2022年全国一卷新高考题型细分汇编2-8立体几何（大题）8+中档含答案

2022年全国一卷新高考题型细分2-8——立体几何(大题8)中档1、试卷主要是2022年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计174套。2、题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。3、立体几何大题综合性比较大，所以按题目的难易程度进行排版；每道题目后面会标注该题目的知识点、方法，方便选题。(2022年新高考全国一卷J01)如图，直三棱柱的体积为4, 的面积为2垃.(1)求4到平面48c的距离；(叱(2)设。为4c的中点，AAt=AB,平面48CJ■平面,求二面角4一8。一。的正弦值.(等体积法求距离，易：求二面角，步骤多，涉面面垂直性质，中档)(2022年广东茂名J03)如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC是正三角形，平面ABC1平面BCD,BD1CD,点、E,F分别是BC,。。的中点.(1)证明：平面4CC1平面4EF；(®)(2)若4BCD=60。，点G是线段BC上的动点，问：点G运动到何处时，平面4EG与平面4CD所成的锐二面角最小.

//（面面垂直性质，易；二面角，最值分析，中档）（2022年广东仿真J04）（12分）如图，多面体P048C。中，四边形Z8C。是菱形，平面Z8CO,AB=PA=2,ZABC=60°,0c=00=2应，PQ=a（a>0）.（1）设点尸为棱CO的中点，求证：对任意的正数a,四边形尸0E4为平面四边形；（⑨）（2）当。=旧时，求直线尸0与平面尸8c所成角的正弦值.（共面证明，中档，未；求线面角，中档；）（2022年广东韶关二模J06）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-Z58中，底面/8C。为矩形，点S是边18的中点.AB=2,PA=PD=2y[2.（1）若。是侧棱PC的中点，求证：S。//平面四。；心）（2）若二面角尸-40出的大小为g,求直线尸。与平面P8C所成角的正弦值.

（平行四边形证平行，易；二面角反求系数，再求线面角，中档；）（2022年广东佛山二模J09）如图，在以P,A,B,C,O为顶点的五面体中，平面N8CC为等腰梯形，AB//CD,AD=CD=-AB,平面平面为8,PALPB.2（1）求证：△四。为直角三角形；（®）（2）若4D=PB,求直线尸。与平面尸8c所成角的正弦值.（面面垂直性质，中下；求线面角，中档；用共线向量标准坐标点；）1.（2022年广东汕头-模J22）如图为圆锥的顶点是圆锥底面的圆心，为底面直径，=△/8C是底面的内接正三角形，且。0=6,P是线段。。上一点.（1）是否存在点P,使得平面P8C,若存在，求出PO的值；若不存在，请说明理由;（2）当尸。为何值时，直线EP与面P8C所成的角的正弦值最大.（线面垂直反求长度，中下：线面角，最值分析，中档；）

2. （2022年广东调研J28）给出两块相同的正三角形铁皮（如图1,图2）,（1）要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，①请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；②试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小（叱（2）设正三角形铁皮的边长为将正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如图3）,做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？（多面体体积计算，中档；用导数分析最值，中档；）3. （2022年广东六校联考J34）已知矩形纸片力BCD满足48=2，4）=2百，M为ZC中点，将该纸片沿对角线ZC折成空间四边形力8C",使得二面角。-/C-8的大小为仇（1）求三棱锥体积的最大值；（®）（2）若。=60°,求直线g与平面BCD、所成角的正弦值.（求体积最值，中下；二面角反求坐标点，再求线面角，中档：）(2022年山东东营J58)如图，45,CQ分别是圆台上、下底面的直径，且481|CQ,点E是下底面圆周上一点，AB=2近，圆台的高为旧.(1)证明：不存在点E使平面NEC_L平面NOE；(®)(2)若DE=CE=4,求二面角。一ZE—8的余弦值.(存在性问题，反证法，中档；求二面角，易；)(2022年山东师大附中J61)如图甲，平面图形48CAE中，AE=DE=BD=BC=1,BC1BD,DEHAB,NEAB=60°，沿80将折起，使点C到尸的位置，如图乙，使BF上BE，EG=BF.(1)求证；平面GE8E_L平面肛：(®)(2)点/是线段尸G上的动点，当4"与平面血所成角的正弦值为业时，求平面M48与平面7血所夹角的余弦值.(证线面垂直，中下，涉特殊三角形；线面角反求系数，再求二面角，中档；)(2022年江苏南京金陵中学J08)如图，三角形N8C是边长为3的等边三角形，E,尸分别在边48,ACk,且ZE=4/=2,M为8c边的中点，4M交EF于点O,沿E尸将三角形4M折到。E尸的位置，使。加=巫.2

