信号与噪声分析

第2章信号与噪声分析知识点及层次确知信号时－频域分析现代通信系统周期信号的傅氏级数表示和非周期信号的傅氏积分。几个简单且常用的傅氏变换对及其互易性。信号与系统特征－卷积相关－维钠－辛钦定理。随机过程统计特征二维随机变量统计特征。广义平稳特征、自相关函数与功率谱特点。高斯过程的统计特征。高斯型白噪声统计特征理想白噪声及限带高斯白噪声特征。窄带高斯白噪声主要统计特征。章的基本理论基础，也是系统分析的最主要的数学方法。信号与系统表示法通信系统常用信号类型不同类型的信号：周期与非周期信号周期信号 满足下列条件：全部时域(2-1)—— 的周期，是满足（2-1）式条件的最小时段。因此，该 也可表示为：(2-2)——是 在一个周期内的波形（形状）。若对于某一信号，不存在能满足式（2-1）的任何大小的值，则不为周期信号（如随机信号）。从确知信号的角度出发，非周期信号一般多为有限持续时间的特定时间波形。确知和随机信号确知信号的特征是：无论是过去、现在和未来的任何时间，其取值总是唯一确定的。如的时间函数。随机信号是指其全部或一个参量具有随机性的时间信号，亦即信号的某一个或更多参量具有波中某一参量（比如相位）在其可能取值范围内没有固定值的情况，可将其表示为：(2-3)其中 和 为确定值， 可能是在（0，2π）内的随机取值。能量与功率信号在我们常用的电子通信系统中，信号以电压或电流（变化）功率为：

上的瞬时或(2-4)功率 正比于信号幅度的平方。其归一化瞬时功率或能量（ =1Ω）表示式为：(2-5)在=1Ω负载上的电压或者电流信号的（归一化）能量为：(2-6)则为：

内的平均能量等于该被截短时段内信号平均功率。而信号 的总平均功率(2-7)一般地，能量有限的信号称为能量信号，即0<信号，即0<<∞。

<∞；而平均功率有限的信号称为功率能量信号与功率信号是不相容的——能量信号的总平均功率（在全时轴上时间平均）等于0为能量信号。从理论上，表示信号的方法很多，但实际上傅立叶分析在信号处理与通信中沿用至今，它信系统中，利用变换域，如频域分析，可更方便地揭示信号本质性特点。基带与频带信号从信源发出的信号，最初的表示方法，大都为基带信号形式（模拟或数字、数据形式），心的一定带宽范围内，因此又称为带通信号。系统表示法通信系统或信号系统涉及线性时不变系统和非线性的、时变系统。在先行课信号与系统（波信道），需以非线性时变系统分析方法来处理。件有两个：系统是线性的——遵循迭加原理和比例倍增。如系统输入和 ，如果存在 的响应为

和 ，响应各为（可迭加性）及作为激励，其响应为：（比例倍增）(2-8)aa1 2

为任意常数。则该系统为线性系统。

，当输入信号 延<时，即 ，而响

也产生同样延时，即

，则该系统为时不变系统。通信系统中的统计分析方法从通信系统的通信过程而言，是具有基于概率统计特征的。从信源到信号表示，有噪信道4信号频谱分析概述为了知识的连续性，同时作为随机信号分析的基础，兹概要回顾确知信号傅立叶分析方法。傅立叶级数任何一个周期为的周期信号 ， ，只要满足狄里赫利条件就可以展开为正交序列之和——傅立叶级数：(2-9)式中系数(2-10)—— 的均值，即直流分量。式（2-9）中，由则得：(2-11)式中： ， 。，又由 ，则 可表示为指数形式：(2-12)式中： ， ，，样项数时，以正交项之和精度最高。

