弯曲变形 市公开课一等奖省赛课获奖课件

第六章弯曲变形弯曲变形第1页6.1工程中弯曲变形问题受弯杆件除满足强度要求外，往往还要满足刚度要求。弯曲变形第2页6.1工程中弯曲变形问题弯曲变形第3页6.1工程中弯曲变形问题弯曲变形第4页6.2挠曲线微分方程一、基本概念挠曲线方程：因为小变形，截面形心在x方向位移忽略不计挠度转角关系为：挠曲线挠度转角挠度w：截面形心在y方向位移,向上为正。转角θ：截面绕中性轴转过角度，逆时针为正。弯曲变形第5页二、挠曲线近似微分方程纯弯曲情况下，推导弯曲正应力时，得到：忽略剪力对变形影响6.2挠曲线微分方程弯曲变形第6页由数学知识可知：所以因为在小变形情况下：6.2挠曲线微分方程弯曲变形第7页ww挠曲线近似微分方程为：

由上式进行积分，就能够求出梁横截面转角和挠度。6.2挠曲线微分方程弯曲变形第8页6.3用积分法求弯曲变形挠曲线近似微分方程为：积分一次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：弯曲变形第9页

积分常数C、D由梁位移边界条件和光滑连续条件确定。FABCFD位移边界条件：连续条件：光滑条件：6.3用积分法求弯曲变形弯曲变形第10页刚度条件：6.3用积分法求弯曲变形弯曲变形第11页例6-1求梁转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁EI已知。解:1）由梁整体平衡分析可得：2）写出x截面弯矩方程ABF弯曲变形第12页3）列挠曲线近似微分方程并积分积分一次再积分一次ABF4）由位移边界条件确定积分常数代入求解6.3用积分法求弯曲变形弯曲变形第13页5）确定转角方程和挠度方程6）确定最大转角和最大挠度ABF6.3用积分法求弯曲变形弯曲变形第14页积分法求解梁位移思绪：①建立适当坐标系；②求弯矩方程M(x)；③建立近似微分方程：⑤用约束条件或连续条件，确定积分常数；⑥普通求极值可用数学方法，也可由挠曲线直接判别。④积分求和6.3用积分法求弯曲变形弯曲变形第15页例6-2

求梁转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁EI已知，l=a+b，a>b。解1)由梁整体平衡分析得：2）弯矩方程AC段：CB段：6.3用积分法求弯曲变形弯曲变形第16页3）列挠曲线近似微分方程并积分AC段：CB段：6.3用积分法求弯曲变形弯曲变形第17页4）由边界条件确定积分常数代入求解，得位移边界条件光滑连续条件6.3用积分法求弯曲变形弯曲变形第18页5）确定转角方程和挠度方程AC段：CB段：6.3用积分法求弯曲变形弯曲变形第19页6）确定最大转角和最大挠度令得，令得，6.3用积分法求弯曲变形弯曲变形第20页练习题：由积分法求图示梁wA、A,，EI已知。MABl作业：P198题6.4（d）6.3用积分法求弯曲变形弯曲变形第21页6.4用叠加法求弯曲变形因为：1）小变形，轴向位移可忽略；2）线弹性范围工作。所以，梁挠度和转角与载荷成线性关系。当梁承受复杂载荷时，可将其分解成几个简单载荷，利用梁在简单载荷作用下位移计算结果（表6-1，P188），叠加后得到梁在复杂载荷作用下挠度和转角，这就是叠加法。

弯曲变形第22页6.4用叠加法求弯曲变形弯曲变形第23页

设梁上有n个载荷同时作用，任意截面上弯矩为M(x)，转角为θ，挠度为w，则有：若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为，转角为，挠度为，则有：由弯矩叠加原理知：所以，6.4用叠加法求弯曲变形弯曲变形第24页故因为梁边界条件不变，所以主要结论：梁在若干个载荷共同作用时挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时挠度或转角代数和。这就是计算弯曲变形叠加原理。6.4用叠加法求弯曲变形弯曲变形第25页例6-3已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面挠度ωC

；B截面转角B。1）将梁上载荷分解ωC1ωC2ωC32）查表得3种情形下C截面挠度和B截面转角。解弯曲变形第26页ωC1ωC2ωC33）应用叠加法，将简单载荷作用时结果求和

弯曲变形第27页例6-4已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面挠度wC和转角C1）首先，将梁上载荷变成有表可查情形

为了利用梁全长承受均布载荷已知结果，先将均布载荷延长至梁全长，为了不改变原来载荷作用效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反均布载荷。解弯曲变形第28页3）将结果叠加

