河南师范大学量子力学教案教案

§1.1经典物理学的困难宏观物理的机械运动：牛顿力学电磁现象：麦克斯韦方程光现象：光的波动理论热现象热力学与统计物理学多数物理学家认为物理学的重要定律均以发现，理论已相当完善了，以后物理学的任务只是提高实验精度和研究理论的应用。19世纪末20世纪初：”在物理学晴朗天空的远处还有两朵小小的、令人不安的乌云。”：(1)“紫外灾难”，经典理论得出的瑞利一金斯公式，在高频部分趋无穷。(2)“以太漂移”，迈克尔逊-莫雷实验表明，不存在以太。历史有惊人的相似之处，当前，处于21世纪之处，物理学硕果累累，但也遇到两大困惑：“夸克禁闭”和“对称性破缺”。预示物理学正面临新的挑战。黑体辐射光电效应原子的光谱线系固体低温下的比热光的波粒二象性玻尔原子结构理论(半经典)微观粒子的波粒二象性量子力学黑体辐射问题黑体：一个物体能全部吸收辐射在它上面的电磁波而无反射。热辐射：任何物体都有热辐射。当黑体的辐射与周围物体处于平衡状态时的能量分布：热力学+特殊假设一维恩公式长波部分不一致经典电动力学+统计物理学一瑞利金斯公式(短波部分完全不一致)二.光电效应光照在金属上有电子从金属上逸出的现象，这种电子叫光电子。光电效应的规律：(1)存在临界频率%；(2)光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关，光频率越高，光电子能量越大，光强只影响光电子数目。光强越大，光电子数目越多。（3）>>Mo时，光一照上，几乎立刻（卬lO^s）观测到光电子。这些现象无法用经典理论解释。三.原子的线状光谱及原子的稳定性11-1叱=~2~--T）V=7

氢原子谱线频率的巴耳末公式: fnn,A叫波数。原子光谱为什么不是连续的而是线状光谱？线状光谱产生的机制？现实世界表明，原子是稳定存在的，但按经典电动力学，原子会崩溃。§1.2早期的量子论翘克的能量「假设.普朗克公式普朗克在1900年10月19日，提出一新的黑体辐射公式（普朗克公式），它与实验惊人符合。,8// 1 ,pvdv=---加一dvc甘1ea-1h叫普朗克常数〃=6.62559x10-34焦尔.秒。.普朗克的能量「假设对一定频率v的电磁波,物体只能以力U为单位吸收或发射它，即吸收或发射电磁波只能以“量子”方式进行，每一份能量方》叫一能量子。二.爱因斯坦的光量子理论与光的波粒二象性.爱因斯坦的光量子理论爱因斯坦在普朗克量子论的基础上，进一步提出光量子的概念：辐射场是由光量子（光子）组成，即光具有粒子的特性，光子既有能量又有动量t2* .h波矢一下，n表示沿光子运动方向的单位矢量，一万..爱因斯坦公式-^=hv-W.叫脱出功，光电效应反映了光具有粒子的特性。.康普顿效应高频率X射线被轻元素中电子散射后，波长随散射角的增大而增大，按经典电动力学，电磁波波长散射后波长不变。如将这过程看成光子电子碰撞，康普顿效应可得到圆满解释。利用能量动量守恒和E=hw,P=h无，可得到康普顿散射公式△义===40c 2康普顿效应也反映了光的粒子特性。.光的波粒二象性牛顿微粒说（发光体发出弹性微粒流）一一》爱因斯坦光量子思想（可解释光的直线前进、反射、折射）（光电效应、康普顿效应），惠更斯波动说（机械波）——》光的电磁本质（电磁波）（光的干涉、衍射）（不依靠媒质）一一》光的波粒二象性：光的波动说和微粒说从不同侧面揭示了光的本质。光既具有波动性有具有粒子性，这二重性不存在哪个更本质问题。二.玻尔的原子理论1913年丹麦物理学家玻宏提出了半经典半量子的原子理论，成功解释了原子的稳定性、原子的线状光谱，揭示了原子内部的量子特性。玻尔原子理论的中心内容：定态假设，频率条件，量子化条件。.定态假设原子内部的运动只可能处于一些不连续的稳定状态，称为定态。原子在每一个定态下能量分别都有一定的值，原子的能量只允许取量子化的离散值，称为一个个能级。原子处于定态下，原子内的电子运动有加速度，也不会发生辐射导致原子能量改变。.频率条件原子的能量不能任意连续地改变，只能通过从一个定态到另一定态的跃迁而产生跃迁式的改变。原\Em-E„\V= 子从一个能量为4的定态跃迁到另一能量为/的定态时，将发射或吸收频率为为的光子。.量子化条件在量子理论中，角动量必须是方的整数倍，由此可确定每个能级的能量，再结合频率条件可得到巴尔末公式。索末菲将玻尔的量子化条件推广到多自由度情况|pdq—nhq为广义坐标，p为对应的广义动量，n为正整数，称为量子数。玻尔的理论是把微观粒子看成经典力学中的质点，把经典力学的规律用在微观粒子中，然后加了些量子化条件，它有局限性。对复杂原子（氮）遇到困难，另外还无法解释谱线强度，量子力学就是在克服这些困难和局限性中发展起来的。玻尔提出的一些最基本的概念（原子能量的量子化、量子跃迁、频率条件等）还是正确的。普朗克、爱因斯坦、玻尔是旧量子论的奠基者。旧量子论正确表达了部分客观事实，揭示了部分微观客体的内在联系，并为新量子论的建立奠定了基础。但旧量子论并没抛弃经典理论，只是在经典理论基础上加上一些量子化条件，因而是半经典半量子的理论，因而有局限性。§1.3量子力学的建立--微观粒子的波粒二象性.德布罗意波1924年德布罗意在光有波粒二象性的启发下，提出微观粒子也具有波粒二象性的假设，这种与粒子相联系的波叫德布罗意波。波的频率和波长与粒子的能量和动量通过德布罗意公式联系起来。.验证德布罗意波存在的实验(1)戴维孙一一革末电子衍射实验电子注正入射到银单晶上，散射电子束的强度随散射角而改变，当散射角取某些确定值时，强度有最大值，这与X射线的衍射现象相同，这充分说明电子具有波动性。(2)电子双缝衍射光通过两个窄缝时，会出现衍射条纹，这是光具有波动性的体现。将光源换成电子源，会出现同样的衍射条纹，这是电子具有波动性的又一例证。量子力学的建立量子力学是在1923—1927年建立起来的，矩阵力学与波动力学几乎同时提出，它们是完全等价的,是同一力学规律的两种不同描述。波动力学来源于德布罗意物质波的思想，薛定波进一步推广了物质波的概念,找到了一个量子体系物质波的运动方程：薛定泻方程，它是波动力学的核心。它成功地解释了氢原子光谱等一系列重大问题。相对论和量子力学是20世纪物理学两大进展。以薛定将方程为核心的量子力学属于非相对论量子力学。非相对论量子力学只能解决微观低速问题，电子的自旋是作为假设引入的。1928年狄拉克建立了电子的相对论波动方程,这个理论适用于电子速度接近光速的情况，电子的自旋自然包含了进去。但这个理论不能处理多电子体系。在高能情况下，粒子会发生相互转化，在此基础上发展起量子场论。第一章绪论内容小结

