高一数学上学期期中期末考试精选50题压轴解析版

期中解答题精选50题（压轴版）一、解答题1．（2017·黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学高一期中）已知函数在定义域上为增函数，且满足,.(1)求的值;(2)解不等式.【答案】（1）（2）.【详解】（1）（2）而函数f(x)是定义在上为增函数即原不等式的解集为2．（2019·哈尔滨市阿城区龙涤中学校高一期中）函数f(x)对任意的m，，都有，并且时，恒有(1)求证：f(x)在R上是增函数(2)若，解不等式【答案】（1）证明见解析（2）不等式的解集为:.【分析】(1)利用=和增函数的定义证明;(2)先通过赋值法得到,再根据(1)的增函数可解得不等式的解集.【详解】(1)证明:任取,则==,因为,所以,因为时，恒有,所以,所以,所以,所以,根据增函数的定义可知,f(x)在R上是增函数.(2)在中,令得,即,在中,令得,即,所以,又,所以,所以,所以等价于,因为函数在上是增函数,所以,即,所以,所以,所以不等式的解集为:.【点睛】本题考查了用定义证明增函数,利用增函数的性质解不等式,属于中档题.3．（2019·安徽蚌埠市·高一期中）已知定义域为的函数是奇函数.（1）求a，b的值；（2）判断函数的单调性，并用定义证明；（3）当时，恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1），；（2）单调递减，见解析；（3）【分析】（1）根据得到，根据计算得到，得到答案.（2）化简得到，，计算，得到是减函数.（3）化简得到，参数分离，求函数的最小值得到答案.【详解】（1）因为在定义域R上是奇函数.所以，即，所以．又由，即，所以，检验知，当，时，原函数是奇函数.（2）在上单调递减.证明：由（1）知，任取，设，则，因为函数在上是增函数，且，所以，又，所以，即，所以函数在R上单调递减.（3）因为是奇函数，从而不等式等价于，因为在上是减函数，由上式推得，即对一切有恒成立，设，令，则有，，所以，所以，即的取值范围为.【点睛】本题考查了函数解析式，单调性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.4．（2020·河北正定中学高一期中）已知定义域为的函数是奇函数．（1）求的值；（2）判断函数的单调性，并用定义证明；（3）当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)减函数，证明见解析；(3)．【分析】（1）利用奇函数的性质令，求解即可．（2）利用函数的单调性的定义证明即可．（3）利用函数是奇函数以及函数的单调性转化不等式为代数形式的不等式，求解即可．【详解】（1）∵在定义域上是奇函数，所以，即，∴，经检验，当时，原函数是奇函数．（2）在上是减函数，证明如下：由（1）知，任取，设，则，∵函数在上是增函数，且，∴，又，∴，即，∴函数在上是减函数．（3）因是奇函数，从而不等式等价于，由（2）知在上是减函数，由上式推得，即对任意，有恒成立，由，令，，则可设，，∴，∴，即的取值范围为．【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查函数与方程的思想，是中档题．5．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知定义域为的函数，是奇函数.（1）求，的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先由求出，然后由求出（2）由得在上为减函数，然后将不等式化为即可.【详解】（1）因为是上的奇函数，所以，即，解得.从而有.又由知，解得.经检验，当时，，满足题意（2）由（1）知，由上式易知在上为减函数，又因为是奇函数，从而不等式等价于.因为是上的减函数，由上式推得.即对一切有，从而，解得.【点睛】本题主要考查的是利用函数的奇偶性和单调性解不等式，较为典型.6．（2020·盘州市第六中学）已知定义域为的函数满足.（1）若，求；又若，求.（2）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析式.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）首先可根据得出，然后带入，即可求出的值，最后采用同样的方法即可求出的值；（2）本题首先可根据得出，然后令，通过计算得出或，最后对、分别进行检验，即可得出结果.【详解】（1）因为，所以，因为，所以，即，因为，，所以，（2）因为，有且仅有一个实数使，所以对于任意的，有，令，则，即，解得或，若，则，即，但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故，若，则，即，此时有且仅有一个实数根，综上所述，函数的解析式为.【点睛】本题考查函数值的求法以及函数解析式的求法，考查了函数的赋值法的应用，赋值法主要应用于抽象函数的解析式或者函数解析式比较复杂的函数，能够很好的解决函数求值的问题，考查计算能力，是中档题.7．（2019·福建福州市·高一期中）设函数f（x）＝x2﹣3x（1）若不等式f（x）≥m对任意x∈[0，1]恒成立，求实数的取值范围；（2）在（1）的条件下，当m取最大值时，设x＞0，y＞0且2x+4y+m＝0，求的最小值.【答案】(1)m≤﹣2;(2)3+2.【分析】（1）分析函数f（x）＝x2﹣3x在[0，1]上的单调性，进而求出函数的最小值，可得实数m的取值范围；（2）由（1）得：m＝﹣2，即x+2y＝1，利用基本不等式，可得的最小值．【详解】解：（1）函数f（x）＝x2﹣3x的图象是开口朝上，且以直线x为对称轴的抛物线，故函数f（x）＝x2﹣3x在[0，1]上单调递减，当x＝1时，函数取最小值﹣2，若不等式f（x）≥m对任意x∈[0，1]恒成立，则m≤﹣2；（2）由（1）得：m＝﹣2，即2x+4y＝2，即x+2y＝1由x＞0，y＞0故（）（x+2y）＝33+23+2即的最小值为3+2．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．8．（2020·江苏南京市·）设函数.（1）证明函数在区间上是增函数；（2）设函数，其中，若对任意的，，都有，试求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）利用定义即可证明；（2）先求出当时，的最小值，再根据题意得到对任意的，都有，利用分离参数法即可求解.【详解】解：（1）对于任意的，.当时，，，从而，即，即，因此，函数在区间上是增函数.（2）由（1）知，在区间上是增函数，当时，的最小值是，对任意的，，都有，等价于对任意的，都有，即，即.