静电场的唯一性定理及其应用课件

第二章静电场(二)1第二章静电场(二)1§2-1静电场的唯一性定理及其应用§2-2平行双电轴法§2-3无限大导电平面的镜象法§2-4球形导体面的镜象§2-5无限大介质交界平面的镜象§2-6电容与电容的计算§2-7双输电线的电容§2-8多导体系统的部分电容§2-9带电导体系统的电场能量及其分布§2-10虚位移法计算电场力目录2§2-1静电场的唯一性定理及其应用目录2除唯一性定理以外，都属于静电场求解方面的应用问题1、唯一性定理及其重要意义

2、电轴法

3、镜象法

4、电容的计算5、带电导体系统部分电容6、多导体系统的电场能量与电场力

本章内容3除唯一性定理以外，都属于静电场求解方面的应用问题1、唯一性§2-1静电场的唯一性定理及其应用一、唯一性定理及其重要意义唯一性定理：静电场中，满足一定边界条件(即前述三类边界条件)的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。当场中介质及各导体的分布一定时：1、给定各导体表面的电位值此时由边值问题解得之电位函数为唯一；4§2-1静电场的唯一性定理及其应用2、导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量，此时由边值问题所解得的电位函数，仅相差一无关紧要的常数，而电位的梯度E是唯一的。3、若给定某些导体表面的电位值，及其它导体表面(导体表面为等位面)的电荷量，此时由边值问题所解得的电位函数为唯一。静电场的唯一性定理及其应用52、导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量，此时由边值问题由唯一性定理可获得的重要概念：

1.明确哪些条件可以完全而且唯一地确定静电场的解，从而使我们在求解静电场问题时能正确地提出边界条件。在处理实际问题时，就能根据所提条件判明问题是否有解如何正确提供条件才能有解。2.在许多实际问题中，往往不能对泊松方程或拉普拉斯方程直接求解，而要借助于其它解法。其它解法所得之解是否正确唯一，要看它是否满足唯一性定理所要求满足的条件来进行判定。3.有许多实际问题，由于采用不同的方法求解，其解的形式可能不一样，如果求得的解都满足唯一性定理所要求满足的条件，则可以判定这些不同形式的解彼此相等且均为有效。

说明静电场的唯一性定理及其应用6由唯一性定理可获得的重要概念：说明静电场的唯一性定理及其应用

根据唯一性定理，若沿场的等位面任意一侧，填充导电媒质，则等位面另侧的电场保持不变。两平行输电线的电场，若沿场中任一等位面k之一侧(内或外侧)填充导电媒质，则导电媒质以外之另一侧，其电场不变。二、唯一性定理的应用——等位面法静电场的唯一性定理及其应用7根据唯一性定理，若沿场的等位面任意一侧，填充导电媒例:

空气中有半径为R1的导体球，其电位为已知。试确定导体球外距球心R>R1区域的电场强度。解：设导体带电荷8例:空气中有半径为R1的导体球，其电位为已知。试确定导体若R＝R2导体球带有同样的电荷电场的分布完全一样，这就是等位体法唯一性定理应用的一个例证9若R＝R2导体球带有同样的电荷电场的分布完全一样，这就是等位1.它保持了另一侧场的边界形状及介质分布不变，且对另一侧场而言，边界仍为等位面。填充导电媒质后，边界上的总电荷量等于填充导电媒质前边界上所穿过的总电通量，即边界条件没有变化。2.它保持了另一侧场的介质及电荷分布不变。因而根据唯一性定理，另一侧的场没有变化。由于这一方法是沿等位面填充介质，因而称之为等位面法。静电场的唯一性定理及其应用等位面法的实质：101.它保持了另一侧场的边界形状及介质分布不变，且对另一侧例2-1

静电场唯一性定理在解静电屏蔽现象中的应用。解静电屏蔽现象：(1)接地的封闭导体壳内的电荷不影响壳外的电场；(2)封闭导体壳无论它是否接地，则壳内的电场不受壳外电荷的影响。一种情形：设封闭导体壳的外表面为S1，对于壳外区域而言，它是一个边界面。无论壳内电荷q1在数量上增减或作位置上的移动，由于导体壳接地，恒有，始终没有改变壳外区域边界面上的边界条件。因此在这种情况下，壳内的电荷不影响壳外的电场。静电场的唯一性定理及其应用11例2-1静电场唯一性定理在解静电屏蔽现象中的应用。一种

第二种情形：设封闭导体壳的内表面为S2，对于壳内区域而言它是一个边界面。首先，S2是一个等位面。其次，如在壳内紧贴S2作一高斯面S，则有以S2作为导体壳内电场的一个边界面，通过它的电通量仅仅决定于导体壳内的电荷，而与壳外的电荷分布是无关的。根据唯一性定理，当导体壳内带电导体都是给定电荷量时，电位函数可以相差一个常数，但是电场强度是唯一确定的。它不受导体壳外电荷q2的影响。有时甚至壳内的电位函数也是唯一确定的。（电位移矢量

的通量为q1）12第二种情形：设封闭导体壳的内表面为S2，对于壳内区域而言它例:

一点电荷位于两种介质的交界面，试确定上下两部分的电位。解：试探法

试探解2、介质的交界面3、作一高斯面球坐标13例:一点电荷位于两种介质的交界面，试确定上下两部分的电位1414设介质电容率为ε0的空间有两无限长平行电轴，两电轴所带有的电荷线密度分别为§2-2平行双电轴法一、平行双电轴电场

由高斯定理可得两电轴分别产生的电场强度表达式为平行双电轴电场是一个平行平面场，在垂直于电轴的各个平面上，场有完全相同的分布图形平行双电轴法15设介质电容率为ε0的空间有两无限长平行电轴，两电轴所带有的电选取坐标轴的原点o为零电位点，点P电位为由叠加原理，点P的电位为平行双电轴法16选取坐标轴的原点o为零电位点，点P电位为由叠加原理，点P等位线的分布规律

在双电轴的电场中，等位面是一组偏心的圆柱族面平行双电轴法17等位线的分布规律在双电轴的电场中，等位面是一组偏心某个等位圆之半径为R0等位圆圆心至中性面距离为x0电轴至中性面的距离为D/2在等位圆上选择特殊点A及BR2/R1=R2′/R1′=K(常数)等位面与电轴之间的关系平行双电轴法18某个等位圆之半径为R0等位面与电轴之间的关系平行双电可知：

1)若已知电轴位置，选取任意点x0为圆心，即可作出以x0为圆心R0为半径的等位圆。

2)若已知电轴位置，给定任意的R0，亦可作出此等位圆圆心所在处x0的等位圆。

3)若已知R0，及圆心的位置x0，亦可推出电轴所在的位置，亦即推求出距离D平行双电轴法19可知：

1)若已知电轴位置，选取任意点x0为圆心，

具有相同半径R0的平行双输电线。设每根导线单位长度上所带的电荷量分别为+τ及-τ，求电场分布。可认为导线的圆截面是沿某待求的双电轴所形成的等位圆填充导电媒质所得，根据等位面法，此问题转化为求解双电轴的电场

