）＋1解析：选C。设6年间平均增长率为x,则有1200（1＋x）6＝4800，解得x＝eq\r(3,2)－1.2．“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概．当弓箭手以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时，t秒后的高度x米可由x＝at－5t2确定．已知射出2秒后箭离地面高100米,则弓箭能达到的最大高度为________米．解析:由x＝at－5t2且t＝2时，x＝100，解得a＝60。所以x＝60t－5t2.由x＝－5t2＋60t＝－5(t－6)2＋180，知当t＝6时，x取得最大值为180，即弓箭能达到的最大高度为180米．答案：1803．某游乐场每天的盈利额y元与销售的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图像解决下列问题:（1）求y与x的函数解析式；（2)要使该游乐场每天的盈利额超过1000元,每天至少卖出多少张门票?解:(1）由图像知，可设y＝kx＋b,x∈［0，200]时，过点（0，－1000）和(200，1000),解得k＝10，b＝－1000，从而y＝10x－1000；x∈（200，300]时，过点(200，500)和（300，2000)，解得k＝15，b＝－2500，从而y＝15x－2500,所以y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10x－1000,x∈［0，200]，,15x－2500，x∈（200，300］.))(2)每天的盈利额超过1000元，则x∈(200，300]，由15x－2500＞1000得，x＞eq\f(700,3)，故每天至少需要卖出234张门票．[A基础达标］1．某种产品今年的产量是a,如果保持5%的年增长率，那么经过x年（x∈N＊)，该产品的产量y满足(）A．y＝a（1＋5％x） B．y＝a＋5％C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x解析：选D。经过1年，y＝a（1＋5%），经过2年，y＝a(1＋5％)2，…，经过x年，y＝a(1＋5％)x.2．我们处在一个有声世界里，不同场合,人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝（dB)，对于一个强度为I的声波,其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lgeq\f（I，I0)（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70dB的声音强度为I1，η2＝60dB的声音强度为I2，则I1是I2的()A。eq\f(7，6）倍 B．10倍C．10eq\s\up6（\f(7,6））倍 D．lneq\f（7,6)倍解析：选B.依题意可知,η1＝10·lgeq\f（I1，I0），η2＝10·lgeq\f（I2,I0)，所以η1－η2＝10·lgeq\f（I1,I0)－10·lgeq\f（I2，I0)，则1＝lgI1－lgI2，所以eq\f(I1,I2）＝10.故选B.3．设在海拔xm处的大气压强是yPa，y与x之间的函数关系为y＝cekx，其中c,k为常量．已知海平面处的大气压强为1。01×105Pa,在1000m高空处的大气压强为0。90×105Pa，则在600m高空处的大气压强约为(参考数据：0。890.6≈0.93）（)A．9.4×104Pa B．9。4×106PaC．9×103Pa D．9×105Pa解析：选A.依题意得:1.01×105＝ce0＝c，0。90×105＝ce1000k，因此e1000k＝eq\f（0。9,1.01）≈0。89，因此当x＝600时,y＝1。01×105e600k＝1。01×105（e1000k)0.6＝1.01×105×0。890。6≈9。4×104，故选A。4.如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点．当点P沿路线A。B。C.M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f（x)的图像大致是（)解析：选A。由题意得,当0＜x≤1时，S△APM＝eq\f（1,2）×1×x＝eq\f(1,2）x；当1＜x≤2时，S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM＝eq\f(1，2）×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1＋\f(1，2))）×1－eq\f(1，2）×1×（x－1)－eq\f（1，2)×eq\f（1,2）×（2－x)＝－eq\f(1，4)x＋eq\f(3,4);当2＜x＜eq\f（5，2）时,S△APM＝eq\f(1，2)×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（5,2)－x)）×1＝－eq\f(1,2）x＋eq\f(5，4).结合选项可知,A选项符合题意．5．(2019·唐山一中期中)拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费(单位：元)由函数f(m)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3。71，0＜m≤4，，1。06×（0。5[m］＋1)，m＞4)）给出，其中[m］是不小于m的最小整数，例如[2］＝2,［1.21]＝2，那么从甲地到乙地通话5.2分钟的话费为（）A．3.71元 B．4。24元C．4.7元 D．7。95元解析:选B.由[m］是大于或等于m的最小整数可得［5。2]＝6.所以f(5。2）＝1.06×（0。5×6＋1)＝1。06×4＝4.24。故从甲地到乙地通话5.2分钟的话费为4。24元．故选B。6．为绿化生活环境,某市开展植树活动．今年全年植树6。4万棵，若植树的棵数每年的增长率均为a,则经过x年后植树的棵树y与x之间的解析式是________，若计划3年后全年植树12。5万棵，则a＝________．