同（1）可证函数在区间上单调递增，从而当时，取得最大值，，的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是把，，都有转化为，再利用分离参数法求解.9．（2020·上海市行知中学高一期中）若函数在定义域内的某个区间上是增函数，而在区间上是减函数，则称函数在区间上是“弱增函数”.（1）分别判断，在区间上是否是“弱增函数”（不必证明）；（2）若函数（、是常数）在区间上是“弱增函数”，求、应满足的条件；（3）已知（是常数且），若存在区间使得在区间上是“弱增函数”，求的取值范围.【答案】（1）不是“弱增函数”，不是上的“弱增函数”；（2），；（3）.【分析】（1）根据定义可判断不是“弱增函数”，而是上的“弱增函数.（2）根据定义和双勾函数的单调性可得、应满足的条件.（3）先去掉中的绝对值符号，再根据定义和反比例函数的单调性可得的取值范围.【详解】（1）因为是增函数，所以不是“弱增函数”，因为在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递增，所以不是上的“弱增函数”；（2）由题意得在区间上是增函数，且在区间上是减函数，所以，，所以，.（3）先对去绝对值，，设在区间上是“弱增函数”，并设，若，取，则在区间上也为弱增函数，故为增函数，为减函数，所以，无解；若，取，则在区间上也为弱增函数，故为增函数，为减函数，所以，解得；若，取，则在区间上也为弱增函数，所以为增函数，为减函数，所以，解得；若，取，则在区间上也为弱增函数，所以为增函数，为减函数，所以，解得；综上所述，的取值范围是.【点睛】方法点睛：对于函数新定义问题，需根据给出的定义验证，这需要结合常见函数的单调性（如二次函数、反比例函数、双勾函数等），如果函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号后再讨论.10．（2020·江苏省南京市第十二中学高一期中）已知，（1）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；（2）若，函数在区间上最大值不超过最小值的2倍，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】(1）化简方程，根据二次方程的性质求解即可;(2)先求出函数的最大值和最小值，然后根据已知最值的关系建立不等式，整理化简建立新函数，求出新函数的单调性，利用恒成立思想即可求解．【详解】（1）方程，即方程，其中，整理得到，显然不是方程的根，所以方程在上只有一解，当即时，符合题意；当即时，，解得，所以；（2）函数在上单调递减，而，，所以函数在上单调递减，所以在上，的最大值为，最小值为，由题意得，，恒成立，即，恒成立，下面来说明的单调性，，且，则，因为，所以，，，所以，即在上单调递减，所以只需的最大值即，解得.【点睛】关键点点睛：首先由二次函数的单调性求出函数在区间上最值，转化为恒成立，利用单调性求新函数的最大值即可，本题的关键在于利用单调性求最值.11．（2020·深圳科学高中高一期中）设函数．（1）当时，求函数的单调递减区间；（2）若函数在R上单调递增，求a的取值范围；（3）若对，不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）去掉绝对值符号后根据一次函数、二次函数的单调性可得所求的单调减区间.（2）去掉绝对值符号可得，根据函数在R上单调递增可得关于的不等式组，从而可得其取值范围.（3）等价于且恒成立，前者可分类讨论，后者可结合一次函数的图象和性质，两者结合可得a的取值范围.【详解】（1）时，，故在上为增函数，在上为减函数，在为增函数，故函数的单调递减区间为.（2），因为函数在R上单调递增，故，解得.（3）等价于且恒成立，先考虑恒成立，则，故.再考虑恒成立，又，故，故，解得，综上，的取值范围为.【点睛】方法点睛：对于含绝对值符号的函数，可先去掉绝对值符号，从而把问题题转化为常见的一次函数、二次函数在给定范围上的恒成立问题，注意先讨论简单的一次函数的性质，从而参数的初步范围后再讨论二次函数的性质.12．（2020·重庆）已知定理：“若a，b为常数，满足，则函数的图象关于点中心对称”，设函数，定义域为A.（1）试证明的图象关于点成中心对称；（2）当时，求证：.（3）对于给定的，设计构造过程：.如果，构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止.若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）根据定义证明即可；（2）先证明函数在给定区间上的单调性，再求其值域；（3）因为构造过程可以无限进行下去，所以对任意的恒成立，将问题转化为方程无解再进行求解即可.【详解】（1）因为，所以，即由已知得的图象关于点成中心对称，（2）先证明在单调递增，只需要证明在上单调递增，设任意的且，所以，所以在上单调递增，因为，所以在单调递增，所以的最大值为，所以，（3）因为构造过程可以无限进行下去，所以对任意的恒成立，所以无解，即无解或有唯一解，所以或解得：【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解函数有关对称中心的定义，利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增，所以在单调递增，可证，第三问由已知可得对任意的恒成立，所以无解等价于无解或有唯一解，即或即可求.13．（2020·山东烟台·）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．给定函数．（1）求函数图象的对称中心；（2）判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）在区间上为增函数；（3）.【分析】（1）根据题意可知，若函数关于点中心对称，则，然后利用得出与，代入上式求解；（2）因为函数及函数在上递增，所以函数在上递增；（3）根据题意可知，若对任意，总存在，使得，则只需使函数在上的值域为在上的值域的子集，然后分类讨论求解函数的值域与函数的值域，根据集合间的包含关求解参数的取值范围．【详解】解：（1）设函数图象的对称中心为，则．即，整理得，于是，解得．所以的对称中心为；（2）函数在上为增函数；（3）由已知，值域为值域的子集．由（2）知在上单增，所以的值域为．于是原问题转化为在上的值域．①当，即时，在单增，注意到的图象恒过对称中心，可知在上亦单增，所以在上单增，又，，所以．因为，所以，解得．②当，即时，在单减，单增，又过对称中心，所以在单增，单减；此时．欲使，只需且解不等式得，又，此时．③当，即时，在单减，在上亦单减，由对称性，知在上单减，于是．因为，所以,解得．综上，实数的取值范围为．