内容小结:.经典物理的困难黑体辐射，光电效应，原子光谱线系. 旧量子论＜1＞普朗克能量子论＜2＞爱因斯坦对光电效应的解释，光的波粒二象性光电效应的规律爱因斯坦公式一〃爱因斯坦公式一〃u*=nv-%光子能量动量关系E=hv=ho)5小，Aatrr=—n=—n=nkcA＜3＞玻尔的原子理论\E-I定态的假设，频率条件V~—h ,量子化条件”的=成.微观粒子的波粒二象性.德布罗意关系h-„xp=-n=hkE=ha)2戴维孙，革末等人的电子衍射实验验证了德布罗意关系.量子力学的建立物质波一一＞薛定月方程一一＞非相对论量子力学一一＞相对论量子力学 ＞量子场论§2.1波函数的统计解释一.波动一粒子二重性矛盾的分析物质粒子既然是波，为什么长期把它看成经典粒子，没犯错误？实物粒子波长很短，一般宏观条件下，波动性不会表现出来。到了原子世界(原子大小约1A),物质波的波长与原子尺寸可比，物质微粒的波动性就明显的表现出来。传统对波粒二象性的理解：(1)物质波包物质波包会扩散，电子衍射，波包说夸大了波动性一面。(2)大量电子分布于空间形成的疏密波。电子双缝衍射表明，单个粒子也有波动性。疏密波说夸大了粒子性一面。对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。二.波函数的统计解释1926年玻恩提出了几率波的概念：在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度(振幅绝对值的平方)和在该点找到粒子的几率成正比。既描写粒子的波叫几率波。描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。几率波的概念将微观粒子的波动性和粒子性统一起来。微观客体的粒子性反映微观客体具有质量，电荷等属性。而微观客体的波动性，也只反映了波动性最本质的东西：波的叠加性(相干性)。描述经典粒子：坐标、动量，其他力学量随之确定；描述微观粒子：波函数，各力学的可能值以一定几率出现。设波函数①s.y.z㈤描写粒子的状态，波的强度=则在时刻如在坐标x到x+dx、y到y+dy、z到z+dz的无穷小区域内找到粒子的几率表示为&*(xj.z/),dw应正比于体积dT=dxdydz和强度aW(x.y.zJ)=C\『dr归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。£dW{xty9z,t）=JC|①（xj,z,E）『dT=19归一化常数可由归一化条件确定重新定义波函数*（K，AZ.Z）=症力*（x.A.zJ）叫归一化的波函数。J|T|2dT= dv=\«0 QD在时刻t、在坐标（x,y,z）点附近单位体积内找到粒子的几率称为几率密度，用w（x.”zQ表示，则="印―=（|3dr归一化的波函数还有一不确定的相因子e";①『dT只有已 有限时才能归一化为1。经典波和微观粒子几率波的区别：（1）经典波描述某物理量在空间分布的周期变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来四倍，就变成另一状态了；而微观粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，将几率波的波幅增大一倍并不影响粒子在空间各点出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子的状态并不改变；（3）对经典波，加一相因子』，状态会改变，而对几率波，加一相因子』不会引起状态改变。问题：设波函数为生（工”2）,求在（ ）范围找到粒子的几率。问题：在球坐标系中，粒子波函数表示为*58⑸,求（a）在球壳（，尸+沙）中找到粒子的几率。（b）在方向的立体角4c中找到粒子的几率。§2.2态迭加原理

波函数的统计解释是波粒二象性的一个表现。微观粒子的波粒二象性还可以通过量子力学的一个基本原理：态迭加原理表现。经典的波是遵从迭加原理的，两个可能的波动过程与次的线性迭加+&4也是一个可能的波动过程。波的干涉、衍射现象可用波的迭加原理解释。量子力学的态迭加原理：如果写和七是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：7=G%+%田2（八.，是复数）也是这个体系的一个可能状态。电子双缝衍射：设%表示电子穿过上面窄缝到达屏的状态，设%表示电子穿过下面窄缝到达屏的状态。表示电子穿过两个窄缝到达屏的状态，则有田=，%+%生2,电子在屏上某点出现的几率可表示为I*|2=|01%+%%|2=旧?|2+|匕巴|2 +JC；%*；正是干涉项的存在，才有了衍射条纹。经典的态具有正交性，而量子态具有相干性。薛定造猫佯谬。推广到更一般情况：当田一田2,停*,是体系的可能状态，他们的线性迭加:空=+J田2+.+0,4+…也是这个体系的一个可能状态。§2.3薛定娉方程经典力学质点运动：初始状态（位置、速度） 任意时刻质点的状态量子力学波函数：初始状态波函数一^-任意时刻波函数的状态薛定谤在1926年建立了薛定将方程对波函数所满足的方程的要求：（1）线性方程，迭加原理的要求；（2）方程系数不含状态参量（动量、能量），各种可能的状态都要满足方程。建立过程：自由粒子波函数所满足的方程一推广到一般。自由粒子的波函数为平面波:对时间求偏微商:dt对时间求偏微商:dthApi幻"pl—5—^-e =—一¥对坐标求二次偏微商:d2xh2 h2对坐标求二次偏微商:学一国乎％一地?同理得：9yh,d2zh2将以上三式相加:利用自由粒子的能量和动量的关系，我们可得到自由粒子波函数所满足的微分方程:流空dt2〃上式中劈形算符： Hx沙生， dxdydzE=^-+U(r)TOC\o"1-5"\h\z如存在势能"(，)，能量和动量的关系是： 2〃波函数应满足的微分方程是；a中 h2-ih—=--V2'P+C7(r)'I,dt 2/j这个方程称为薛定谤方程。由建立过程可以看出，只需对能量动量关系进行如下代换:E-ih—at就可得到薛定谤方程。注意：薛定谓方程是建立起来的，而不是推导出来的，它是量子力学中的一个基本假设，地位同牛顿力学中的生顿方程。它的正确性由方程得出的结论与实验比较来验证。多粒子体系的熊定造方程，设体系有N个粒子，c.〜分别表示这N个粒子的坐标，体系的状态波函数为：田日心.U),体系的势能为b(。，J，，则体系的能量可写成+。(勺,々,行)+。(勺,々,行)E—>ih— —上式两边乘以波函数平，并作代换： &，P,7T龙▽；巴=『且+淖+点》其中：两方dz,a甲 n为2流”=-Z—V^T+Z7(r)T就得到多粒子体系的薛定洋方程： “ i,i2内§2.4粒子流密度和粒子数守恒定律连续性方程设描写粒子的状态波函数为：*(，")，则几率密度为w(乙o=^*(r./)'T(r,Z)几率密度随时间的变化率是史=•空士

dtdtdt由鹿定谭方程和其共轨复数方程得^.=21v2T+—t/(r)Ta2〃沈， ，将上两式代入得_=_(^，vaT-TVaT*)=—V(T*VT-TVT,)dt2/z 2〃jsA(«pvT*-T'V'P)生+▽.J=0则：dt ,连续性方程。上式两边对空间任意一体积V积分[^-dT=—\wdT=-[VJdT>dtdtlr " ,利用高斯定理得:L号dT=-§了疝=7JudSs S f了应解释为几率流密度矢量。单位时间内体积V中增加的几率，等于从体积V外部穿过V边界面S而流进V内的几率。如果波函数在无穷远处为零，将积分区域V扩展到整个空间，则—I>vdr=—\T*Wr=0

