实验二 傅里叶分析及应用

实验二傅里叶分析及应用一、实验目的（一）掌握使用Matlab进行周期信号傅里叶级数展开和频谱分析1、学会使用Matlab分析傅里叶级数展开，深入理解傅里叶级数的物理含义2、学会使用Matlab分析周期信号的频谱特性（二）掌握使用Matlab求解信号的傅里叶变换并分析傅里叶变换的性质1、学会运用Matlab求连续时间信号的傅里叶变换2、学会运用Matlab求连续时间信号的频谱图3、学会运用Matlab分析连续时间信号的傅里叶变换的性质（三）掌握使用Matlab完成信号抽样并验证抽样定理1、学会运用MATLAB完成信号抽样以及对抽样信号的频谱进行分析2、学会运用MATLAB改变抽样时间间隔，观察抽样后信号的频谱变化3、学会运用MATLAB对抽样后的信号进行重建二、实验条件装有MATLAB的电脑三、实验内容1、分别利用Matlab符号运算求解法和数值计算法求下图所示信号的FT，并画出其频谱图（包括幅度谱和相位谱）［注：图中时间单位为：毫秒（ms）］。符号运算法：ft=sym('(t+2)*heaviside(t+2)-(t+2)*heaviside(t+1)+heaviside(t+1)-heaviside(t-1)+(2-t)*heaviside(t-1)-(2-t)*heaviside(t-2)');FW=simplify(fourier(ft))subplot(211)ezplot(abs(FW)),gridontitle(，幅度谱，)phase=atan(imag(FW)/real(FW));subplot(212)ezplot(phase),gridontitle('相位谱')相位谱数值计算法：dt=0.01;t=-4:dt:4;ft=(t+2).*uCT(t+2)-(t+2).*uCT(t+1)+uCT(t+1)-uCT(t-1)+(2-t).*uCT(t-1)-(2-t).*uCT(t-2);N=2000;k=-N:N;W=pi*k/(N*dt);F=dt*ft*exp(-1i*t'*W);F=abs(F);subplot(211)plot(W,F),gridonaxis([-pipi-13])xlabel('w'),ylabel('F(w)')title('幅度谱')phase=atan(imag(FW)/real(FW));subplot(212)ezplot(phase),gridontitle('相位谱')相位谱»ft=STi(t+2)^heaviside(t+2〕-tt+2〕^heaviside(t+1)-HiEaviside(t+-l)-heaviside(t-1)4-(2-t)^hEavdside(t-1*heaviside(t-2)‘);F/=siuplify(foijiieiift))H=-4*cos(v)"2+22、试用Matlab命令求F眼)=^1—-Q»的傅里叶反变换，并绘出其时域信号图。>>SVTHStFw=sy>C10/Q+iw)-4/(5+iw)‘):ft=ifouzier'.Fw?t)ft=■:pr*exp(-t*3ij*sign(t)*10:l-pL*expj*sign\tI*4i)/(2^pL.j

代码：t=sym('t');Fw=sym('10/(3+i*w)-4/(5+i*w)');ft=ifourier(Fw,t);ezplot(abs(ft)),gridonaxis([03-17]);xlabel('t'),ylabel('F(t)')aipHt如也土grtfflWi*i■(flO!cp[.(JtiU)/i.出叫hnH刎10iyi*(ir危时.["51将]丝史少邳JI3、已知门函数自身卷积为三角波信号，试用Matlab命令验证FT的时域卷积定理。aipHt如也土grtfflWi*i代码：f1=sym('heaviside(t+1)-heaviside(t-1)');F=fourier(f1);F=simplify(F)*simplify(F);subplot(2,1,1);ezplot(F);yt=sym('(heaviside(t+2)-heaviside(t))*(t+2)+(heaviside(t)-heaviside(t-2))*(-t+2)');F2=fourier(yt);F2=simplify(F2);subplot(2,1,2);ezplot(F2);w

