刘国营三角函数的图象和性质教学案例

《/r/n三角函数的图象和性质/r/n》教学案例/r/n深圳市龙华中学刘国营/r/n【教学目标】/r/n（一）/r/n

/r/n知识目标：/r/n1/r/n会用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象；/r/n2/r/n、会用正弦函数的图像平移做余弦函数的图象；/r/n3、掌握五点法画正弦函数的图象和余弦函数的图象。/r/n（二）/r/n

/r/n能力目标：/r/n1/r/n、通过本节课教学培养同学们分析问题和解决问题的能力，/r/n2/r/n、培养学生的数形结合的数学思想。/r/n（三）/r/n

/r/n情感目标/r/n1、使学生理解动与静的辨正关系。/r/n2/r/n、渗透由特殊到一般、从一般到特殊的辩证思想；/r/n3、培养同学们严谨的科学精神。/r/n【教学重点】/r/n用/r/n“/r/n五点法/r/n”/r/n画正弦曲线、余弦曲线。/r/n【教学难点】/r/n一、/r/n

/r/n利用单位圆中的正弦线画出函数/r/ny=sinx,x/r/nÎ/r/n[0,2/r/np/r/n]/r/n的图象；/r/n二、/r/n

/r/n利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线。/r/n【课时安排】一课时/r/n【教学过程设计】/r/n教师活动/r/n学生活动/r/n设计意图/r/n一、创设情景：/r/n以前，我们已经学过哪些函数？/r/n对于这些函数我们都讨论过它们的图象及性质。那么，现在我们正在学习的三角函数的图象是什么样子呢？今天，我们就来探讨一下：/r/n/r/n教师活动/r/n学生一起回答：/r/n一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数。/r/n学生活动/r/n回顾原来函数的内容，为即将学习的新知识做好铺垫，类比。/r/n设计意图/r/n二、师生互动，建构数学/r/n首先/r/n,同学们回顾一下三角函数线。/r/n/r/n/r/n提问：/r/n1、如何画函数的图象/r/n?/r/n有哪些方法/r/n?/r/n2/r/n、如何画出函数/r/ny=sinx/r/n的图象？/r/n新问题：/r/n１、怎样得到函数图象上点的两个坐标数据？/r/n2/r/n、由于对一般角的三角函数值都是近似值，作图的不够精确，我们如何得到任意角的三角函数值并，即如何在直角坐标系中准确的描出此点（x/r/n0/r/n,sin/r/nx/r/n0/r/n）？/r/n很好！（用课件展示如何描点）/r/n下面，我们利用单位圆中的正弦线来看如何准确描点的！/r/n（打开课件/r/n,引导学生仔细观察过程）/r/n启发学生：/r/n/r/n那我们能不能用我们作这个点的方法来画正弦函数的图象呢？/r/n下面，我们利用这种方法来画一下正弦函数的图象。/r/n（打开课件/r/n,引导学生仔细观察过程）/r/n请一个同学来归纳一下作图的步骤：/r/n利用单位圆中的正弦线来画正弦函数的图象步骤：/r/n（/r/n1）作直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧画单位圆/r/n（/r/n2）把单位圆分成12等分（等分越多，画出的图象越精确），可分别在单位圆中作出对应于x的0,,,……,2/r/np/r/n/r/n的正弦函数线。/r/n（/r/n3）找横坐标：把x轴上从0到2/r/np/r/n(2/r/np/r/n≈/r/n6.28)这一段分成12等分。/r/n（/r/n4）找纵坐标：将正弦线对应平移，即可指出相应12个点。/r/n（/r/n5）连线：用平滑的曲线将12个点依次从左至右连接起来，即得y=sinx，x/r/n∈/r/n[0,2/r/np/r/n]的图像。/r/n这时/r/n,我们看到的这段光滑曲线就是函数y=sinx/r/n在/r/nx/r/n∈/r/n[0,2/r/np/r/n]/r/n上的函数。/r/n那我们如何画出/r/ny=sinx/r/n在/r/nx/r/n∈/r/nR的图象呢？/r/n（启发学生思考）/r/n