dt%dt'9 ,即在整个空间内找到粒子的几率与时间无关，这反映了粒子数守恒。如波函数是归一的，则它将保持归一性，而不随时间改变。J3三3=—('PVT*-T*VT)质量密度： ，质量流密度：" 2'碗“—^+口J“=0则：dt",量子力学中的质量守恒定律。同理，定义电荷密度：F,电流密度：J-eJ,可得量子力学中的电荷守恒定律。二.波函数的标准条件有限性、连续性、单值性§2.5定态薛定谤方程定态薛定将方程当势能与时间无关时，我们可用分离变量法将方程简化jft—=--Va'P+Z7(r),4,带入：况2〃 ，并把方程两边用必W/©去除ihdf1rh2_2 ....i———=—[—寸产由w24 ,两边都等于常数E--V2^+L7(r)^=Ey/,2"N *可解出：，©=Ce*,则+(/■")=以厂"h,定态波函数。-——(尸)叱=Ey/2〃 叫定态薛定一方程。--V2+E7(r)2〃 表示能量，H= 为哈密顿函数。H'V=ET二.定态下的一些特点定态：能量具有确定值；定态波函数所表示的状态。在定态中，几率密度和几率流密度都与时间无关。§2.6一维定态问题一.一维定态波函数的一般性质对一维定态问题，薛定谤方程为[-4^+/(X)]奴X)=后以幻 当W+名[&-Z(x)]W=02mdx2 dx2h，定理一：设Wx)是方程的一个解，对应能量为E,则“(X)也是方程的一个解，对应能量也为E。证明：/・。)：-。)，E=S对方程两边取复共扼，利用[-^-4r+%)]/(x)=Ey/(x)2max,必切满足相同的方程，对应的能量都是E。定理二：设“(X)具有空间反射不变性，即"5)=旷(一幻，如以X)为方程的一个解，对应能量为E；则0-x)也为方程的一个解，对应能量也是E。定理三：当/(x)=Z(-x)时，如无简并，方程的解有确定的宇称。即偶宇称：W-x)=W>),或奇宇称：必一幻=一0>)。证明：因为必X)和必-X)都是能量E的解，二者应表示同样的状态。因此应只差一常数。0-x)=C以X),则以x)=M-(-x)]=Cy<-x)=C>2以x)所以，C3=1,C=±l,W(-x)=±Wx)。二.一维无限深势阱r(x)=1° °18 x<O,x>a,h?a)[-9 (x)=EW(%)2mdx ,d12m_c审w+户eW=0aXn ,0<x<a奴x)=0,x<0,x>a

令占3+13=odx方程的解为：W=Nsin—+令占3+13=odx方程的解为：W=Nsin—+5coskx利用边界条件：以0）=必。）=0得：5=0,/sin无。=0,即：sin—=0, =",用=123,…（«=0时，3=。,无物理意义）„_h27r2M n7l纥二三产■，对应的波函数为：-5）=4sm（W）.利用归一化条件：工16（工）「小=1,得：4（工）=归一化后的波函数为：束缚态：无穷远处为零的波函数所描述的状态。基态：体系能量最低的态。三.一维线性谐振子V{x）=-^cd2x2一维线性谐振子的势能为 2 , V^r+（,E-———X。它=0体系的薛定谓方程为2〃42 2 ,进行如下变量代换： vA,Vft,ha>上生+（兄-乎）w=o薛定谓方程变为：弱 ,变系数二级常微分方程。号一七方程变为,解为时，”有限，将咳写成如下形式：W（E）=e丁耳©）,—+（^-1）7/=0带入原方程汩起将H按4展成幕级数，4—七》时，W有限，要求幕级数只有有限项。级数只有有限项的条件是:线性谐振子的能级为:线性谐振子的能量为分离值，相邻能级的间距为我线性谐振子的能级为:线性谐振子的能量为分离值，相邻能级的间距为我零点能：«=o厄密多项式:递推公式个产⑴小电味+用心]、/%(X)=—+(2力+1)弘+—5+2)5+1)%+2](2) 2a,d.. .[nin+1 [h%(x)= -J—z—V^+i]⑶dx V2V2， a3, --26(x)= 寺("-1)弘_2_(2m+1)弘+忒*+2)(%+1)Wx+a]dx 2与对应的波函数为：6(x)=Me2H,{qx),砥(-T^—f归一化常数：”亍2*4四.势垒贯穿□5)=U。. 0<x<aU(x)=0, x<0,x>ad22〃厂八 T-If/+ T-E3=0薛定谓方程为d/ h2 ,(x<o,x当W+当(£-4W=0m、dx2h2 , (0vxva)(a/>S时一=(券mk2=.〃(；严空方程变为：京3+片3=0,(x<0,x>a)备收入(°<…)

在区域，波函数：仍="内+403在。（XV。区域，波函数：%=B产X+B'e*"在区域，波函数：%=CeM+C'eT&*对投射波，不应有向左传播的波，即：C'=0.利用波函数及微商在*=。和x="的连续条件，我们有（M）”-o=（g）*_o：X+4=B+B'（4仍=产仍'dx4"0-'dx -kxA'=k3B-k^B'（%）*-.=（）*y：Be'3+B—3=Ce>^尸仍、k3Beik,a-无/七-'“=k^Ce^11解方程组：c= 4汽上.T% A（用+自）%—（右-向）2卢。A，_ 2i（.：-后）sina12工一（占一>/以*4*一（~+>2）2e-，5Jw迫（*▽7•-+♦▽+）得出入射波/e'Z、入射波几率流密度:透射波几率流密度:反射波几率流密度:TOC\o"1-5"\h\z利用几率流密度公式： 得出入射波/e'Z、入射波几率流密度:透射波几率流密度:反射波几率流密度:透射波8侬、反射波的几率流密度J=—{Ae^G（deTW）-4%如W（/e即）］=也|4『2〃ax dx 〃q，Q」C『. *投射系数： J Ml2 (A：!2-jta)2sin3ak2+4k^k1__4_I-T_ 曲一舄/sin晨2。反射系数： J \A\2宏一居I*sin2ak2+4无:总用一产（1-叼

ft用一产（1-叼

ft2—t卬―k；w—0方程变为：d#3 ,(0<x<a)方程的解形式为：g=利用边界条件得：TOC\o"1-5"\h\z2两后e-3 .(k；—)shk3a+2ik1kzchkia.e-e ,e-reshx= cnx= 其中双曲正弦函数 2 ,双曲余弦函数 29_ 4KM投射系数：伏；+g)/小切+4尢法；隧道效应：粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。&=Q+Z7(x)按经典力学： 2〃 ，如E<Z7(x),则动能为负。是无意义的。但在微观世界，由于粒子的波粒二象性，动能和势能是无法同时确定的，上述等式是不成立的。因此可以可出，隧道效应是微观粒子所特有的量子效应。小结第二章小结一.波函数的统计解释.（量子力学一基本假设）叼）为几率波。吟）1几率密度7（元0满足连续性，有限性，单值性。二.态叠加原理：卯='4%ft«及态叠加原理是微观例子具有波动性的体现。经典粒子的态是具有正交性。.薛定谭方程（量子力学一一基本假设）.薛定将方程是基本假定，是建立的不是推导的.薛定谤方程是线性方程.定态薛定将方程定态：能量有确定的值定态波函数a2[--V2+r（r）T（r）=£T（r）定态薛定渭方程 2〃海=腔定态波函数实际是能量本征函数定态薛定骋方程存在定态解五.一维定态问题°，kY