二、平行双电轴法1、相同半径的平行双输电线双电轴的位置：平行双电轴法20具有相同半径R0的平行双输电线。设每根导线单位长度得2、对于相互平行但半径不同的双输电线半径R0′与R0″以及两圆柱体轴心距离d已知，得解得x0′及x0″可求两电轴的距离平行双电轴法21得2、对于相互平行但半径不同的双输电线解得x0′及x0″可

3、两偏心圆柱套筒的电场已知两圆柱套筒半径R0′、R0″以及圆柱轴心间距离d从而可求两电轴的距离D

电轴法在求解双输电线电容及偏心圆柱套筒等的电容问题中被广泛运用平行双电轴法223、两偏心圆柱套筒的电场从而可求两电轴的距离D例2-2

空中两根互相平行、无限长的导体圆柱上带有等量异号电荷。设单位长度的电量τ=10-8C/m，圆柱的半径各为R0′=15cm,R0″=20cm，两圆柱的几何轴线间距离为d=50cm。试求电轴的位置、零位(中性)面的位置。解:

可确定中性面到半径为R0′的圆柱面的几何中心的距离为平行双电轴法23例2-2空中两根互相平行、无限长的导体圆柱上带有等量异号电轴到中性面的距离为中性面到半径R0″的圆柱面的几何中心的距离为平行双电轴法24电轴到中性面的距离为中性面到半径R0″的圆柱面的几何中心的距平行双电轴法25平行双电轴法25平行双电轴法26平行双电轴法26外法线方向均相反外法线方向均一致外法线方向一个相反一个一致27外法线方向均相反外法线方向均一致外法线方向一个相反一个一致2基于唯一性定理的镜象法

以场域外虚拟的集中电荷代替场域边界上分布电荷的作用，使场的边界条件保持不变，从而保持被研究的场不变由于虚拟电荷往往与场域内的集中电荷互为镜象(平面镜象或曲面镜象)，故称为镜象法。§2-3无限大导电平面的镜象法

一、点电荷对无限大导电平面的镜象无限大导电平面的镜象法28基于唯一性定理的镜象法§2-3无限大导对于场域边界条件而言，无限大地平面为等位面，其上总电荷(感应电荷)已知为-q。设想将无限大地平面撤去，而将下半场域亦充以电容率为ε0的媒质，且以地平面为镜象，在电荷q的镜象位置，放置一点电荷-q。对于上半场域，其内部未作任何变更，边界条件也没有改变无限大导电平面的镜象法无限大导电平面的镜象法29对于场域边界条件而言，无限大地平面为等位面，其上总电荷导电平面镜象问题的特点：1、镜象电荷必在被研究场域边界外，2、所处位置与场源电荷以平面对称。3、镜象电荷的电量与边界面有总电荷量相等，与场源电荷量大小相等、符号相反，而被研究场域边界电位值为零。无限大导电平面的镜象法30导电平面镜象问题的特点：无限大导电平面的镜象法30二、无限大导电平面镜象法的应用应用1(a)直角区域内的点电荷(b)图(a)的镜象电荷应用2(a)特殊角(2π/α偶数)区域的点电荷(b)图(a)的镜象电荷无限大导电平面的镜象法31二、无限大导电平面镜象法的应用应用1应用2无限大导电平面的镜应用3(a)大地上方h处平行放置长直圆柱导体；(b)图(a)的镜象无限大导电平面的镜象法32应用3无限大导电平面的镜象法32例2-3

带电的云与地面之间形成一均匀向下的电场E0。将导致高度为l处的高压输电线A的电位升高。若在A的上方又架设有架空地线G，半径为r0，G是经过支架接地的，则在架空地线G上感应出负电荷，地面上感应出正电荷。将这些感应电荷的电场叠加到大气电场以后可以降低A处的电位。工程上采用这种方法使得高压输电线免受雷击，试求由于架空地线的屏蔽作用而导致A处电位的变化。无限大导电平面的镜象法33例2-3带电的云与地面之间形成一均匀向下的电场E0。将导解：设架空地线单位长度上的感应负电荷为-τ。地面上的感应正电荷可视为-τ感应所致，它在大气中产生的电场可以用-τ的镜象电荷+τ来代替。因为架空地线的半径r0较之它与镜象之间的距离2h小得多，可以认为电轴与几何轴线重合。架空地线的电位为故得因为接地在大气电场中架空地线的电位为无限大导电平面的镜象法34解：设架空地线单位长度上的感应负电荷为-τ。地面上的感应正电高压输电线A处的电位由原来的降低为

架空地线的重要作用，是使其自身表面造成很大的场强，其值可达大气电场场强的几十倍至几百倍，因此当大气的场强很高发生雷电时，可以引导输电线附近的闪电偏向于架空地线，从而保护高压输电线免受直接的雷击。若h=11m，l=10m，r0=0.004m，得相对值为无限大导电平面的镜象法35高压输电线A处的电位由原来的§2-4球形导体面的镜象

点电荷q的电场中，置有一半径为R的接地导体球。一、接地导体球对点电荷的镜象

球心至点电荷的距离为d。在点电荷的电场中，引入一中性导体球后，球面两侧将分别出现等量而异号的感应电荷+q′与-q′。其数值必较电荷q为小，即q>q′。球形导体面的镜象36§2-4球形导体面的镜象

导体球与地联接，则球面所感应的正电荷将受电场力的作用而流入地中，球体净剩分布于其表面的感应负电荷，球面电位为零。按镜象法原理将导体球撤去，使整个空间充以电容率为ε0的同一媒质，并在距球心b处，置一虚拟的集中镜象电荷-q′，来代替球面分布电荷的作用。若此时仍能保持球面的电位为零，则球面以外的电场，可视为点电荷q及-q′所共同产生的电场，运用点电荷场强公式及叠加原理，即可求解。球形导体面的镜象37导体球与地联接，则球面所感应的正电荷将受电场力的作