【点睛】本题考查函数的对称中心及对称性的运用，难点在于（3）的求解，解答时应注意以下几点：（1）注意划归与转化思想的运用，将问题转化为两个函数值域之间的包含问题求解；（2）注意分类讨论思想的运用，结合对称性，分析讨论函数的单调性及最值是关键．14．（2020·青岛市黄岛区教育发展研究中心高一期中）已知函数.（1）直接写出在上的单调区间（无需证明）；（2）求在上的最大值；（3）设函数的定义域为，若存在区间，满足：，，使得，则称区间为的“区间”.已知（），若是函数的“区间”，求的最大值.【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增；（2）答案见解析；（3）1.【分析】（1）根据解析式可直接得出；（2）讨论的范围根据函数的单调性可求出；（3）分和两种情况根据“区间”的定义讨论求解.【详解】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增；（2）由题意知，，①若，则在上单调递减，所以的最大值为；②若，则在上单调递减，在上单调递增，因此此时，所以的最大值为；③若，则在上单调递减，在上单调递增，因此此时，所以的最大值为；综上知：若，则的最大值为；若，则的最大值为；（3）由（1）（2）知：①当时，在上的值域为，在上的值域为，因为，所以，满足，，使得，所以此时是的“区间”；②当时，在上得到值域为，在上的值域为，因为当时，，所以，使得，即，，，所以此时不是的“区间”；故所求的最大值为1.【点睛】关键点睛：正确理解“区间”的定义并根据函数特点讨论的范围是解决本题的关键.15．（2020·北京101中学）已知是定义在R上的单调递减函数，对任意实数m，n都有=．函数．定义在R上的单调递增函数的图象经过点A（0,0）和点B(2,2)．（1）判断函数的奇偶性并证明；（2）若，使得<0（m为常实数）成立，求m的取值范围；（3）设，,，，（i=0，1，2…100）．若++…+（k=1，2，3），比较的大小并说明理由．【答案】（1）为奇函数；证明见解析；（2）；（3）；答案见解析．【分析】（1）根据奇函数的定义进行证明即可；（2）根据奇函数将不等式转化为<，再根据单调性将脱去，等价为，，最后转化为最值问题解题即可；（3）根据函数的单调性及特殊值分别计算，最后比较大小即可.【详解】（1）是R上的奇函数．证明如下：因为任意实数m，n都有，所以，所以=0，从而对x∈R，恒有=，所以，所以，所以为奇函数．（2）由（1）知，为R上单调递减的奇函数，由<0得<=，所以>-8t-m，>，．令，则．当时，．所以，使得+<0成立，等价于，使得成立，所以，所以m的取值范围是．（3）依题意，易证F1(x)=-x在R上单调递减，所以++…+++…+．因为=2=-2在单调递增，在单调递减，所以++…+++…++++…+．由在R上单调递增，易证在R上单调递增，所以++…+++…+，所以．【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.16．（2020·广东深圳中学）设函数与函数的定义域的交集为D，集合M是由所有具有性质：“对任意的，都有”的函数组成的集合.（1）判断函数，是不是集合M中的元素？并说明理由；（2）设函数，，且，若对任意，总存在，使成立，求实数a的取值范围.【答案】（1），，理由见解析；（2）.【分析】（1）由已知得，，根据定义可得结论.（2）由函数，建立方程组可求得.再分和得出函数的单调性，建立不等式可求得实数a的取值范围.【详解】解：（1）因为对任意，，所以.因为对任意，，所以.（2）因为函数，且，所以，整理得，解得，或(舍去)，故.当时，，.对于函数，当时，在上单调递增，故，由题意知，解得；当时，在单调递减，在单调递增，故，由题意知，解得.综上所述，实数a的取值范围为.【点睛】关键点睛：本题考查函数的新定义，关键在于紧抓函数的定义，运用函数的性质：单调性，奇偶性，值域得以解决.17．（2018·湖南雅礼中学高一期中）定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界，已知函数，（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围.【答案】（1）a=-1；（2）；（3）【分析】（1）根据奇偶性的定义求出a的值；（2）先求出函数的单调区间及值域，从而求出函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）问题转化为恒成立问题，通过换元法求解即可.【详解】（1）函数为奇函数，所以，即，所以，解得而当a=1时，不合题意，故a=-1.（2）由（1）知：，易知在上单增，所以函数在区间上单增，所以在区间上值域为所以，故函数在区间上的所有上界构成的集合为.（3）由题意可知：在上恒成立，所以即，所以在上恒成立，所以令易知在上递减，所以，在上递增，所以，所以，即实数的取值范围为【点睛】（1）对函数奇偶性的证明只能用定义：或；（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.18．（2020·浙江学军中学高一期中）已知函数，.（Ⅰ）当时，求的最小值；（Ⅱ）若不等式的解集是区间的子集，求实数a的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ），则，，根据二次函数单调性得到最值.（Ⅱ）变换得到，设，画出函数图象，计算，，根据图象得到答案.【详解】（Ⅰ），则，，函数在上单调递增，故最小值为.（Ⅱ），即，设，画出的函数图象，如图所示：，，故.【点睛】本题考查了求函数的最值，根据不等式的解集求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，构造函数画出图象是解题的关键.19．（2020·湖北高一期中）已知二次函数．（1）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．（2）解关于的不等式（其中）．【答案】（1）a＜；（2）①当时，不等式解集为；②当时，不等式解集为；③当时，不等式解集为；④当时，不等式解集为；⑤当时，不等式解集为．【分析】（1）不等式转化为，利用参数分离法得，即，再利用基本不等式求函数的最小值即可.（2）不等式，即，对进行分类讨论，由二次不等式的解法，即可得到所求解集.【详解】(1)不等式即为：，当时，可变形为：，即.又，当且仅当，即时，等号成立，，即实数的取值范围是：（2）不等式，即，等价于，即，①当时，不等式整理为，解得：；当时，方程的两根为：，②当时，可得，解不等式得：或；③当时，因为，解不等式得：；④当时，因为，不等式的解集为；⑤当时，因为，解不等式得：；综上所述，不等式的解集为：①当时，不等式解集为；②当时，不等式解集为；③当时，不等式解集为；④当时，不等式解集为；⑤当时，不等式解集为．