'12⑴,一维无限深势井 ［吗忖月本征值⑵.一维线性谐振子为）=本征值 纥=方©伽+§本征函数 Tx六,连续性方程M.==乎5dt几率密度 ©=5•于-*■ ,方几率流密度 17=0■（呼▽旷-5）第一节力学量算符算符算符：作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。用弁表示一算符。二.力学量算符.坐标的算符就是坐标本身：r=r.动量算符： *=Th『九"43=一疏导az,方，八dz.动能算符.哈密顿算符:.角动量算符:如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将 换成算符得出算符和它所表示的力学量的关系？第二节算符基本知识-线性算符满足运算规则3（01乎］+0272）=6051+02。乎2的算符1称为线性算符。二单位算符1保持波函数不改变的算符州=田A.A三算符之和（月+B）道+含）7=35+谷田加法交换律A+B=B+A加法结合律A+（B+C）=（A+B）+C两个线性算符之和仍为线性算符。四算符之积定义算符2与3的积温为（助N=4渐）注意：一般说算符之积不满足交换律，即：的这是与平常数运算规则不同之处。五逆算符设23=①能唯一解出于，则定义的逆算符a一1为：a”①=少注意：不是所有的逆算符都有逆算符。A-lA=AA~x=l,（方尸=声】才1六算符的复共粗，转置，厄密共朝.两个任意波函数田与中的标积（田，①）=卜理•①（卯,平）之0 （巳①）'=（①,唐）（4%+以也①）=第1（%,中）+才2（巴，①）.复共辗算符算符°的复共聊算符6•为:把6的表示式中所有复量换成其共趣复量3=Th^~/]=求导=一为a?加（ABC）'=下岁广.转置算符定义；算符6的转置算符。满足：（%3/）=（/,。始）■AA 八1A.（AB）=BA.厄密共辗算符算符°的厄密共掘算符°+定义为（T,。+①）=（。田,①）=（①后巧"=（①（卯，夕①）即算符6的厄密共轨算符即是的转置复共规算符（助）+=京2+.厄密算符厄密算符是满足下列关系的算符&=3 （咧0①）=6\①）注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符例：证明, 是厄密算符证.声=印+号+中（巴岑力）=/中.（x）邛①（x）dxJ-9=「°联（-1?马①（x）dxdx2一W吧［：+/「芷吟dxI-L-dxdx=M也让-hf-wx为IeL苏=「学♦y前工=广（好卯），以=（4卯2）号为厄密算符，°’=甘2号为厄密算符，°’=甘2+年+为厄密算符第三节力学量算符的本征值与本征函数厄密算符的本征值与与本征函数设体系处于乎，测量力学量O,一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为折=（6-O）2=o）2wt如6为厄密算符，。一5也是厄密算符J联（。-5）2卯dr=jT*（d-O）（d-O）Wr=J［（d-d）T］*［（d-d）wr=。（。一弓）中「4720存在这样一种状态，测量力学量°所得结果完全确定。即AO*=0.这种状态称为力学量。的本征态。在这种状态下（6-亦=0=6{,=。,巴\/«««0*称为算符的一个本征值，**为相应的本征函数。二力学量算符的性质.力学量算符是厄密算符（1）量子力学的一个基本假定：测量力学量。时，所有可能出现的值，都是力学量算符6的本征值。（2）厄密算符的本征值必为实数证：设弁为厄密算符•力初』㈣•①八取中=乎可乎""=到联于八N=1儿是实数G）表示力学量的算符为厄密算符.力学量算符为线性算符态叠加原理决定了力学量算符为线性算符【证】：设的1=班1的2=睦24=4%+4%也应是体系的态的=碇即=无用与+4身为..H为线性算符三厄密算符本征函数的性质1正交性厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。如果两函数田1和田2满足J"1"2"二二°积分是对变量变化的全部区域进行，则称71与T2相互正交。［证］:己知声①★=4①反声①】=461%04为实数0①J=*①:=4①「J仗①/①〃34j①「①"工j①晒①四由厄密算符性质信①Jmt=J①''•41［曲①jdr=Zj①x①/t(4-4肚涔四=0•:&w%J①*,①招工=°这里只考虑分离谱,对连续谱也是成立的对归一化的本征函数J①分离谱J①连续谱这样的本征函数构成正交归一系.2.完备性设户为代表某力学量的厄密算符,它的正交归一本征函数系为①*(x),对应的本征值为4则任一函数蛉)可按①*(x)展开田㈤=N，①.(x)本征函数的这种性质称为完备性C与X无关，利用①X的正交归一性，将①/(X)等式两边，对X在整个区域积分f①：(x)T(x)dx=Zcj①：(x)①.(x)dx=Za4=c求n即：C—J①;卯(x)dx如乎(x)总归一化1=W⑶卯(x)dx=ZC：cJ①:①.(x)dx=ZC：C”加MX MX=ZlcJ=in讨论：(1)当卯(x)是算符户的一本征函数时，即7。)=①i(x)即G=1其它系数为零，这时测量力学量的测量值必是4(2)当中(x)不是弁的本征函数时，7(x)可按本征函数展开 * ,测量力学量的结果是本征值之一，测量结果为4的几率为lCjlG)波(态)函数可以完全描述微观粒子的状态量子力学关于力学量与算符的关系的一个基本假定：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符,它们的本征函数组成完全系，当体系处于波函数乎(X)所描写的状态时测量力学量f所得的数值必定是算符力的本征值之一，测得儿的几率是四力学量算符的平均值.对于一态乎（X）,将其按某力学量的本征函数集中*（x）展开卯㈤=ZC・①/）①/x* ①*⑺是归-化的出现本征值4的几率为则按由几率求平均值的法则上式可改写为F=f7心）#田（工协='，#叼田（X）是归一化的［证明1Jy⑺做（必、=zc：cJ①:㈤介①.6协M.X=工。aj①斌㈤①“彳物M.XXn_W（x/P（xHx如未归-化：一⑶㈤攻加如本征值是连续谱4定理：在任何状态下，厄密算符的平均值都是实数［证明IF=（%的）=伊巳乎）=（乎，割）'=F*逆定理:在任何状态下平均值为实数的算符为厄密算符例1：设鱼为厄密算符，则#220［证明1尹=他仔叼=3方觎）=网，觎）=|仗W）.（觎加=J|ft|2^t>0一.坐标算符天xO)= x0)=x05(x-x0)即S(x-Xo)为坐标今算符本征值为X。的本征函数。动量算符P动量算符的本征值方程TOC\o"1-5"\h\zx r-ihV%(x)=J)%㈤一通《%⑺=外%⑺-洗!么&)=马巧⑺一流3％&)=p\,&)ox ,py ,oz亚用=Cexp佶/它们的解 3 /如何确定归一化系数c这是由于本征值尸可取任意值，动量本征值组成连续谱,可以看出在空间任意一点本征值出现的几率都是一样的.对连续谱的本征函数，我们一般将函数归一化》函数j雪,⑺田，(加T=C?jj：呻；伉-2》+(巧-工卜+仿工-「；匕山的公2脑2脑5⑶一只)j%⑺％&比=c?(2办那份—co=c“2两期-刃取C=(2亦)，，T?(r)归一化为8函数归一化的动量本征函数为%♦)= 1je距 r(2港)，L」箱归一化：如给波函数加上边界条件，即粒子被限制在一正方形箱中,边长为L,要求波函数在两个相对的箱壁上对应点具有相同的值-pxL+pyy+p^z-pxL+pyy+p^zA八3Arc 2加xexp(7pxZ)=l—L=2nx7Tp,=——,

n,n , L27^ny 2/zfi^x同理：“一 L,Pt~L,勺/"/为正负整数或零。L78,本征值谱由分离变为连续.加进周期性边界条件后，动量本征函数可归一化为1,归一化常数为C=£2。

%夕)=Jexp^-pr

-ft归一化波函数为 1,aa三.角动量算符L=rxpAr- 人人 A.A. rAA 人A,%=%_硬z,L=叫一叫用球坐标表示:x=rsin^cos(py-rsin5sin(p用球坐标表示:b=b=流辰端+以g6cos呜)fa a、$ ―d.dLv=in-cos/ 1-ctg&sincp——\ 90 剜可以看出角可以看出角动量算符只与有关1. £*的本征函数L=-ih——法且①=<①