设球面电位为零，因而在截取的平面上，对于以R为半径的圆周上的任意点P，其电位表达式为

点电荷q为确定值，q′亦必为确定值

在圆上选取两特殊点C及D(k常数)解上式得球形导体面的镜象38设球面电位为零，因而在截取的平面上，对于以R为半在求得q′与b值之后，就可解决求解导体球外部电场的问题分析：（1）当距离d一定时导体球半径R愈大则镜象电荷q′亦愈大。这是因为半径愈大时，球面愈大，其离点电荷q愈近，所受电场力愈大，因而球面上感应电荷亦愈多。同理，当R一定时d愈大，球面离点电荷距离愈远，球面所受电场力亦愈小，故球面感应电荷愈小。球形导体面的镜象39在求得q′与b值之后，就可解决求解导体球外部电场的问题分析：（2）当导体球半径愈大时，靠近点电荷q一侧的导体球面其所感应的电荷愈密集，因而与球面感应电荷相等效的镜象电荷q′的位置将愈靠近点电荷q之一侧，亦即b愈大；当点电荷q远离导体球时，球面感应电荷的密集程度减少，整个球面上感应电荷面密度愈来愈均匀，因而镜象电荷将愈靠近导体球心，即b随距离d的增大而减小。（3）若运用等位面法考虑上述问题时，球外电场可以认为是沿等位球面填充导电媒质所得。当沿等位球面填充导电媒质后，电荷q′即转移至导体球表面，此时导体球外侧的电场仍保持不变，亦即球外的电场，可以视为两点电荷(-q′及q)的电场进行求解。球形导体面的镜象40（2）当导体球半径愈大时，靠近点电荷q一侧的导体球面其所感应若引入点电荷场中的导体球不接地，可知导体表面的边界条件:ⅰ)球面为等位面；ⅱ)因导体球原不带电，引入电场后，其所感应的正电荷量与负电荷量相等，故球面总电荷量为零。

在球心o处放置一点电荷q′，则能满足上述的边界条件导体球外的电场，即可看为由点电荷q、q′及-q′三者所共同激发的电场。二、不接地导体球对点电荷的镜象球形导体面的镜象41若引入点电荷场中的导体球不接地，可知导体表面的边界条件:二、例2-4

空气中有一内外半径分别为R11和R22的导体球壳原不带电，其内腔介质为ε0，若于壳内距球心为b处放置点电荷q，求球壳内外的电场强度和电位。解：点电荷q在球壳的内、外表面上感应电荷分别为-q和q。可以证明球壳外表面的电荷q是均匀分布的。壳外的电场完全由这些均匀分布的感应电荷所激发壳外的电场强度：电位为：

(R≥R22)42例2-4空气中有一内外半径分别为R11和R22的导体球壳球壳内表面作不均匀分布的感应电荷-q和点电荷q只在球壳内部激发电场，壳内的电场使得半径为R11的内球面为等位面和进入内球面的电位移的通量为q。仿照求解导体球外电场时在球内设置镜象电荷的方法求解球面内的电场，在球面外设置镜象电荷-q′，如图(b)所示。比较43球壳内表面作不均匀分布的感应电荷-q和点电荷q只在点电荷-q′和q使得半径为R11的球面电位为零，满足等位面的要求，并且没有改变进入内球面的电位移的通量。所以球面外镜象电荷-q′可以代替分布的感应电荷，其在球面内任一点P所产生的电场强度为R1、R2分别是点电荷q、-q′到场点P的距离

为相应的单位矢径球内点P处的电位应由此两点电荷所产生的电位，及导体球壳电位叠加而成。44点电荷-q′和q使得半径为R11的球面电位为零§2-5无限大介质交界平面的镜象

有电容率分别为ε1及ε2的媒质区域区域交界处为无限大平面在媒质ε1中，离界面高度h处，置一点电荷q

如何求此时上、下半无限大场域的电场？

介质交界面外的点电荷介质交界面上的极化电荷45§2-5无限大介质交界平面的镜象交界面上的束缚电荷和原电荷用q″来代替交界面上束缚电荷用镜象电荷q′来代替上半无限大场域的电场下半无限大场域的电场无限大介质交界平面的镜象46交界面上的束缚电荷和原电荷用q″来代替交界面上束缚电荷用镜象根据两种介质边界条件：得

镜象电荷有惟一确定的值上半场域与下半场域的电场ε1＝ε2时，q′=0，q″=q，整场域变为均匀媒质场域，束缚电荷将不复存在。无限大介质交界平面的镜象47根据两种介质边界条件：得镜象电荷有惟一确定的平行于介质交界面的线分布电荷

线分布电荷在两种不同介质中的电场推广：无限大介质平面上，置有一带电长直导线的电场，即可运用上述方法求解。无限大介质交界平面的镜象48平行于介质交界面的线分布电荷线分布电荷在两种不同介质中的电解:可将导线表面电荷视为集中到几何轴线上的线电荷。求水中电场时，将上半空间的媒质换为80ε0，而导线的电荷τ连同交界面上分布的极化电荷可等效为例2-5离河面高度为h处，有一输电线经过，导线单位长度的电荷量τ，且导线半径Rh。设河水的电容率为80ε0，求水中的电场强度。无限大介质交界平面的镜象49解:可将导线表面电荷视为集中到几何轴线上的线电荷。求水中电场故水中任一点P(x，y)的电场强度无限大介质交界平面的镜象50故水中任一点P(x，y)的电场强度无限大介质交界平面的镜象5

(2)孤立导体电容的定义：当空间仅存有一孤立导体时，可设另一导体在无限远处，因而孤立导体的电容即是导体所带的电量与其电位之比。即

一、电容

(1)双导体电容的定义：设空间仅有两导体，若两导体分别带有等值而异号的电荷，此电荷的量值q与两导体间电压U之比，定义为两导体间的电容，通常以C表示

§2-6电容与电容的计算

51(2)孤立导体电容的定义：当空间仅存有一孤立导孤立导体球的电容计算公式在线性媒质中，两导体间的电容仅决定于两导体本身几何尺寸、相互位置和空间媒质的电容率的量，而与两导体所带的电量以及两导体间电压的数值无关。1、可先赋予两导体以等值而异号的电量q，再求在其作用下，两导体间的电压U，然后按定义式求得两导体间电容C。

2、也可先赋予两导体以电压U，求得每导体所具有的电量q后得两导体间电容C。二、电容的求解方法

52孤立导体球的电容计算公式在线性媒质中，两导体间的电容仅决定于例：两间距为d板面积为A的平行导电板构成一平板电容器，上面板电荷为＋Q，下面板为－Q，问电容是多少？53例：两间距为d板面积为A的平行导电板构成一平板电容器，上面板球形电容器的半径比R2/R1≥101例2-6：球形电容器的内球外半径为R1，外球的内半径为R2。介质的电容率为ε0。要使得这一电容器的电容与空气中半径为R1的孤立导体球的电容之比不超过后者的1%，试确定球形电容器的内外半径比(R2/R1)。解设球形电容器的内导体球的电荷为q，则(R1<R<R2)54球形电容器的半径比圆柱形电容器内外圆筒间电压为设有内外半径分别为R1、R3的同轴圆柱形电容器，其中配置有电容率分别为ε1及ε2的双层媒质，媒质分界面半径为R2三、双层媒质圆柱形电容器的电容55圆柱形电容器内外圆筒间电压为设有内外半径分别为观察可以认为，双层媒质圆柱形电容器，可视为两个单一媒质圆柱形电容器串联而成。