【点睛】方法点睛：考查不等式恒成立，求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解不等式的最值，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；解含参数的不等式，通常需要从几个方面分类讨论：（1）看函数最高次项系数是否为0，需分类讨论；（2）若最高次项系数不为0，通常是二次函数，若二次函数开口定时，需根据判别式讨论无根或两根相等的情况；（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域的比较.20．（2020·扬州大学附属中学）在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足:，都有，则称这个函数是点A的“界函数”.（1）若函数是点的“界函数”，求需满足的关系；（2）若点在函数的图象上，是否存在使得函数是点B的“界函数”?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在，【分析】（1）（2）根据点在函数的图象上，从而得出，，都有，从而讨论时，得出函数在，上的值域为，从而可得出的范围；同理，讨论和时，求出函数的值域，让该值域是集合的子集，从而可得出的范围．【详解】（1）由函数是点的“界函数”，且函数为增函数，当时，值域为，因为，所以，（2）在函数的图象上，，，，都有，①，即时，在，上单调递增，，，，解得，又，这种情况不合题意；②，即时，由，可得或，且，，解得，③，即时，在，上单调递减，，，，解得，又，这种情况不合题意，综上得，的取值范围是．【点睛】关键点点睛：考查了对“界函数”定义的理解，二次函数的单调性，根据函数单调性求函数值域的方法，二次函数值域的求法，子集的定义，考查了计算和推理能力，属于难题．21．（2020·浙江余姚中学高一期中）已知函数（1）若在上有意义且不单调，求的取值范围．（2）若非空集合，，且，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据题意得到二次函数的对称轴在之间，且在上非负，列出关于a的不等式，计算得到答案.（2）设为方程的两个根，计算，得到，计算得到答案.【详解】（1）当时，，由在上有意义且不单调，可得函数的对称轴在之间，且在上非负，∴，解得；所以的取值范围为（2）因为，，故，设为方程的两个根，结合图像可知：，由，故有与等解，得且，由得，所以，因为，∴，解得或，又为方程的两个根，即，即，由韦达定理知：，又，所以∴，解得，综上可知：的取值范围为.【点睛】关键点睛：本题考查利用二次函数的性质，利用集合相等求参数，解题的关键是要利用数形结合思想，将转化成，再利用集合，构造成函数的值域关系，列出关于的不等式，考查学生的转化与划归能力，数形结合思想与运算求解能力，属于难题.22．（2020·江西景德镇一中高一期中）若对任意的，对任意的，不等式恒成立，求的最大值.【答案】33【分析】设，对讨论，分，，，判断的单调性，求得最值，由不等式的性质和不等式的解法，可得所求最大值．【详解】设，当时，，可得的最小值为，最大值为，由题意可得，即为，则；当时，，可得的最小值为，最大值为，由题意可得，即为，则．当即时，在递减，可得的最大值为，最小值为，由题意可得，即为，则，由，可得无最大值．综上可得的最大值为．【点睛】思路点睛：本题考查了对勾函数的单调性，利用单调性求函数的最值，考查了分类讨论的思想，属于难题.23．（2020·陕西高一期中）已知函数的图象与x轴的两个不同交点的横坐标分别为，.（1）求m的取值范围；（2）求的取值范围；（3）若函数在上是减函数、且对任意的，，总有成立，求实数m的范围．【答案】（1）或；（2）；（3）．【分析】（1）由函数图象与x轴有两个交点可知，对应的方程有两个不相等的实数根，所以有，建立不等式求解即可；（2），结合（1）中m的取值范围可求得其取值范围；（3）先由函数在上是减函数，可求得，再根据二次函数的单调性可知在区间上，在上单调递减，在上单调递增，进而求得的最大值和最小值，最后根据恒成立可得出，从而建立不等式求出结果即可.【详解】（1）由题意可知方程有两个不相等的实数根，，由韦达定理得：，，所以，解之得：或；（2），令，则当时，，当时，，所以，所以，即的取值范围为；（3）函数的对称轴为，在上是减函数，所以有，即，又因为对任意的，，总有，要使成立，则必有，在区间上，在上单调递减，在上单调递增，又，所以，，所以有，即，解之得：，综上，实数m的范围是．【点睛】方法点睛：处理二次函数在闭区间上的最值问题时，一定要认真分析对称轴和区间端点的位置关系，必要时进行分类讨论，从而正确得出最值，常见的有：定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间和动轴动区间等类型.24．（2020·华东师范大学第一附属中学高一期中）若实数x，y，m满足，则称x比y接近m，（1）若比3接近1，求x的取值范围；（2）证明：“x比y接近m”是“”的必要不充分条件；（3）证明：对于任意两个不相等的正数a、b，必有比接近.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）根据定义可得，从而可求x的取值范围.（2）通过反例可得“比接近”是“”不充分条件.利用不等式的性质可证明“比接近”是“”的必要条件，故可得所证结论.（3）利用基本不等式结合分析法可证结论成立.【详解】（1）因为比3接近1，故，故，故，所以.（2）取，则，故比接近.但，故“比接近”推不出“”.所以“比接近”是“”不充分条件.若，则，故，所以或，若，则且，故，所以，故，所以，也就是“比接近”.若，则且，故，所以，故，所以，故“比接近”是“”必要不充分条件.（3）对于任意两个不相等的正数a、b，要证比接近，即证：，即证：，即证：，因为，因为，故，故，所以成立，故比接近.【点睛】关键点点睛：本题属于新定义背景下的不等式的求解与证明问题，其中必要不充分条件的证明应依据充分条件和必要条件的定义来展开，证明不等式恒成立要结合不等式的性质，也要结合基本不等式.25．（2020·上海闵行·古美高中）（1），比较与的大小；（2）已知，求代数式的最小值及取最小值时的值.【答案】（1）；（2）的最小值20，【分析】（1）利用基本不等式即可得解；（2）由（1）知，，再利用基本不等式即可得解.【详解】（1），，，当且仅当，即时，等号成立.所以.（2）由（1）知，，当且仅当时取等号，显然要使成立，需满足，解得综上可知，当，代数式取得最小值20.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.26．（2020·河北）已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.