第九课时专业知识讲座市公开课金奖市赛课一等奖课件

第五章三角函数第九课时正弦定理与余弦定理第1页考纲要求掌握正弦定理、余弦定理，并能处理一些简单三角形度量问题.第2页第3页知识梳理本节公式中，p＝，r为内切圆半径，R为外接圆半径，S△为三角形面积．一、三角形中各种关系设△ABC三边为a、b、c，对应三个角为A、B、C.则1．三内角关系：________；2．边与边关系：________，________.3．边与角关系(1)正弦定理：_____________________________________.第4页(2)余弦定理：___________________________________.它们变式有：cosA＝__________；cosB＝________；cosC＝________.(3)惯用面积公式：S△＝________＝________＝________＝________.答案：1.A＋B＋C＝π2.a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b

a－b<c，b－c<a，c－a<b

3.(1)(2)c2＝a2＋b2－2abcosC，b2＝a2＋c2－2accosB，a2＝b2＋c2－2bccosA第5页二、关于三角形内角惯用三角恒等式由A＋B＋C＝π，知A＝π－(B＋C)可得出：sinA＝______，cosA＝________.答案：sin(B＋C)－cos(B＋C)第6页三、三角形度量问题求边、角、面积、周长及相关圆半径等.条件角角边边边角边边边边角边适用定理正弦定理正弦定理或余弦定理余弦定理余弦定理其中“边边角”(abA)类型利用正弦定理求角时应判定三角形个数：A<90°A≥90°a≥ba<ba>ba≤ba>bsinAa＝bsinAa<bsinA一解两解一解无解一解无解第7页四、三角形形状判定方法：角判定、边判定、综合判定、余弦定理判定其中：余弦定理判定法：假如c是三角形最大边，则有：a2＋b2＞c2⇔三角形ABC是锐角三角形；a2＋b2＜c2⇔三角形ABC是钝角三角形；a2＋b2＝c2⇔三角形ABC是直角三角形．第8页关键点一.正弦定理中边角互化.利用正弦定理可处理两类问题：1.已知两角和任一边，求其它两边和角.（解是唯一.）2.已知两边和其中一边对角，先求另一边对角，进而求其它边角.（解不唯一，可能有一解.二解.无解.）

在△ABC中，b＝，B＝60°，c＝1，求a和A，C.第9页变式探究1．(南宁模拟)已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°2．(漳州模拟)△ABC内角A，B，C对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a等于()变式.若把条件中b改成b=1，则a为？第10页3．在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求A、C及c.第11页关键点二.余弦定理中边角互化.利用余弦定理可处理两类问题：1.已知三边求三角.（解是唯一.）2..已知两边和它们夹角，可求第三边，进而求其它角.（解是唯一.）

在△ABC中，内角A，B，C对边边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.(1)若△ABC面积等于，求a，b；(2)若sinB＝2sinA，求△ABC面积．第12页3．(广州一模)在△ABC中，三边a、b、c所正确角分别为A、B、C，若a2＋b2－c2＋ab＝0，则角C大小为____________．4A．(广州一模)△ABC三个内角A、B、C所对边长分别为a,b,c，已知c=3,C=，a=2b,则b值为。第13页变式探究4．(烟台检测)在△ABC中，AB＝1，BC＝2，B＝60°，则AC＝______.5．(济南模拟)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC大小为()6．(徽州模拟)假如等腰三角形周长是底边长5倍，那么它顶角余弦值为()第14页关键点三.三角形形状判定.2．(柳州模拟)已知△ABC中，角A、B所对边分别是a和b，若acosB＝bcosA，则△ABC一定是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形变式：条件改成若a＝2bcosc呢？基础自测第15页补充例题在△ABC中，已知a=7，b=11，c=5，判断△ABC形状.第16页关键点三.三角形综合问题.在△ABC中，三边长为连续自然数，且最大角是最小角2倍，求此三角形三边长．变式探究8.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD,AD＝10,AB＝14,∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC长．第17页7．在△ABC中，BC＝a,AC＝b，a,b是方程x2－2x＋2＝0两个根，且2cos(A＋B)＝1.求：(1)角C度数；(2)AB长度；(3)△ABC面积．基础自测4B．(衡阳模拟)在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则值等于______，AC取值范围为________．第18页7．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，边a，b，c成等比