(1)证明：DO1 EFCBi(⑪)(2)若平面EFC8内的直线EN〃平面。OC,且与边8c交于点M问在线段。M上是否存在点尸,使二面角P—RJ8的大小为60。？若存在，则求出点尸；若不存在，请说明理由.(证线面垂直，中下，涉勾股：二面角反求坐标点，中档：)(2022年江苏南京J09)如图，在三棱柱ABC-A\B\C\中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC\A\是菱形，平面ACG4JL平面ABC,E,尸分别是棱4G，8c的中点，G是棱CG上一点，且BQG=tGC(t>Q)-小B(1)证明：EF//平面 (®)(2)若三棱锥8c的体积为1,且二面角AEG1的余弦值为生竺，求，的值.53(证面面平行，中下；二面角反求系数，中档；)(2022年江苏南京江宁中学J10)如图，在四棱台ABCD-A^C^,中，底面为矩形，平面AA^D1

（i）证明：平面CGA。；（⑪）TT（2）若4c与平面CG2。所成角为一，求二面角。一/4一。的余弦值.（面面垂直性质，中下；线面角先算长度，再求二面角，中档；）（2022年江苏南京宁海中学J13）如图，四棱柱-44GR,底面是平行四边形,AB=\,BC=4,NABC=60°,C,C，CO,E为的中点.（1）求证：C,£1CD；（⑭）（2）若GE_LEC,二面角G-CQ—4的大小为60。，求直线用。与平面所成角的正弦值.（证线面垂直，中下；二面角先算长度，再求线面角，中档；）1. （2022年湖南长沙长郡中学J20）已知四棱锥P-N8C。中，底面/BCD是平行四边形,PA=AB，NPAD=NBAD，E,尸分别是/用。。的中点，AD=2,PF=3,PE=6(1)求证：4O_L平面尸/8；(⑮)(2)若尸8=2、5，求二面角8—PC-N的余弦值.(证线面垂直，中档，涉勾股、全等，好多计算；先算长度，再求二面角，中档；)1. (2022年福建集美中学J26)如图，C是以Z8为直径的圆。上异于48的点，平面PNC_L平面/5C,aP4C为正三角形，E,尸分别是PC,尸3上的动点.P(1)求证：BC工AE；(®)(2)若E,尸分别是PC,P8的中点且异面直线片产与8C所成角的正切值为且，记平面4E/与2平面力8。的交线为直线/,点。为直线/上动点，求直线尸。与平面4所所成角的取值范围.(面面垂直性质，易；线线角算长度，再求线面角，再求范围，中档，涉线面平行性质等；)1. (2022年江苏盐城三模J62)如图，在以尸，A,B,C,O为顶点的五面体中，四边形488为等腰梯形，AB//CD,AD=CD=-AB,平面4。_L平面尸45,PA1PB.2