（1）求实数的取值集合；（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）分离出，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出，即可求出范围；（2）分析讨论二次不等式对应方程的两个根的大小，写出解集A,是的充分不必要条件得出,求出的范围.【详解】（1）命题：“，都有不等式成立”是真命题，得在时恒成立，∴，得，即.（2）不等式，①当，即时，解集，若是的充分不必要条件，则是的真子集，∴，此时；②当，即时，解集，满足题设条件；③当，即时，解集，若是的充分不必要条件，则是的真子集，，此时.综上①②③可得【点睛】本题主要考查了含参数一元二次不等式的解法，分类讨论的思想，以及充分必要条件的理解转化，集合的交集运算等，属于中档题.解决不等式恒成立求参数的范围问题，常采用分离参数求最值；解含参数的二次不等式时，常从二次项系数、判别式、两个根的大小进行讨论.27．（2017·北京北师大二附中高一期中）已知：集合，其中.,称为的第个坐标分量.若，且满足如下两条性质：①中元素个数不少于4个；②，存在，使得的第个坐标分量都是1；则称为的一个好子集.（Ⅰ）若为的一个好子集，且，写出；（Ⅱ）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过；（Ⅲ）若为的一个好子集且中恰好有个元素时，求证：一定存在唯一一个，使得中所有元素的第个坐标分量都是1.【答案】（1）；；（2）中元素个数不超过；（3）见解析.试题分析：（1）根据好子集的定义直接写出即可；（2）若为的一个好子集，考虑元素，进行判断证明即可；（3）根据好子集的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论.试题解析：（1）；（2）对于，考虑元素，显然，，，，对于任意的，，，不可能都为，可得，不可能都在好子集中，又因为取定，则一定存在且唯一，而且，且由的定义知道，，，，这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素个数为，所以中元素个数不超过．（3），定义元素，的乘积为：，显然.我们证明：“对任意的，，都有.”假设存在，使得，则由知，此时，对于任意的，不可能同时为，矛盾，所以．因为中只有个元素，我们记为中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道，显然这个元素的坐标分量不能都为，不妨设，根据的定义，可以知道中所有元素的坐标分量都为．下面再证明的唯一性：若还有，即中所有元素的坐标分量都为，所以此时集合中元素个数至多为个，矛盾.所以结论成立．点睛：本题主要考查了有关集合的概念新定义的辨析等问题的求解，其中解答中涉及到与集合有关的新定义，读懂题意是解答此类问题的关键，此类试题综合性较强，难度较大，平时注意总结、积累.28．（2017·山东临沂·高一期中）知集合，，同时满足①，②，．求，的值．【答案】或试题分析：条件①是说集合A、B有相同的元素，条件②是说，但，A、B是两个方程的解集，方程和的根的关系得确定该题求，的值的突破口.试题解析：设，则有；两端同除以，得，则知，故集合，中元素互为倒数．由，一定有，使得，且，解得．又，则，或．由此得或．根据根与系数的关系，有或得或29．（2021·北京市第五中学高一期中）已知集合…，…，，对于…，，B＝（…，，定义A与B的差为…，A与B之间的距离为.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）证明：对任意，有（i），且；（ii）三个数中至少有一个是偶数；（Ⅲ）对于……，再定义一种A与B之间的运算，并写出两条该运算满足的性质（不需证明）.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【详解】分析：（Ⅰ）因为，所以；（Ⅱ）（i）设………，因为，故，…，n），分两种情况讨论即可的结果；（ii）设…，…，…，记记…，由（i）可知，，，即…，先推导出不可能全为奇数，即三个数中至少有一个是偶数，从而可得结论；（Ⅲ）定义＝，…，则.详解：（Ⅰ）因为，所以.（Ⅱ）（i）设………，因为，故，…，n），即….又…，n.当时，有；当时，有；故（ii）设…，…，…，记记…，由（i）可知：，，，即中1的个数为k，中1的个数为，…设t是使成立的i的个数，则有，由此可知，不可能全为奇数，即三个数中至少有一个是偶数.（Ⅲ）如可定义A·B＝，…，则A·B＝B·A，（A·B）·C＝A·（B·C）.点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.30．（2018·北京西城·北师大二附中）已知：集合，其中．，称为的第个坐标分量．若，且满足如下两条性质：①中元素个数不少于个．②，，，存在，使得，，的第个坐标分量都是．则称为的一个好子集．（）若为的一个好子集，且，，写出，．（）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过．（）若为的一个好子集且中恰好有个元素，求证：一定存在唯一一个，使得中所有元素的第个坐标分量都是．【答案】(1)，．(2)证明见解析.(3)证明见解析.【解析】分析：（1）根据好子集的定义直接写出Z，W；（2）若S为的一个好子集，考虑元素，进行判断证明即可；（3）根据好子集的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论.详解：（），．（）对于，考虑元素；显然，，，，对于任意的，，，不可能都为，可得，不可能都是好子集中．又因为取定，则一定存在且唯一，而且，由的定义知道，，,这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素的个数为，所以中元素个数不超过．（），，定义元素，的乘积为，显然．我们证明“对任意的，都有．”假设存在，使得，则由（）知，．此时，对于任意的，，，不可能同时为，矛盾，所以．因为中只有个元素，我们记为中所有元素的成绩，根据上面的结论，我们知道，显然这个元素的坐标分量不能都为，不妨设，根据的定义，可以知道中所有元素的坐标分量都为．下面再证明的唯一性：若还有，即中所有元素的坐标分量都为．所以此时集合中元素个数至多为个，矛盾．所以结论成立．点睛：解决集合新定义问题的方法(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．31．（2018·北京四中高一期中）给定数集,若对于任意,有,且，则称集合为闭集合.（I）判断集合是否为闭集合，并给出证明；（II）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合?