哈尔滨某大学结构力学IT11

四、多自由度体系的振动多自由度无阻尼自由振动振型的正交性多自由度的受迫振动杆系结构有限元动力分析多自由度时程分析方法结论与讨论虽然很多工程问题可以化为单自由度问题计算，但为了有足够的分析精度，一些问题也必须作多自由度进行分析。在等效粘滞阻尼理论下，第二章讨论了两和多自由度体系的运动方程，理论上阻尼矩阵[C]=[Cij]，Cij表示j自由度单位速度引起的i自由度方向的阻尼力。但实际上Cij一般是确定不了的。目前多自由度问题分析先求无阻尼自由振动确定频率、振型等动力特性，然后利用振型的正交性，在假定阻尼矩阵也正交条件下，将多自由度分析通过振型分解化为单自由度问题的组合来解决。再一次体现了，化未知问题为已知问题的研究方法和思想。对复杂荷载情况（象地震地面运动等离散荷载）要用时程分析方法或随机振动理论来解决（第六章）。因此，首先介绍无阻尼自由振动。4.1多自由度无阻尼自由振动多自由度运动方程为无阻尼自由振动运动方程为设其解为{A}sint，代入运动方程可得(-2[M]+[K]){A}sint={0}为使系统有非零的振动解答，必须│-2[M]+[K]│=0（1）或者(-2[M]+[K]){A}={0}（2）上述两式分别称为频率和特征方程。由式（1）展开可得双n次方程，对一般建筑工程结构，求解可得到n个实的不等的正根，它们即为系统的频率。但一般更多是从式（2）出发。4.1多自由度无阻尼自由振动式（2）可改写为

2[M]{A}=[K]{A}（3）数学上称作广义特征值问题。为了将其化为标准实对称矩阵特征值问题，需作如下改造：设[M]=([M]1/2)T[M]1/2（4）[M]1/2{A}={X}则{A}=([M]1/2)-1{X}（5）代回式（3）得2([M]1/2)T{X}=[K]([M]1/2)-1{X}（6）方程两边再左乘[([M]1/2)T]-1，则2{X}=[([M]1/2)-1]T[K]([M]1/2)-1{X}（7）记[([M]1/2)-1]T[K]([M]1/2)-1=[D]

（8）由于[K]是对称矩阵，从式（8）可见[D]是对称矩阵。将式（8）代入式（7）可得2{X}=[D]{X}（9）4.1多自由度无阻尼自由振动式2{X}=[D]{X}（9）就是实对称矩阵标准特征值问题的方程，利用线性代数所介绍的特征值问题解法就可求得[D]矩阵的特征对[2，{X}]，再由式（5）可求得广义特征问题的振型矩阵{A}。由数学可知，对建筑工程一般问题，从n阶的特征方程（3）可求得n个特征对，也即有n个频率i以及和i对应的振型{A}i。按i从小到大排列可得结构的频谱，1和{A}1分别称为第一频率（基本频率或基频）、第一振型。其他依次称第二、第三等等频率、振型。有了任意n自由度问题自由振动解法、结论，两自由度问题可以作为它的特例，按上述解法、思路进行分析。4.1多自由度无阻尼自由振动对两自由度问题来说，根据具体问题运动方程可以用刚度法建立，也可以用柔度法建立。因此，教材上分别基于刚度法和柔度法进行了具体讨论，给出了频率、振型和刚度系数、质量的关系以及和柔度系数、质量的关系。这些公式能记住更好，但我认为不记也没关系，关键是记住如下一些基本概念。1）在无阻尼自由振动下-[M]{ü}=[K]{u}，也即惯性力和弹性恢复力平衡，且它们同相位。因此如果设振幅为{A}，式（3）也可通过列惯性力、恢复力的幅值方程得到。2）当基于柔度法时，位移由惯性力引起，柔度法特征方程同上理由（同相位），也可直接列幅值方程建立{A}=2[f][M]{A}（10）3）拿上具体问题后，关键是正确确定[M]、[K]或[f]，有了它们不管什麽结构，由统一格式可写出式（3）或式（10）。4.1多自由度无阻尼自由振动4）两自由度问题n=2。展开特征方程将得到双二次频率方程，根据具体的刚、柔度系数和质量，解此频率方程即可得频率1和2。5）将频率1和2代回特征方程只能得到和某频率对应的位移比值（齐次方程只能得到比值），对它可以进行“规格化”,一般使最大值等于1，即可得振型。6）自由振动的通解可由各频率的简谐振动解答叠加得到，振幅、相位由质量的初位移、初速度（n个自由度有2n个初始条件）来确定。综上可见，有了[M]、[K]或[f]，剩余工作主要是数学运算了。但要达到熟练掌握，必须到SMCAI里多看一些例子、多做一些练习。限于学时这里不举例了。