数列，且边b＝4，则SΔABC＝________.6．(海口模拟)已知a，b，c为△ABC三个内角A，B，C对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且

acosB＋bcosA＝csinC，则角B＝________.课时作业第19页第20页基础自测1．(佛山一中模拟)在△ABC中，角A、B、C对边分别为a，b，c，A＝，a＝，b＝1，则c＝()A．1B．2C.－1D.B2．(柳州模拟)已知△ABC中，角A、B所对边分别是a和b，若acosB＝bcosA，则△ABC一定是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形第21页解析：解法一：利用余弦定理将角化为边．∵bcosA＝acosB，∴b·＝a·，∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2，∴a2＝b2，∴a＝b，故此三角形是等腰三角形．故选A.解法二：利用正弦定理将边转化为角∵bcosA＝acosB，又b＝2RsinB，a＝2RsinA，∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB，第22页∴sinAcosB－cosAsinB＝0，∴sin(A－B)＝0.∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π，∴A－B＝0，即A＝B.故此三角形是等腰三角形．故选A.答案：A第23页3．(广州一模)在△ABC中，三边a、b、c所正确角分别为A、B、C，若a2＋b2－c2＋ab＝0，则角C大小为____________．4A．(广州一模)△ABC三个内角A、B、C所对边长分别为a,b,c，已知c=3,C=，a=2b,则b值为。第24页解析：设∠A＝θ⇒B＝2θ.由正弦定理得∴由锐角△ABC得0°＜2θ＜90°⇒0°＜θ＜45°，又0°＜180°－3θ＜90°⇒30°＜θ＜60°，故30°＜θ＜45°⇒＜cosθ＜，∴AC＝2cosθ∈(，)．答案：2(，)4B．(衡阳模拟)在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则值等于______，AC取值范围为________．第25页第26页在△ABC中，b＝，B＝60°，c＝1，求a和A，C.解析：∵，∴sinC＝∵b>c，B＝60°，∴C<B，C为锐角，∴C＝30°，A＝90°，∴a＝＝2.第27页变式探究1．(南宁模拟)已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°解析：由正弦定理得：sinA＝sin60°＝，∵a<b⇒A<B，∴A＝45°.答案：C第28页2．(漳州模拟)△ABC内角A，B，C对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a等于()解析：由正弦定理

⇒sinC＝，于是C＝30°⇒A＝30°⇒a＝c＝.答案：D第29页3．在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求A、C及c.解析：解法一：由正弦定理得：sinA＝∵B＝45°<90°,且b<a,∴A＝60°或120°当A＝60°时，C＝75°，c＝当A＝120°时，C＝15°，c＝解法二：设c＝x，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB将已知条件代入，整理，得x2－x＋1＝0，第30页解之，得x＝.当c＝时，从而A＝60°，C＝75°；当c＝时，同理可求得：A＝120°，C＝15°.第31页在△ABC中，内角A，B，C对边边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.(1)若△ABC面积等于，求a，b；(2)若sinB＝2sinA，求△ABC面积．思绪分析：(1)利用所给条件建立方程，因为边长为二个未知数，所以需寻求二个方程，其一可利用余弦定理，其二可用面积公式S△ABC＝absinC表示面积．(2)利用正弦定理．第32页解析：(1)由余弦定理得，a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC面积等于，所以absinC＝，得ab＝4.联立方程组解得a＝2，b＝2.(2)由正弦定理，已知条件化为b＝2a,联立方程组解得

所以△ABC面积S＝absinC＝.

第33页变式探究4．(烟台检测)在△ABC中，AB＝1，BC＝2，B＝60°，则AC＝______.解析：由余弦定理得：AC2＝12＋22－2×1×2×cos60°＝3.∴AC＝.答案：第34页5．(济南模拟)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC大小为()解析：由余弦定理cos∠BAC=∴∠BAC＝.答案：A第35页6．(徽州模拟)假如等腰三角形周长是底边长5倍，那么它顶角余弦值为()解析：设顶角为C，因为l＝5c，∴a＝b＝2c，由余弦定理cosC＝答案：D第36页在△ABC中，三边长为连续自然数，且最大角是最小角2倍，求此三角形三边长．思绪分析：因为题设条件中给出了三角形两角之间关系，故需利用正弦定理建立边角关系．其中sin2α＝2sinαcosα，利用正弦二倍角展开后出现了cosα，可继续利用余弦定理建立关于边长方程，从而到达求边长目标．解析：设三角形三边长分别为x，x＋1，x＋2，其中x∈N*，又设最小角为α，则又由余弦定理可得，第37页x2＝(x＋1)2＋(x＋2)2－2(x＋1)(x＋2)cosα，②将①代入②，整理得：x2－3x－4＝0，解之得x1＝4，x2＝－1(舍)．所以此三角形三边长为4,5,6.点评：此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长方程．第38页变式探究7．在△ABC中，BC＝a,AC＝b，a,b是方程x2－2x＋2＝0两个根，且2cos(A＋B)＝1.求：(1)角C度数；(2)AB长度；(3)△ABC面积．第39页解析：(1)cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，∴C＝120°；(2)由题设：∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝－2＝10，即AB＝；(3)S△ABC＝第40页8.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD,AD＝10,AB＝14,∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC长．解析：在△ABD中，设BD＝x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2×10x·cos60°，整理得：x2－10x－96＝0，解之：x1＝16，x2＝－6(舍去)．由正弦定理：∴BC＝·sin30°＝8.第41页三角形中相关公式1．内角和定理：三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角半角总互余．锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边平方和大于第三边平方．注意：(1)正弦定理一些变式：