高中数学专练数列专题练习

数列专题练习一、选择题（每题4分，共32分）

1.数列1，3，6，10，15，…的通项等于（）

A.B.C.D.

2.已知等差数列｛｝中，＋＝16，＝1，则的值是（）

A.15D.64

3.在等差数列｛｝中，＋3＋＝120，则3－的值为（）

B.12C.24

4.在各项都为正数的等比数列｛｝中，首项＝3，前三项的和为21，则＋＋等于（）

B.72C.84D.189

5.在数列｛｝中，＝1，当n≥2时，恒有，则等于（）

A.B.C.D.

6.在数列｛｝中，已知＝1，＝5，＝－（n∈N※），则等于（）

A.－4B.－5C.4D.5

7.已知等比数列｛｝中，＝a，＝b（m∈N※）则等于（）

A.B.C.D.3b－2a

8.已知等差数列｛｝中，≠0，若m>1，且－＋＝0，＝38，则m的值为（）

A.38B.20C.19D.10

二、填空题（每题5分，共20分）

1.已知等比数列的公比为2，且前4项之和等于1，那么它的前8项之和等于。

2.设｛｝是公比为q的等比数列，是它的前n项和，若｛｝是等差数列，则q=。

3.各项都是正数的等比数列｛｝的公比q≠1，且，，成等差数列，则=

。

4.设数列｛｝的前n项和为，，且＝54，则=。

三、解答题（本大题共有4题，满分48分）

1.（本题满分12分）已知三个数的积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，试求这三个数排成的等差数列.

2.（本题满分12分）已知数列｛lg｝是等差数列，且第s项为r，第r项为s（0<r<s），试求。

3.（本题满分12分）设数列｛｝的前n项和为，｛｝为等比数列，且＝

（1）求数列｛｝和｛｝的通项公式；（2）设，求数列｛｝的前n项和.

4.（本题满分12分）已知数列｛｝的通项公式＝;数列｛｝的首项＝3，其前n项和为，且满足关系式.

（1）求｛｝的通项公式；（2）求证：数列｛｝是一个等比数列；若它的前n项和>，求n的取值范围.

答案与解析

一、选择题

1、选C.解析：由＝3否定B,D;由＝6否定A，故应选C.

2、选A.解析：设公差为d，则有∴＝＋11d＝15，故选A.

3、选D.解析：由＋3＋＝120得5＝120，＝24.

∴3－＝3（＋8d）－（＋10d）（d为公差）＝2＋14d＝2（＋7d）＝2＝48.故选D.

4、选C.解析：设公比为q，则由＋＋＝21得（1＋q＋）＝21∵＝3，∴1＋q＋＝7

由此解得q＝2（q＝－3舍去）∴＋＋＝（＋＋）＝84

5、选D.解析：当n≥2，＝，故选D.

6、选D.解析：由已知递推式得∴

由此得，故应选D.

7、选C.解法一（利用通项公式）设｛｝的公比为q，则由已知得

∴①又②∴由①②得x＝b＝b应选C.

解法二（利用等比数列的性质）由等比数列性质得

∵m+5，m+30,m+55,m+80，m+105,m+130成等差数列.∴成等比数列.

其公比∴

∴应选C.

8、选D.解析：由｛｝为等差数列得又这里

故得而这里①再由

②①代入②得2m－1＝19，解得m＝10.故应选D.

二、填空题

1、答案：17解法一（利用求和公式）：由已知得

∴即∴

解法二（利用通项公式）：∵

∴＝()=1+2=17

2、答案：1解析：注意到＝又｛｝为等差数列

∴当n≥2时，∴而即q＝1.

解法二：由已知得∴2∴由此得q＝1.

3、答案：解析：注意到＝只要求出q；由已知条件得

∴由此解得q＝∵>0，∴q>0∴q＝

于是得＝

4、答案：2解析：由已知得∴

∴54＝108∴＝2.故应填2.

三、解答题

1、分析：为减少引入的参数的个数，运用“对称设法”；由题意设这三个数为、－2、－2q，只是不知道如何排列后三个数才能依次成等差数列，由此引入讨论。

解：由题意设这三个数为，－2，－2q（1）若－2为及－2q的等差中项，则有（）＋(－2q)＝－4

∴－2q＋1＝0，即q＝1此时，三个数分别为－2，－2，－2，满足题意.

（2）若为－2及－2q的等差中项，则有（－2）＋（－2q）＝－∴＋q－2＝0（q＋2）（q－1）＝0

∴q＝－2或q＝1。当q＝－2时，三个数分别为－2，1，4，满足题意；当q＝1时三个数分别为－2，－2，－2.亦满足题意.

（3）若－2q为－2及的等差中项，则有（－2）＋（）＝－4q2－q－1＝0（q－1）（2q＋1）＝0

∴q＝－或q＝1。当q＝－时，三个数分别为4，1，－2.满足题意；当q＝1时，三个数分别为－2，－2，－2.满足题意.于是综合（1）、（2）、（3）可得，所求这三个数排成的等差数列分别为：－2，－2，－2；－2，1，4；4，1，－2.

点评：以所设三个数中哪个数作等差中项为主线展开讨论，分类清晰，层次分明，值得今后解题时学习、借鉴.

2、分析：由等差数列与等比数列的联系可知，这里的数列｛｝为等比数列.因此，欲求，先求等比数列｛｝的首项和公比.

解：设数列｛lg｝的公差为d，则有lg－lg＝d（n∈N※），∴（n∈N※），

∴数列｛｝为等比数列.设数列｛｝的公比为q，则由已知得

∴由

又0<r<s,∴q＝（3）∴（3）代入（1）得(4)

于是由（3）（4）得由此得

点评：尽管我们可直接洞察出这里的｛｝为等比数列，但解题时还要履行“证明”的手续；这里求公比q，既可转化为等比数列的项的等式后，运用两式相除；也可直接对等差数列的项的等式，运用两式相减.比如：对于

（5）－（6）得∴∴（r－s）d＝s－r

又0<r<s，∴d＝－1由此可得q＝.

3、分析：根据已知条件中的，可求出；据此，又可由已知条件求出、，进而可得数列

｛｝的公比q（），于是（1）获得解决.

解：（1）∵∴；当n≥2时，＝4n－2

又适合上式，∴4n－2（n∈N※）①即数列｛｝是首项，公差d＝4的等差数列.

设数列｛｝的公比为q，则由已知得∴∴（n∈N※）②

于是由①②得：数列｛｝的通项公式为4n－2（n∈N※），数列｛｝的通项公式为（n∈N※）.

（2）由（1）得∴

两式相减得：

－3由此得（n∈N※）

点评：若数列｛｝为等差数列，｛｝为等比数列，则由它们构造出的新数列｛｝常被人们称为混合数列（又称等差比数列），混合数列求前n项和，通用的解法是“错位相减法”，大家可以从上面求的过程品味求和的要领.

4、分析：认知数列｛｝的特性，乃解题的切入点和关键环节；设数列｛｝的前n项和为，则在已知条件下

因此，再利用已知关系式则Sn易得，求bn也胜卷在握。

解：（1）∵（n∈N※）∴数列｛｝的前n项和（证明从略）

∴

∴由得（n∈N※）∴