4.2振型的正交性因为i2[M]{A}i=[K]{A}i、j2[M]{A}j=[K]{A}j前一式左乘{A}jT、后一式左乘{A}iT，再将两式相减，由于质量、刚度的对称性，可得(i2-j2){A}jT[M]{A}i=0(11)由此可得{A}jT[M]{A}i=0(12)上式乘j2，考虑到j2[M]{A}j物理意义是第j振型对应的惯性力幅值，因此式（12）表明第j振型对应的惯性力在第i振型位移上不做功。从式（12）和特征方程立即可证{A}jT[K]{A}i=0(13)它表明第j振型对应的弹性恢复力在第i振型位移上不做功。4.2振型的正交性式(12)和式(13)从数学上说，是不同振型对质量、刚度加权正交。也即振型具有正交性。从第i振型幅值方程，立即可得i2{A}iT[M]{A}i={A}iT[K]{A}i(14)记Mi*={A}iT[M]{A}i(15)称作第i振型广义质量，记Ki*={A}iT[K]{A}i(16)称作第i振型广义刚度。则i2=Ki*/Mi*(17)也即第i频率的平方可象单自由度一样，由广义刚度和质量来求。式(12)和(13)是最基本、最常用的正交关系。4.2振型的正交性因为i2[M]{A}i=[K]{A}i(a)两边同时左乘{A}jT[K][M]-1，则i2{A}jT[K][M]-1[M]{A}i==i2{A}jT[K]{A}i=i2{A}jT[K][M]-1[K]{A}i=0

(b)式(a)两边同时左乘{A}jT[K][M]-1[K][M]-1，则可证i2{A}jT[K][M]-1[K]{A}i=i2{A}jT[K]([M]-1[K])2{A}i=0(c)按此思路继续左乘,即可证明{A}jT[K]([M]-1[K])n{A}i=0(18)类似地，请自行证明{A}jT[M]([K]-1[M])n{A}i=0(19)式(18)和式(19)中n是正整数。它们还可合并为一个式子，请大家思考如何合并？这是更一般的正交关系。4.2振型的正交交性式(12)和(13)[或式(18)和(19)]正交性在多多自由度分分析中有极极重要的作作用，应该深刻刻理解。利用正交性性可作如下下工作：1）在正确确确定[K]、[M]前提下，可可用它校核核振型计算算的正确性性。2）已知振型型、[K]、[M]的条件下，，可用它求求振型对应应的频率。。3）可用正交性性将任意位位移分解成成振型的组组合。例如如有位移{y}，可设{y}=ci{A}i，ci为组合系数数。等式两两边同时左左乘{A}jT[M]，根据正交性性则有{A}jT[M]{y}=cjMj*(d)由此可求出出组合系数数cj，代回{y}=ci{A}i即可得按振振型分解的的结果。4.2振型的正交交性4）可将多自自由度问题题化成单自自由度问题题来解决。。实际上，，只要设{u(t)}=yi(t){A}i，代入运动方方程可得[M]ÿi(t){A}i+[K]yi(t){A}i={0}(e)方程两边同同时左乘{A}jT，根据正交性性则有Mj*ÿj(t)+Kj*yi(t)=0(20)从式(20)可得(根据单自由由度自由振振动结果)yi(t)=aisin(it+ci)(f)代回多自由由度所假设设的解，即即可得{u(t)}=aisin(it+ci){A}i(21)5）式(21)中的待定常常数ai、ci可由初始条条件确定。。如何确定定请自行考考虑。6）正交性还还是受迫振振动分析的的基础。4.3多自由度的的受迫振动动4.3.1多自由度受受迫振动的的振型分解解法多自由度任任意荷载下下运动方程程为象上节4）一样，设设{u}=yi(t){A}i，也即位移分分解成各振振型的组合合，组合系系数yi(t)称广义坐标。则[M]ÿi(t){A}i+[C]ýi(t){A}i+[K]yi(t){A}i={P(t)}(a)如果果阻阻尼尼矩矩阵阵对对振振型型不不正正交交，，也也即即{A}jT[C]{A}i0(b)则式式(a)将是是联联列列的的微微分分方方程程组组，，求求解解将将是是很很困困难难的的。。为为此此，，通通常常引引入入正正交交阻阻尼尼假假设设，，也也称称Rayleigh(瑞利利)比例例阻阻尼尼如下下[C]=0[M]+1[K](22)也即即认认为为阻阻尼尼和和系系统统质质量量、、刚刚度度成成正正比比，，0比1可用用振振型型正正交交性性由由阻阻尼尼比比i，j和频频率率i，j确定定(作业业)。