/r/n根据函数/r/ny=sinx/r/n的周期性只需将函数/r/ny=sinx，x/r/n∈/r/n[0,2/r/np/r/n]的图像/r/n向左右拓展/r/n,就可以得到/r/n正弦函数/r/ny=sinx在x/r/n∈/r/nR/r/n上的图象。（这一过程用课件处理，让同学们仔细观察作图过程）/r/n此时/r/n,我们看到的这支曲线就是/r/n正弦函数/r/ny=sinx在整个定义域/r/n上的图象/r/n,我们也可以把它称为/r/n正弦曲线。/r/n同学积极回忆回答：/r/n三角函数线是三角函数的一种几何表示方法，确切的说，就是用有向线段的长度来表示三角函数值的大小，方向表示三角函数的符号的一种方法。/r/n学生回答：/r/n(1)/r/n在坐标系中/r/n,/r/n描出满足函数图像的所有点/r/n,/r/n即描点法/r/n(2)/r/n图象平移法如/r/n:y=f(x+a)/r/n的图象与/r/ny=f(x)/r/n的图象/r/n(3)/r/n伸缩变化法/r/n(/r/n或坐标变换法/r/n)/r/n描点法是做函数图象的基本方法/r/n答：1、通过计算器得到，特殊角的函数值还可直接计算得到。/r/n答：2、利用单位圆中的三角函数线表示函数值。/r/n显然可以/r/n

/r/n学生归纳后教师然后完善补充。/r/n学生回答：因为函数/r/ny=sinx/r/n是周期为/r/n2/r/np/r/n的函数，只需按周期性向左右两边拓展即可。/r/n从学生熟悉的知识出发，培养学生独立观察能力和分析能力，自然找出画正弦函数的图象的方法。/r/n使学生明白作图方法的来由。/r/n让学生自己归纳出正弦函数的作图步骤，使学生能够清楚的认识到如何作出正弦函数的图象。/r/n让学生自己思考如何画出整个函数图象，使学生能够把我们前后所学的知识灵活运用/r/n,认识联系。/r/n用这种方法来作图象/r/n,虽然比较精确,但不太实用,我们该如何快捷地画出/r/n正弦函数的图象呢？/r/n请同学们仔细观察：/r/n是否可看出/r/n,在函数y=sinx，x/r/n∈/r/n[0,2/r/np/r/n]/r/n的图象上/r/n,起关键作用的点只有五个：（哪五个？）/r/n这五个点被称为/r/n“/r/n起点/r/n”/r/n、/r/n“/r/n峰点/r/n”/r/n、/r/n“/r/n拐点/r/n”/r/n、/r/n“/r/n谷点/r/n”/r/n、/r/n“/r/n终点/r/n”/r/n。/r/n事实上，描出这五个点后，函数/r/ny=sinx/r/n，/r/nx/r/n∈/r/n[0,2/r/np/r/n]/r/n的图象的形状就基本确定了。因此，在精确度不高的情况下，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到函数的简图。今后/r/n,/r/n我们将经常使用这种近似的/r/n“/r/n五点（画图）法/r/n”/r/n。/r/n示范作图（板书）/r/n学生回答：/r/n(0,0)/r/n（/r/n，1）/r/n（/r/np/r/n，0）/r/n(/r/n,-1)(2/r/np/r/n,0)/r/n

/r/n

/r/n学生和教师一起动手体会一下/r/n“/r/n五点（画图）法/r/n”/r/n。/r/n知道起关键作用的点，为画图打下坚实的基础。/r/n

/r/n体会所学的知识，熟悉/r/n“/r/n五点（画图）法/r/n三、运用数学：/r/n1、/r/n

/r/n用五点法作出函数/r/ny=2sinx/r/n，/r/nx/r/n∈/r/n[0,2/r/np/r/n]/r/n的图象/r/n用五点法作出函数/r/ny=sin(x+/r/n)/r/n，/r/nx/r/n∈/r/n[0,2/r/np/r/n]/r/n的图象/r/n（先把同学们作的图象用投影仪展示指出问题，然后再把图象的过程用几何画板给同学们展示）/r/n我们画出了正弦函数的图象/r/n,/r/n那么余弦函数图象怎么画呢？/r/n