按电容定义，得单位长度双层媒质圆柱形电容器的电容为填充两层不同媒质的圆柱形电容器双层不同媒质的圆柱形电容器内的电场56观察可以认为，双层媒质圆柱形电容器，可视为两个单由于R1＜R2，因而应使内层绝缘媒质的电容率较大，而外层绝缘媒质的电容率较小，这样每一绝缘层所承受的电压将比较均匀，而且绝缘材料也使用得最为有效。高压电缆与高压套管的有关设计中都采用这一原理。电容率为ε1的媒质中，最大电场强度发生在导体表面处电容率ε2的媒质中，最大电场强度发生在两媒质交界处相等57由于R1＜R2，因而应使内层绝缘媒质的电容率较大，而外层绝缘§2-7双输电线的电容一、不考虑地面影响即忽略大地的镜象效应的情况下双输电线之间的电容求解两导体间的电容实际上主要是求解两导体的电场问题,给定两输电线电荷的线密度分别为+τ及-τ1、两线间距离远大于导线半径，视导线的几何中心轴与导线的等效电轴重合双输电线的电容58§2-7双输电线的电容导线A与B表面处点1及点2的电位为单位长度两导线间的电容则上式可简化为双输电线的电容59导线A与B表面处点1及点2的电位为单位长度两导线间的电容单位长度两圆柱导体间电容2、两平行圆柱导体间的电容，考虑几何尺寸的影响两柱体间电压双输电线的电容60单位长度两圆柱导体间电容2、两平行圆柱导体间的电容，考虑几例2-7两根平行细长导线位于与地面平行的平面内，导线半径为R0，轴线间距离为d。当导线至地面的高度不低于多大值时，忽略地面的影响，导线电容计算值的误差才不致超过1%。解：单位长度上分别带电荷+τ，-τ

考虑地面的影响，则对应地设置镜象A′之电荷为-τ，镜象B′之电荷为+τ。任一点P的电位为双输电线的电容61例2-7两根平行细长导线位于与地面平行的平面内，导线半径两导线间电压为

因导线很细，可视导线的几何轴与电轴重合，故得导体A、B的电位分别为考虑地面影响单位长度两导线间的电容双输电线的电容62两导线间电压为因导线很细，可视导线的几何轴与电轴重若导线间距d=1m，导线之半径R0＝4mm时，h＞1.46m。若要求两种情况下，电容值的误差不超过1%，即比较，可见考虑地面影响时，导线间电容C0′>C0，在上式中，令h→∞，同样可以得到忽略地面影响的电容计算式双输电线的电容63若导线间距d=1m，导线之半径R0＝4mm时，h＞1.46m在实际问题中常常要遇到带电的多导体系统，此时每两带电导体间均有所谓部分电容存在。因为，多导体系统任意两个导体间的电压不仅要受到它们自身电荷的影响，还要受到其余导体电荷的影响。这时，系统导体间的电压与导体电荷的关系，一般不能仅用一个电容来表示，需要将电容的概念加以扩充，引入部分电容的概念§2-8多导体系统的部分电容

一、部分电容的概念的引入多导体系统的部分电容64在实际问题中常常要遇到带电的多导体系统，此时每独立导体系统（静电独立系统）

一个系统一切电的联系均在系统内，与外系统无关。每个导体的电位仅与本系统内的带点导体的电荷有关，或者说电场分布只与本系统内各带电导体的形状、尺寸、相互位置及电介质的分布有关。

所有电通量密度（D）全部从带电体出发，也全部终止与系统内。多导体系统的部分电容65独立导体系统（静电独立系统）多导体系统的部分电

例：外壳接地的三芯电缆其中:C11、C22、C33分别为导体1、2、3对地的自部分电容

C12为导体1、2间的互部分电容

C23为导体2、3间的互部分电容，

C31则为导体3、1间的互部分电容。多导体系统的部分电容66例：外壳接地的三芯电缆多导体系统的部分电容66例：受大地影响的双输电线系统是一个多导体系统，它们的互部分电容和自部分电容表示在图中例：考虑大地影响时，三相输电线的部分电容情形。在带电的多导体系统中，每一导体的电位与所有带电导体的电荷都是相关的。多导体系统的部分电容67例：受大地影响的双输电线系统是一个多导体系统，它们的互部》导体1电荷量为q1，其它导体不带电荷时》导体1上的电荷量由q1增加至Ｋq1，则导体1上各处的电荷密度，均将同时增加K倍》导体所带的总电荷量与其表面电荷密度间存在着线性关系。二、多导体系统中导体电荷与电位的线性关系给定导体1的电荷量在导体2、3上感应的电荷感应电荷量与引起感应的电荷成比例至Ｋq1电荷密度，均将同时增加K倍多导体系统的部分电容68》导体1电荷量为q1，其它导体不带电荷时二、多导体系统中导体》运用叠加原理可知：场中所有电荷分布处，当各点电荷面密度增加K倍时，场中所有点的电位(包括导体表面点)亦增加K倍》这就说明：其它导体所带电荷量为零时，当导体1的电荷(或电位)增加K倍时，场中所有点的电位于(或电荷)亦将增加K倍。》更一般的说法是：在线性媒质空间的多导体系统中，场中所有点(包括导体表面点)的电位，与每一导体的电荷量间具有线性关系。多导体系统的部分电容69》运用叠加原理可知：场中所有电荷分布处，当各点电荷面密度增加设在电容率为ε的线性媒质空间有1、2、3三个导体若给导体1以电荷q1，而第2、3两导体不给电荷根据电位与电荷的线性关系，场中点A的电位根据叠加原理，此时场中点A的电位三、多导体系统中的电位系数为导体1对点A的电位系数，电位系数的单位为(V/C)

分别为导体2及导体3对点A的电位系数同理当导体2、3分别带有电荷q2、q3时其在空间点A所产生的电位为多导体系统的部分电容70设在电容率为ε的线性媒质空间有1、2、3三个导

如将所观察的点A，分别选取在导体1、2、3上，则得三导体的电位线性媒质空间中各导体的电位与各导体电荷间的线性关系具有相同下标的电位系数、、为导体的自电位系数具有不同下标的电位系数、、、、、为两导体的互电位系数它们的物理意义：多导体系统的部分电容71如将所观察的点A，分别选取在导体1、2、3上，则得三——仅给导体1单位电荷时导体1本身所具有的电位数值。此时若以无限远点为零电位点当导体1所给电荷为正时，其自身的电位应为正，为正当导体1所给电荷为负时，其自身的电位应为负，仍为正，故知自电位系数恒为正。、同理

——仅给导体1单位电荷时，导体2上所具有的电位数值。当导体1所给电荷为正时，导体2所具有的电位为正当导体上1所给电荷为负时，导体2所具有的电位亦为负故互电位系数亦恒为正。同时可以推及其它具有不同下标电位系数的物理意义，及其恒为正的属性。多导体系统的部分电容72——仅给导体1单位电荷时导体1本身所具有的