w从图中可以很明显的看出时域信号先卷积在进行傅里叶变换与时域信号先进行傅里叶变换后再相乘结果一致，因此验证卷积定理正确。4、设有两个不同频率的余弦信号，频率分别为f1=100Hz，f2=3800Hz；现在使用抽样频率f=4000Hz对这三个信号进行抽样，使用MATLAB命令画出各抽样信号的波5形和频谱，并分析其频率混叠现象［建议：抽样信号的频谱图横坐标范围不小于-10000Hz~10000Hz或-20000*pi~20000*pirad/s］。答：在低抽样率时有混叠现象而高抽样率时无混叠现象。代码：(1)当fi=100Hz时的抽样函数Ts=0.00025;dt=0.00001;t=-0.006:dt:0.006;a=200火pi;ft=cos(a*t);subplot(221)plot(t,ft),gridonaxis([-0.0060.006-1.61.1])xlabel('E±^a'),ylabel('f(t)')title(-余弦函数图像，)N=5000;k=-N:N;w=2火pi*k/((2火N+1)*dt);Fw=dt*ft*exp(-1i*t'*w);subplot(222)plot(w,abs(Fw))gridonaxis([-100001000000.008]);xlabel('w'),ylabel('F(w)')title('余弦函数的频谱')t2=-0.006:Ts:0.006;fst=cos(2.*pi.*100火t2);subplot(223)plot(t,ft,':'),holdonstem(t2,fst),gridonaxis([-0.0060.006-1.51.5])xlabel('E±^a'),ylabel('Fs(t)'title('抽样后的信号')，holdoffFsw=Ts*fst*exp(-1i*t2'*w);subplot(224)plot(w,abs(Fsw)),gridonaxis([-100001000000.008])

xlabel('w'),ylabel('Fs(w)')title('抽样信号的频谱')(2)当f2=3800Hz时的抽样函数Ts=0.00025;dt=0.00001;t=-0.006:dt:0.006;a=3800火pi;ft=cos(a*t);subplot(221)plot(t,ft),gridonaxis([-0.0060.006-1.61.1]);xlabel('E±^a'),ylabel('f(t)')title('余弦函数图像')N=5000;k=-N:N;w=2火pi*k/((2火N+1)*dt);Fw=dt*ft*exp(-1i*t'*w);subplot(222)plot(w,abs(Fw))gridonaxis([-100001000000.008]);xlabel('w'),ylabel('F(w)')title('余弦函数的频谱')t2=-0.006:Ts:0.006;fst=cos(2.*pi.*100火t2);subplot(223)plot(t,ft,':'),holdonstem(t2,fst),gridonaxis([-0.0060.006-1.51.5])xlabel('E±^a'),ylabel('Fs(t)')title('抽样后的信号'),holdoffFsw=Ts*fst*exp(-1i*t2'*w);subplot(224)plot(w,abs(Fsw)),gridonaxis([-100001000000.008])xlabel('w'),ylabel('Fs(w)')title('抽样信号的频谱')余弦函数图像hh样后的信号.但3抽样信号的频谱5、结合抽样定理，利用MATLAB编程实现Sa()信号经过冲激脉冲抽样后得到的抽样信号f°)及其频谱［建议：冲激脉冲的周期分别取4*pi/3s、pis、2*pi/3s三种情况对比］，并利5余弦函数图像hh样后的信号.但3抽样信号的频谱用fC)构建Sa(t)信号。5当冲激脉冲的周期取4*pi/3s时代码：

后的■信号S削1)肿*午信号的频谱由加丁引亨号施建勒剑sw)信号-1D-50510twm=2;wc=1.2*wm;Ts=4火pi/3;dt=0.1;ft=sinc(t1/pi).*(uCT(t1+10)-uCT(t1-10));N=500;k=-N:N;w=2火pi*k/((2火N+1)*dt);n=-100:100;nTs=n*Ts;fst=sinc(nTs/pi).*(uCT(nTs+10)-uCT(nTs-10)subplot(221);plot(t1,ft,':'),holdonstem(nTs,fst),gridonaxis([-44-11]);xlabel('E±^a'),ylabel('fs(t)')title('Sa(t)抽样后的信号')，holdoff;Fsw=Ts*fst*exp(-1i*nTs'*w);subplot(222)plot(w,abs(Fsw),'c'),gridonaxis([-1010-310])xlabel('w'),ylabel('Fs(w)')title('Sa(t)抽样信号的频谱')t=-10:dt:10;f=fst*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));subplot(223)plot(t,f,'m'),gridon;axis([-1010-29]);xlabel('t'),ylabel('f(t)')title('由f(nTs)信号重建得到Sa(t)信号')当冲激脉冲的周期取pi时wm=2;wc=1.2火wm;Ts=pi;dt=0.1;ft=sinc(t1/pi).*(uCT(t1+10)-uCT(t1-10));N=500;k=-N:N;w=2火pi*k/((2火N+1)*dt);n=-100:100;nTs=n*Ts;fst=sinc(nTs/pi).*(uCT(nTs+10)-uCT(nTs-10)subplot(221);plot(t1,ft,':'),holdonstem(nTs,fst),gridon