dipt d(p解出①⑷=Cexp①㈤应满足边界条件①3）=①（0+2开）Cam Gzip1~—―—―LftJL左_exp =10吟：0助=廿%㈤=/=产归一化后， 42k①*是'z的本征值为微方的归一化本征函数。4中工同=3"3）人与人2.角动量（£，4）的共同本征态：球谐函数AaZ»L，£与的共同本征函数为球谐函数：%®* '=012…轨道角量子数m= 磁量子数一」（包©=/@+1渥4©@4几©。）=滴心@必L（a。）具体表达式：LGe）=（T）\）- 1手（cos6）产丫（7+加）！4开匕》（包。）是正交归一的:对应于尸的一个本征值W+D*有22+1个不同的本征函数。我们把对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况称为简并。户的本征值是2/+1度简并。第五节算符的对易关系共同本征态函数测不准关系一.量子力学的基本对易关系Maaaa=AB-BA1.坐标与动量算符的对易关系^T=-ih—Tdx=Th—(xT)=rhT-Ax—Tdx dx：.(鱼一/㈤5=7应田为任意波函数，所以「AA1A人 人人.I[x,pt\=xpx-pKx=ih同理花药]=住,/」=访艮分]=氏/[=...=0概括起来卜，，办卜戊2.角动量:算符的对易关系式Ir八|I八八 AAAIra]IA人AI-P产,xj=回,，xj-[p产,x]「人人1人.人「人人1A「人人1I人人|人A=饺,巧忆对一[巧,xp=0Ir人I[人八人人人I「AA八1I人人AI回jbMz一早[，力=应i用一团〉，川=一物，引=i粉|乙，今夕]=E同理可证匕办]=£力帆忸,£,]=o常用的对易关系式MlAAIIAAI=-忸闺[a,A\=o\a,c\=O [cL4,5]=c[aJ]IAAAIIAAIIAAI[a,b+c\=\a,b\+\A,c\IAAAIAIAAIIAAIA[ArBC\=3[ac]+[4碟I八A八IAIA八IIAaI八\AB,C\=A\B,C\¥\A,C^二.共同本征态IAA| A.A如两算符2,先满足H，B]=O.称AB对易定理：如果两算符48有一组共同本征函数①-而且①”组成完全系，则A3对易伽-的%,=44①* =0设”是任一波函数卬=，%①*黑[ab-ba^=少（方-的M=o，人公AA\:."-网=0逆定理：如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数上述定理可推广到两个以上情况。忸，41=0它们的共同本征函数完全集是丫触题6户"药，也相互对易，它们有共同本征函数如，要完全确定体系所处的状态，需要有一组相互对易的力学量，这一组完全确定体系状态的力学量，称为力学量完全集。完全集合中力学量的数目一般与体系自由度数目相符。从对易关系可以看出，普朗克常数在力学量对易关系中占有重要地位。体系微观规律与宏观规律之间差异，如h在所讨论问题中可略去，则坐标，动量，角动量之间都对易，这些力学量同时有确定值，微观体系就过渡到宏观体系。三.测不准原理设两算符F，G对易关系为»AIA［F,G\=ik令LF=F-FLG=G-G考虑积分/©=J|（绅-必挛加NOj是实参数［6）=］（纳3-必色卯［小觎『+而&WdT+^JR弁3）（△次）7t+J1况）［倬田）1工AA△F，AG都是厄密算符.-.四）=铲J 乎八-*JV（A#A@-△2句前7+JT*（A（7）2WT人A Aa -人 人ALFLG-LGLF=FG-GF=ik■-痣）=阿e+kd+（A@y不等式成立的条件是HW4对坐标和动量［五/」=话，工=尢例：通过测不准原理关系说明线性谐振子的零点能【解】振子的平均能量是=P21E=-—•I■-“2彳22〃2LFJ=（F-FJ=F2-2FF+F2=F2-F2（Ax）2=x2-x2=x2（Ap）2=p2.,E=W-+-〃0（Ax）22a2（AX7和（Ap丫不能同时为零-笈最小值不能为零为求最小值，测不准关系取等号-ha)得出的最小值2 ,测不准关系是量子力学中的基本关系，它反映了微观粒子波粒二象性。第六节电子在库仑场中的运动氢原子

电子在库仑场中的运动核(Ze), 核外电子Ge)氢原子Z=1类氢原子 Z>1力=—弦6一至=_三［金(尸金)—1月］2〃r2/drdrh2-二归(户马-口加中=村薛定谬方程 2〃rdrdrh分离变量法乎G&(p)=R(r)Y(6,0)=肪什径向方程的解 又献S)与角度部分有关的解与“(”同n主量子数1,2, /轨道角动量量子数 /=0，l，2,……m磁量子数 m=0，±L±2, T(r,8,0)=&(r)y©,0)P]；『乎.(r,6@N(r,6e)/sin6drddd(p=1[M(r)r%r=l/『嘲⑸协、©<P)dC=]E二亚,*一2九3可以看出能量本征值是和n有关，对应于第n个能量纥，式2/+1)=1X 个波函数电子第个能级是度简并的。氢原子对氢原子应考虑核运动，这是一两体问题薛定谓方程Q访应■卯(々,丁1/1，通,乃产2，£)h2d2d2a2 力2d2d2(研+笳+分)一亚(福+砺•+卷)+，]卯(和巧/卜孙，打用,£)相对坐标 工=々一叼y=当一＞2Z=Z]—Zz质心坐标MX=内11+ MY=/zyj4-/xy2朋7=〃/]+〃/2l©皿「h? /d2 d2 - h2zd2d2 d2、“/ 、1皿jh—+=-[ (————r+ ——T)+ ——(-r+—r+ —T)+，(五y，Z)]+dil2M vaz2 dY2 az2 2〃"dy2 B+〃2约化质量分离变量 *=w（x,y,z）e（x,y,z）?a）带入方程用h了除方程两边出丝=后dt与坐标无关愉=小产h21.52 d2 d2. h21.52 a2 d2. “, 、2MdX2 dY2 dZ2 2〃。"旷数'，，）<2>式描述质心运动，这是能量为£一下的自由粒子的定态薛定造方程。<1>式是电子相对于核运动的波函数所满足的方程，即是一个质量为〃的粒子在势能为，（xj，z）的力场中运动，这里我们只需要把前面结果中Z的取为1,把电子质量换成约化质量即可E;财氢原子能级"2炉/能级随n增大而增大 %-8 纥=°电子电离电离能_£=生2炉=13.60_耳=日2*=13.597 （〃取约化质量）电子由能级旦跃迁到**，时辐射出光的频率里德侑常数 R=10973731.1/mR=10967758/m （约化质量）%=1.09677576x10%电子按半径r的分布儿率叫（好办=『J；同⑺/©Ml『sinGirdOdcp=匕⑺户dr玻尔电子轨道半径的本质：分布几率出现极值的地方。第七节力学量随时间变化与守恒定律

一.力学量平均值随时间的变化，守恒量在量子力学中，处于一定状态卯下的体系在每一时刻不是所有力学量都有确定值，只是具有确定的平均值及几率分布dFr.dF,td'J!*a(.3T一=T-Wdx+ F卯dx+TF—dxdtJ3/ )dtJdt有薛定有薛定真方程的dtih竺=[联—^dx+-[t*FH^dx--f(H^yF^dxdt」dtihi 访八Ar0斤 人人 1r人人=[p匕乎dx+上[qFH^dx--\^HF^dxJ灰ifi， 访」=电+工丽dtihdFdF1~~~~- _=0 —=-［F,j¥］若力学量?不是含t 则dt,dtih。, . … 理=0如#又和育对易即［,，闭=0,则：dt满足上式，即力学量平均值不随时间变化的力学量称为守恒量，守恒量的几率分布不随时间改变。人A A证：设弁为守恒量，则［9，月］=°,取艮*的一组共同本征态风对任一态乎（M）按内展开卯（猫2）=斗式。％5）k&«）=（备T（M）） 。；（£）=（乎（M），4）dI..i2 ,da；、 .dak万院例=弓1队+外工ClL UL Ctlraq a乎=（等，我）（％〃）+（巴四）（心等）TOC\o"1-5"\h\z0t ot1 - ▼ 1人=（-一,%）（备与+（T,归电不HN）in in=-!（卯,自勿）卯）+1（卯他）（见的）in in=-刍（干㈤依，3）+冬（卯㈤@,卯）in in=0总结：如果卢是与食对易的不含t的力学量（守恒量）则（1）在体系的任何态下，户平均值不随时间改变（2）在体系的任何态下，弁的几率分布不随时间改变。（3）若初始时刻，体系处于守恒量力的一个本征态，则以后仍将保持该本征态，若初始时刻，体系不处于户本征态，则以后状态也不是弁本征态。例：（1）自由粒子的动量动量守恒寺，2F[A^]=o动量户守恒

（2）中心力场中运动的粒子角动量守恒+%)Ah2a,2a、h= r—(r2—)4-+%)drdr、人人人L，工/,与只与8,<P有关人 人 人.人,^]=0角动量平方及角动量分量都是守恒量。（3）哈密顿不现含时间的体系能量守恒;.[#,*]=0能量守恒（4）哈密顿对空间反演不变时的宇称守恒空间反演展（*）=乎（一M）空间反演展（*）=乎（一M）户宇称算符广7(x/)=P^(-X,t)=T(x,Z)尹的本征值是1, P的本征值是±1户与=卯i（偶宇称）声均=一%（奇宇称）设体系的哈密顿算符 在空间反演后不变#（x）=B（-x）则加（力7阮。=身（一X）声穴X/）=身（X）'（X/）人A -APH=HP

