高中数学常用公式及常用结论-大全

教学资料（高中数学）祝同学们学习进步高中数学常用公式及常用结论xAxCA,xCAxA.UUC(AB)CACB;C(AB)CACB.UUUUUUABAABBABCBCAUUACBCABRUUcard(AB)cardAcardBcard(AB)(ABC)(AB)(AB)(BC)C)(ABC).a,a,,a}222nnn12n2有nf(x)axbxc(a0);2f(x)a(xh)k(a0);2f(x)a(xx)(xx)(a0).12NNf(x)Mf(x)M[()()]0fxMfxNMNMNf(x)N|()fx022Mf(x)11.f(x)NMN(x)0(,)()()0在kkfkfkf1.特别地,ax212bxc0(a0)(k,k)f(k)f(k)0内,等价于,或21212bkkf(k)0且k2akkbf(k)0且k.1212222a1122fx(x)axbxc(a0)2p,qxb2abbf(p),f(q；p,qf(x)f(),f(x)2a2abf(pf(q，xp,qf(x)f(x)f(pf(q).，2amaxmaxminminbbxp,q2af(x)f(pf(q)xp,q，若，则当时，若，则2aminf(x)f(pf(q)，f(x)f(pf(q).maxmin1教学资料（高中数学）祝同学们学习进步f(m)f(n)0f(x)0(,n).设f(x)xq2402pqf(x)0(,)f(m)0f(x)0在或pm2f(m)0f(n)0f(m)0f(n)0(,n)f(m)f(n)0或40或(n)0或af(m)0；2pqafpmn2402pqf(x)0(,n)f(m)0或.pm2(,),,,，，(1)在给定区间Lf(x,t)0(tf(x,t)0(xL).min(,)f(x,t)0t()恒成立的充要条件是(2)在给定区间f(x,t)0(xL).mana0a00或f(x)axbxc042b.b24ac0c0真真真假真假假假假假真n个nn个nx，x，x，x，p或qp且qpq或2教学资料（高中数学）祝同学们学习进步互否互为逆为逆互否否pqp是qqpp是qpqqpp是qxxa,b,xx1212f(x)f(x)(xx)f(x)f(x)00f(x在a,b21xx121212f(x)f(x)(xx)f(x)f(x)00f(x在a,b21xx112122y17.如果函数ff(x)f(x)0f(x)f(x)0f(x)为(x)g(x),和函数f(x)g(x);和yfu)和ug(x)yf[g(x)]yy若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).ab,则函数f(x)x;两yf(x)xRf(xa)fbx)(2ab2yf(xa)yfbx)x与a若f(x)f(xa),yf(x)yf(x)2a(x)axaxa(,0);若f(x)f(xa),2Pn1nnn10P(x)P(x)P(x)Pyf(x)(x)3教学资料（高中数学）祝同学们学习进步yf(x)xaf(ax)f(ax)f(2ax)f(x).abyf(x)xf(amx)fbmx)2f(abmx)f(mx).yf(x)yf(x)x0yabyf(a)yfbmx)x2my和f(x)yf(x)1yf(xa)byf(x)abf(x,y)0abf(xa,yb)0f(a)bf(b)a.1127.若函数yf(b)y[f(x)b]y[f(kxb),并不是,而函数11k1y[f(kxb)是y[f(x)b]1k(x)f(xy)f(x)f(yf(1)c.f,ff(x)af(xy)f(x)f(yf(1)a0,.x(x)logx()()((),ffxfyfa.aaa(x)xf(xy)f(x)f(y),f(1).f,'f(x)xg(x)xg(x)，fxyfxfygxgy，()()()()()f(0)1,lim1.xx0f(x)f(xa)f(x)f(x)f(xa)0，1f(xa)(f(x)0)，或f(x)(x)1(()0)fx,或ff()1f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1)f(x)或221f(x)1(f(x)0)f(x)f(xa)f(x)f(x)()fxff(xx)且f(a)1(f(x)f(x)1,0|xx2a)121f(x)f(x)12121212()f(x)f(x)f(x)f(x)f()f(x)f(x)f(x)f(x)()fxf(xa)f(x)f(xa)f(x)