时，在同傅立叶变换非周期信号，即能量信号，其时域表示式通过傅立叶（积分）信号的全部信息特征——频谱函数，更便于信号和系统的分析。信号的傅立叶变换对为频谱函数：反演式：(2-13)表示该傅立叶变换对的缩写符号为：变换对的存在，具有数学上严格的充要条件，这里不再列出。卷积与相关卷积卷积是当系统冲激响应 确定后，已知系统的激励信号 而求响应 的运算过程。这一运算模式也可推广到任何两个时间函数 与 或这两个频域函数 的卷积：时域函数卷积：(交换律)(2-14)频域函数卷积：(2-15)关系式：（卷积定理）(2-16)（调制定理）(2-17)相关一个函数 可求其自相关函数 两个函数 与 可求它们之间的互相关函数 及 ：自相关函数：(2-18)互相关函数：(2-19)(2-20)则有：或 （偶对称性）(2-21)若 及 、 为周期信号，上列各式利用 格式运算。能量谱、功率谱及帕氏定理能量谱密度若存在傅立叶变换对 能量信号 的能量谱与其自相关函数也是一对立叶变换，即：简明表示为：(2-22)这里 ——能量谱函数，或称能量谱密度。功率谱密度若存在傅立叶变换对 ，且 为功率信号，其自相关函数与其功率谱是一对傅立叶变换，即：(2-23)时间平均能量谱，等于它们的功率谱，只是当周期信号时，式（2-23）不必用极限运算。因为 为随机信号时不存在周期，以 表示该 的截短段为 的能量谱， 为此段时间平均功率谱取时间极限后才为该信号准确功率谱这一计算方式到后面随机信号分析将要用到。帕氏定理（Parseval）——信号能量与功率的计算帕氏定理：能量谱或功率谱在其频率范围内，对频率的积分等于信号的能量或功率，并在时域、频域积分，以及自相关函数 =0时，三者计算结果是一致的。希尔伯特变换希氏变换器完成的。为了便于理解变换特点，我们首先讨论这种变换在频域中的规律（规则），然后再返回到时域来进一步认识它，并且变换后信号以1．希氏（频域）变换定义若信号存在傅立叶变换对

表示，相应频谱以 表示。，则其希氏变换的频谱等于该信号频谱 的负频域全部频率成分相移传递函数，即有：

——完成这种变换的传递函数称为希氏滤波器(2-25)则希氏变换频谱为(2-26)2．希氏（时域）变换定义为了得出时域中进行希氏变换的规则，可以很简单地由上述希氏滤波器传递函数 ，求出其冲激响应 ：(2-27a)利用傅立叶变换的互易定理，可由 反演出 ：(2-27b)因此希氏变换的时域表示式为：(2-28)由希式变换的定义：余弦信号的希式变换等于正弦信号；正弦信号的希式变换等于余弦信号。常重要的作用。希氏变换的主要性质信号 与其希氏变换 的幅度频谱功（能量谱以及自相关函数和功（能量）的时间位置。希氏变换 再进行希氏变换表示为 。则有：(2-29)与 互为正交。为证明最后一个性质的正确性，可通过互相关与能量谱进行计算：式中右边：(2-30)0于是，可得正交关系，即：(能量信号)(2-31)或(功率信号)随机变量统计特征在数学课中，已经涉及到基于概率论的随机变量及其统计平均的计算，随机变量是建立随计平均的运算方法。概率的公理概念这里拟从概率空间角度，对随机事件及其概率建立数学模型。一个随机实验，严格来说主要应满足下列三个基本特点：实验（Experiment）在相同条件下是可重复的；每次重复称作试验（Tria，其可能结果（Outcomes）是不可预测的；我们利用统计概率概念来描述概率的定义：一个随机实验，所有试验可能结果Outcomes）称为样本Samples。其全部样本集合构成样本空间（整集，其中一个样本或多个有关样本集合构成的子集称为 的事件域 ， 中的每一集合（或样本）称为事件。这样若事件个要素实体的结合，构成一个概率空间，表示为：

，则 称为事件。

的概率。于是以上三随机变量上面以概率空间 表示了随机实验及其可能结果的概率模型。在实际应用中，我们希望以更明确的数学表示，来阐明样本空间诸事件（集）的统计特性及其相互关系,兹介入“随机变量”概念。现将样本空间中所有事件（样本）均以某种指定的规则映射（Mapping）到数轴上，并以指定的实数来表示它们。如掷硬币两种可能结果的样本空间为 （ 、分别表示硬币出现正反面，映射到数轴上，可由任意指定两个实数作为你的映射规则（01来表示，即构成一维随机变量可能的数值表示，即：

、……）——来表示两个试，此时它以=0及=1两种=1 （ ）及 =0 （ 。如图2-8（a）所示。它包括了随机变量的2个“取值” （=0）及 （=1；由此看来，上述 ， 表面上写法类似于“函数，但它们确不是一个函数，而是变量或变量取值集合。于是，可将随机变量直接用 ，……来表示，以免与函数混淆。其实，随机变量在数轴上所表示样本映射的点（可能的取值，仍与样本的概率相对应，它尚必须对所有样本映射点（取值）的概率给予明确表示。后面将具体说明。随机变量的统计特征

、……，在数轴的实数值代表的样本空间的样本或实体，它们并非确定数，它们只是中样本的“数字符号”形式的代表，因此必须与其概率相对应才有真实意义。 全部样本的累积概率——整集的概率为1，即于某特定取值的随机变量

