最新北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形课件

第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第一章特殊平行四边形1下面几幅图片中都含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？与下图相比较，这些平行四边形特殊在哪里？这些平行四边形的邻边相等。像这样的平行四边形叫做菱形。有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。下面几幅图片中都含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，你能2图片中有你熟悉的图形吗？

你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流。图片中有你熟悉的图形吗？你能举出一些生活中菱形的例子吗？与3（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？

菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。中心对称图形。

（2）你认为菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。

想一想（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质4（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？做一做

用菱形纸片折一折，回答下列问题：菱形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，两条对称轴互相垂直。菱形的四条边相等。（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间5菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形领条对角线所在的直线。两条对称轴互相垂直。菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相等。通过上面的折纸活动，我们可以发现菱形的四条边相等，对角线互相垂直。下面我们证明这些结论。（2）菱形中有哪些相等的线段？

菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形领条对角线所在的直线。6已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD.已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相7证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）又∵AB=AD∴AB=BC=CD=AD

证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，8（2）∵AB=AD∴△ABD是等腰三角形又∵四边形ABCD是菱形∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）在等腰三角形ABD中，∵OB=OD∴AO⊥BD即AC⊥BD（2）∵AB=AD9定理菱形的四条边都相等。定理菱形的两条对角线互相垂直。

菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质：定理菱形的四条边都相等。定理菱形的两条对角线互相垂直10例1如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。

例1如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，11

12随堂练习如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长.随堂练习如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点13最新北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形课件14已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.求:(1).对角线AC的长度;(2).菱形ABCD的面积.菱形性质的应用已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线15解:(1)∵四边形ABCD是菱形,=2×△ABD的面积∴∠AED=900,(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积∴AC=2AE=2×12=24(cm).菱形的面积等于两条对角线乘积的一半解:(1)∵四边形ABCD是菱形,=2×△ABD的面积∴∠A16已知，如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B.求证：△ABC是等边三角形。如图，在菱形ABCD中，BD=6，AC=8，求菱形的周长。已知，如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B.如图，在菱形17已知，如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O。求证：AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.通过本题你又能得到菱形有什么性质？菱形的每条对角线平分一组对角。已知，如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O。求18如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,图中有多少个等腰三角形和直角三角形？如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,图中有多19已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E,连接BE.求证：∠AFD=∠CBE.已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC20菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形.四条边都相等的四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.对角线互相垂直平分的四边形是菱形.

想一想怎样判别一个四边形(平行四边形)是菱形?菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形.21定理:四条边都相等的四边形是菱形.菱形的判定已知:如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求证:四边形ABCD是菱形.CBDA定理:四条边都相等的四边形是菱形.菱形的判定已知:如图,在四22分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可使问题得证.证明:∵AB=BC=CD=DA,∴AB=CD,BC=DA.∴四边形ABCD是平行四边形∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形。分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可23定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知:如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD.求证:四边形ABCD是菱形.DBCAO定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知:如图,在□AB24证明:∵四边形ABCD是平行四边形.∴AO=CO.∵AC⊥BD,∴DA=DC.(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)∴四边形ABCD是菱形.分析:要证明□ABCD是菱形,就要证明有一组邻边相等即可.证明:分析:要证明□ABCD是菱形,就要证明有一组邻边相等即25课堂小结1、定理:菱形的四条边都相等.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD.CBDA2、定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.∵AC,BD是菱形ABCD的两条对角线.∴AC⊥BD,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.DBCAO课堂小结1、定理:菱形的四条边都相等.CBDA2、定理26定理:四条边都相等的四边形是菱形.定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.在四边形ABCD中,∵AB=BC=CD=AD,∴四边形ABCD是菱形.∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,AC⊥BD.∴四边形ABCD是菱形.CBDADBCAO定理:四条边都相等的四边形是菱形.定理:对角线互相垂直的平行27第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定第一章特殊平行四边形28学习

目

标1、能用综合法证明矩形的性质定理、判定定理以及相关结论；2、能用矩形的性质进行简单的证明与计算．学习目标1、能用综合法证明矩形的性质定理、29请从边、角、对角线三个方面说一说平行四边形有哪些性质？边：对边平行且相等；角：对角相等；对角线：对角线互相平分．新课