无论是自电位系数或互电位系数，它们的数值将决定于每一导体的几何形状、导体与导体间的相互位置以及空间媒质电容率。无论是空间媒质的改变，或是任一导体的形状与位置的改变，都将影响所有电位系数的数值。多导体系统的部分电容73无论是自电位系数或互电位系数，它们的数值将决定于在实际问题中，常常已知多导体系统中各导体的电位，此时如果要求各导体的电荷四、多导体系统的静电感应系数多导体系统的部分电容74在实际问题中，常常已知多导体系统中各导体的电位

β11、β22、β33自静电感应系数

β12、β13、β21、β23、β31、β32互静电感应系数单位：(C/V)多导体系统的部分电容75β11、β22、β33自静电感应系数多导体系统的部分电容7导体1给定对地正电位，接地导体2、3上的感应电荷β11——仅给导体1单位电位其余导体联接并接地时，导体1上所具有的电荷值当所给导体1的电位为正时，其上电荷亦为正,β11应为正当所给导体1的电位为负时，其上电荷亦为负，β11仍应为正

β11恒为正导体1给定对地负电位，接地导体2、3上的感应电荷多导体系统的部分电容76导体1给定对地正电位，接地导体2、3上的感应电荷β11——仅同理，可推及其它自静电感应系数及互静电感应系数的正负属性导体1给定对地正电位，接地导体2、3上的感应电荷β21——仅给导体1以单位电位，其余导体联接并接地时，导体2上所具有的电荷值导体1的电位为正时，导体2上所具有的电荷为负，故β21为负。导体1的电位为负时，导体2上所具有的电荷为正，β21仍应为负，故β21恒为负导体1给定对地负电位，接地导体2、3上的感应电荷77同理，可推及其它自静电感应系数及互静电感应系数的正负属性导五、多导体系统的部分电容多导体系统的部分电容78五、多导体系统的部分电容多导体系统的部分电容78C11、C22、C33——导体的自部分电容各导体与参考导体间的部分电容

C12、C13、C23、C31、C32——相应两导体间的互部分电容互电位系数、互静电感应系数和互部分电容的双下标均可以互换电位系数、静电感应系数与部分电容只决定于体的几何形状与它们间相互位置以及空间媒质的电容率，而与导体间电压和导体所带电压量关多导体系统的部分电容79C11、C22、C33——导体的自部分电容互电位

C11——仅给导体1与地之间施以一单位电压，而其它导体均与导体1相接时，导体1所具有的正电荷量，C11恒为正。C12——除导体2外，包括导体1在内的其余所有导体相联并接地，再于导体1、2之间施以单位电压(即U12＝1V)时，导体1上所具有的正电荷量，C12为正，当所施电压U12为负时，导体1上的电荷亦同时为负，而C12仍为正。故C12亦恒为正。多导体系统的部分电容80C11——仅给导体1与地之间施以一单位电压，而其它导体自部分电容C11在整个导体系统中所拥有的电荷量，亦只是导体1所具有的总电荷q1中与地相关联的那一部分电荷量q10

互部分电容C12即是导体1、2之间所具有的那一部分电容，互部分电容C12在整个导体系统中所拥有的电荷量，亦只是导体1所具有的总电荷q1中，与导体2相关联的那一部分电荷量q12自部分电容互部分电容的物理意义多导体系统的部分电容81自部分电容C11在整个导体系统中所拥有的电荷量，亦只是导体1

在引入部分电容概念之后，可以将带电导体系统的电场问题，等效为形象化的静电电容电路问题来进行求解。静电电路基尔霍夫第一定律为：联结于任一节点的各电容器极板电量的代数和恒等于联结这些极板所带电量的代数和，即Σq=Σq0静电电路基尔霍夫第二定律为：沿某闭合回路，各支路电压的代数和恒为零，即ΣU=0多导体系统的部分电容82在引入部分电容概念之后，可以将带电导体系统的电场问六、几个概念1、等效电容

多导体系统，把两个导体作为电容器的两个极，设在这两个极上的电荷分别为＋q、－q。则q/U定义为两导体间的等效电容，亦称工作电容。多导体系统的部分电容83六、几个概念1、等效电容多导体系统，把两个导体作2、自部分电容、导体对地电容两导体系统－－导体1对地总电容的推导多导体系统的部分电容842、自部分电容、导体对地电容两导体系统－－导体1对地总电容的3、互部分电容、导体1、2间总电容多导体系统的部分电容853、互部分电容、导体1、2间总电容多导体系统的部分电容85三芯电缆部分电容三芯电缆三相电容示意多导体系统的部分电容86三芯电缆部分电容三芯电缆三相电容示意多导体系统的部分电容86例2-8为了测定对称的三芯电缆的各部分电容，将三根缆芯联在一起，测得它们与电缆的铅皮间的电容为0.051μF。又将两根缆芯与铅皮相联，测得它们与另一缆芯间的电容为0.037μF。试计算：(1)电缆的各部分电容；(2)每一相的工作电容；(3)只用两根缆芯时的工作电容。多导体系统的部分电容87例2-8为了测定对称的三芯电缆的各部分电容，多导体系统解：电缆的三根缆芯由于几何位置对称有

C11＝C22＝C33，C12=C22=C31(1)三根缆芯相联时，C11、C22、C33并联的等效电容3C11＝0.051μF

C11＝0.017μF。两根缆芯例如2、3与铅皮相联时，C11、C12、C31的并联等效电容

C11+2×C12=0.037μF

C12=0.01μF多导体系统的部分电容88解：电缆的三根缆芯由于几何位置对称有多导体系统的部分电容8(2)一相的工作电容为各相间互部分电容构成对称三角形接法，运用△-Y变换，等效电路如图所示。一相的工作电容为多导体系统的部分电容89(2)一相的工作电容为各相间互部分电容构成对称三角形接法(3)只用两根缆芯(例如1与2)时的工作电容将各自部分电容变换为等效三角形接法。

缆芯1、2间的工作电容可设想为电源接于1、2时的等效电容

可见缆芯1、2间的互部分电容仅是它们之间的电容的一部分，而工作电容是与导体系统的各部分电容有关的。多导体系统的部分电容90(3)只用两根缆芯(例如1与2)时的工作电容将各自部分电容一、平板电容器的电场能量与电场能量密度

平行板电容器的电场能量密度计算式

平行板电容器的能量表达式

V:体积静电场的能量，是以能量密度的形式，储存于整个电场所遍及的空间，而不是附着于两极板板面有电荷处,有电场处即有能量存在推广到非均匀的电场中§2-9带电导体系统的电场能量及其分布带电导体系统的电场能量及其分布91一、平板电容器的电场能量与电场能量密度§2-9带电导1.基于场的物质性，一定的物质状态，对应唯一的能量状态，电场能量确定于场的最终分布状态，而不随其建立方式与过程之不同而不同。2.电场所处空间为线性媒质，因而各导体电位与各导体电荷具有线性关系，电场各量(、