D(1)求证：平面P4Z)J■平面P8C：(⑰)(2)若二面角尸-的余弦值为"，求直线PO与平面P8C所成角的大小.3(面面垂直性质，中下：二面角反求系数，再求线面角，中档：)①【答案】（1）72（2）—2【解析】【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得8C_L平面片4,建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【小问1详解】在直三棱柱48C 中，设点N到平面4BC的距离为h,则VA-A,BC=-S“四,h=~~〃=〃-ABC~S“8C,44=；VABC-^CX= ，解得h—>/2，所以点4到平面ABC的距离为J5；【小问2详解】取48的中点E,连接4E,如图，因为44=45,所以ZEJ.48,又平面48C_L平面,平面48CD平面4=力乃，且NEu平面,所以/EJ_平面43C,在直三棱柱ABC-444中，BBJ平面ABC,由BCu平面48C,8。匚平面48。可得4后_18€',BBJBC,又4E,BB\u平面且相交，所以8。，平面/544,所以两两垂直，以8为原点，建立空间直角坐标系，如图，由(1)得AE=6,所以44=/5=2,48=2及，所以8。=2,则4(0,2,0),4(0,2,2),8(0,0,0),C(2,0,0),所以4c的中点0(1,1,1),则前=(1,1,1),项=(0,2,0),就=(2,0,0),,.一—. 、 m-BD=x+y+z=0TOC\o"1-5"\h\z设平面Z8O的一个法向量/n=(x,y,z),贝叫 ' ,m-BA=2y=0可取浣=(1,0,-1),-, 、m-BD=a+b+c=0设平面的一个法向量〃=(a,b,c),贝 ,m-BC=2a=0可取：=(0,1,-1),Rm-n1 1所以二面角4—80—C的正弦值为Jl—=*.②解：（1）因为A4BC是正三角形，点E是BC中点，所以AEJ.BC,又因为平面4BCJ■平面BCD,平面4BCn平面BCD=BC,AEu平面ABC,所以AE1平面BCD,又因为CDu平面BCD,所以CD14E,因为点E,F分别是BC,CC的中点，所以EF〃BD,又因为BD1CD,所以CO1,EF,又因为CD1AE,AEHEF=E,AE,EFu平面4EF,所以CD1平面AEF,又因为CDu平面ACC,所以平面AC。_L平面AEF.(2)在平面BCD中，过点E作EHIB。，垂足为H,设BC=4,则EA=2百，DF=FC=1,EF=W.以｛丽，瓦，瓦4｝为正交基底，建立如图空间直角坐标系E-xyz,则E(0,0,0),4(0,0,2①C(-l,V3,0),D(l,V3,0),设G(l,y,0),则而=(0,0,2百)，4D=(1,V3,-2V3),CD=(2,0,0).EG=(l,y,0),设平面AEG的法向量为所=(x1,y1,z1),由但,更=。，得『旺z|=。•EG=0(Xi+yyi=0令旷1=-1，故可=(y,-1,0),同理可得平面ACD的法向量为通=(0,2,1)，设平面AEG与平面ACD所成的锐二面角为仇则COS。=|COS＜石,芯＞1=1而向|=西西，当y=0,cos。最大，此时锐二面血。最小，故当点G为BD的中点时，平面AEG与平面ACD所成的锐二面角最小.③【答案】见解析【详解】(1)证明：设0在平面Z8CO内的射影为E,因为。C=0£＞,所以EC=EC,故点E在CO的垂直平分线上，因为48CC是菱形，且48C=60。，故直线4E与CD的交点即为8的中点尸，因为PA±平面48C。，QE1平面ABCD,所以PA//QE,故尸X,0E共面，所以尸0以为平面四边形；(2)解：分别以48,AF,Z尸所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，

则4(0,0,0).8(2,0,0),C(1,60),尸(0,6,0),尸(0,0,2),当尸。=a=E时，由尸尸=J(JJy+2?=近,又尸为等腰三角形0co的底边C。的中点，故0/_LC£>,所以=J(2伪2一『=近^LPF2+QF2=PQ2,又℃=2五,(x-I)2+(y-何+z?=(2伪2设。(x,y,z),则有,x2+(y-0『+z2=7 ,x2+y2+(z-2)2=14解得。(0,2+6',石)，设平面PBC的法向量为力=(a,b,c),因为丽=(2,0,-2),定=(1,6,-2),则有，札竺二°，则有，札竺二°，即n-PC=02a-2c=0a+百b-2c=0令6=1,则°=石,©=百，故万=(G,i,G),又而=(0,2+6,行-2)，所以|cos＜闻，历＞|=\PQn\5yj2-y/6\PQ\\n\ 14故直线尸。与平面PBC所成角的正弦值为丁