导

入请从边、角、对角线三个方面说一说平行四边形有哪些性质？边：对30

分析：（1）矩形的形成过程是平行四边形的一个角由量变到质变的变化过程．（2）矩形只比平行四边形多一个条件：“一个角是直角”，不能用“四个角都是直角的平行四边形是矩形”来定义矩形．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．知识

讲

解分析：（1）矩形的形成过程是平行四边形的一个角由量变31矩形与平行四边形之间的关系平行四边形矩形（3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性）．矩形与平行四边形之间的关系平行四边形矩形（3）矩形是特殊的平32（4）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质．①边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直；②角：四个角是直角（性质1）；③对角线：相等且互相平分．ABCDO（4）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质．A33定理:矩形的四个角都是直角.已知:如图,四边形ABCD是矩形.分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.证明:∵四边形ABCD是矩形.∴∠A=90,四边形ABCD是平行四边形.∴∠C=∠A=90,∠B=180-∠A=90,∠D=180-∠A=90.求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90.∴四边形ABCD是矩形.DBCA定理:矩形的四个角都是直角.已知:如图,四边形ABCD是矩形34定理:矩形的两条对角线相等.已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.求证:AC=BD.证明:∵四边形ABCD是矩形.∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.分析:根据矩形的性质,可转化为全等三角形(SAS)来证明.DBCA∵BC=CB.∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB.定理:矩形的两条对角线相等.已知:如图,AC,BD是矩形AB35推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．练一练：如图，在矩形ABCD中：问：在Rt△ABC中，斜边AC上的中线是OB，它与斜边的关系是OB=

AC．问：是不是所有的三角形都有这样的性质?关键是是不是任何一个三角形都可以放进一个矩形里?推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．练一练：如图，在36【例1】已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.解析:∵四边形ABCD是矩形.DBCAO你认为例1还可以怎么去解？【例1】已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,A37定理:有三个角是直角的四边形是矩形.已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证.证明:∵∠A=∠B=∠C=90°.∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.求证:四边形ABCD是矩形.∴四边形ABCD是平行四边形.DBCA∴四边形ABCD是矩形.结论定理:有三个角是直角的四边形是矩形.已知:如图,在四边形AB38定理:对角线相等的平行四边形是矩形.已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.求证:平行四边形ABCD是矩形.DBCA分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.证明:∴AB=CD,AB∥CD.∵AC=DB,BC=CB.∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB.∵四边形ABCD是平行四边形.∵∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=90°.∴四边形ABCD是矩形.定理:对角线相等的平行四边形是矩形.已知:如图,在□ABCD39下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）对角线相等的四边形是矩形；（）（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）（3）有四个角是直角的四边形是矩形；（）（4）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）√

√

跟踪训练╳╳下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？√√跟踪训练╳╳40定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.求证:△ABC是直角三角形.已知:CD是△ABC边AB上的中线,且EABCD分析:要证明△ABC是直角三角形,可以将点A,B,C构造平行四边形,然后证明其对角线相等,即可证明是矩形.定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角41证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE.∴四边形ACBE是平行四边形.∵AB=2CD,CE=2CD.∴AC=DB.∴四边形ACBE是矩形.∵AD=BD,CD=ED.∴∠ACB=90°.∴△ABC是直角三角形.证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE.∴四边形A421．如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能说明□ABCD是矩形的有

（填写序号）.解析：根据对角线相等的平行四边形是矩形；矩形的定义.答案：①④随堂

练

习1．如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB432．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为AC的中点，则DE＝

．解析：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，DE等于AC的一半，所以DE=4.答案：42．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E443．如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．（1）求∠CAE的度数；（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．解析：（1）在等边△ABC中，∵点D是BC边的中点，∴∠DAC＝30º，又∵等边△ADE，∴∠DAE＝60º，∴∠CAE＝30º.3．如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作45（2）在等边△ABC中，∵F是AB边的中点，D是BC边的中点，∴CF＝AD，∠CFA＝90º，又∵AD＝AE，∴AE＝CF，由（1）知∠CAE＝30º，∴∠EAF＝60º+30º＝90º，∴∠CFA＝∠EAF，∴CF∥AE，∵AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵∠CFA＝90º，∴四边形AFCE是矩形．（2）在等边△ABC中，∵F是AB边的中点，D是BC边的中点464．已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点．求证：四边形BMDN是矩形．证明：在正三角形ABD和BCD中，M、N分别为BC、AD的中点.∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠DBC=60°，∠BND=∠DMB=90°，∠NBD=30°.∴∠NBM=90°.∴四边形BMDN是矩形.4．已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和47通过本课时的学习，需要我们掌握：1、矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等；（3）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.2、矩形的判定定理：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形.3、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半.本课

