高考一轮复习平面向量的概念与运算

第七章平面向量第18课平面向量的概念与运算（2）------平面向量的基本定理及坐标表示一、考纲要求及重难点1、考纲要求（1）了解平面向量的基本定理及其意义，并掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；（2）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件2、重难点重点：（1）了解平面向量基本定理及其意义,了解基底和两个非零向量夹角的概念,会进行向量的分解及正交分解；（2）理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；难点：用坐标表示的平面向量共线的条件,能用向量的坐标形式判断两向量以及三点是否共线.二、考点梳理及复习指导1、平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个_____不共线_____不共线向量，那么对于这一平面内的__任一__向量，有且只有_一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2特别提醒：(1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一λ1，λ2是被，，唯一确定的数量2、平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个__单位向量_、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得…………eq\o\ac(○,1)，我们把叫做向量的（直角）坐标，记作…………eq\o\ac(○,2)其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，eq\o\ac(○,2)式叫做向量的坐标表示与相等的向量的坐标也为特别地，，，特别提醒：设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示3、平面向量的坐标运算（1）若，，则=，=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差（2）若，，则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标（3）若和实数，则实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标4、向量平行的充要条件的坐标表示：设=(x1,y1)，=(x2,y2)其中∥()的充要条件是三、2022年高考考察情况1、（2022·北京卷）已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq\r(3))．若a－2b与c共线，则k＝________.【解析】因为a－2b＝(eq\r(3)，3)，由a－2b与c共线，有eq\f(k,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，可得k＝1.2、（2022·湖南卷）设向量a，b满足|a|＝2eq\r(5)，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．【解析】因为a与b的方向相反，根据共线向量定义有：a＝λb(λ<0)，所以a＝(2λ，λ)．由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝2eq\r(5)，得eq\r(2λ2＋λ2)＝2eq\r(5)⇒λ＝－2或λ＝2(舍去)，故a＝(－4，－2)．3、（2022·山东卷）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若eq\o(A1A3,\s\up6(→))＝λeq\o(A1A2,\s\up6(→))(λ∈R)，eq\o(A1A4,\s\up6(→))＝μeq\o(A1A2,\s\up6(→))(μ∈R)，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是()A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C、D可能同时在线段AB上D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上【解析】若C、D调和分割点A；B，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝μeq\o(AB,\s\up6(→))(μ∈R)，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2.对于A：若C是线段AB的中点，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))⇒λ＝eq\f(1,2)⇒eq\f(1,μ)＝0，故A选项错误；同理B选项错误；对于C：若C、A同时在线段AB上，则0<λ<1,0<μ<1⇒eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)>2，C选项错误；对于D：若C、D同时在线段AB的延长线上，则λ>1，μ>1⇒eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)<2，故C、D不可能同时在线段AB的延长线上，D选项正确．4、（2022·福建卷）若向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，则a·b等于________．【解析】由已知a＝(1,1)，b＝(－1,2)，得a·b＝1×(－1)＋1×2＝1.5、（2022·湖北卷）若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－bA．－eq\f(π,4)\f(π,6)\f(π,4)\f(3π,4)【解析】因为2a＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，4))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，3))，a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，3))，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2a＋b))＝3eq\r(2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))＝3.设2a＋b与a－b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋b))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2a＋b))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b)))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，3))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，3)),3\r(2)×3)＝eq\f(\r(2),2)，又θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))，所以θ＝eq\f(π,4).四、核心考点分析1、平面向量基本定理对基底的选择和灵活应用是高考重点考查内容2、向量的坐标运算使得几何问题可以通过代数运算加以解决，在对向量的几何特征掌握透彻的前提下，理解记忆相关公式。如：向量共线、垂直的充要条件，向量的数量积运算，线段定比分点公式、平移公式等。3、要把平面几何的性质、定理迁移到平面向量来，使得利用平面向量来推导几何问题。如：①在平行四边形中，若，则，即菱形模型。若，则，即矩形模型。②在中，，是的外心；