20.解：（D取线段?。的中点H,连结S。、OH.HA.如的（1）在aPCD中，。、〃分别是PC、/。的中点,所以OHW8BOHJCD……I分2TOC\o"1-5"\h\z所以OH*AS旦的-AS - 2分所以四边彩4SOH是平行四边形，ffi^SOIfAH— 3分又4Hu平面£3.SOa平面脸.所以SO"平面PAD 4分(2)解法一：取线段3C的中点心F.连结P2、，尸.由点后是线段愈的中TOC\o"1-5"\h\z点，PA^PD^PELAD, 5 分又£尸1/£>,所以NPEF是二面价P-3-5的平面角，即NPEFxg汗 ,“6分以g为朦点,瓦1市方向分别为x轴，了轴正方向，建立如图(2)所示坐标系……7分在④皿中，AD=4.PA=PD=2金对:尸£=2.所以P(O,-L质 8分ZX-2.0.0),5(2,2,0),0(-2,2,0)设平面23G的立向量厚=(%,乂2).则，〃•尸8设平面23G的立向量厚=(%,乂2).则，〃•尸8=0 ，即，刀PC=02x+31y=0 9分-2x+3y- =0B取%n(0,1. 10分设仃线心与平面/>5C所成角为6.WJs»n^=|cos<PD.；>|=-1j.=^……以分所以H线？。勺平面户3c所成角的正弦位为02. 12分4解法二，取4。、BC的中点£、F.连结PE、EF过点E作ZGJ.P尸干。.如图(3).由点&是我段")的中点,PA=PD可符PEJLAD.又EFLAD所以，PEF拈:面向P-40-8的平面用•即/产防 6分所以4)_L平面的.乂ADHBC,所以SCI平面阳 7分又BCu平面28c.所以平而QBC1平面尸即,又平而户BCC半加尸即=PP»BG1PF所以BGX平面★5C* ••«•••••♦••••••••••••••••••••••••«••••«••*9分2在dPEF中.乙PEF=ye•PEs=2>BF=2,所以 LO 分设直战ED与平面PBC所成角为e,则An6=g5=史PD4所以■找尸。与平面PBC•所成角的正弦值为立. 12分4⑤【答案】(1)证明见解析；(2)也.3【解析】【分析】(1)作O〃_L48于"，连8£),证明NO_L8Z)，再结合面面垂直的性质、线面垂直的性质、判定推理作答.(2)在平面PN。内过点P作PzJ.P/,以尸为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.【小问1详解】在等腰梯形48CQ中，作OHJ.718于〃，连BD,如图，tanZB£)Z7=—=>/3,DH即N8O〃=60°，而N40〃=3O°，因此，/4DB=90°，即18。，因平面P/O_L平面P48,平面「4。0平面2/8=尸/,P8u平面PN8,而P41PB，则平面PNQ,又力Ou平面尸4。，于是有ZO_LP8,PBcBD=B，PB,BDu平面PBD,则有平面P8O,「。匚平面/^。，因此，AD工PD,所以APAD为直角三角形.【小问2详解】

在平面尸4。内过点P作PzLPN，因平面P40,平面45,平面P/Ofl平面尸= ,则尸2_1_平面48，因此，P8,尸4Pz两两垂直，以点。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令PB=AD=2,则4=26，PD=2>j2>B（2,0,0）,A（0,2瓜0）,D（0,卡,坐）,方=J■焉=（1,—G,O）,有CQ,」,茎），从而得定=（1,2,卒），丽=（2,0,0）,2 V3V3 V3V3设平面P8C的一个法向量7=(x,y,z),则<设平面P8C的一个法向量7=(x,y,z),则<— 1 2a/2 >令z=l，得n-PC=x+-j=y-i——t=-z=06百1=（0,-2衣1），PD=PD=（0,,设直线尸。与平面尸8c所成角为0,则有 则有 ►1sin0=|cos（n,PD}|=6后\n-PD\= =V3\n\\PD\~3x242~3所以直线PD与平面PBC所成角的正弦值为立3⑥【答案】(1)P0=&时,平面尸8C；(2)当|PO|=«时，直线EP与面尸8C所成的角的正弦值最大.【解析】【分析】(1)求出/£>=473,AO=2AB=6，再根据PA±平面PBC求出PO即得解:(2)如图所示，建立以点。为坐标原点的空间直角坐标系。一中z,设|PO|=x,(04x46),

(nf)=(nf)=利用向量法求出r-^6—，利用基本不等式求解.x~+—^+15【小问1详解】解：由题得AO=-AD,"AD2=PO2+AO2,：.AD2=36+-AD2,2 4所以/。=4百,40=2力.所以△Z8C是圆的内接三角形,所以AB