小

结通过本课时的学习，需要我们掌握：本课小结48第一章特殊平行四边形1.3正方形的性质与判定第一章特殊平行四边形49由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.定义正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形．正方形的性质=菱形的性质+矩形的性质.由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一50定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.求证:(1)AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO;(2)AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线.ABCDO定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平51分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.证明:∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.∴AO=CO,BO=DO;AC=BD,;∵四边形ABCD是正方形,AC⊥BD;AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.证明52定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.求证:(1)∠A=∠B=∠C=∠D=90°.(2)AB=BC=CD=DA.分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.ABCD已知:四边形ABCD是正方形.定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.求证:(1)∠A53证明:∴四边形ABCD是矩形,也是菱形.∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA.∵四边形ABCD是正方形,证明:∴四边形ABCD是矩形,也是菱形.∴∠A=∠B=∠C=54对角线相等的菱形是正方形.有一个角是直角的菱形是正方形.对角线互相垂直的矩形是正方形.正方形的判定方法：对角线相等的菱形是正方形.有一个角是直角的菱形是正方形.对角552.在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，

则∠AEB的度数为（）1.在□ABCD中，AC平分∠DAB，AB=3，则□ABCD的周长为（）随堂

练

习A．6B．9C．12D．15ABCD【解析】选C.可证明□ABCD是菱形．A．10°B．12.5°C．15°D．20°C2.在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，

则∠AEB的度563.如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则此菱形的边长为（）A．5 B．6C．8 D．10ABCD【解析】选A.根据菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理得菱形的边长为5.4．若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线长的平方和为（）A．16 B．8 C．4

D．1A3.如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝575.如图，已知正方形ABCD，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连结DE，CE，则∠DEC=_______.

【解析】△ABE为等边三角形∠BAE=60°，∠DAE=150°，△ABE为等腰三角形，∠AED=15°同理∠BEC=15°所以∠DEC=30°答案：30°5.如图，已知正方形ABCD，以AB为边向正方形外作等边三角586.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．(1)求证：△BDF≌△CDE；(2)若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形．6.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD59【证明】（1）∵D是BC的中点，∴BD=CD.∵CE∥BF，∴∠DBF=∠DCE.又∵∠BDF=∠CDE，∴△BDF≌△CDE.（2）∵△CDE≌△BDF，∴DE=DF.∵BD=CD，∴四边形BFCE是平行四边形.在△ABC中，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，即EF⊥BC.∴四边形BFCE是菱形.【证明】（1）∵D是BC的中点，∴BD=CD.60本课

小

结2、正方形常用的判定方法：(1)对角线相等的菱形是正方形.(2)有一个角是直角的菱形是正方形.(3)对角线互相垂直的矩形是正方形.1、正方形的性质：(4)有一组邻边相等的矩形是正方形.菱形的性质+矩形的性质本课小结2、正方形常用的判定方法：(1)对61第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第一章特殊平行四边形62下面几幅图片中都含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？与下图相比较，这些平行四边形特殊在哪里？这些平行四边形的邻边相等。像这样的平行四边形叫做菱形。有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。下面几幅图片中都含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，你能63图片中有你熟悉的图形吗？

你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流。图片中有你熟悉的图形吗？你能举出一些生活中菱形的例子吗？与64（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？

菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。中心对称图形。

（2）你认为菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。

想一想（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质65（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？做一做

用菱形纸片折一折，回答下列问题：菱形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，两条对称轴互相垂直。菱形的四条边相等。（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间66菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形领条对角线所在的直线。两条对称轴互相垂直。菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相等。通过上面的折纸活动，我们可以发现菱形的四条边相等，对角线互相垂直。下面我们证明这些结论。（2）菱形中有哪些相等的线段？

菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形领条对角线所在的直线。67已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD.已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相68证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）又∵AB=AD∴AB=BC=CD=AD

证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，69（2）∵AB=AD∴△ABD是等腰三角形又∵四边形ABCD是菱形∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）在等腰三角形ABD中，∵OB=OD∴AO⊥BD即AC⊥BD（2）∵AB=AD70定理菱形的四条边都相等。定理菱形的两条对角线互相垂直。

菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质：定理菱形的四条边都相等。定理菱形的两条对角线互相垂直71例1如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。

例1如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，72

73随堂练习如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长.随堂练习如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点74最新北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形课件75已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.求:(1).对角线AC的长度;(2).菱形ABCD的面积.菱形性质的应用已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线76解:(1)∵四边形ABCD是菱形,=2×△ABD的面积∴∠AED=900,(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积∴AC=2AE=2×12=24(cm).菱形的面积等于两条对角线乘积的一半解:(1)∵四边形ABCD是菱形,=2×△ABD的面积∴∠A77已知，如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B.求证：△ABC是等边三角形。如图，在菱形ABCD中，BD=6，AC=8，求菱形的周长。已知，如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B.如图，在菱形78已知，如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O。求证：AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.通过本题你又能得到菱形有什么性质？菱形的每条对角线平分一组对角。已知，如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O。求79如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,图中有多少个等腰三角形和直角三角形？如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,图中有多80已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E,连接BE.求证：∠AFD=∠CBE.已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC81菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形.四条边都相等的四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.对角线互相垂直平分的四边形是菱形.

想一想怎样判别一个四边形(平行四边形)是菱形?菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形.82定理:四条边都相等的四边形是菱形.菱形的判定已知:如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求证:四边形ABCD是菱形.CBDA定理:四条边都相等的四边形是菱形.菱形的判定已知:如图,在四83分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可使问题得证.证明:∵AB=BC=CD=DA,∴AB=CD,BC=DA.∴四边形ABCD是平行四边形∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形。分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可84定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知:如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD.求证:四边形ABCD是菱形.DBCAO定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知:如图,在□AB85证明:∵四边形ABCD是平行四边形.∴AO=CO.∵AC⊥BD,∴DA=DC.(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)∴四边形ABCD是菱形.分析:要证明□ABCD是菱形,就要证明有一组邻边相等即可.证明:分析:要证明□ABCD是菱形,就要证明有一组邻边相等即86课堂小结1、定理:菱形的四条边都相等.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD.CBDA2、定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.∵AC,BD是菱形ABCD的两条对角线.∴AC⊥BD,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.DBCAO课堂小结1、定理:菱形的四条边都相等.CBDA2、定理87定理:四条边都相等的四边形是菱形.定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.在四边形ABCD中,∵AB=BC=CD=AD,∴四边形ABCD是菱形.∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,AC⊥BD.∴四边形ABCD是菱形.CBDADBCAO定理:四条边都相等的四边形是菱形.定理:对角线互相垂直的平行88第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定第一章特殊平行四边形89学习

目

标1、能用综合法证明矩形的性质定理、判定定理以及相关结论；2、能用矩形的性质进行简单的证明与计算．学习目标1、能用综合法证明矩形的性质定理、90请从边、角、对角线三个方面说一说平行四边形有哪些性质？边：对边平行且相等；角：对角相等；对角线：对角线互相平分．新课

导

入请从边、角、对角线三个方面说一说平行四边形有哪些性质？边：对91

分析：（1）矩形的形成过程是平行四边形的一个角由量变到质变的变化过程．（2）矩形只比平行四边形多一个条件：“一个角是直角”，不能用“四个角都是直角的平行四边形是矩形”来定义矩形．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．知识