请说明理由；（III）若集合为闭集合，且,证明：.【答案】（I）证明见解析；（II）不一定，证明见解析；（III）证明见解析.【分析】（I）根据特值，但是4+4=8A，判断A不为闭集合，设，可证出，，B为闭集合（II）取特例A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，集合为闭集合，但不为闭集合即可（III）用反正正法，若AB=R，存在a∈R且aA，故a∈B，同理，因为BR，存在b∈R且bB，故b∈A，若，则由A为闭集合，，与aA矛盾，同理可知若，，与bB矛盾，即可证明.【详解】（I）因为，但是4+4=8A，所以，A不为闭集合；任取，设,则且所以，同理，，故B为闭集合.（II）结论：不一定.令A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，则由（I）可知，A，B为闭集合，但2，3∈AB，2+3=5AB，因此，AB不为闭集合.（III）证明：（反证）若AB=R,则因为AR，存在a∈R且aA，故a∈B,同理，因为BR，存在b∈R且bB，故b∈A,因为a+b∈R=AB，所以，a+b∈A或a+b∈B,若，则由A为闭集合，，与aA矛盾,若，则由B为闭集合，，与bB矛盾,综上，存在c∈R，使得c（AB）.【点睛】本题主要考查了集合子集、真子集，反证法，考查了学生分析推理能力，属于难题.32．（2019·河南新乡市·）已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若，对于任意的，都有，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或【分析】（1）先用辅助角公式化简函数解析式，再将代入，得到，得到不等式，从而得到，化简求得，进而得到不等式的解集；（2）当时，求得函数，分情况讨论的范围，利用对应的条件，等价结果为两个函数的值域交集为空集，从而求得参数的范围.【详解】（1），当时，，所以，即.所以，所以故原不等式的解集为.（2）当时，，当时，则，所以.当时，，所以，所以；当时，，所以，所以.综上，或.【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有利用辅助角公式化简函数解析式，求三角不等式的解集，利用两个函数值没有相等的，等价于两个函数的值域交集为空集，从而得到参数的范围，属于中档题目.33．（2019·北京市陈经纶中学高一期中）设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中称为数组的“元”，为的下标.如果数组中的每个“元”都来自数组中不同下标的“元”则称为的子数组.定义两个数组，的关系数为.（1）若，，设是的含有两个“元”的子数组，求的最大值及此时的数组；（2）若，，且，为的含有三个“元”的子数组，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据题中“元”的含义，可知当时，取得最大值为；（2）对是否为中的“元”进行分类讨论：①当是中的“元”时，由于的三个“元”都相等，以及中、、三个“元”的对称性，利用基本不等式计算的最大值；②当不是中的“元”时，只需计算的最大值即可，最后综上即可得出的最大值.【详解】（1）由题意，当时，取得最大值；（2）①当是中的“元”时，由于的三个“元”都相等，以及中、、三个“元”的对称性，只需计算的最大值，其中，由，得.当且仅当，时，达到最大值.于是；②当不是中的“元”时，计算，由于，所以，当且仅当时，等号成立，则取得最大值.此时.综上所述，的最大值为.【点睛】本题考查集合中的新定义，同时也考查了利用基本不等式求最值，解题的关键就是要理解题中“元”的定义，同时要对一些“元”是否在集合内进行分类讨论，考查运算求解能力与化归与转化思想的应用，属于中等题.34．（2020·北京市第四十四中学高一期中）已知数集具有性质P；对任意的i，，与两数中至少有一个属于A.（1）分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：，.【答案】(1)数集不具有性质,数集具有性质.(2)见解析.【分析】（1）根据集合具有性质的定义,逐一验证两个集合是否具有性质；（2）采用极端值是证明这类问题的要点，一个数集满足某个性质，则数集中的特殊的元素（比如最大值、最小值）也满足这个性质.根据集合中的元素具有互异性，由互异性和题中给的性质，可得证明.【详解】（1）由于与均不属于数集，所以数集不具有性质.由于，，，，，，，，，，都属于数集，所以数集具有性质.（2）因为具有性质，所以与中至少有一个属于，由于，所以，故。从而，所以。因为，所以，故。由具有性质可知，又因为，所以，，，，从而,即,所以。【点睛】本题考查集合的性质的新定义,解决此类问题时,需严格地根据题目所给的定义,有时可以采用举反例的方法,取极端值,如最小值,最大值去验证和证明,属于难度题.35．（2018·浙江杭州市·杭州高级中学）定义函数（其中为自变量，为常数）.（Ⅰ）若当时，函数的最小值为-1，求实数的值；（Ⅱ）设全集，已知集合，，若集合，满足，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（1）采用换元法令，原函数可转化为，，再由对称轴与定义域的关系分类讨论进一步确定最值即可；（2）由题可知，化简可得；集合，整理得，由，可得在内有解，再采用换元法，令，原式等价于方程在上有解，分离参数得，结合函数增减性即可求解【详解】（Ⅰ）令，∵，∴，设，，①当，即时，，与已知矛盾；②当，即，，解得或，∵，∴；③当，即，，解得，但与矛盾，故舍去，综上所述，之值为3.（Ⅱ），，由已知即在内有解，令，则，方程在上有解，也等价于方程在上有解.∵在上单调递增，∴，故所求的取值范围是.【点睛】本题考查由含参二次函数在定区间的最值分类讨论求解参数，换元法求解一元二次方程在定区间有解时对应参数取值范围，转化与化归思想，分类讨论思想，函数与方程思想，综合性强，计算量大，属于难题36．（2019·东城·北京五十五中高一期中）已知集合．对于，，定义；；A与B之间的距离为．（1）当时，设，，求；（2）证明：若，且，使，则；（3）记，若，且，求的最大值．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【分析】（1）当时，由直接求解即可；（2）设，，，则由题意可得存在，使得，其中，得出与同为非负数或同为负数，再计算化简即可证明；（3）设中有项为非负数，项负数，不妨设时，；时，，利用，得出，整理求出，，即可得出的最大值.【详解】（1）当时，由得所以（2）设，，因为，使所以，使得即存在，使得，其中所以与同为非负数或同为负数所以（3）设中有项为非负数，项负数不妨设时，；时，整理得到故的最大值为【点睛】本题主要考查了集合新定义有关证明，属于较难题.37．