所以AB

sin60=2x2>/3,AB=6,由题得PT=12+00、假设PA±平面PBC,所以P/_LPB,:.36=12+PO2+\2+PO2,:.PO=y[6.此时PA1PC.所以PO=、/U时，尸4_L平面PBC.【小问2详解】解：如图所示，建立以点。为坐标原点的空间直角坐标系。-孙z.设|PO|=x,(04x46),.\P(0,0,x),E(-石,3,0),B电,3,0),C(-2百,0,0),所以6=(G,-3,x),B=(6,3,-外,元=(一260,-x),设平面尸8C的法向量为；=(〃,"c),nPB->/3a+3h-cx=0一所味而=—2岛…0'所以〃=区-瓜-2内设直线EP与面尸8C所成的角为。，由题得sin0=严+3俨-2国=_2>5x =「R ~IJ12+/心+3△2+12J12+X?力4》2+12在+了+15当且仅当|PO|=x=6时，直线EP与面PBC所成的角的正弦值最大.2®【答案】⑴①答案见解析：②/>”;(2)当箱子底边长为一。时，箱子容积最大，最大值为」y/.【解析】【分析】①可以利用正三角形的图形特征，进行分割②直接求解比较大小即可(2)设箱底边长为x,列出P(x)=,x2xsin60Ox〃=Lax2一！x3(o<x<q),利用求导2 8 8的方法求出最值点，据此即可求解【详解】解：⑴①如图1,沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥.如图2,正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的,，4有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底.②依上面剪拼方法，有%>匕『推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2,那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，

其面积为.其面积为.现在计算它们的高:所以%>%.TOC\o"1-5"\h\z箱子的容积为V(x)=—x2xsin60°xA=—ax2-—x3(0<x<a2 8 8i3 7由P'(x)=wax——r=0解得Xj=0(舍)，X]= ,且当xw(0,"|a)时，r(x)>0；当时，P'(x)<0,所以函数P(X)在X=?a处取得极大值，这个极大值就是函数P(x)的最大值：答：当箱子底边长为2a时，箱子容积最大，最大值为3 54【点睛】本题考查学生的空间想象能力，棱锥棱柱的结构特征，以及利用导数求最值，属于中档题.⑧【答案】(1)1 (2)泗工37【解析】【分析】⑴根据体积比例关系%⑷Mw=3…，计算出三棱锥的高和底面积,即可求解.（2）建立直角坐标系，算出平面5cA的法向量，然后根据直线方向向量和法相量的交角公式计算即可.【小问1详解】解：由题意得：三棱锥幺―的体积匕当。=90°时，取最大值，在矩形/BCD中，过。作。E1.NC交NC于点£,此时，三棱锥2-N8C的高〃=。£AC=^22+（2V3）2=4,h=DE="%。=百Gabc的最大值（G“c）e= =2所以三棱锥4一8加0体积的最大值（七一8岫）a=1【小问2详解】过B作8EJ.NC,垂足为尸，过。作2EJ.4C,垂足为E以尸为坐标原点，£4为x轴，FB为V轴建立空间直角坐标系（如图所示）/(1,0,0),5(0,瓜0),C(-3,0,0),D,(-2,^,1)次=(-3,-后0),西=(-2,-]3,9=(-3,读京设平面BCD1的法向量为n=(x,y,z)

nBC=0江西=0=nBC=0江西=0=）G*3—2x y+—z=02 2取x=l,得万=（1,一JJ,；）设直线AD｝与BCR所成角为a.AD.-nsina.AD.-nsina=［一）—I皿同2Vm「37⑨【答案】（1）证明见解析；3V165--55-,【解析】【分析】（1）引入辅助线。〃_L4E，先假设若题干成立，借此证明出4EJ_底面，显然是不对的；（2）建立坐标系，利用空间向量求解.【小问1详解】假设存在这样的点E使平面NEC_L平面/OE,CD是底面直径，故EC_LOE,作DH上AE，垂足为H，由于平面NECJ•平面ZOE,平面4ECI平面4OE=4E,。，匚平面力。后,根据面面垂直的性质定理，Oa_L平面4EC,又ECu平面4EC,故DH工EC,又DHgDE=D,DH,DE\平面,故EC_L平面力。£,故EC_LN£,同理可证又。EcCE=E,。瓦CEu平面COE于是ZE_L平面EC。，又圆台上下底面圆心连线垂直于底面，但显然上下底的圆心连线不和/1E平行，于是假设矛盾，故不存在点E使平面AEC1平面ADE.【小问2详解】过5作8P_LCQ,垂足为尸，下以尸为原点，尸8,尸。为x,z轴，过尸垂直于8。且落在底面的射线为y轴，建立空间直角坐标系.列出各点坐标

