相似三角形典型模型及例题

..1：相似三角形模型一：相似三角形判定的基本模型〔一A字型、反A字型〔斜A字型〔平行〔不平行〔二8字型、反8字型〔蝴蝶型〔平行〔不平行〔三母子型〔四一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形〔等腰梯形或者等边三角形为背景,一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上,角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：〔五一线三直角型：三直角相似可以看着是"一线三等角"中当角为直角时的特例,三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景,或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角,几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时,就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似,这往往是很多压轴题的突破口,进而将三角型的条件进行转化。〔六双垂型：二：相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到8字型拓展GGABCEF共享性一线三等角的变形一线三直角的变形2：相似三角形典型例题〔1母子型相似三角形例1：如图,梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD交于点O,BE∥CD交CA延长线于E．求证：．例2：已知：如图,△ABC中,点E在中线AD上,．求证：〔1；〔2．AACDEB例3：已知：如图,等腰△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC于D,CG∥AB,BG分别交AD、AC于E、F．求证：．1、如图,已知AD为△ABC的角平分线,EF为AD的垂直平分线．求证：．2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线,∠C=90°,EF是AD的垂直平分线交AD于M,EF、BC的延长线交于一点N。求证：<1>△AME∽△NMD;<2>ND=NC·NB3、已知：如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC上一点,CF⊥BE于F。求证：EB·DF=AE·DB4.在中,AB=AC,高AD与BE交于H,,垂足为F,延长AD到G,使DG=EF,M是AH的中点。求证：5已知：如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=4,P是斜边AB上的一个动点,PD⊥AB,交边AC于点D〔点D与点A、C都不重合,E是射线DC上一点,且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x,△BEP的面积为y．〔1求证：AE=2PE；〔2求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域；〔3当△BEP与△ABC相似时,求△BEP的面积．AACBPDE〔2双垂型1、如图,在△ABC中,∠A=60°,BD、CE分别是AC、AB上的高求证：〔1△ABD∽△ACE；〔2△ADE∽△ABC；<3>BC=2ED2、如图,已知锐角△ABC,AD、CE分别是BC、AB边上的高,△ABC和△BDE的面积分别是27和3,DE=6,求：点B到直线AC的距离。〔3共享型相似三角形1、△ABC是等边三角形,DBCE在一条直线上,∠DAE=120°,已知BD=1,CE=3,求等边三角形的边长.2、已知：如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠DAE=45°．求证：〔1△ABE∽△ACD；〔2．CADBECADBEF例1：如图,等边△ABC中,边长为6,D是BC上动点,∠EDF=60°〔1求证：△BDE∽△CFD〔2当BD=1,FC=3时,求BE例2：〔1在中,,,点、分别在射线、上〔点不与点、点重合,且保持.①若点在线段上〔如图,且,求线段的长；②若,,求与之间的函数关系式,并写出函数的定义域；ABABCABCPQ正方形的边长为〔如下图,点、分别在直线、上〔点不与点、点重合,且保持.当时,求出线段的长.ABABCDABCD例3：已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD＜BC,且AD＝5,AB＝DC＝2．〔1如图8,P为AD上的一点,满足∠BPC＝∠A．①求证；△ABP∽△DPC②求AP的长．〔2如果点P在AD边上移动〔点P与点A、D不重合,且满足∠BPE＝∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么①当点Q在DC的延长线上时,设AP＝x,CQ＝y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域；②当CE＝1时,写出AP的长．CDCDABP例4：如图,在梯形中,∥,,．点为边的中点,以为顶点作,射线交腰于点,射线交腰于点,联结．〔1求证：△∽△；〔2若△是以为腰的等腰三角形,求的长；〔3若,求的长．1、如图,在△ABC中,,,是边上的一个动点,点在边上,且．<1>求证：△ABD∽△DCE；<2>如果,,求与的函数解析式,并写出自变量的定义域；<3>当点是的中点时,试说明△ADE是什么三角形,并说明理由．AABCDE2、如图,已知在△ABC中,AB=AC=6,BC=5,D是AB上一点,BD=2,E是BC上一动点,联结DE,并作,射线EF交线段AC于F．〔1求证：△DBE∽△ECF；〔2当F是线段AC中点时,求线段BE的长；〔3联结DF,如果△DEF与△DBE相似,求FC的长．3、已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD＜BC,且BC=6,AB=DC=4,点E是AB的中点．〔1如图,P为BC上的一点,且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；〔2如果点P在BC边上移动〔点P与点B、C不重合,且满足∠EPF=∠C,PF交直线CD于点F,同时交直线AD于点M,那么①当点F在线段CD的延长线上时,设BP=,DF=,求关于的函数解析式,并写出函数的定义域；②当时,求BP的长．EEDCBAP4、如图,已知边长为的等边,点在边上,,点是射线上一动点,以线段为边向右侧作等边,直线交直线于点,〔1写出图中与相似的三角形；〔2证明其中一对三角形相似；〔3设,求与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围；〔4若,试求的面积．<5>一线三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD中,CD=2,AD=3,点P是AD上的一个动点,且和点A,D不重合,过点P作,交边AB于点E,设,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围。例2、在中,是AB上的一点,且,点P是AC上的一个动点,交线段BC于点Q,〔不与点B,C重合,设,试求关于x的函数关系,并写出定义域。1.在直角中,,点D是BC的中点,点E是AB边上的动点,交射线AC于点F〔1、求AC和BC的长〔2、当时,求BE的长。〔3、连结EF,当和相似时,求BE的长。2.在直角三角形ABC中,是AB边上的一点,E是在AC边上的一个动点,〔与A,C不重合,与射线BC相交于点F.<1>、当点D是边AB的中点时,求证：<2>、当,求的值〔3、当,设,求y关于x的函数关系式,并写出定义域3.如图,在中,,,,是边的中点,为边上的一个动点,作,交射线于点．设,的面积为．〔1求关于的函数关系