（2018·黑龙江哈尔滨·哈师大青冈实验中学高一期中）已知|，|，且B⊆A，求实数组成的集合C【答案】（1）；（2）.【分析】首先通过解一元二次方程，得带集合A，根据空集的概念，以及包含关系的本质所在，需要对B进行分类讨论，按两种情况进行讨论，从而求得结果【详解】由x2－3x＋2＝0，得x＝1，或x＝2.∴A＝{1,2}．∵B⊆A，∴对B分类讨论如下：(1)若B＝∅，即方程ax－2＝0无解，此时a＝0.(2)若B≠∅，则B＝{1}或B＝{2}．当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.综上可知，符合题意的实数a所组成的集合C＝{0,1,2}【点睛】该题考查的是有关集合具备包含关系时有关参数的取值问题，在解题的过程中，需要注意的是先确定集合A，之后需要对B进行讨论，分其为空集与不是空集两种情况.38．（2020·宝山区·上海交大附中）对于集合，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分为两个集合和，满足，，其中和的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.（1）判断集合和是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”；（3）若集合是“可分集合”.①证明：为奇数；②求集合中元素个数的最小值.【答案】（1）集合不是，集合是；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②7.【分析】（1）根据“可分集合”定义直接判断即可得到结论；（2）不妨设，分去掉的元素是时得①，或②，去掉的元素是得③，或④，进而求解得矛盾，从而证明结论.（3）①设集合所有元素之和为，由题可知，均为偶数，所以的奇偶性相同，进而分类讨论为奇数和为偶数两类情况，分析可得集合中的元素个数为奇数；②结合（1）（2）问依次验证时集合是否为“可分集合”从而证明.【详解】解：（1）对于集合，去掉元素，剩余的元素组成的集合为，显然不能分为两个集合和，满足，，其中和的所有元素之和相等，故不是“可分集合”对于集合，去掉元素，，显然可以分为，满足题意；去掉元素，，显然可以分为，满足题意；去掉元素，，显然可以分为，满足题意；去掉元素，，显然可以分为，满足题意；去掉元素，，显然可以分为，满足题意；去掉元素，，显然可以分为，满足题意；去掉元素，，显然可以分为，满足题意；故是可分集合.（2）不妨设，若去掉的是，则集合可以分成或，即：①或②若去掉的是，则集合可以分成或，即：③或④，由①③得，矛盾；由①④，矛盾；由②③得，矛盾；由②④，矛盾；所以五个元素的集合一定不是“可分集合”；（3）①证明：设集合所有元素之和为，由题可知，均为偶数，所以的奇偶性相同，若为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数；若为偶数，则也均为偶数，此时设，则也是“可分集合”，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”，此时各项之和也为奇数，集合中的元素个数为奇数.综上所述，集合中的元素个数为奇数.②当时，显然任意集合不是“可分集合”；当时，第二问已经证明集合不是“可分集合”；当时，第一问已验证集合是“可分集合”.所以集合中元素个数的最小值为.【点睛】本题考查集合新定义的问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义依次验证，证明即可.注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力，分析能力.本题第二问解题的关键在于假设，以去掉元素和两种情况下的可分集合推出矛盾，进而证明，是难题.39．（2015·上海市七宝中学）已知集合（1）判断8，9，10是否属于集合A；（2）已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；（3）写出所有满足集合A的偶数.【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）所有满足集合A的偶数为．【分析】（1）由，即可证，若，而，列方程组判断是否存在整数解，即可判断10是否属于A.（2）由，结合集合A的描述知，由（1），而，即可证结论；（3）由集合A的描述：，讨论m，n同奇或同偶、一奇一偶，即可确定的奇偶性，进而写出所有满足集合A的偶数.【详解】（1），，，，假设，，则，且，∴，则或，显然均无整数解，∴，综上，有：，，；（2）集合，则恒有，∴，即一切奇数都属于A，又，而∴“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；（3）集合，成立，①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数；②当m，n一奇，一偶时，均为奇数，为奇数，综上，所有满足集合A的偶数为．【点睛】关键点点睛：根据集合的性质，应用因式分解、恒等转化、代数式的奇偶性讨论，判断元素与集合的关系，证明条件间的充分、必要关系，确定满足条件的数集.40．（2021·南京市第十三中学）已知表示非空集合A中的元素的个数．（1）定义，若，设实数a的所有可能取值构成集合S，求的值；（2）已知集合，对于M的子集N若存在不大于1000的正整数m，使得对于N中的任意一对元素，都有，求的最大值．【答案】（1）5；（2）1333.【分析】（1）先分析中有1个或者3个元素，即方程有一个根或者三个根，分析方程的根的情况，可得到可取的值，即可得答案（2）定义N具有性质P，集合一定具有性质P，设集合N中有个元素，任给，则与中必有一个不超过1000，从而得到集合与中必有一个集合至少存在一半元素不超过1000，然后利用性质P的定义进行分析，即可求得，即，解得【详解】（1）中有1个或者3个元素，当中有1个元素时，有一个解，可得；当中有3个元素时，易知，有三个解，其中的两个为：，当有一个解时，令，可得；当有两个解且其中一个和0或者相等时，也满足条件，此时，显然不等于0，所以或，解得或综上所述，设实数a的所有可能取值为，所以构成集合S元素个数为5，即（2）集合，对于M的子集N若存在不大于1000的正整数m，使得对于N中的任意一对元素，都有，可定义N具有性质P那么集合一定具有性质P，首先因为，任取，其中，因为，所以，从而，即，所以由N具有性质P，可知存在不大于1000的正整数m，使得对于N中的任意一对元素，都有，从集合中任取一对元素其中，则有，所以一定具有性质P，设集合N中有个元素，任给，则与中必有一个不超过1000，所以集合与中必有一个集合至少存在一半元素不超过1000，不妨设集合中有个元素不超过1000，N具有性质P，可知存在正整数，使得对于N中的任意一对元素，都有，所以一定有，又，故，即集合中至少有个元素不在子集中，因此，所以，解得，当时，取，则易知对集合N的任意一对元素，都有而此时集合中有1333个元素，因此的最大值133341．