。(3衣0,0),AQg0,V14),£(V2,2>/2,0),8(0,0,V14)荏=(一0,2。(3衣0,0),AQg0,V14),£(V2,2>/2,0),8(0,0,V14)荏=(一0,2、/5,-巧)，瓦=(一2五,2夜,0)，设平面4OE的法向量]二(xj,z),万•AE=0/一可得《n-AF=0-y[2x+26y-y/\4z=0-2yflx+26y=01£=(-V2,272,-714).15=(-272,0,0).设平面/8E的法向量M=(a,4c)，in-AE=0, 可得*m-AB=0-yflx+141y-y/\4z=0-2y[2x=0不妨取tn=(0,V7,2).于是法向量嬴■的夹角为cos（叽〃mn|m|ln|y/\5-yfiA3716555由图所示二面角的大小是钝角，故二面角大小的余弦值是—"适55⑩【答案】（1）证明见解析（2）县4【解析】【分析】（1）推导出8F_1平面/5。£,可得出Z£_L肝，再证明出Z£_L8E，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）证明出£G_L平面/5QE,AEtBE，然后以点E为坐标原点，EA、EB、EG所在直线分别为X、丁、z轴建立空间直角坐标系，设点其中OW/lwJJ，利用空间向量法可得出关于4的等式，求出4的值，可求得M的坐标，然后利用空间向量法可求得平面MAB与平面曲所夹角的余弦值.【小问1详解】证明：翻折前8C_L8O,翻折后，对应地，BFJlBD,又因为BE1BF,BEcBD=B，所以，8/J■平面48DE,

vAEu平面ABDE,：.AELBF,在底面ABCDE中，AE=DE=BD-BC—1,DEHAB,所以，四边形45OE为等腰梯形，因为N£/8=60°，NZEO=N8OE=120°，因为BD=DE，则NBED=NDBE=30°.A/AEB=AAED-/.BED=90°，AE1BE,又因为4E_LB尸，8ED8产=8,.•.工/_1_平面6后8尸，因为NEu平面的，因此，平面GE即，平面的.【小问2详解】解：在RtZX/BE中，Z.AEB=90°»ZEAB=60°.AE=\,则BE= tan60°=G，因为前=而,则EG//BF且EG=BF=BC=1,因为5/_1_平面Z8OE,平面45OE,；AE工BE，以点E为坐标原点，EA、EB、EG所在直线分别为x、N、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则川,0,0）、以0,6,0）、设点”（0,41）,其中04246,所以，^7=（-1,2,1）,易知平面血的一个法向量为。=（0,1,0）,由已知条件可得cos<AM.m>|=AM-m•\m由已知条件可得cos<AM.m>|=AM-m•\mV77因为OW/lwJJ，解得4=a,所以，A8=（-l,V3,0）设平面ABM的法向量为7=（x,y,z）,n-AB=-x+y/iy=0 J3，取歹=6，可得〃=（3,Ji,2）,n•AM=-x-\ y+z=0 mncos mncos<m,n>=；_.tzm\-\n不，因此，平面M/3与平面血所夹角的余弦值为〜士4 4⑪【19~20题答案】【答案】（1）证明见解析;T6T3/—、6（2）存在，DP=-DM,P（O,->J3,—）.7 7 7【解析】【分析】（D先由勾股定理证。,易得OO_LEb,即得证：（2）连接OC,过E作EN//OC交BC于N,如图建立空间直角坐标系。-孙z,设DP=ADM（O<A<\）（再利用向量法求解•【小问1详解】证明：在△£>OM中，易得DO=Jj，OM=—，DM=叵,2 2由。A/2=。。2+。”2,得。又,；AE=AF=2,AB=AC=3,c.EFUBC,又M为BC中点、，：.AM上BC,：.DOLEF,因为后产0|0〃=0,M,OA/u平面E8CE,/.平面E8C/.【小问2详解】解：连接OC,过E作EN//OC交BC于N,OCu平面。OC,ENe平面DOC,则EN//平面DOC,又OE//CN,；.四边形OENC为平行四边形，:.OE=NC=1,如图建立空间直角坐标系。一孙z,设方方=义后（0w%41）,由题得平面ENB的法向量为1=（0,0,1）.设平面ENP的法向量为Z=（x,y,z），由题得0（0,0,扬,〃=（（）¥，一⑻，所以而=（o,立人_JLi），所以办=访+6/=（一1,立/1,百—61）.、万 T3由题得E（l,0,0）,N（-j',0），所以EN= 0）,