/r/n用/r/n“/r/n五点法/r/n”/r/n可以的/r/n,/r/n能不能用平移的方法呢？余弦函数与正弦函数有没有关系呢？（启发学生思考）其实刚才我们已经画出来了！/r/n下面我们看余弦函数图象的一种画法。/r/n因为/r/ny=cosx=sin(x+/r/n)/r/n看来/r/n,/r/n余弦函数/r/ny=cosx/r/n，/r/nx/r/nÎ/r/nR/r/n与函数/r/ny=sin(x+/r/n/r/n)/r/nx/r/nÎ/r/nR/r/n是同一个函数/r/n,/r/n它们的图象相同。那么我们如何得到/r/ny=sin(x+/r/n)的图象呢？即余弦曲线。/r/n我们现在看到的曲线也就是余弦函数/r/ny=cosx/r/n，/r/nx/r/nÎ/r/nR/r/n的图象，即余弦曲线。/r/n同样/r/n,/r/n可发现在函数/r/ny=cosx/r/n，/r/nx/r/nÎ/r/n[0,2/r/np/r/n]/r/n的图象上，起着关键作用的是哪五个点？/r/n与画函数/r/ny=sinx/r/n，/r/nx/r/nÎ/r/n[0,2/r/np/r/n]/r/n的简图类似，通过五个点，可以画出函数/r/ny=cosx/r/n，/r/nx/r/nÎ/r/n[0,2/r/np/r/n]/r/n的简图。/r/n用几何画板示范作图（板书）/r/n下面/r/n,/r/n请同学们练习一下/r/n“/r/n五点（作图）法/r/n”/r/n。/r/n学生用五点法作图，/r/ncosx=sin(x+/r/n)/r/n余弦函数的图象可通过将正弦曲线/r/ny=sinx/r/n的图象向左平移/r/n个单位，即得/r/ny=cosx/r/n的图象/r/n余弦函数的五个关键点是：（0，1）（/r/n，0）（/r/np/r/n，-1）（/r/n，0）/r/n（2/r/np/r/n，1）/r/n使学生自己动手，在体验五点法的过程中不知不觉就得到了余弦函数的图象。/r/n使学生自己/r/n去发现余弦函数的五点，知道如何画余弦函数的图象。/r/n3、练习：/r/n（1）、在教师指导下用/r/n“/r/n五点（画图）法/r/n”/r/n分别作出/r/ny=sinx/r/n与/r/ny=cosx/r/n在/r/nx/r/nÎ/r/n[0,2/r/np/r/n]/r/n上的简图，并体会它们之间的关系。/r/n（2）、分别在/r/n[-4/r/np/r/n,4/r/np/r/n]/r/n内作出/r/ny=sinx/r/n和/r/ny=cosx/r/n的图象。/r/n（3）/r/n

y=/r/n－/r/nsinx/r/n，（4）/r/ny=sin(x/r/n－/r/n1)/r/n（学生画完后用几何画板展示给学生看）/r/n学生板演，动手作图/r/n巩固，加深本节课所学知识。/r/n四、总结反思：/r/n1/r/n、我们是如何作出正弦函数以及余弦函数图象的？/r/n2/r/n、要熟练掌握/r/n“/r/n五点法/r/n”/r/n作函数的简图，它是我们后面学习的基础。/r/n学生集体复述/r/n/r/n精确做图：利用三角函数线。/r/n

/r/n/r/n粗略做图：五点法。/r/n让学生明白本节课重点、难点的内容。/r/n五：/r/n课后作业/r/n1、课