、

、)适用叠加原理。二、多个带电导体系统的电场能量

3.不考虑电场建立过程中媒质的热损耗及诸如辐射等等所带来的不可逆能量损耗。带电导体系统的电场能量及其分布921.基于场的物质性，一定的物质状态，对应唯一的能量状态，电场n个带电导体

q1，q2，…，qk，…，qn，

，…，，…

电场建立过程：某一瞬间，第一导体上电荷为xq1

，同一瞬间，第2，第3，…第n个导体上的电荷亦分别：

xq2，xq3…，xqk，…xqn此时各导体相应的电位则分别为

x，x，…，x，…，x

设电荷均由无限远处，按比例搬移至各导体，搬移过程中外力反抗电场力所做的功，均以电场能量的方式储存于电场之中。带电导体系统的电场能量及其分布93n个带电导体带电导体系统的电场能量及其分布9设任一瞬间，第一导体的电位为,此时其相应的电荷量xq1

当从无限远处将电荷增量d(xq1)移至导体1时，外力反抗电场力所作的功为xd(xq1)在此同一瞬间，当第2，…，第k，…，第n诸导体上有电荷增量d(xq2)，…，d(xqk)，…，d(xqn)反抗电场力作功分别为xd(xq2)，…，x(xqk)…xd(xqn)电场在此瞬间所获得的电场能量带电导体系统的电场能量及其分布94设任一瞬间，第一导体的电位为,此时其电场能量例2-9：真空中的孤立带电导体球带有电荷q，半径为R1，计算电场储存的能量。解:方法一：在R>R1空间里，电场强度电位移矢量方法二：导体球的电位带电导体系统的电场能量及其分布95电场能量例2-9：真空中的孤立带电导体球带有电荷q，半径为R§2-10虚位移法计算电场力

基于功能守恒原理，电场力作功与电场能量的变化，应该平衡于外部电源所作的功：

电场力所作的功＋电场能量的变化=外部电源所作的功

虚位移法，即是基于功能转换过程而建立的。假设带电导体系统的电场中，某一被研究的带电导体，在电场力的作用下，作一想象的微小位移，电场能量亦相应存在想象的微小变化，根据功能守恒原理，即可求得该带电导体所受的电场力。由于该方法中导体的位移是想象(虚构)的位移，故称之为虚位移法。一、虚位移法虚位移法计算电场力96§2-10虚位移法计算电场力设想负极板在电场力fg的作用下，沿坐标g方向移动一微小距离dg，此时电场力所作的功为fgdg，平行板电容器相应的电场能量变化量为dWe，外部电源所作的功为dW，则有二、平行板电容器电场力计算分两种情况：虚位移法计算电场力97设想负极板在电场力fg的作用下，沿坐标g方向移动一1.平行板电容器不与外界电源(如电池)相连接（即保持极板电荷q不变）在电场力作用下所作的功恒为正(力与位移的方向总是一致的)，即fgdg＞0，故当fg＜0时，dg＜0，即电场力企图使负极板向正极板方向移动。故所求极板的力为吸力。平行板电容器的能量表达式为电容器极板所受的电场力为虚位移法计算电场力981.平行板电容器不与外界电源(如电池)相连接（即保持极板电容器极板间电场能量的变化是由于电容器极板电荷增量dq所致

2．平行板电容器接有外界电源令负极板接地，其电位为零。正极板的电位为电源正极的电位。

设负极板在电场力fg作用下，位移一微小距离dg。由于两极板与外部能源相联，故电容两极板电位保持不变。电容器电场能量的变化量为dq电源虚位移法计算电场力99电容器极板间电场能量的变化是2．平行板电容器接有外界电源此时电源所作的功为

dq平行板电容器的能量表达式为电容器极板所受的电场力为电场力所作的功＋电场能量的变化=外部电源所作的功虚位移法计算电场力100此时电源所作的功为dq平行板电容器的能量表达式为电场力为了正确地计算带电导体在电场中所受电场力，应该注意下面3个要点：(1)选择一个合适的坐标系来描写导体的虚位移情况，并将电场能量写为位移坐标的函数。(2)选择一个方便的计算公式进行计算。例如在求平行板电容器极板所受的电场力时，选取q为常数较为方便。(3)根据fgdg＞0，对电场力的作用方向进行判断。101为了正确地计算带电导体在电场中所受电场力，应该注意下面3个要

物体的位移状态——广义坐标g广义力fg物体的线位移普通的机械力物体的转动(位移)力矩物体表面积的变化张力物体体积变化压力均以同一字母g来表示其变化的坐标三、广义坐标和广义力四、多导体系统中导体所受的电场力102物体的位移状态——广义坐标g广义力fg1．保持各导体电荷不变，求电场力在有n个不与外界能源连接的带电导体系统中，若设想被研究的导体k，在广义电场力的作用下，其广义坐标产生一变化dg，此时电场力所作的功为fgdg。由于系统与外部电源隔绝，根据功能守恒原理，此功应由电场能量来补偿，若以dWe表示系统电场能量的增量,则有1031．保持各导体电荷不变，求电场力在有n个不与外界能源连接2.保持各导体电位不变，求电场力在有n个与外界电源连接的带电导体系统中,若设被研究的导体k，在广义电场力的作用下，其广义坐标将产生一变化dg，此时电场力所作的功为fgdg。由于系统与外部电源连接，各导体的电位不变，各导体电荷则将改变。按前述的功能平衡关系，应有1042.保持各导体电位不变，求电场力在有n个与外界电源连接假设系统中每导体的电荷不变或者每导体的电位不变，其所得的结果应该一致，因而是彼此等效的，即应用上述公式计算带电导体所受电场力时，选定一合适的广义坐标，并将能量表示为广义坐标的函数105假设系统中每导体的电荷不变或者每导体的电位不五、介质交界面电场力的计算

平行板电容器极板上，力的大小单位面积所受的电场力为可见极板上单位面积所受的电场力，在数值上等于该处电场能量密度。这一结论虽然是从均匀电场这一特殊情况下导得的，然而它同样适用于非均匀电场的情况。结论不仅适用于导体(与媒质的交界)表面，而且也适用于媒质与媒质的交界面。106五、介质交界面电场力的计算可见极板上单位面此时媒质交界面上每单位面积所受的电场力1、由上可知不同媒质交界面上的力，总是由电容率大的媒质指向电容率小的媒质的一侧。2、在不均匀电场中，若物体的电容率大于其周围媒质的电容率时，物体将向电场强度大的一方移动。例如变压器油中的小水珠。3、当物体的电容率小于其周围媒质的电容率时，物体将向电场强度小的一方移动。例如变压器油中的小气泡。107此时媒质交界面上每单位面积所受的电场力1、由上可知静电力矩例2-10:求作用于静电电压表的可动极板上的静电力矩。解：静电电压表由固定极板A和可动极板B组成。随着可动极板B的旋转，电容改变。若此电容与可动极板B的旋转角度之间的关系为C=C0+K1