m-EN=--x+—y=0 .3.2 ，所以二=“八上也，m-EP=-\+^A+(y/3-y/3A)z=0 ，一加入因为二面角P—EN—B的大小为60°,1所以5=i-|a1所以5=i-|a-入1--21+3+(vrfe)2,解之得2=2（舍去）或4=9.7此时方方=自扇=(0,-V3,--V3),尸(0,-73,—).7 7 7 7 7⑫【答案】（1）证明见解析；（2）t=2.【解析】【分析】（D取中点M,连接证明所〃4”，原题即得证；（2）证明G"_L平面Z8C,分别以H8,"C,"G所在的直线为x，V，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【小问1详解】

证明：取Z8中点M,连接尸为8C的中点，E为4G的中点，//1 //1 //.♦.g=5月。，4七=5〃。,，板=4£，，四边形4”在为平行四边形，EF//A.M,-：EFc平面ABB/”4Mu平面48g4，：,EF〃平面力844【小问2【小问2详解】解：•.•平面/CG4解：•.•平面/CG4J•平面/8C,过G作6〃J.4C,，G〃J•平面Z8C，•••% 4"C、H=—x6.C、H=\nC、H=也,C।~ADI.3△ADl- I 3， I 1CC]=2,:.CH=1,：.H为AC中点，r.BH±AC.如图分别以"5,"C, 所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,（O,1,O）,C,（O,O,V3）EG=\0,（O,1,O）,C,（O,O,V3）EG=\0,由C[G=tGC=>GV3i0K—,u,c22设设平面应和平面ERG的一个法向量分别为1=（X［，M，Z］）,〃2=（工2，%/2>〃i=（1,0,0）,｛二〃i=（1,0,0）,｛二〃2•EG=0-EF=0n2=，+2, +1），设二面角A-EG—F的平面角为仇®【答案】（1）证明见解析；（2）也.4【解析】【分析】（1）要证线面垂直，只要证AD垂直于平面CG2。内的两条相交直线，根据所给数据和垂直关系，即可得证；（2）要求二面角，本题可用空间直角坐标系，连结4G，由（1）可知，4DiJ•平面CG2。＞所以以，为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，求出各个面的法向量利用向量的夹角公式，即可得解.作于〃，则。〃=！，所以cosNO°〃=L,1 2 1 2所以NQAG=q,连结。。，由余弦定理可求得og=JL因为DC；+DD；=DC，所以DC,±DD],因为平面442。_1_平面。。]。。且交于。2，

所以。G，平面力4。。，因为/Ou平面44。。，所以因为NQ_LQC,DCn^C,=D,所以ZOJ.平面CCQQ；(2)连结4G，(2)连结4G，由(1)可知，4A_L平面CGA。，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为4R，平面CG。。，所以4c在平面CGRO内的射影为。C，7T所以4c与平面CCRD所成的角为乙4皿,即N4cA=y,在心△4。"中，因为cn=Ji,所以4。=3,则A（0,0,0）,4（3,0,0）,D0,1,1C[°TT,G（0,2,0）,所以而=(o,g,则A（0,0,0）,4（3,0,0）,D0,1,1C[°TT,G（0,2,0）,所以而=(o,g,等,取=（3,0,0）, =（-3,2,0）,范=设平面的法向量为根=(x,y,z),rnD.D=0-J—,即所R4=01V3_—yd z=02・ 23x=0令y=3,则x=0,z=-73＞故加=（0,3,-石卜设平面441cle的法向量为〃=(a,6,c),元•A©—0-U,即《«•J,C=0—3a+26=0“ 3乙琳C—3aH-b4 c=02 2令a=2,则b=3,c=>/3>故〃=（2,3,石），丽川/一浣工6百所以cos（ni,n）= =-t=—=——,' /叩72V3x44由图可知，二面角。一/4一。锐二面角，故二面角C-AA.-D的余弦值为立.4【点睛】本题考查了线面垂直的证明，考查了利用空间直角坐标系求法向量求二面角，要求逻辑思维能力和较高的计算能力，属于较难题.本题的关键点有：（1）利用数据构造直角三角形得到垂直关系；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用方程求二面角的法向量是求二面角的关键.⑭【答案】（1）证明见解析；（2）正5【解析】【分析】（1）根据几何关系结合勾股定理得CQ_LEC,再根据已知条件证明CQ_L平面ECC1,进而证明GELCZ）；（2）根据题意得GEJ■平面48C。，进而NGCE为二面角G-CO-4的平面角，NC°E=60。,故在aGEC中，EQ=3.再取8C中点尸，连接E尸，则ERJ_EC,故以{eF,EC,EC,j为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,利用坐标法求解即可.【小问1详解】证明：由题知，在aOCE中，，OE=LzO=2,OC=1,NCQE=60°,2所以由余弦定理得CE=y/DE2+DC2-2DE-DCcosZEDC= >所以CErCD?=DE?，即C0_LEC,因为CC1CD，GCCiEC=C,C】C,ECu平面£CC,,所以CD_L平面EC。，因为u平面ECC},所以GE_LC。.