的累积概率，其大小随

的概率 是一切不大概率分布函数（cdf）可表示为：且有：(2-43)式中， 的含义是不包含所有随机变量取值（ 任何取值均有是不存在的）0

的全部取值所对应的概率之和，即1（随机变量完备群概率。一般地，随机变量值如有,

，则有：接着的问题是，我们尚需了解随机变量 各取值的概率质量（离散时）或概率密度（为连续时，即随机变量 的概率密度（函数）pdf，并以与 是互为微积分关系：

或 表示。或(2-44)1 这里作为“虚假”变量。当具体取值为及x、x,且 ,1 (2-45)若上式中 =–∞， 可设为 的任意值 ，则：(2-46)且有：(2-47)常用的随机变量类型均匀分布前面例子已涉及到均匀分布随机变量，即它们的pdf具有均匀分布特征。又如产生一个幅度为 角频为 的正弦波，

<>，其中若初相非为某种强制设定的量,可看做 是在（0，2π）内均匀分布的随机变量。高斯型分布在自然界中，很多现象符合“中心极限定理，它与高斯（正态）分布特征有着密切关系。维高斯变量 的pdf为：(2-48)由上式看出，对于一个高斯随机变量，只要已知均值

及方差 就能唯一确定其pdf，且可简写为

，其中当 =0，

pdf为

，称其为归一化高斯分布，即：(2-49)图2-11示出了一维高斯随机变量pdf和cdf曲线。本章附录中列出了该归一化分布和概率积分函数：，在实际应用中，经常需要计算高斯随机变量 在 处的累积概率值，即：(2-50)为了查表方便，先进行归一化，即设 可得：(2-51)概率积分函数有以下性质：(2-52)误差函数：(2-53)互补误差函数：(2-54)且有：(2-55)本章附录中列出了误差函数表。同时还列出了当 >>1时近似式的数值。其它类型的概率分布（本章最后部分分布，以及其它类型如波松（Poison）分布，后者用于信号交换排队分析。(2-32)随机过程在通信与信息领域中，存在大量的随机信号。例如语声、音乐信号、电视信号，在通信系统性变化是表现在时间进程中的，可把它们统称为随机过程。随机过程的概念和定义定义1.随机过程是同一个实验的随机样本函数的集合,表示为其中每个样本函数 均为随机过程 的一个成员也称为随机程的一次（试验）实现。定义2.随机过程是随机变量在时间轴上的拓展。此时可表示为 或者与随机变量表示一样，为避免误视为的“函数”，而以 表示随机过程。随机过程是含有随机变量的时间函数。同时，由定义2程中处于不同时刻的（多维）随机变量集合。随机信号的统计特征和平稳随机过程2间截口的随机变量，它们为：其中若的随机过程

，即当 0就更为典型。此时由多个时间截口的随机变量构成，其分布函数可写为：或(2-74)——表示随机过程 的分布函数，各与对应，表示在各不同时间截口处的随机变量取值为，于是，(2-75)其中 为随机过程 的概率密度。由此看来，像随机变量那样，若利用 的pdf来求解各阶多维统计平均是极为复杂的。遇到统计特征可以简化的“平稳随机过程”或“遍历性”平稳过程。一维统计特征首先我们可在随机过程 任意指定时间截口 来看该随机过程——它将成为时刻 处的一维随机过程：它与前面介绍的一维随机变量并无本质区别只是表明了它处于某具体时刻 由于 是任意给定的，也可以去掉下标。此时，为参变量，可以说一维随机过程是随机过程在某一时刻的一维随机变量，其分布函数为：(2-76)相应的概率密度函数为：(2-77)(2-78)由 可以计算出一维随机过程各统计平均：均值函数(2-79)方差函数(2-80)均方值（函数由(2-81)因此,随机过程 的均方值为：(2-82)此结果在数学上的意义：表明随机过程在时刻的二阶原点距等于二阶中心距与一阶原点距平方之和；在物理方面（电学）流功率之和。二维统计平均特征上述一维统计平均反映随机过程的统计特征是很不充分的，二维统计平均更显得重要。我们可以在随机过程 中任选两个时间截口 和 ，将 截取为相的两个随机变量：相应变量取值为相应变量取值为这两个不同时刻的联合随机变量，此时就是二维随机过程。其二维统计特征为：(2-83)(2-84)利用在时间截口和时的二维pdf，可以求出随机过程的二维统计平均，诸如自相关函数，自协方差函数，以及归一化协方差函数——自相关系数。自相关函数(2-85)式中 ，由于 可作为参变量选值，因此以来取代 。自协方差函数