C0是＝0时的电容，K1为决定于结构尺寸的常数。设U为两极板间电压，则电场中的能量为108静电力矩例2-10:求作用于静电电压表的可动极板上的静电力矩

时可动极板处于平衡位置。从固定于极板B上指针C所指示的旋转角度可读得电压的数值。对于电容与角成线性关系的静电电压表，电压的刻度是不均匀的。可见作用于可动极板上的静电力矩与施加于电压表上电压的平方成正比。固定于可动极板B上的扭簧D，其反作用力矩Mf=K2，即与旋转角度成正比。当109时可动极板处于平衡位置。从固定于极板B上指针C所指示的旋转唯一性定理求边值问题的指导性定理边值问题唯一解的充要条件应用：等位面法、电轴法、镜像法边值问题的求解直接解析法分离变量法间接法（镜像法、电轴法）电容和部分电容的概念电场能量和计算电场力的虚位移法

第二章总结110唯一性定理第二章静电场(二)111第二章静电场(二)1§2-1静电场的唯一性定理及其应用§2-2平行双电轴法§2-3无限大导电平面的镜象法§2-4球形导体面的镜象§2-5无限大介质交界平面的镜象§2-6电容与电容的计算§2-7双输电线的电容§2-8多导体系统的部分电容§2-9带电导体系统的电场能量及其分布§2-10虚位移法计算电场力目录112§2-1静电场的唯一性定理及其应用目录2除唯一性定理以外，都属于静电场求解方面的应用问题1、唯一性定理及其重要意义

2、电轴法

3、镜象法

4、电容的计算5、带电导体系统部分电容6、多导体系统的电场能量与电场力

本章内容113除唯一性定理以外，都属于静电场求解方面的应用问题1、唯一性§2-1静电场的唯一性定理及其应用一、唯一性定理及其重要意义唯一性定理：静电场中，满足一定边界条件(即前述三类边界条件)的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。当场中介质及各导体的分布一定时：1、给定各导体表面的电位值此时由边值问题解得之电位函数为唯一；114§2-1静电场的唯一性定理及其应用2、导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量，此时由边值问题所解得的电位函数，仅相差一无关紧要的常数，而电位的梯度E是唯一的。3、若给定某些导体表面的电位值，及其它导体表面(导体表面为等位面)的电荷量，此时由边值问题所解得的电位函数为唯一。静电场的唯一性定理及其应用1152、导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量，此时由边值问题由唯一性定理可获得的重要概念：

1.明确哪些条件可以完全而且唯一地确定静电场的解，从而使我们在求解静电场问题时能正确地提出边界条件。在处理实际问题时，就能根据所提条件判明问题是否有解如何正确提供条件才能有解。2.在许多实际问题中，往往不能对泊松方程或拉普拉斯方程直接求解，而要借助于其它解法。其它解法所得之解是否正确唯一，要看它是否满足唯一性定理所要求满足的条件来进行判定。3.有许多实际问题，由于采用不同的方法求解，其解的形式可能不一样，如果求得的解都满足唯一性定理所要求满足的条件，则可以判定这些不同形式的解彼此相等且均为有效。

说明静电场的唯一性定理及其应用116由唯一性定理可获得的重要概念：说明静电场的唯一性定理及其应用

根据唯一性定理，若沿场的等位面任意一侧，填充导电媒质，则等位面另侧的电场保持不变。两平行输电线的电场，若沿场中任一等位面k之一侧(内或外侧)填充导电媒质，则导电媒质以外之另一侧，其电场不变。二、唯一性定理的应用——等位面法静电场的唯一性定理及其应用117根据唯一性定理，若沿场的等位面任意一侧，填充导电媒例:

空气中有半径为R1的导体球，其电位为已知。试确定导体球外距球心R>R1区域的电场强度。解：设导体带电荷118例:空气中有半径为R1的导体球，其电位为已知。试确定导体若R＝R2导体球带有同样的电荷电场的分布完全一样，这就是等位体法唯一性定理应用的一个例证119若R＝R2导体球带有同样的电荷电场的分布完全一样，这就是等位1.它保持了另一侧场的边界形状及介质分布不变，且对另一侧场而言，边界仍为等位面。填充导电媒质后，边界上的总电荷量等于填充导电媒质前边界上所穿过的总电通量，即边界条件没有变化。2.它保持了另一侧场的介质及电荷分布不变。因而根据唯一性定理，另一侧的场没有变化。由于这一方法是沿等位面填充介质，因而称之为等位面法。静电场的唯一性定理及其应用等位面法的实质：1201.它保持了另一侧场的边界形状及介质分布不变，且对另一侧例2-1

静电场唯一性定理在解静电屏蔽现象中的应用。解静电屏蔽现象：(1)接地的封闭导体壳内的电荷不影响壳外的电场；(2)封闭导体壳无论它是否接地，则壳内的电场不受壳外电荷的影响。一种情形：设封闭导体壳的外表面为S1，对于壳外区域而言，它是一个边界面。无论壳内电荷q1在数量上增减或作位置上的移动，由于导体壳接地，恒有，始终没有改变壳外区域边界面上的边界条件。因此在这种情况下，壳内的电荷不影响壳外的电场。静电场的唯一性定理及其应用121例2-1静电场唯一性定理在解静电屏蔽现象中的应用。一种

第二种情形：设封闭导体壳的内表面为S2，对于壳内区域而言它是一个边界面。首先，S2是一个等位面。其次，如在壳内紧贴S2作一高斯面S，则有以S2作为导体壳内电场的一个边界面，通过它的电通量仅仅决定于导体壳内的电荷，而与壳外的电荷分布是无关的。根据唯一性定理，当导体壳内带电导体都是给定电荷量时，电位函数可以相差一个常数，但是电场强度是唯一确定的。它不受导体壳外电荷q2的影响。有时甚至壳内的电位函数也是唯一确定的。（电位移矢量

的通量为q1）122第二种情形：设封闭导体壳的内表面为S2，对于壳内区域而言它例:

一点电荷位于两种介质的交界面，试确定上下两部分的电位。解：试探法

试探解2、介质的交界面3、作一高斯面球坐标123例:一点电荷位于两种介质的交界面，试确定上下两部分的电位12414设介质电容率为ε0的空间有两无限长平行电轴，两电轴所带有的电荷线密度分别为§2-2平行双电轴法一、平行双电轴电场

由高斯定理可得两电轴分别产生的电场强度表达式为平行双电轴电场是一个平行平面场，在垂直于电轴的各个平面上，场有完全相同的分布图形平行双电轴法125设介质电容率为ε0的空间有两无限长平行电轴，两电轴所带有的电选取坐标轴的原点o为零电位点，点P电位为由叠加原理，点P的电位为平行双电轴法126选取坐标轴的原点o为零电位点，点P电位为由叠加原理，点P等位线的分布规律