（2019·四川眉山市·仁寿一中高一期中）定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数.（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围；（3）若，函数在上的上界是，求的解析式.【答案】（1）见解析；（2）；（3）.【分析】（1）通过判断函数的单调性，求出的值域，进而可判断在上是否为有界函数；（2）利用题中所给定义，列出不等式，换元，转化为恒成立问题，通过分参求构造函数的最值，就可求得实数的取值范围；（3）通过分离常数法求的值域，利用新定义进而求得的解析式．【详解】（1）当时，，由于在上递减，∴函数在上的值域为，故不存在常数，使得成立，∴函数在上不是有界函数（2）在上是以3为上界的有界函数，即，令，则，即由得，令，在上单调递减，所以由得，令，在上单调递增，所以所以；（3）在上递减，，即，当时，即当时，当时，即当时，∴.【点睛】本题主要考查学生利用所学知识解决创新问题的能力，涉及到函数求值域的有关方法，以及恒成立问题的常见解决思想．42．（2019·北京市第一五九中学）已知函数是定义在上的增函数，.（1）求；（2）求证：；（3）若，解不等式：.【答案】（1）0（2）证明见解析（3）【分析】(1)本题可以令以及，带入，即可得出结果；(2)本题可以令以及，然后带入，根据即可得出结果；(3)本题首先可以通过题意得出，然后根据得出，再然后根据得出即，最后根据函数是定义在上的增函数即可得出结果.【详解】(1)令，，则，解得,(2)令，，则，因为，所以，(3)因为函数的定义域为，所以，，因为，所以，解得，因为，所以，即，因为函数是定义在上的增函数，所以，即，即，，解得，的取值范围为.【点睛】本题考查抽象函数的灵活应用以及增函数的相关性质，若函数是增函数且满足，则有，考查推理能力，考查化归与转化思想，是难题.43．（2020·沈阳市·辽宁省实验中学分校）已知函数：且.（1）证明：对定义域内的所有都成立；（2）当的定义域为时，求证：的值域为；（3）设函数，求的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）答案见解析【分析】（1）代入的解析式即可证明结论正确；（2）分离常数后，根据解析式判断出函数在上的单调性，根据单调性求出最值后可得值域；（3），当，且时，，再分类讨论与的大小，求出最小值；当时，，再分类讨论与的大小，求出最小值.【详解】（1）因为，所以对定义域且内的所有都成立；（2）因为在上单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为，当时，取得最大值，最大值为，所以的值域为.（3），当，且时，，若，即时，函数在和上为增函数，所以，若，即且时，，若时，的最小值不存在，当时，，若，即时，，若，即时，在上为减函数，的最小值不存在，又因为时，，综上所述：当且时，，当时，的最小值不存在，当时，，当时，，【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了分离常数法求函数的值域，考查了利用函数的单调性求值域，考查了分类讨论求二次函数在指定区间上的最小值，属于难题.44．（2020·合肥市第六中学高一期中）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，记.（1）求实数、的值（2）定义在上的函数，，对于任意大于等于的自然数，、、都将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数.试求函数是否为在上的有界变差函数？若是，求的最小值；若不是，请说明理由.【答案】（1），；（2）存在，且的最小值为.【分析】（1）由已知中函数在区间上的最大值为，最小值为，结合函数的单调性与最值的关系，可得出关于实数、的方程组，由此可解得实数、的值；（2）根据有界变差函数的定义，可先将区间进行划分，分为、两个区间进行分别判断，进而判断出是否恒成立，从而可得出结论.【详解】（1）因为函数图象的开口方向向上，且对称轴方程为，所以，函数在区间上为增函数，又因为函数在区间上的最大值为，最小值为，可得，解得；（2）函数为上的有界变差函数，理由如下：由（1）知，，当时，，因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且对任意划分，有，恒成立，①对任意的划分，有，恒成立，②由①②可得.所以，存在常数，使得恒成立，且的最小值为.【点睛】本题考查的主要知识点是恒成立问题，二次函数在闭区间上的最值以及新定义，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.45．（2020·浙江杭州外国语学校）已知函数，，其中，（1）判断函数的奇偶性：（2）若，求函数的单调区间；（3）若不等式在时恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数；（2）在上单调递增；（3），，.【分析】（1）讨论是否为0，结合奇偶性的定义，即可得到结论；（2）将写出分段函数的形式，结合二次函数的单调性，可得所求结论；（3）由题意可得对，恒成立，运用绝对值的解法和函数恒成立思想，结合函数的单调性求得最值，可得所求范围．【详解】（1），，当时，，为偶函数，当时，，，为非奇非偶函数；（2）若，，则在，递增，在递增，可得在上单调递增；（3）在，时，恒成立．由对，恒成立，可得对，恒成立，由在，递增，可得的最大值为，则，又在，递减，可得的最小值为，则，可得；①由对，恒成立，可得对，恒成立，或对，恒成立，由在，递减，可得的最大值为，可得；由在，递增，可得的最小值为，可得，则或，②由①②可得的取值范围是，，．【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.46．（2020·四川成都外国语学校高一期中）已知．（1）当时，解不等式；（2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）当时,可得,由，解对数不等式即可求出;（2）由在上单调递减,可得函数在区间上的最大值与最小值的差为,将转化为对任意恒成立,利用二次函数的性质即可求出的取值范围.【详解】（1）当时，，，，，.（2）因为在上单调递减，所以函数在区间上的最大值与最小值的差为，因此即对任意恒成立，因为，所以在上单调