4教学资料（高中数学）祝同学们学习进步1man0,,n1mnN（a（anam1ma0,,1mnNnnman(a)a.nna；annna,a0当an|a.nna,a0araa(a0,r,sQ).srs(a)a(a0,r,sQ).rsrs(ab)ab(a0,b0,rQ).rrr若aplogNbaN(a0,a1,Nab.NN0a1m0m1N0(a,,maamnlogblogb01,011,N0n(aa,mnm,nmmaa若log(MN)logMlogN;aaaMNloglogMlogN;aaalogMnlogM(nR).naaf若f(x)(x)log(axbxc)(a0)b4f(x)R22a00;ma00a0R10b0x0xylog(bx)若a,,,aax11abab(0,)(,)bxlog()ax和上y上ya1a1(0,)(,)bxlog()ax和，aa设nm1p0a0a1，，log(np)logn（）.mpmmn2（）logmlognlog2.aaa5教学资料（高中数学）祝同学们学习进步N(1p).pyyxxnn1s,an(a}nsaaa1ss,n2nn12nnn1aa(nddnad(nNn)；*11nn(aa)(n1)snand1n22n1d1n(ad)n2.221aaaqq(nN)；nn11n*1qn(1)aqn,q11s1qnna,q11aaq,q11n1q或s.nna,q11a:aqad,ab(q0)nn11nb(nd,q1abqndbq()d,q1；n1nq1nnbn(nd,(q1)s1qn,(q1).ddb)n1qq11q)abb)nx元a元,nbb)1n（x(0,)sinxxtanx.2(0,)xx.12若x2|x||x1.6教学资料（高中数学）祝同学们学习进步sin1tan=，tancot1.22，cosn(sin,2nsin()2n1(cos,2n(1)2cos,cos()2n1(1)sin,2)sincos;)cossin;).1)sin()sinsin22)cos()cossin.22baasinbcossin()abtan(,)=ab22sin2sincos.2112222.2tantan.1tan2sin33sin4sin4sinsin()sin()3.334cos3cos4coscos()cos()3.3333)).1332；x)y)xyTx),yxkkZT.，2abc2R.sinAsinBsinCabcbcA;222bcacacosB;222cab2abC.2227教学资料（高中数学）祝同学们学习进步111Sahbhch（h、h、h2122abcabc11SabsinCbcsinAcasinB.2221S(|OA||OB|)OAOB).222()ABCCABCAB22C2(AB).2sinxaxk(1)arcsina(kZ,|a1).kcosxax2ka(kZ,|a1).xaxka(kZ,aR).sinsink(1)(kZ).kcos2(kkZ.)tan(kZ).xaax(2ka,2ka),kZ.xaax(2ka,2ka),kZ.cosxa(|a1)x(2arccosa,2karccosa),kZ.xaax(2a,2a),kZ.tanxa(aR)x(karctana,k),kZ.2tanxa(aR)x(k,karctana),kZ.2aae、e121，使得a=λe+λe．21e12212(x,y)(x,y)xyxy0，且ba.设a=11221221a与bb·ba与b在a8教学资料（高中数学）祝同学们学习进步(x,y)(x,y)(xx,yy)(xx,yy)..11221212(x,y)(x,y)11221212(x,y)(x,y)(xx,yy).A11222121(x,yR(x,y).(x,y)(x,y)(xxyy).11221212xxyycos(x,y)(x,y)=1212xyxy112221222221=|ABABAB(xx)(yy)dA,B(x,y)(x,y)2221211122(x,y)(x,y)，且b设a=1122xyxy0.1221aaxxyy0.1212(,)，PxyP设P(x,y)P(x,y)，P1211122212xxx121121yyy1211t（t112A(x,y)B(x,y)C(x,y),则△ABC的重心的坐标是△三个顶点的坐标分别为、、112233xxxyyyG(1,).3231233xxhxxh'''OPOPPP'.yykyyk'''(x',y')PP(h,k).'FFP'P(x,y)(h,k)P(xh,yk).'yf(x)C(h,k)C'C'yf(xh)k.