4.3多自自由由度度的的受受迫迫振振动动在正正交交阻阻尼尼假假设设下下，，{A}iT[C]{A}i=Ci*(23)式(a)两边边同同时时左左乘乘{A}iT，则可可得得Mi*ÿi(t)+Ci*ýi(t)+Ki*yi(t)={A}iT{P(t)}(24)其中中Mi*、Ci*、Ki*分别别称称为为第第i振型型广义义质质量量、、广广义义阻阻尼尼、、广广义义刚刚度度。再再记记第第i振型型广义义荷荷载载为{A}iT[P(t)]=Pi*(t)(25)则式式(24)是广广义义坐坐标标yi(t)的单单自自由由度度方方程程Mi*ÿi(t)+Ci*ýi(t)+Ki*yi(t)=Pi*(t)(26)利用Duhamel积分可求出式式(26)的解答为代回{u}=yi(t){A}i，即可得多自由由度受迫振动动解答。脉响函数自由振动4.3多自由度的受受迫振动如果[P(t)]=[P]f(t)(27)则Pi*(t)={A}iT[P]f(t)=Pi*f(t)(c)记i={A}iT[P]/Mi*=Pi*/Mi*(28)称为第i振型的振型参与系数数。则可得Mi*ÿi(t)+Ci*ýi(t)+Ki*yi(t)=iMi*f(t)(29)或ÿi(t)+2iiýi(t)+i2yi(t)=if(t)(30)在零初始条件件下，广义坐坐标为代回{u}=yi(t){A}i，即可得{u}=ii(t){A}i。i(t)称为第i振型的广义位移。(31)(32)4.3多自由度的受受迫振动4.3.2简谐荷载下的的受迫振动反反应设动荷载（转转动机器引起起）为{P(t)}={P}sint(33)则由式(28)可求得各振型型的振型参与与系数i，当只讨论稳态态振动，并且且认为i=i,d(忽略阻尼对频频率的影响)时，根据单自自由度所得结结果，广义位位移为i(t)=isin(it-i)/i2(34)式(34)中i为第i振型动力系数数i=[(1-i2)2+4i2i2]-1/2(35)其中i为第i振型频率比(i=/i)，i为第i振型相位角tgi=2i/i(1-i2)(36)将式(34)代回{u}=ii(t){A}i，得{u(t)}=[iisin(it-i)/i2]{A}i(37)无阻尼情况自自然可以当作作有阻尼情况况的特例，在在上述结果中中令i=0得到。4.3多自由度的受受迫振动4.3.3简谐荷载受迫迫振动反应分分析步骤当动荷载载为{P}sint[或{P}cost]时，多自自由度系系统稳态态反应分分析，可可按如下下步骤进进行1）确定系系统质量量[M]、刚度[K]（或柔度[f]）矩阵。2）求无阻阻尼自由由振动的的振型{A}i、频率i。3）用阻尼比比1,2和频率1,2求瑞利阻阻尼的0和1。4）求i振型振型型参与系系数i={A}iT[P]/{A}iT[M]{A}i。5）求i振型阻尼尼比i=1/2(0/i+1i)6）求i振型动力力系数i=[(1-i2)2+4i2i2]-1/2。7）求i振型相位位角i=arctg[2i/i(1-i2)]。8）求i振型广义义位移i(t)=isin(it-i)/i2。9）将各振型型广义位位移代回回{u}=ii(t){A}i，则得最终终结果{u(t)}=[iisin(it-i)/i2]{A}i(37)4.4杆系结构构有限元元动力分分析4.4.1基本原理理对动力问问题，设设单元位位移场仍仍表示成成[d]=[N][d]e，只是现在在[d]=[d(x,t)]，[d]e=[d(t)]。设杆单元元的密度度为，将微段惯惯性力-[a]Adx作为体积力力，则这一单单元荷载载的总虚虚功为(38)引入单元元一致质质量矩阵阵[m]e(39)4.4杆系结构构有限元元动力分分析由式(39)代入形函函数并积积分，对对质量均均匀分布布的平面面弯曲单单元，其其单元一一致质量量矩阵[m]e为(40)作业：试试求拉压压杆单元元的一致致质量矩矩阵[k]。4.4杆系结构构有限元元动力分分析当在无阻阻尼情况况下，用用虚位移移原理进进行单元元分析可可得单元元刚度方方程（注意：：现在的的分析是是对单元元局部坐坐标系的的）由此“单单元刚度度方程””出发，，经坐标转转换、整整体集装装（定位向量量“对号号入座””）后，可得有限元所所建立的的运动方方程(41)(42)如果要考考虑阻尼尼，则可可利用瑞瑞利阻尼尼，由结结构一致致质量矩矩阵[M]和结构刚刚度矩阵阵[K]来建立结结构阻尼尼矩阵[C]。4.4杆系结构构有限元元动力分分析4.4.2几点说明明1）以单元元上无荷荷载作用用，仅产产生单位位位移的的形函数数作为单单元位移移场，这这是常用用的一种种近似处处理。