在双电轴的电场中，等位面是一组偏心的圆柱族面平行双电轴法127等位线的分布规律在双电轴的电场中，等位面是一组偏心某个等位圆之半径为R0等位圆圆心至中性面距离为x0电轴至中性面的距离为D/2在等位圆上选择特殊点A及BR2/R1=R2′/R1′=K(常数)等位面与电轴之间的关系平行双电轴法128某个等位圆之半径为R0等位面与电轴之间的关系平行双电可知：

1)若已知电轴位置，选取任意点x0为圆心，即可作出以x0为圆心R0为半径的等位圆。

2)若已知电轴位置，给定任意的R0，亦可作出此等位圆圆心所在处x0的等位圆。

3)若已知R0，及圆心的位置x0，亦可推出电轴所在的位置，亦即推求出距离D平行双电轴法129可知：

1)若已知电轴位置，选取任意点x0为圆心，

具有相同半径R0的平行双输电线。设每根导线单位长度上所带的电荷量分别为+τ及-τ，求电场分布。可认为导线的圆截面是沿某待求的双电轴所形成的等位圆填充导电媒质所得，根据等位面法，此问题转化为求解双电轴的电场

二、平行双电轴法1、相同半径的平行双输电线双电轴的位置：平行双电轴法130具有相同半径R0的平行双输电线。设每根导线单位长度得2、对于相互平行但半径不同的双输电线半径R0′与R0″以及两圆柱体轴心距离d已知，得解得x0′及x0″可求两电轴的距离平行双电轴法131得2、对于相互平行但半径不同的双输电线解得x0′及x0″可

3、两偏心圆柱套筒的电场已知两圆柱套筒半径R0′、R0″以及圆柱轴心间距离d从而可求两电轴的距离D

电轴法在求解双输电线电容及偏心圆柱套筒等的电容问题中被广泛运用平行双电轴法1323、两偏心圆柱套筒的电场从而可求两电轴的距离D例2-2

空中两根互相平行、无限长的导体圆柱上带有等量异号电荷。设单位长度的电量τ=10-8C/m，圆柱的半径各为R0′=15cm,R0″=20cm，两圆柱的几何轴线间距离为d=50cm。试求电轴的位置、零位(中性)面的位置。解:

可确定中性面到半径为R0′的圆柱面的几何中心的距离为平行双电轴法133例2-2空中两根互相平行、无限长的导体圆柱上带有等量异号电轴到中性面的距离为中性面到半径R0″的圆柱面的几何中心的距离为平行双电轴法134电轴到中性面的距离为中性面到半径R0″的圆柱面的几何中心的距平行双电轴法135平行双电轴法25平行双电轴法136平行双电轴法26外法线方向均相反外法线方向均一致外法线方向一个相反一个一致137外法线方向均相反外法线方向均一致外法线方向一个相反一个一致2基于唯一性定理的镜象法

以场域外虚拟的集中电荷代替场域边界上分布电荷的作用，使场的边界条件保持不变，从而保持被研究的场不变由于虚拟电荷往往与场域内的集中电荷互为镜象(平面镜象或曲面镜象)，故称为镜象法。§2-3无限大导电平面的镜象法

一、点电荷对无限大导电平面的镜象无限大导电平面的镜象法138基于唯一性定理的镜象法§2-3无限大导对于场域边界条件而言，无限大地平面为等位面，其上总电荷(感应电荷)已知为-q。设想将无限大地平面撤去，而将下半场域亦充以电容率为ε0的媒质，且以地平面为镜象，在电荷q的镜象位置，放置一点电荷-q。对于上半场域，其内部未作任何变更，边界条件也没有改变无限大导电平面的镜象法无限大导电平面的镜象法139对于场域边界条件而言，无限大地平面为等位面，其上总电荷导电平面镜象问题的特点：1、镜象电荷必在被研究场域边界外，2、所处位置与场源电荷以平面对称。3、镜象电荷的电量与边界面有总电荷量相等，与场源电荷量大小相等、符号相反，而被研究场域边界电位值为零。无限大导电平面的镜象法140导电平面镜象问题的特点：无限大导电平面的镜象法30二、无限大导电平面镜象法的应用应用1(a)直角区域内的点电荷(b)图(a)的镜象电荷应用2(a)特殊角(2π/α偶数)区域的点电荷(b)图(a)的镜象电荷无限大导电平面的镜象法141二、无限大导电平面镜象法的应用应用1应用2无限大导电平面的镜应用3(a)大地上方h处平行放置长直圆柱导体；(b)图(a)的镜象无限大导电平面的镜象法142应用3无限大导电平面的镜象法32例2-3

带电的云与地面之间形成一均匀向下的电场E0。将导致高度为l处的高压输电线A的电位升高。若在A的上方又架设有架空地线G，半径为r0，G是经过支架接地的，则在架空地线G上感应出负电荷，地面上感应出正电荷。将这些感应电荷的电场叠加到大气电场以后可以降低A处的电位。工程上采用这种方法使得高压输电线免受雷击，试求由于架空地线的屏蔽作用而导致A处电位的变化。无限大导电平面的镜象法143例2-3带电的云与地面之间形成一均匀向下的电场E0。将导解：设架空地线单位长度上的感应负电荷为-τ。地面上的感应正电荷可视为-τ感应所致，它在大气中产生的电场可以用-τ的镜象电荷+τ来代替。因为架空地线的半径r0较之它与镜象之间的距离2h小得多，可以认为电轴与几何轴线重合。架空地线的电位为故得因为接地在大气电场中架空地线的电位为无限大导电平面的镜象法144解：设架空地线单位长度上的感应负电荷为-τ。地面上的感应正电高压输电线A处的电位由原来的降低为

架空地线的重要作用，是使其自身表面造成很大的场强，其值可达大气电场场强的几十倍至几百倍，因此当大气的场强很高发生雷电时，可以引导输电线附近的闪电偏向于架空地线，从而保护高压输电线免受直接的雷击。若h=11m，l=10m，r0=0.004m，得相对值为无限大导电平面的镜象法145高压输电线A处的电位由原来的§2-4球形导体面的镜象

点电荷q的电场中，置有一半径为R的接地导体球。一、接地导体球对点电荷的镜象

球心至点电荷的距离为d。在点电荷的电场中，引入一中性导体球后，球面两侧将分别出现等量而异号的感应电荷+q′与-q′。其数值必较电荷q为小，即q>q′。球形导体面的镜象146§2-4球形导体面的镜象

导体球与地联接，则球面所感应的正电荷将受电场力的作用而流入地中，球体净剩分布于其表面的感应负电荷，球面电位为零。按镜象法原理将导体球撤去，使整个空间充以电容率为ε0的同一媒质，并在距球心b处，置一虚拟的集中镜象电荷-q′，来代替球面分布电荷的作用。若此时仍能保持球