导数系列：一类以自然指数对数为背景的导数压轴题解法教师版

自然指数和对数为背景的压轴题解法注:本文以目前数学成绩在一本线上下的学子的数学水准，进行展开讲解。根据“遗传学规律”明年全国乙卷再次考到的可能性极大，打出来给学生将保准学生横扫此类压轴题！源于课本：1-1课本99页B组1题或课本2-2第32页B组1题的习题：利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图像直观验证： ex 1 x；【探究拓展】探究1：证明不等式ex1x*变式1：设f(x)exxa，其中aR,若对于任意xR，f(x)0恒成立，则参数a的取值范围是_________a1变式2：设f(x)exax1，其中aR，若对于任意xR，f(x)0恒成立，则参数a的取值范围是_________a1变式3：设f(x)aexx1，其中aR，若对于任意xR，f(x)0恒成立，则参数a的取值范围是_________a1点评：太巧了：增之一分则太肥，减之一分则太瘦......探究2：不等式ex1x*有哪些等价变形并在坐标系中画图变形1：ex1x变形2：ex1x1x1变形3：ln(1x)x(x1)变形4：lnxx1(x0)*变形5：ln1x1(x0)x变形6：lnx11(x0)x归一：我们只要通过画图并记住ex1x*,lnxx1(x0)*即可，考试出现了其它变形换元转化为这2个不等式即可。探究3：观察：“插中”不等式（当然是我编的名字）变形4：lnxx1(x0)*变形6：lnx10)*1(xx两式相加除以2，试比较：左边lnx还是右边1(x1)的大小并证明：2x结论：“插中”不等式*:若0x1，则lnx1x1.；若x1,则lnx1x1;2x2x请在坐标系中画出图像：这个图像很漂亮，容易记住。点评：数学很美，插中不等式很明显是加强，更加精准了，在高考中经常考到，往后看 ...总结： ex 1 x*, lnx x 1(x 0)* “插中”不等式*，以上三式都是将自然指数和对数放缩为我们更加熟悉的一次函数或者反比例函数进行放缩处理。题型一：化归为指数型

ex

1 x放缩例1（2010年全国）设函数

f x

ex

1 x

ax2。（1）若

a

0

，求

f

x

的单调区间；（2）若

x

0时f x

0，求

a的取值范围。（提示：

ex

x 1）解：（1）a当x ( ,0)

0时，时，

f(x)f'(x)

ex 10；当

x，x (0,

f

'(x) ex)时，

1.f'(x)

0.故

f(x)

在(

,0)

单调减少，在

(0,

)单调增加（2）

f'(x)

ex

1 2ax由（I）知ex 1 x，当且仅当 x 0时等号成立.故f'(x)x2ax(12a)x，从而当12a0，即a10)，而f(0)0，时，f'(x)0(x2于是当x0时，f(x)0.由ex 1 x(x 0)可得ef'(x) ex 1 2a(e