身和a可以有共同本征函数。宇称守恒定律：体系能量本征函数可以有确定宇称且不随时间改变。守恒量与定态的区分：定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则是体系的一种特殊的力学量，即不显含时间与力对易的力学量在定态下，不显含t的一切力学量（不管是不是守恒量）的平均值及几率分布均不随时间改变,而力学量只要是守恒量，则在一切状态下（不管是不是定态），它的平均值和几率分布都不随时间改变。第三章小结第三章小结「力学量用算符表示户={/=一访V，#=#（户,/）.力学量与力学量算符的关系#①/产）=为之（尸）U）全部本征值是且仅是相应力学量F的所有可能取值。.表示力学量的算符须具有的基本性质.线性算符，即满足条件：登加原理要求薛定那方程必须是线性的，要求育是线性的，而方又是由诸力学量算符构成.⑵.厄密算符9 9r,区即）=（旌,①）。物理要求力学量所有可能值（观测值）均为实数，即力学量的本征值为实数，只有厄密算符的本征值全是实数。.力学量算符本征函数具有的基本性质.正交归一性，这是由算符的厄密性决定的.*9J%（x电行以=5心士 分离谱j①㈤①7卜协=5（p_/）-» 连续谱.算符的本征函数集具有完备性（a）分离值九，①*（尸）.如（。）=W%（。①J产），％（力”①「（暝伉力#=（①『乎）")1，取值为儿।的几率(b)连续谱：尢，①a叫，)=Jd2C式£)①/X)Cji)=J①J尸曲〃)的=(①幺万)完备性的另一描述：二①*'(xM"(x)=»(x—)“ 分离谱f或①二(/)①a(x)=5(x-X) 连续谱闽：中(刀)=二%①x(x)C*=|1①♦(工)空(工物期 , "X；.叫=£J①：身)于(/W①.(x)X=jz①•H)①*㈤5同)“»»Bf) ...Z我b'电(x)=3(x-x)若上式=*1引，则要求»4.力学量算符的平均值00F=fT*[rft)#T(r,/)tfr=(T,FT)-» 一般表示，N-mrX连续谱=QC\d^.连续谱上述波函数是归一化的。

二.几种基本的力学量算符及本征函数.坐标算符£=X本征值谱为连续谱（-8,8）,所有实数本征值为X。的本征函数j%(x)H/x)dx=<5(x；-Xo)正交归一性:-v>正交归一性:完备性:jh（x"）mx=s（x”-/）一2.动量算符p=-ihVP本征值为连续谱，区间（一8,m）内所有实数值，本征值为的归一化本征函数j5L）叼（力丁=3伊-万）正交归一化条件：7完备性:j完备性:j%,伊冏（尸坊=3俨-尸）一 人 人. 轨道角动量算符 L=rxp常用球坐标表示11dsin0dOd、sin3—dff)ia2+- sin8d(pIA，川=。Ar与Z2有共同的本征函数丫加（仇3）=尸（©。'。丫屐"小（46=，（，+1"丫加（d6 /=0,1,2,••■角量子数44,0,0）制=o.±l…出磁量子数八工与的本征函数八工与的本征函数"初=，*p

‘岳正交归一，正交归一，性:nr2itJJy(仇w)a(e,0)sm南由w=认凡*00完备性:zf 3完备性:zf 3便一声初-向i-0㈱7一维无限深势阱的能量本征函数（宽度a）E*n2E*n2h2n22/ja2一维线性谐振子的能量本征函数1（）一,<^22xnl） 凡*（"）厄米多项式nn=0,1,2,•••逆推关系:4卜即刁%.2+（2〃+1）H+婀而物％]Na9％= 卯i一（2〃+1）%+&+痴+2）卯川]三.算符的对易关系测不准关系i.常见对易关系⑴ 氏，//=洗%⑵ [£*/=%7帆 |4，/j=£.号「[人人| 4⑶ IA4/=£哂血r（4） |£“,m=。2.测不准关系四.氢原子（电子在库仑场中运动）哈密顿量：能量本征值：能量本征哈密顿量：能量本征值：能量本征函数:E一四’*-汕«=1,2,3,-'度简并.于祖=仆卜用热（仇0）,能级'度简并.§4.1态的表象矢量的表示矢量A基矢&苞4=21倒+4 4=。,幺）（4,4）是矢量幺在坐标系々，叼中的表示。II II对另一坐标系X1,X2,幺=44+承；（4,勾）是矢量幺在为途2坐标系中的表示，同一矢量幺在不同坐标系中表示有什么关系?A[=4.,0）+46,0）=cos幽-sin朗J£=4同,0]）+4（2；,02）=sinQAX+cos5z42'.=R（必硒=产-叫\^i） （sin6cos^）我⑻有什么性质？detR=1RR=RR=\（真正交矩阵）R*R=RR*=1幺正矩阵同一矢量在不同坐标系中的表示通过一个幺正矩阵联系起来。二.态的表象与表象变换

表象：态和力学量的具体表示方式。量子力学中，量子态可看成Hilbert空间一矢量。7（X/）, 1&是波函数和力学量在坐标表象中的表示，这种表示方法并不是唯一的。（一）.态的表象1.特例1%动量本征函数 ⑫办» 组成完全基任意态攻x/）=JC®加（X两利用：\①；（X）①,6协=心=P）（①,.,%）=<58JP）cM=\①二㈤攻力）公=（①,,田）J|T（x,Z）/dx=l=J|C（p/）|%=1「仿，力|衣是T（x/）所描写的态中测量粒子动量在P—P+衣范围的几率.C&M）与乎（M）描述的是同样的态，C0U）为在动量表象中的波函数。2推广到一般情况在任意力学量。的表象中，态乎（冗。的表示：分立本征值： "本征函数:本征函数:%（X）,〃2（X）「，4（X）一・卯(n)=Z><加(x)n4(0=(A，乎)='㈤田(x/)dxJ|T(x,i)|dx=£a二翅倒〃;(加&出XM=Z册QMQ)/XM=Za;(MQ)J|T（x,/）|2^=1=>Sa；（M〃）=l卜」是态v（x/）中测量力学量。所得结果为Q的几率。%（£）◎（£）,…,a@…为态乎（冗。在。表象中的表示。%（£）7=:a用用矩阵表示： 〔：/ “+=（。1（力。2Q）即（。…）平+V=。",1。+以；（£况&）+"，Q1，02，…，Q,，…%(X),叼㈤,〃<x),…. q：、田(x/)=N4QL(x)+J%(M(Nx%(。=(u*㈤,T(x,Z)) %«)=(%(x),如/))