2）再将处理后梁分解为简单载荷作用情形，计算各自C截面挠度和转角。弯曲变形第29页作业：P201题6.10（d）6.4用叠加法求弯曲变形弯曲变形第30页思索1：用叠加原理求图示弯曲刚度为EI外伸梁C截面挠度和转角以及D截面挠度。ACaaaF=qaBDEI解：可将外伸梁看成是图a和b所表示简支梁和悬臂梁叠加。F=qaAEIDBqaqa2/2(a)qBC(b)q6.4用叠加法求弯曲变形弯曲变形第31页F=qaAEIDBqaqa2/2(a)（1）对图a，其又可看成为图c和d所表示荷载组合。AF=qa(c)qa2/2(d)6.4用叠加法求弯曲变形弯曲变形第32页AF=qa(c)图c中D截面挠度和B截面转角为：图d中D截面挠度和B截面转角为：qa2/2(d)DB6.4用叠加法求弯曲变形弯曲变形第33页将对应位移进行叠加，即得：（）（）（2）对图b，C截面挠度和转角分别为：BC(b)q6.4用叠加法求弯曲变形弯曲变形第34页所以：原外伸梁C端挠度和转角也可按叠加原理求得，即：（向下）（顺时针）ACaaaF=qaBDEIqBqCqqB×awCqq6.4用叠加法求弯曲变形弯曲变形第35页思索2：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI中间铰梁铰接点B处挠度和B点右截面转角以及D截面挠度，其中：F=2qa。AEIEIFBCa/2Daaq解：可在铰接点处将梁分成图a和b所表示两部分，并可求得铰接点处一对作用力与反作用力为：6.4用叠加法求弯曲变形弯曲变形第36页F/2ωB直线BωDFω/2F/2ωBAF(a)BCq(b)图a和b中分别给出了两部分变形情况。+qBCF/2BC(c)而且图b又可分解为图c所表示两种载荷组合。6.4用叠加法求弯曲变形弯曲变形第37页（1）对图b，可得其B截面挠度和转角为：进行对应叠加可得：（）（）6.4用叠加法求弯曲变形弯曲变形第38页（2）图a可看成为右支座有一定竖直位移（位移量为ωB）简支梁，此时D截面挠度为：F/2ωB直线BωDFω/2AF(a)D（）6.4用叠加法求弯曲变形弯曲变形第39页6.5变形比较法解简单超静定梁1.基本概念：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目梁多出约束：从维持平衡角度而言,多出约束超静定次数：多出约束或多出支反力数目。2.求解方法：解除多出约束，建立相当系统——比较变形，列变形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用静力平衡条件求其它约束反力。相当系统：用多出约束力代替多出约束静定系统弯曲变形第40页解例6-5求梁支反力，梁抗弯刚度为EI。1）判定超静定次数2）解除多出约束，建立相当系统3）进行变形比较，列出变形协调条件6.5变形比较法解简单超静定梁弯曲变形第41页4）由物理关系，列出补充方程所以4）由整体平衡条件求其它约束反力6.5变形比较法解简单超静定梁弯曲变形第42页思索：梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。画梁剪力图和弯矩图。

FBMAFAωB1FB‘MCFCωB2从B处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。变形协调方程为：物理关系解6.5变形比较法解简单超静定梁弯曲变形第43页代入得补充方程：FBMAFAωB1FB‘MCFCωB2确定A端约束力6.5变形比较法解简单超静定梁弯曲变形第44页确定B端约束力FBMAFAωB1FB‘MCFCωB26.5变形比较法解简单超静定梁弯曲变形第45页MAFAMCFCA、B端约束力已求出最终作梁剪力图和弯矩图6.5变形比较法解简单超静定梁弯曲变形第46页各种载荷下弯曲变形情况动画演示BEAM系列弯曲变形第47页6.6刚度条件及提升弯曲刚度办法1.刚度条件建筑钢梁许可挠度：机械传动轴许可转角：精密机床许可转角：弯曲变形第48页

依据要求，圆轴必须含有足够刚度，以确保轴承B处转角不超出许用数值。

B1）由挠度表中查得承受集中载荷外伸梁B处转角为：

解例6-6

已知钢制圆轴左端受力为F＝20kN，a＝1m，l＝2m，E=206GPa。轴承B处许可转角θ=0.5°。依据刚度要求确定轴直径d。2）由刚度条件确定轴直径：6.6刚度条件及提升弯曲刚度办法弯曲变形第49页2.提升梁刚度办法弯曲变形与弯矩大小、跨度长短、支座条件、梁截面惯性矩I、材料弹性模量E相关。6.6刚度条件及提升弯曲刚度办法弯曲变形第50页1）选择合理截面形状不一样形状截面，尽管面积相等，但惯性矩却并不一定相等。6.6刚度条件及提升弯曲刚度办法弯曲变形第51页2）改进结构形式，降低弯矩数值改变支座