x1x(x0).从而当a1时，2x1)ex(ex1)(ex2a)，故当x (0,ln2a)时，f'(x) 0，而f(0) 0，于是当x (0,ln2a)时，f(x) 0.1综合得a的取值范围为 ( , ].2练习1：（2012年全国）已知函数fxf'1ex1f0x1x2，（1）求fx的解析式及单调区间；12（2）若fxx2axb,求a1b的最大值。（很简单，省略）2练习2：（2013年全国）已知函数 f x ex lnx m.当m 2时，证明 f x 0.（很简单，省略）练习3：（2016年广一模）已知函数fxexmx3,gxlnx12。1）若曲线yfx在点0,f0处的切线斜率为1，求实数m的值。2）当m1时，证明：fxgxx3。（2016年广二模也有用到）练习4：已知函数 f(x) ex ax 1(a 0,e为自然对数的底数 ).⑴求函数f(x)的最小值；⑵若f(x)≥0对任意的xR恒成立，求实数a的值；⑶在⑵的条件下，证明：(1)n(2)n(n1)n(n)ne(其中nN*).nnnne1解：（1）由题意a0,f(x)exa，由f(x)exa0得xlna.当x(,lna)时,f(x)0；当x(lna,)时，f(x)0.∴f(x)在(,lna)单调递减，在(lna,)单调递增.即f(x)在xlna处取得极小值，且为最小值，其最小值为f(lna)elnaalna1aalna1.2f(x)≥0对任意的xR恒成立，即在xR上，f(x)min≥0.（）由（1），设g(a)aalna1.，所以g(a)≥0.由g(a)1lna1lna0得a1.∴g(a)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)上单调递减，∴g(a)在a1处取得极大值g(1)0.因此g(a)≥0的解为a1，∴a1.（3）由（2）知，因为a1，所以对任意实数x均有exx1≥0，即1x≤ex.kkk令x(nN*,k0,1,2,3,⋯,n1)，则01k≤en.∴(1k)n≤(en)nek.nnn1n2n⋯n1nnn(n1)e(n2)⋯e2e111en1e()()()()≤e1e11e1e1.∴nnnn练习5：已知函数f(x)=eaxx，其中a≠0.（1）若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合.（2）在函数f(x)的图像上取定两点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))(x1x2)，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使f(x0)k成立若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）若a0，则对一切x0，f(x)eaxx1，这与题设矛盾，又a0，故a0.而f(x)aeax1,令f(x)0,得x1ln1.11aa1111当x(x)时，f(x)aln时，f0,f(x)单调递减；当xln0,f(x)单调递增，故当xlnaaaaa时，f(x)取最小值f(1ln1)11ln1.aaaaa于是对一切xR,f(x)1恒成立，当且仅当11ln11.①aaa令g(t)ttlnt,则g(t)lnt.当0t1时，g(t)0,g(t)单调递增；当t1时，g(t)0,g(t)单调递减.故当t1时，g(t)取最大值g(1)1.因此，当且仅当11即a1时，①式成立.a综上所述，a的取值集合为1.（2）由题意知，kf(x2)f(x1)eax2eax11.x2x1x2x1令(x)f(x)kaxeax2eax1,则aex2x1(x1)eax1a(x2x1)a(x2x1)1,x2ex1(x2)eax2a(x1x2)a(x1x2)1.x2x1e令F(t)ett1，则F(t)et1.当t0时，F(t)0,F(t)单调递减；当t0时，F(t)0,F(t)单调递增.故当t0，F(t)F(0)0,即ett10.a(x2x1)a(x2a(x1x2)a(x1x2)eax10,eax20,从而ex1)10，e10,又x2x2x1x1所以(x1)0,(x2)0.因为函数y(x)在区间x1,x2上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在x0(x1,x2)使(x0)0,(x)2ax0,(x)单调递增，故这样的c是唯一的，且c1eax2eax1.故当且仅当aelna(x2x1)ax(1lneax2eax1,x2)时，f(x0)k.aa(x2x1)x0(x1,x2)使f(x0)1eax2eax1,x2).综上所述，存在k成立.且x0的取值范围为(lnx1)aa(x2【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出f(x)取最小值111111恒成立转化为f(x)min1，从而得出a的取值集合；第二问f(ln)aln.对一切x∈R，f(x)aaaa在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断 .练习4：（2012年山东）已知函数flnxkfx在点1,f1处的切线与x轴平行。1）xex，曲线y求k的值；2）求fx的单调区间；3）设gxx2xf'x,其中f'x为fx的导函数，证明：对任意x0,g(x)1e2。（答案略）例2、(2011年湖北）已知函数fxlnxx1,x0,.求函数的最大值；2）设ak,bkk1,2,...,n均为正数，证明：若a1b1a2b2...anbnb1b2...bn，则a1b1a2b2...anbn1（提示：lnxx1）解：（1）f(x)的定义域为(0,)，令f/(x)110x1，xf(x)在(0,1)上递增，在(1,)上递减，故函数f(x)在x1处取得最大值f(1)0（2）由（Ⅰ）知当 x (0, )时有f(x) f(1) 0即lnx x 1，∵ak,bk0，∴bknlnakbknlnakbk(ak1),(k1,2,n)bk(ak1)k1k1∵nakbknbk∴nlnakbk0即ln(a11a22ann)0a11a22ann1bbbbbbk1k1k1练习1:（2006年全国）函数fxx1lnx1，若对所有的x1都有fxax成立，求实数a的取值范围。