同一态可以在不同表象中用波函数来描写，所取的表象不同波函数形式也不同，但它们描写同一态。经典力学 量子力学矢量态矢量QiQ）。2«）…/I）…）普通三维空间 希尔伯特（Hilbert）空间特定坐标系 特定Q表象本征函数（二）态的表象变换态矢量平（x,£）T（x/）=Z/«M（x）TOC\o"1-5"\h\z在力学量力的完备基下，即在4表象下 X4表象：攻x/）=Z4（M（x）另一力学量4的完备基下， *"表象："；（，）&1），…a&），…二表象4©之间的的关系：少（兀£）=Z%（以"㈤=IX ㈤X M左乘u1（x）取标积，对X积分TOC\o"1-5"\h\zZ4(加广(x坛(x)dx=Z =4仅)\o"CurrentDocument"M Mz%(加J(x'xGbx=Z(“Z(x)，〃*(x))&Q)=£$4(Z)x x nSfc.=Jdm「(x〉a(x)城(。=工8既％”)即： a矩阵表示a'=Sa幺正矩阵S+S=SST+=1同一个量子态乎(冗力在工，3表象中的不同表示的关系通过一幺正矩阵s相联系。［证明］此吼=Zs<s“=zs；s”a at=ZJ加：(x)u；(切dx记♦(x)j(/)Of=Jdx加N/GMUMGHG)=Jdxa5(x_x6j(x)uj.(/)=b叫心瓦⑺§4.2力学量算符的矩阵表示与表象变换一.力学量的矩阵表示设一力学量I'办)作用于态》("力得到另一态①(冗力在坐标表象中①(露二小一噌)攻刈在任一表象。下本征值：。1，02,…，0*，… ％,町，…以，…JftJft£6&)八(x)=盒2册QM(x)m m两边左乘“*㈤对X积分£dxu；(心(x)=ZJu/(x)3%(x)dxa<DM 7K利用“*(x)正交归一性X>(0%=NJ%'(x)M&)以勰Q)» ntb"=2"小%=J (x)dx=(AM)aM是算符在Q表象中的表示力学量算符为厄密算符囱以=信吟1WX即何例＞)=的㈤厄密算符在°表象中的矩阵特点:尸，=(取缸(砂法利用厄密算符性质、=J”;(X网(x*x=J(#〃M(x)「％(x)dx=F\mFk*=%*即F+=F即：力学量算符的矩阵表示为厄密矩阵。算符在自身表象的矩阵：=Qj4(MxMx=Q4乌算符在其自身表象中是一对角矩阵。如。具有连续本征值q,本征函数为斤”=Jdx“；(x)电.㈤在坐标表象中%=Jdx"(x_x"*(x.,T&2}(x,—x‘)=F=F例：求一维谐振子的坐标，动量及Hamilton量在能量表象中的矩阵表示。En=hann+-］［解］线性谐振子的能级为 I2)«=0.12,•••对应的能量本征函数,'x=E**x利用公式

e海*)=访。%=(%的)=&■&)=&%=(；+小叽■120二.力学量的表象变换力学量算符,在上表象中%=J%(9%⑺办巴：算符工的本征函数弁在3表象中，=J①,C%(x)dx①y算符§的本征函数%(x)=1SjH(x)凡〉=W;(x)%(x协=(%,%)%=J①「㈤,①/”)dx=ZJ兴'(x)(S*；y弁S「H(xMxMXJHJt=ZScatF**S*；『=SFS"§4.3量子力学中一些关系式的矩阵表示态矢量和力学量算符己用矩阵表示出来，也就是说态矢量和力学量算符在一确定的表象下可用矩阵表示。注意，这里的矩阵可能是无穷维，也可能矩阵指标是连续变化的。一.平均值公式在Q表象下» 代入上式声=JZ (x)自(工出=2X,(加二(x)Fun (/)~Z以/(£)F?hx4(z)F=QiQ）F=QiQ）ai（£）二.本征值方程dt%2 "dt%2 "。2Q)xd分（E）Hqhmih—dt<•)l…即…、7向、。2（£）仆-. ...Jk:>线性齐次代数方程组：ZK-犯*»*©=0M方程组有非零解的条件:用「4%… % …&%一入…% •"居1 尸.2 …招*一，"• =0 久期方程求久期方程可得一组％值：4,%，…，见，….将代入方程可求出相应的本征矢。三.薛定将方程X,—访§4.4表象变换下的不变量与不变式一.不变量(1)标积甲'=N<l/=s①乎'+=T+S+①…=<1>+£+电M)+(sG=乎+s+s①=乎+①(2)归一化条件fm+W=乎+个(3)平均值J'=q+YW=VS+秋+封=T+FT=P平均值是唯一同实验事实直接相联系的量，不应随表象不同而变。(4)算符本征值在4表象触=W在B表象P=4甲=臧*科=/腔S的!= 的=矛乎£=4(5)力学量矩阵的迹人表象F8表象F'F'=SFS+TrF=7r[^+]=不上+即]=TrF不变表达式(1)代数式加法式：人 △人A+B=CA+B'=sAs*+S淞+=sR+3卜+=sGs+=C'即：A'+B'=C'乘法：AA AAB=CAB'=@S+曲S+=就切+=SCS+=C"在量子力学中，算符之间的一切代数关系式在表象变换下都是不变的。(2)算符对态的作用屯=的力中=SFS^=S敢=髓=B量子力学的基本公式在表象变换下是不变的，也就是说前面我们所涉及到的量子力学的基本公式是与表象无关的。§4.5狄拉克符号量子力学的规律和所选用的表象无关，讨论量子力学中的态和力学量也可不用具体表象。不通过具体表象的描述方式是秋拉克最先引用的，在这种描述方式中狄拉克引入了一套符号，叫狄拉克符号。优点：（1）运算简捷，（2）不用在具体表象中讨论问题左矢与右矢।〉：右矢（I：左矢对一特殊态：可表示波函数中描述的状态本征态，常用本征值或相应量子数标记1^）,\p'）,H|巧＜--＞乎（冗。无表象x表象注意：।），（।表示的是抽象的态矢量；未涉及具体表象，就像表象用A右矢।〉，是左矢（।的共扼矢量，即对应的分量互为共丽复数0、劭%小，…小，…）二.标积悝）与憧〉的标积；＜色乎〉〈倒巧砧；+a也'+…+犷；=纱也〈①|乎><-->Jdx&（x）P（x）无表象工表象（倒卯）=（叼①）’力学量声的本征值吁对应的本征态：无表象：阳〉，X表象：/（x）fd曰*GM㈤=%T闺助=%fdxu：（x".（x）=<5（3-兄）Ta昌卜衣-/）坐标x的本征矢〈市'"（一，）力学量声的全部本征函数组成一个完全系，本征态的।〉或也组成一完全系，我们把这组完全系的左矢和右矢叫左右基矢。三.态矢量在具体表象中的表示在尸表象：分立本征值底；付，本征函数1巧=工做忖<-->%"）=漳^a）k k伽悝〉=2利卜"〉=工做%=%k kaJSI巧把化阳代入悝）=2例乎淞”2故涸巧=ZT丹k k kpk=k>Gipj巧=时«悭>=幺同Pe为一投影算符，对任一矢量运算后，把该矢量变为它的基矢此〉方向上的分矢量。is ZMX同三1 <-->工":（琮0=曲-力I*'任意的E 完备性的体现 对连续本征值J"犯乂小1卜曲,态矢在具体表象中如何用狄拉克符号表示:例四="是态〔乎>在F表象中的表示，1乎）在x表象下表示为乎（入乂），为坐标算符本征值x'对应的本征函数，|巧=1攻冗O=Jdxq（£）②㈤（x|巧=Jak/x呼（//）=J<5（x-x夕=卯（x,Z）E巧=蛇/）悝）在X表象中的表示。狄拉克符号狄拉克符号a网巧=网%衅GI巧=但⑶巧1 —/X3加G3尸声”四.算符在具体表象中的表示①(x,2)=#(羽一访陋=(k\F\巧=z&肉力。阳4g3 3%=同巧叼=。|巧%=收即｝<-->%=Jdmj(x)电(x)超=£%。j

/|①)=#|卯).规式乂①I=(4I#，施已〉〈wFX表象J”(x)0(x)dx岫*力(X,-法上)乎(x,z)=①(x,£)dx同巧=怜)d 八a访<7(X0=H(x,-泳k)T(x,t)dt dx

ot八a、//(x-iA—)u„(x)=E/<x)OXJn：(xL=JJ以；(x)%(x)dx=5{/I-X)J〃；(x')0(x)d4=5(x-x)Z〃；a')/a)=3(f-x)n降"国|力G附=4*(型)=<5(4'_4)Jd降"国|力G附=4*(型)=<5(4'_4)Jd卯乂;l|=lZMM=1Jt网=zi%|巧§4.6占有数表象G|巧=Jdx(月§4.6占有数表象线性谐振E*=引入新算符:底哙2g/）$©+线性谐振E*=引入新算符:底哙2g/）$©+卷）才+_,40、5，4i 1,昼a、a=（7T）一）2h/ 72 死可以证明利用幽=单©+2%今笈L-g 「72电*=躯必2%©=金％同样狄拉克符号 同办=指|附_1>能量单位为0可看作一个粒子，M）表示体系在这个态有n个粒子，3叫湮灭算符，&+叫产生算符。喇=。，|”*|。〉，1》3咐=*舛。卜〉，（”1。）2=（370+尹）/=—i（也，（&_£+）将2〃0 , 2 代入哈密顿算符育=宗+；〃0»2/=ft<2j（<2+a+1）以为基矢的表象为占有数表象，占有数表象在处理多粒子体系时非常方便。算符&N*在占有数表象中的矩阵:G,黑加00007T