2）结构一一致质量量矩阵和和结构刚刚度矩阵阵非零元元素分布布一样。。3）Clough教授曾经经指出，，对于框框架结构构，将杆杆件一半半质量集集中在杆杆端，用用集中质质量法计计算不仅仅在处理理后可减减少未知知数个数数（自由由度），，而且往往往精度度更好。。4）当采采用集中中质量法法时，[M]中相应转转动自由由度的对对角线元元素（转转动惯量量）为零零，假设设位移编编码将转转动自由由度集中中在最后后编，则则无阻尼尼运动方方程分块块形式为为[M1][ü]+[K11][u]+[K12][]=[R1][K21][u]+[K22][]=[R2]由此消去去[]，可得得只有线线位移自自由度的的方程。。4.4杆系结构构有限元元动力分分析4.4.2几点说明明5）如果分分析时用用集中质质量法且且不考虑虑轴向变变形，则则集装后后最终质质量矩阵阵是每层层质量对对角排列列的形式式。这是是目前杆杆系模型型的常用用计算方方案。6）对于上上述杆系系模型的的计算程程序，质质量矩阵阵很简单单。但是是集装形形成刚度度矩阵时时，要做4）中所述述的“静静力缩聚聚”。当[R2]=[0]时，[K1]=[K11]-[K12][K22]-1[K21]，运动方程程为[M1][ü]+[K1][u]=[R1](43)自由度数数等于框框架的层层数。7）本节基基本原理理是对杆杆系结构构进行说说明的，，象计算算结构力力学力里里一样，，思路、、方法也也可用于于其他位位移有限限元动力力分析。。8）程序Vibra可用来计计算杆系系结构的的自振特特性等等等，请大大家使用用。4.5多自由度度时程分分析方法法4.5.1多自由度度的线加加速度法法在3.3节介绍了了单自由由度线加加速度法法，从运运动方程程的相似似性mü+cú+ku=P(t)[M]{ü}+[C]{ú}+[K]{u}={P(t)}显然在[0,t]时间间隔隔内假设设加速度度线性变变化,则将3.3节m,c,k,P换成[M]、[C]、[K]、{P(t)}，即可得到到多自由由度线加加速度法法的等效效刚度和和等效荷荷载。数值积分分能做线线性、非非线性时时程分析析，对非非正交阻阻尼矩阵阵也能求求解。重重要、高高层结构构要用时时程分析析。4.5.2多自由度度的Wilson-法线加速度度法要求求t小于系统统最短周周期的1/10，当自由由度很多多时频率率将很高高周期很很短，这这一要求求使计算算很费时时间。而而且进一一步数学学分析表表明它是是条件稳稳定的。。4.5多自由度度时程分分析方法法Wilson提出，假假设[0,t]加速度线线性变化化,仿线加速速度法进进行推导导,可得[K]*=a0[M]+a1[C]+[K](44){P(t+t)}*={P(t)}+({P(t+t)}-{P(t)})++[M](a0{u(t)}+a2{ú(t)}+2{ü(t)})++[C](a1{u(t)}+2{ú(t)}+a3{ü(t)})(45)[K]*{u(t+t)}={P(t+t)}*(46)由式(46)可解出{u(t+t)}，进一步可可以求的的t+t时刻的状状态向量量。4.5.3Wilson-法的步骤骤1）形成系系统[M]、[C]、[K]；2）确定初始始状态向向量{u(0)}、{ú(0)}、{ü(0)}；3）确定(一般为1.4)和t;按以下公公式计算算常数4.5多自由度度时程分分析方法法a0=6/(t)2;a1=3/(t);a2=2a1;a3=t/2;a4=a0/;a5=-a2/;a6=1-3/;a7=t/2;a8=t2/6(47)4）按式(44)计算等效效刚度；；5）对等效效刚度进进行LDLT分解，获获得D和L；6）按式(45)计算等效效荷载；；7）用线性性方程组组的LDLT法解{u(t+t)}；8）按以下公公式计算算t+t时刻的状状态向量量{ü(t+t)}=a4({u(t+t)}-{u(t)})+a5{ú(t)}+a6{ü(t)}{ú(t+t)}={ú(t)}+a7({ü(t+t)}+{ü(t)})(48){u(t+t)}={u(t)}+t{ú(t)}+a8({ü(t+t)}+2{ü(t)})9）按6）~8）逐步计算算，求整个个时程的反反应。4.5.4Wilson-法的几点说说明1）这是无条条件稳定的的算法；4.5多自由度时时程分析方方法2）用这种方法法会带来附附加的阻尼尼（算法阻阻尼），使使频率减少少，周期增增长。3）当t太大时，有所谓“超超越现象””，导致发散。。4）其截断误误差为t2量级，因此此精度较低低。提高精精