讲

解分析：（1）矩形的形成过程是平行四边形的一个角由量变92矩形与平行四边形之间的关系平行四边形矩形（3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性）．矩形与平行四边形之间的关系平行四边形矩形（3）矩形是特殊的平93（4）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质．①边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直；②角：四个角是直角（性质1）；③对角线：相等且互相平分．ABCDO（4）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质．A94定理:矩形的四个角都是直角.已知:如图,四边形ABCD是矩形.分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.证明:∵四边形ABCD是矩形.∴∠A=90,四边形ABCD是平行四边形.∴∠C=∠A=90,∠B=180-∠A=90,∠D=180-∠A=90.求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90.∴四边形ABCD是矩形.DBCA定理:矩形的四个角都是直角.已知:如图,四边形ABCD是矩形95定理:矩形的两条对角线相等.已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.求证:AC=BD.证明:∵四边形ABCD是矩形.∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.分析:根据矩形的性质,可转化为全等三角形(SAS)来证明.DBCA∵BC=CB.∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB.定理:矩形的两条对角线相等.已知:如图,AC,BD是矩形AB96推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．练一练：如图，在矩形ABCD中：问：在Rt△ABC中，斜边AC上的中线是OB，它与斜边的关系是OB=

AC．问：是不是所有的三角形都有这样的性质?关键是是不是任何一个三角形都可以放进一个矩形里?推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．练一练：如图，在97【例1】已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.解析:∵四边形ABCD是矩形.DBCAO你认为例1还可以怎么去解？【例1】已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,A98定理:有三个角是直角的四边形是矩形.已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证.证明:∵∠A=∠B=∠C=90°.∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.求证:四边形ABCD是矩形.∴四边形ABCD是平行四边形.DBCA∴四边形ABCD是矩形.结论定理:有三个角是直角的四边形是矩形.已知:如图,在四边形AB99定理:对角线相等的平行四边形是矩形.已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.求证:平行四边形ABCD是矩形.DBCA分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.证明:∴AB=CD,AB∥CD.∵AC=DB,BC=CB.∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB.∵四边形ABCD是平行四边形.∵∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=90°.∴四边形ABCD是矩形.定理:对角线相等的平行四边形是矩形.已知:如图,在□ABCD100下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）对角线相等的四边形是矩形；（）（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）（3）有四个角是直角的四边形是矩形；（）（4）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）√

√

跟踪训练╳╳下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？√√跟踪训练╳╳101定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.求证:△ABC是直角三角形.已知:CD是△ABC边AB上的中线,且EABCD分析:要证明△ABC是直角三角形,可以将点A,B,C构造平行四边形,然后证明其对角线相等,即可证明是矩形.定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角102证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE.∴四边形ACBE是平行四边形.∵AB=2CD,CE=2CD.∴AC=DB.∴四边形ACBE是矩形.∵AD=BD,CD=ED.∴∠ACB=90°.∴△ABC是直角三角形.证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE.∴四边形A1031．如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能说明□ABCD是矩形的有

（填写序号）.解析：根据对角线相等的平行四边形是矩形；矩形的定义.答案：①④随堂

练

习1．如图所示，已知□ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB1042．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为AC的中点，则DE＝

．解析：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，DE等于AC的一半，所以DE=4.答案：42．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E1053．如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．（1）求∠CAE的度数；（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．解析：（1）在等边△ABC中，∵点D是BC边的中点，∴∠DAC＝30º，又∵等边△ADE，∴∠DAE＝60º，∴∠CAE＝30º.3．如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作106（2）在等边△ABC中，∵F是AB边的中点，D是BC边的中点，∴CF＝AD，∠CFA＝90º，又∵AD＝AE，∴AE＝CF，由（1）知∠CAE＝30º，∴∠EAF＝60º+30º＝90º，∴∠CFA＝∠EAF，∴CF∥AE，∵AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵∠CFA＝90º，∴四边形AFCE是矩形．（2）在等边△ABC中，∵F是AB边的中点，D是BC边的中点1074．已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点．求证：四边形BMDN是矩形．证明：在正三角形ABD和BCD中，M、N分别为BC、AD的中点.∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠DBC=60°，∠BND=∠DMB=90°，∠NBD=30°.∴∠NBM=90°.∴四边形BMDN是矩形.4．已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和108通过本课时的学习，需要我们掌握：1、矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等；（3）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.2、矩形的判定定理：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形.3、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半.本课

小

结通过本课时的学习，需要我们掌握：本课小结109第一章特殊平行四边形1.3正方形的性质与判定第一章特殊平行四边形110由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.定义正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形．正方形的性质=菱形的性质+矩形的性质.由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一111定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.求证:(1)AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO;(2)AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线.ABCDO定理:正方形的两条对角线