【小问2详解】所以GE，平面A8C。，因为CD_LEC,CC，CQ,所以NC°E为二面角G-CO-4的平面角，因为二面角Ct-CD-A的大小为60°,所以NGCE=60°,所以在ACgC中，"EC=90°,NC[CE=60°,EC=6,EC1=3.所以取8C中点尸，连接ER,则$_LEC,所以以｛赤，反，鬲｝为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz则C(0,G,0),C,(0,0,3),£)(-1,瓜0),8(2,-6,0),所以函=(一1,0,0),西=(0,-73,3)设平面的法向量为〃=(x,y,z),则《n-CC]=-6y+3z=0

nCD=-x=0则《因为醺=京=(0,6,一3),~BD=(-3,2瓜0),所以丽=“+丽=(0,G,-3)+(-3,20,0)=(-3,3瓜-3),设直线用。与平面qcD，所成角为o,则sin0=|cos/n,电）|= !=—j==与। 、八|万忸42V45 5所以直线BQ与平面CQDD］所成角的正弦值为《.®【答案】（1）证明见解析；（2）g.【解析】【分析】（1）若要证明线面垂直，只要证明该直线垂直于平面内的两条相交直线，结合图像利用线面关系即可得解：（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法，求出各个面的法向量，利用向量的夹角公式,即可得解.【详解】连接E尸,80,因为瓦尸是平行四边形Z8CQ的的中点，所以EF//4DREF=4D=2又PE=®PF=3,所以EFZ+PE-PF?，所以ER_LPE从而ADIPE.-AP=AB因为= 所以4以£＞三公历1£）（5.45）,所以PD=BDAD=AD作8P的中点M,连接。M,AM所以，DMIBP,AMLBP,又故8Pl.平面ADM,又4Dq平面ADM,所以BPLAD.又PBu面P4B,PEu面P4B且PBcPE=P所以平面P/5：(2)设ZE=x,则/8=ZP=2x,在AP4B中,cos/48=(2x)+Qx)-8 ①,2-2x-2x在中，cosZP”=(2x)+x2-5,②2-2x-x联立①@得：x=l,于是cos/尸/6=0nNP46=90。，即尸力_L/6.建立如图所示的空间直角坐标系4一斗，得8(2,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0)故8尸=(一2,0,2),8C=(0,2,0)»设〃=(x,y,z)是平面BPC的法向量,\n-BP=Qf-x+z=0(x=z所以〈——=>< =>〈 ，n-BC=o[y=o[y=o取z=l得[=(1,0,1).又4尸_LZ。，APLAB.ADHAB^A,所以4尸_L平面力8CO,BDj平面ABCD,所以又BDLAC,ACC\AP=A,所以8D_L平面4PC,即丽=(—2,2,0),是平面/PC的一个法向量.所以cos(瓦8£))=-g所以二面角8-尸。一/1的余弦值为g.【点睛】本题考查了立体几何的线面垂直的证明，考查了求二面角的大小，计算量较大，属于中档题，本题的关键有：(1)通过线面垂直得到线线垂直，从而得到面线面垂直；(2)建系，求法向量，利用方程求法向量，精确计算，这是求二面