按向量(h,k)yf(x),则C'平移后得到图象,若的解析式的函数解析式为图象CCC'yf(xh)k.C:f(x,y)0(h,k)C'C'f(xh,yk)0.(x,y)(h,k)(x,y).设O为ABC,B,Ca,b,c9教学资料（高中数学）祝同学们学习进步O为ABCO为ABCO为ABCO为ABC2OAOBOC.220..0.ABCA.O为的,bRab2a22aba,bRab2a3bcabc(a0,b0,c0).33(ab)(cd)(acbd),a,b,c,dR.22222ababab.x,ypxyxy2p；1xysxys2.4x,yR(xy)(xy)2xy22|xy||xy|当|xy||xy||xy||xy||xy|||当|xy|axbxc0(或0)(a0,b4ac0)ac22与2ca与2xxx(xx)(xx)0(xx)；121212xx,或xx(xx)(xx)0(xx).121212当a>0xax2a2axa.xaxaxa或xa.22f(x)0ff(x)g(x)()0gx.f(x)g(x)f(x)0f(x)0(x)0(x)g(x)()0gx或.gf(x)[g(x210教学资料（高中数学）祝同学们学习进步f(x)0f(x)g(x)()0gx.f(x)[g(x2a1af(x)af(x)g(x);g(x)f(x)0logf(x)logg(x)g(x)0.aaf(x)g(x)0a1af(x)af(x)g(x);g(x)f(x)0logf(x)logg(x)g(x)0aaf(x)g(x)yyk（P(x,y)、P(x,y).12xx11122221（yyyk(xx)lP(x,y)k．11在y111blyyxxyyP(x,y)P(x,y)xx、((11yyxx12111222122xy1211b、b0()abC0B若l:ykxbl:ykxb，111222①l||lkk,bb;121212②llkk1.1212若l:AxByC0l:AxByC0,且AAB、B,1212111ABC12222ll1①；1ABC112222②llAABB0；121212kk||.121kk21:ykxbl:ykxbkk1)(l，,11122212ABAB||.1122AABB1212:AxByC0l:AxByC0AABB0(l,,111122221212lll与l.1221211教学资料（高中数学）祝同学们学习进步l到l12kk.211kk21kk1)(l:ykxbl:ykxb，,11122212ABAB.1221AABB1212:AxByC0l:AxByC0AABB0(l,,111122221212lll到l.12122P(x,y)yyk(xx)xxk000000P(x,y)A(xx)B(yy)0,AB00000l:AxByC0l:AxByC0,11112222(AxByC)(AxByC)0l1112222ybkbC00(0C00|C|d点P(x,y)l：C000AB2002C00或l:C0C00或若B0BAxByC与lBAxByCl与.若B0AClACl与与..(AxByC)(AxByC)00或1C11222:(AxByC)(AxByC)0AABB0（1112221212(AxByC)(AxByC)00或111222(AxByC)(AxByC)0111222(AxByC)(AxByC)0111222(xa)(yb)r.222x2yDxEyF0DE4F2(22cosxar.ybrsin(xx)(xx)(yy)(yy)0A(x,y)B(x,y)、12121122A(x,y)B(x,y),1122(xx)(xx)(yy)(yy)[(xx)(yy)(yy)(xx)]01212112112(xx)(xx)(yy)(yy)(axbyc)0,其中c的方程,λ是待定的0121212教学资料（高中数学）祝同学们学习进步过直线l:C0与圆DxEyF(AxByC)0yDxEyF0xyDxEyF0CxyDxEyF0的交点的圆系方程是:22xx2y2过圆C:x2与圆C:的交点的圆系方程是22211112222yDxEyF(xy(xa)(yb)rDxEyF)02222111222点P(x,y)22200若d(ax)by)2200dr点Pdr点Pdr点PC0dr0;dr0;dr0.AaBbC(xa)(yb)r222d.A2B2Or，OOd121212drr;12drr;12rrdrr;1212drr条公切线;120drr.12yDxEyF0．