解析：经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是y＝6.4(1＋a）x，由题意可知6。4（1＋a）3＝12。5，所以(1＋a)3＝eq\f（125,64），所以1＋a＝eq\f（5,4)，故a＝eq\f(1,4)＝25％.答案:y＝6。4(1＋a)x25%7．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0。3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0。09mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过________小时才能开车．(精确到1小时，参考数据：lg2≈0。30，lg3≈0.48)解析：设经过n小时后才能开车，此时酒精含量为0.3(1－0.25)n。根据题意，有0.3(1－0.25）n≤0.09,即（1－0.25）n≤0。3，在不等式两边取常用对数,则有nlgeq\f(3，4）＝n(lg3－2lg2)≤lg0。3＝lg3－1，将已知数据代入，得n（0。48－0.6）≤0.48－1,解得n≥eq\f（13，3）＝4eq\f（1,3)，故至少经过5小时才能开车．答案：58．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为Teq\s\do9（\f（1，2）).现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下:t(单位时间）0246810A（t)3202261601158057从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间,剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t）＝________．解析：从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A0＝320，则经过时间t的剩余质量为A(t）＝A0·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)））eq\s\up6（\f(t,Teq\s\do9（\f(1,2）)））＝320·2－－eq\s\up6(\f（t，4））(t≥0)．答案:4320·2－eq\s\up6（\f(t，4))（t≥0）9．汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中,由于人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为S,驾驶员反应时间内汽车行驶距离为S1,刹车距离为S2，则S＝S1＋S2.而S1与反应时间t有关,S1＝10ln(t＋1），S2与车速v有关，S2＝bv2.某人刹车反应时间为(eq\r（e)－1)秒，当车速为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20米,若在限速100km/h的高速公路上，则该汽车的安全距离为多少米?（精确到米）解：因为刹车反应时间为(eq\r（e）－1）秒，所以S1＝10ln(eq\r(e)－1＋1)＝10lneq\r（e)＝5，当车速为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20米，则S2＝b·(60)2＝20，解得b＝eq\f（1,180)，即S2＝eq\f（1，180）v2.若v＝100，则S2＝eq\f（1,180）×1002≈56,S1＝5，所以该汽车的安全距离S＝S1＋S2＝5＋56＝61（米）．10．家用冰箱制冷使用的氟化物，释放后破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式Q＝Q0e－eq\f(t,400），其中Q0是臭氧的初始量．（1)随着时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少?（2)多少年以后将会有一半的臭氧消失？（精确到年，参考数据：ln2≈0.693,ln3≈1。099）解：（1）因为Q0＞0，－eq\f(t，400)＜0，e＞1，所以Q＝Q0e－eq\f（t，400）为减函数,所以随着时间的增加，臭氧的含量减少．(2)设x年以后将会有一半的臭氧消失，则Q＝Q0e－eq\f（x，400）＝eq\f（1，2）Q0,即e－eq\f(x，400)＝eq\f(1，2），取对数可得－eq\f（x，400)＝lneq\f(1,2），解得x＝400ln2≈277。2.所以278年以后将会有一半的臭氧消失．[B能力提升]11．一种放射性元素，每年的衰减率是8％，那么a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半）t等于(）A．lgeq\f（0.5，0。92） B．lgeq\f（0。92，0。5)C.eq\f（lg0.5,lg0.92） D.eq\f（lg0。92，lg0。5）解析：选C。由题意知a(1－8%）t＝eq\f（a，2）,即（1－8%）t＝eq\f（1，2）,等式两边取对数得lg0.92t＝lg0。5，即tlg0。92＝lg0。5，所以t＝eq\f（lg0.5，lg0。92），故C选项是正确的．12．（2019·宜昌一中期中)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，tmin后物体的温度θ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)·e－0。24t求得，且把温度是100℃的物体放在10℃的空气中冷却tmin后，物体的温度是40℃，那么t的值约等于________．(参考数据：ln3取1.099，ln2取0.693）解析：由题意可得40＝10＋(100－10）e－0.24t，化简可得e－0.24t＝eq\f（1,3)，所以－0.24t＝lneq\f（1，3）＝－ln3，所以0.24t＝ln3＝1.099，所以t≈4.58.答案：4。5813．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的eq