几何问题之立体几何

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【学习内容及预期目标】掌握长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积和表面积计算公式学会计算由基本立体图形通过切割拼接而构成的复杂立体图形的体积和表面积；掌握平面图形通过折叠、旋转所得立体图形的计算。★长方体正方体圆柱、圆锥体积和面积计算公：

r

l

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r长方体的表面积Sac+bc；长方体的体积=abc.正方体的表面积S=6a；正方体的体积V=a.圆柱的表面积S=2r+2；圆柱的体积V=r.圆锥的表面积S=r2+rl；圆锥的体积Vπr2h3

rnl附：扇形的面积

1lr★例题解析：1、一个长体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米.若它的棱长总和等于另一个正方体的棱长总和长方体和正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体积少多少立方厘米？解析：长方体的棱包4长、4条宽、4条高，所以棱长总和=(3+2+1)×4=24厘米，由此可求出正方体的棱长=24÷12=2厘米.所以长方体的表面积=平方厘米；正方体的表面积平方厘米.因长方体和正方体的表面积之比是22:24=11:12.而长方体的体积=长宽×高=立方厘米；正方体的体积=棱长

3=2=8立方厘米因此长方体的体积比正方体的体积少立方厘米.2将长为13厘米宽为厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角去掉边长为3米的正方形呢？解析：将长方体的长、宽、高标在展开图中，不难发现，折叠成的长方体容器的长是13-2=9厘米，宽是92厘米，高2米，因此容器的体积就是9×5×2=90立方厘米(2)同理，折叠成的长方体容器的长是13-3=7厘米，宽是93厘米，高厘米，因此容器的体积就是7×3×3=63立方厘米.2、用棱长1米的小立方体拼成如图所示的立体图形，这个图形的表面积是多少平方厘米？

解析：图，从立体图形上方和下方看去，看到的都块小正方形，面积是9平方厘米.四个侧面看去，看到的是图2形式的块小正方形，面积是平方厘米.立体图形的表面积是平方厘米4、(1)将一个棱长为6的正方体从某个角切一个长、宽、高分别为4、、5长方体，剩余部分的表面积是多少？解析：上、下、左、右、前、后这6个方向去观察条件所给的图形，从各个方向看过去，都是66的正方形所以切割后立体图形的表面积为：6=216.(2)将一个棱长为5正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为5、4、3的长方体，它的表面积减少了百分之几？解析：同样地，从6方向去观察条件所给的图形切割前立方体的棱长是5，表面积为：52切割后，减少的面积是图中前后面的虚线部分，减少的总面积为2(3×4)=24.以，表面积减少了÷5有一个棱长为厘米的正方体.正方体的上面正中向下挖一个棱长为1米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长为0.5米的小洞；第三个小洞的挖法与前面两个相同，棱长为厘米.后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？解析这个图形是由一个正方体挖掉三个正方体后得到的因我们可以来计算每挖一个正方体后表面积的变化.在挖第一个洞，上表面除了减少了一个边长为1米的正方形还多出来了5个边长为厘米的正方形因此表面积增加了4方厘米；挖第二个洞，多出来了4个0.5×0.5面，表面积增加了0.5×0.5×平方厘米第三个洞出来了个×0.25的面面积增加了××平方厘米；原立方体的表面积是××平方厘米.最后，总的表面积是24+4+1+0.25=29.25方厘米.6、有大、、小三个立方体水池，它们的内部棱长分别是米、3米和2.三个池子都装了半池水.现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6米和4厘米.如果将这堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升高多少厘米？(结果精确到小数点后两位)解析：求投在中水池中的碎石体积：中水池底面正方形边长3，水面升高6厘米，这堆碎石的体积=立方厘米.再求投在小水池中的碎石体积：小水池底面正方形边长米，水面升高厘米，这堆碎石的体积=200×200×4=160000方厘米.所以两堆碎石的体积一共为：540000+160000=700000立方厘米把它们投进大水池，水池升高部分的体积就是立方厘米.由于大水池底面正方形边长为6米，所以大水池上升的高度为÷(600≈厘米7、有一个24米，底面半径为厘米的圆柱形容器，里面装了一半水.现有一根长30米，底面半径为2厘米的圆柱体木棒.将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与容器的底面接触.这时水面升高了多少厘米？解析：木棒浸入水之前容器里水底面半径为10米高为÷2=12厘米的

圆柱体.以水的体积为×π×12=1200立方厘米.木棒浸入水之后，水是从半径为厘米的大圆柱体挖掉半径为2厘米的小圆柱体后余下的部分，体积为两个圆柱体之差.由于个圆柱体的高相同，所以这部分水的体积就等于底面积乘以公共的高.水的底面是一个环形，即两个圆的差，其中大圆半径是10厘米小圆半径是2厘米则底面面积是102××π=96π平方厘米因此木棒浸入水中后水的新高度是1200π÷96π厘米，比原升高了厘米★巩固练习：一、填空：1、(1)将4棱长为1的正方体木块排一排成一个长方体那么拼合后这个长方体的表面积，比原来4个正方体的表面积之和少了；一个正方体形状的木块，棱长为，如图所示，将其切成两个长方体.这两部分的表面积总和是；如果在此基础上再切4刀将其切成大大小小共块长方体.18长方体表面积总和是2、有一个柱，底面直径和高均为8厘米；有一个圆锥，底面径和高均为厘米.问：圆锥体积与圆柱体积的比是3、如图所一块三层蛋糕，由三个高都为分米，底面半径分别为分米、米和0.5分米的圆柱体组成请问：(1)这个蛋糕的表面积是平方分米.(取3.14)(2)如果沿经过中轴线AB的平面切一刀，该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和是二、解答题：1、有一个方体，如果长增2米，则体积增加立方厘米；如果宽增3厘米，则体积增加立方厘米；如果高增加厘米，则体积增加96立方厘米.求这个长方体的表面积.2、有一块、宽、高分别为厘米、厘米、6米的长方体木块，把