（很简单，省略）练习2：已知函数f(x)(x1)lnxx1.（1）若xf'(x)x2ax1，求a的取值范围；（2）证明：(x1)f(x)0.解：（Ⅰ）f(x)x1lnx1lnx1，xxf(x)xlnx1,题设xf(x)2ax1等价于lnxxa.x令g(x)lnxx，则g(x)11x当0＜x＜1，g'(x)＞0；当x≥1时，g'(x)≤0，x1是g(x)的最大值点，g(x)≤g(1)1综上，a的取值范围是1,.(Ⅱ)有（Ⅰ）知，g(x)≤g(1)1即lnxx1≤0.当0＜x＜1时，f(x)(x1)lnxx1xlnx(lnxx1)≤0；当x≥1时，f(x)lnx(xlnxx1)lnxx(lnx11)xlnxx(ln111)xx0练习3：（2014年陕西）设函数 f x ln1 x,gx xf'x,x 0,其中f'x是f x的导函数。若xagx恒成立，求实数a的取值范围。（很简单，省略）练习4：（2011浙江理22,替换构造）已知函数f(x)2aln(1x)x(a0).⑴求f(x)的单调区间和极值；lgelgelge(1n)n(n1)(nN*).⑵求证：4lgelgenn23n解：⑴定义域为1,,f'(x)2a1.1x令f'(x)01x2a1，令f'(x)0x2a1故f(x)的单调递增区间为1,2a1，f(x)的单调递减区间为2a1,f(x)的极大值为2aln2a2a1lgelgelge(1n)n⑵证明：要证4lgelgenn23n(n1)(1n)n(1n)nnn111nn即证4111lge(n1)，即证4lne1)(n23nlge23n即证11113ln(n1)(11)n23nn1(0,)上递减，故f(x)f(0)0令a，由⑴可知f(x)在21(n1)lnn11即ln(1x)x，令xN*)，故ln(1ln(n1)lnnnnnn累加得，ln(n1)111123nln(11)1ln(11)n1(11)ne3nnnn1113ln(n1)1)n，得证故13n(12n法二：(11n=01121n12111n)CnCnnCnn2Cnnn2!3!n!1111122(12n1)13，其余相同证法2222n13212n12练习5：已知函数f(x)ln(x1)k(x1)1.（1）求函数 f(x)的极值点。（2）若f(x) 0恒成立，试确定实数 k的取值范围。（3）证明：ln2ln3ln4lnn(n4)(n1)(nN,n1).3815n216解：(1)f(x)的定义域为（1+∞），f/(x)1k.，x1当k0时，x1,f/(x)0，则f(x)在（1，+∞）上是增函数。f(x)在（1，+∞）上无极值点.当k0时，令f/()0，则x1.x1k1)时，f/(x)1k1k0所以当x(1,1x111，kk1∴f(x)在(1,11)上是增函数，k当x(11,)f/(x)1k1k0时，x111，k1k∴f(x)在(11,)上是减函数。1k∴x1时，f(x)取得极大值。k综上可知，当k0时，f(x)无极值点；当k0时，f(x)有唯一极值点x11.k(2)由(1)可知，当k 0时，f(2) 1 k 0，f(x) 0不成立.故只需考虑k 0.由(1)知，f(x)maxf(11lnk，)k1)若f(x)0恒成立，只需f(x)maxf(1lnk0即可，,[1+k.∞）化简得：k1所以k的取值范围是，(3)由(2)知，当k1时理解得：lnxx1，x1.∴lnn3n31(n1)(n2n1)(n1)(n1)2.∴lnnn1(nN,n1)n213ln2ln3ln4lnn1(345n1)3815n2131(3n1)(n1)(n4)(n1)(nN,n1)326练习6：已知函数 f(x) ln(x 1) k(x 1) 1.⑴求函数 f(x)的单调区间；⑵若f(x)≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；⑶证明：①当x2时，ln(x1)x2；②nlnin(n1)(nN*,n1).i1i14解：⑴函数的定义域为(1,)中，f(x)1k.1x当k≤0时，f(x)0，则f(x)在(1,)上是增函数.当k0时，f(x)在(1,11)上是增函数，在(11,)上是减函数.kk⑵由⑴知，当k≤0时，f(x)在(1,)上是增函数.而f(2)1k0，f(x)≤0不成立.当k0时，由⑴知ymaxf(11)lnk，要使f(x)≤0恒成立，则lnk≤0，解得k≥1.k⑶①由⑵知当k1时，有f(x)在(1,)上恒成立，且f(x)在(2,)是减函数.又f(2)0，∴当x2时，f(x)f(2)0，即ln(x1)x2.②令x12则lnn2n2即2lnn(n1)(n1)，从而lnnn1.n,1,n12ln2ln3ln4lnn123n1n(n1)∴345n12222成立.4例3、（2010湖北）已知函数 （fx）ax b （ca 0）的图象在点(1,f(1))处的切线方程为 y x 1.x⑴用a表示出b、c；⑵若f(x)≥lnx在[1， )上恒成立，求a的取值范围；⑶证明：111ln(n1)n(n1).23n2(n1)解：本题主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识，同事考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想。⑴f'(x)ab，则有f(1)abc0ba1.，解得⑵由⑴知，f(x)axa112a，xa1令g(x)f(x)lnxax12alnx，x1,则g(1)0，xg'(x)aa11ax2x(a1)a(x1)(x1aa)x2xx2x2①当oa11a1，a2若1x1a，则g'(x)0，g(x)是减函数，所以g(x)g(l)oaf(x)lnx，故f(x)lnx在1,上恒不成立。11a②a时，12a若f(x)lnx，故当x1时，f(x)lnx。a的取值范围为1综上所述，所求,2⑶由⑵知：当a1f(x)lnx(x1).时，有211(x1lnx(x1)令a，有f(x))22x当x1时，11lnx.(x)2xk1k11k1k11)(11令x，有ln2kk1(1kk)kk21即ln(k1)lnk/r/