axis([-44-11]);xlabel('E±^a'),ylabel('fs(t)')title('Sa(t)抽样后的信号')，holdoff;Fsw=Ts*fst*exp(-1i*nTs'*w);subplot(222)plot(w,abs(Fsw),'c'),gridonaxis([-1010-310])xlabel('w'),ylabel('Fs(w)')title('Sa(t)抽样信号的频谱')t=-10:dt:10;f=fst*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));subplot(223)plot(t,f,'m'),gridon;axis([-1010-29]);xlabel('t'),ylabel('f(t)')ihf^nTs)信玲重建狷宜Sm(t)伯号title('由f(nTs)信号重建得到Sa(t)信号')当冲激脉冲的周期取2*pi/3时wm=2;wc=1.2*wm;Ts=2火pi/3;dt=0.1;ft=sinc(t1/pi).*(uCT(t1+10)-uCT(t1-10));N=500;k=-N:N;w=2火pi*k/((2火N+1)*dt);n=-100:100;nTs=n*Ts;uCT(nTs-10));fst=sinc(nTs/pi).*(uCT(nTs+10)subplot(221);plot(t1,ft,':'),holdonstem(nTs,fst),gridonaxis([-44-11]);xlabel('E±^a'),ylabel('fs(t)')title('Sa(t)抽样后的信号')，holdoff;Fsw=Ts*fst*exp(-1i*nTs'*w);subplot(222)plot(w,abs(Fsw),'c'),gridonaxis([-1010-310])xlabel('w'),ylabel('Fs(w)')title('Sa(t)抽样信号的频谱')t=-10:dt:10;f=fst*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));subplot(223)plot(t,f,'m'),gridon;axis([-1010-29]);

xlabel('t'),ylabel('f(t)')title('由f(nTs)信号重建得到Sa(t)信号')后的■信号S削1)肿*午信号的频谱由加丁引亨号施建勒剑sw)信号-1D-50510tihf^nTs)信玲重建狷宜Sm(t)伯号uCT(nTs-10));6、已知周期三角信号如下图所示［注：图中时间单位为：毫秒(ms)］：(1)试求出该信号的傅里叶级数[自己求或参见课本P112或P394]，利用Matlab编程实现其各次谐波[如1、3、5、13、49]的叠加，并验证其收敛性；代码：t=-10:0.01:10;omega=pi;y=abs(sawtooth(pi*0.5火t,0.5));plot(t,y),gridon;axis([-10,10,0,1.5]);n_max=[1,3,5,13,49];N=length(n_max);fork=1:Nn=1:2:n_max(k);b=4./((pi*n).八2);x=b*cos(omega*n'*t);figure;plot(t,y);holdon;x=x+1/2;plot(t,x);holdoff;axis([-10,10,0,1.5]);title(,xiz6B32^Ey=,,num2str(n_max(k))]);end0.5最大琳社歉・i快大睹派数=3龈大谐波敬・5屁火菖波数=49明代皆放•数=13当周期三角察分析其频谱的变化。代码:dt=0t=-4周期三麹信号的周期2msk=-non快大睹派数=3龈大谐波敬・5屁火菖波数=49明代皆放•数=13当周期三角察分析其频谱的变化。代码:dt=0t=-4周期三麹信号的周期2msk=-non10其频谱图中间部分的幅值降低，两侧的