0

0

00 ••••V2…•0乖-0 0•000000720000

布r000 、01o N=002 ooo 第四章小结

狄拉克算符一种不在具体表象中描述态矢量，力学量算符，及量子力学基本规律的一种方法I)互为共加矢量(I左矢 右矢二.态和力学量及量子关系的描述1.态的表示(x巧।巧=jcaok网=।।巧=jcaok网=।刈乂⑷巧c@/)=a悝)।巧=2＞式。,〉=工卜〉6忸)X X%⑷=(»|T)=JdQk)(x|巧C(；l,Z)=W(x,，)£(x)dx卯(3。=2>式£)〃*(力%«)=JU；(x)乎CM)dx%(x)、

a?(x)

T=:/⑴<:>本征函数正交归一化条件：qW)=3[X—Af),qW)=3[X—Af),刎»=4 九l连续I①[(X)①.(»=%本征函数的完备性:但'（/廊工也=加-，）、淡.力学量的表示昂.=卜*'（X同卜）公F=1T*（x）FT（x^x=Na;（£）F*xa<f）MX=TW» （在自身表象）.关系式的表示（1）.本征值方程2)(21=1'Z⑻刎=1JS瓦.=刎因W声=（叼尸悝）♦亚（幻=双k）躯=理…佚目阵表示） F|T）=2|T）或卜冏巧=兀网①）.薛定将方程吟1巧=冏巧

at吟1巧=冏巧

atdt.算符对态的作用①（%力=#（%—7方?］卯行,力X表象： I对c -（£）=，&»/）分离值口表象： *矩阵:三.么正变换表象变换是通过一幺正矩阵S(S+S=£?+=1)相联系的。变换矩阵%=J%(x)①0(入联 %=(”网.态的变换：b=Sa.力学量的表象变换MX甲=SFS+.力学量的平均值，本征值在表象变换下不变。量子力学的基本规律与表象无关。四.占有数表象三个算符：产生算符£+,湮灭算符£,粒子数算符吊=占+0a+|»)=aM+1|»+1) a|«)=4n\n-\^ =r=小。、+食a噌=碎）螳a=&凡如何分？假设耳。本征值及本征函数较容易解出或已有现成解，是小量能看成微扰，在已知解的基础上，把微扰耳'的影响逐级考虑进去。4=渊E,=必°）+型）+H=叫°）+灵斗°）+不当？+…代入方程（中+明⑴）=（理。）+4邸）+不理2）+…）=（兄°）+加?+才Ef）+…）图°）+4卯？+#「『）+…）4同次累相等TOC\o"1-5"\h\z（分。-现°））理°）=0 ⑴（加-磴）噌=-（的-靖阀。） ⑵（冷⑼_砂阀》=一例一砂）鹤+现分町） ⑶aTR,碎）f码1） 田？T胆f）①求能量的一级修正W（0）.（2）式左乘4并对整个空间积分J螳'冲。）一砂Nf）dT=砂J吧。）？。生一J■。%型。）drJT（0）»（^（0）_同。））理1）八=］忸⑼-或o）,T），M"d30..理二点理°）共TOC\o"1-5"\h\z尸⑴* m（0）能量的一级修正%等于H在**态中的平均值。甲⑴②求对波函数一级修正“*m①上门中⑺ 中（°）...**十仍是方程（2）的解，选取a使展开式不含“*螳=ZaF蛾将上时代入式（2）Z‘瓦气，峭-即Z'严峭=砂哪-方吸j /左乘上式，对整个空间积分Z0%，加-欧力‘严加=唠°啥驾品I i上式化简为:碍)一课)u'门u'门MX00)③求能量二级修正碎'螳=：＞『)蛾 ,仙把i 代入③求能量二级修正碎'螳=：＞『)蛾 ,仙把i 代入(3)式，**左乘方程(3)式，对整个空间积分份◎-靖的)公=-S/匕+呼Z'严4+E?

I I左边为零£?)=Zd*；，=Z

i IH*%__.%|£(0)_£(0)-2,£(0)_£(0)5—,•p*XM|Ex=e?+h；*+%碎)-民。)+1', X 卬(0)%=蛾4碎)-磴)"讨论：(1)微扰论成立的条件：- 6(o)6，A(o)(a)区可分成"十”，"是问题主要部分，精确解已知或易求(b)民°)-碎)«1(b)民°)-碎)«1(2)可以证明碎)=Jd 蛾D\pO)\p(2)aT&f血……例：一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场与作用，电场沿x正方向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。TOC\o"1-5"\h\z合1笳 1 22 »H= ^+―〃。工-2耿\o"CurrentDocument"【解】 2〃dx 2\o"CurrentDocument"h2d21 22於 2〃加2A H'=-eEx醉=先卡+乡螳=/产片(⑻\o"CurrentDocument"E?=j吸「(xH华磐(x)dx=-N^eEJxH：(3乂-司以— -co七是X的偶函数^)=°况”=］吆叫=一丝j吸七方吸不协-9 -<©利用递推公式2)_y.'n»«l 2 万+1e2E2,i«+l,/明+1) [-=—— J = a2ha>ha>hata2波函数的一级修正利用能级移动可以宜接准确求出分配寸122KH r-H■—uarx2-eEx2〃dx22। &EX=X-——y令：a力2d2 1 点必H — r2fj.dx22 2毋晨假设里”是简并的k度简并A瞰,弧抑气=碎%i=l,23T 1%k度简并例已正交归一化（埼M）=%冲。）+。）田”号巴纥=碎）+花门+不国幻+…凡=田？+4吧1）+不驾2）+…（自⑼-磴）吧）=0［（甘⑼-砂°刈I）=-（今⑴-靖倒。）螳=空歌代入上式（那）-必。））靖=研力。胴-2例砚i-1 2-1以仇左乘上式两边，对整个空间积分左边=卜燧（田⑼-靖）蝴=0=zETd°)[d诚A-z%叫dT^Htpi右边i-l i-1=£必汨。区-£记跳2-1 2-1=2(必乜-瓦鸿=02.1不全为零解的条件是由久期方程可得到能量一级修正国”的k个根M=磴+碎+…由于育⑴具有某种对称性，因此不考虑自‘时，能级是k度简并的，考虑自'后,哈密顿量的对称性破坏，使能级的简并度降低或完全消除。中⑼ -(0) 斤0) -(0)要确定**,需求出J,将上&代入上式，可求出.。§5.3氢原子的一级斯塔克效应斯塔克（stark）效应：氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象。H=Ho+H1冗（豆是均匀的，沿Z轴）下面研究n=2时的能级分裂现象：n=2,有4个简并度=W200甲<02=%210小内=%1184=印1-1 求凡*ZTJZ_1（，+1）2—刀2yCOSOT^= 八，2（22+1）（2/+3）只有两个态角量子数差△/=±1,2：. 耳12和耳21不为零M rH=r=eErcos9+1y^(2Z-1)(2Z+1)—>w=0时，自'矩阵元才不为零为实的厄密算符龟=H2i=到JT=e^ldrr:“足一门翻一12ml-ml=吗［JJArcos勉MsinQdrdQdcp：“cos典zu/"'sinQdrd8d(p［条%+J1yoo］sin田田。1J