x22(x,y)00D(xx)E(yy)xxyyF0.020200D(xx)E(yy)(x,y)xxyyF0当00220000yyk(xx)00ykykxbx2yr22．P(x,y)xxyyr;200000kxr1k2.ykxacosxy222ab.ybsinab2xy22aba2b213教学资料（高中数学）祝同学们学习进步a2a2e(x)，e(x).1c2cxy2x202y2022PP(x,y)ab1..00a2b2abxy2x2y2022(x,y)ab10200a2b2abxy2xxyy2abP(x,y)01.0a2b200ab22xy22abP(x,y)a2b200xxyy01.0a2b2xy22ab0CAaBbc22222.a2b2xy22aba2b2aa22|e(x)|，|e(x)|.1c2cxy2x202y2022PP(x,y)ab1..00a2b2abxy2x2y2022(x,y)ab10200a2b2abx2y102xy22bx.yab2a2b22axyx2y.2b0xyaba2ba2x22y221x22y0x02（abab2yxy2xxyy2a0,bP(x,y)01.0a2b200ab22xy22a0,bP(x,y)a2b200xxyy1.0a20b2xy22a0,b0AxByCAaBbc.22222a2b2y22px14教学资料（高中数学）祝同学们学习进步py2px(p0)CFx.220ppCDxxxxp.221212y2y22px.y22pxP(,)P(2pt2,2pt)或(x,y)y或P2pbb2ayca(x)(a的图象是抛物线：（1）顶点坐标为102.二次函数22ab4bb4b14b1222(,)(,2a)y.2a4a4a4ay22px(p0)y2px(p0).P(x,y)200(x,y)y22px(p0)y2px(p0).点P20P0(x,y)y22px(p0)y2px(p0).200y22px(p0)y2px(p0).点P(x,y)20P0(x,y)x22py(p0)x2py(p0).200点P(x,y)x22py(p0)x2py(p0).20点P0(x,y)x22py(p0)x2py(p0).200点P(x,y)x22py(p0)x2py(p0).200yy2px(p0)C0pB2AC.22pxP(x,y)yyp(xx).00002pxP(x,y)yy(xx).20000y22f(x,y)0f(x,y)0,12f(,y)f(,y)0(12x2kby2k1,其中kmax{a,b}kmin{a,b}2222a22min{a,b}kmax{a,b}当2222AB(xx)(yy)或221212ABk)(xx)|xx|1tan|yy|1co2AxyBxyt(,(,)2222112121122ykxb200kyc，,F(x,y)0F(x,y)0PxyFxxyy(,)(2-,2)0.0000F(x,y)0AxByC02(AxByC)AB2B(AxByC)ABF(x,y)0.2222xyxyAxBxyCyDxEyF0xx0代2xyy代y0代，02220215教学资料（高中数学）祝同学们学习进步xxyy用代x代y0022xyxyxxyyAxxBCyyDEF0000022200（（（（（.（（（.（（（.（（（（.（（（（（.（（.0，bλ．B||tOP(1t)OAtOB.||AB、ABCD、、且ABCD,xyp．pPx,yMPxMAyMB，OPOMxMAyMB.x,yOOPxOAyOBzOCxyzkk1（16教学资料（高中数学）祝同学们学习进步Ok1O若O、C、DADxAByAC、AC与OD(1xy)OAxOByOC（O设O、A、B、Cx，y，z，使OPxOAyOBzOC.AB=al是llAlABlB，''则AB|AB|cos''(a,a,a)(b,b,b)则设＝123123(ab,ab,ab)；；112233(ab,ab,ab)112233(a,a,a)＝123ababab；112233(x,y,z)(x,y,z)A111222=(xx,yy,zz).212121设a(x,y,z)b(x,y,z)，111222xx12(yyababb；12zz12abab0xxyyzz0.121212(a,a,a)(b,b,b)设＝123123ababab.112233aaabbb212222223312(ababab)(aaa)(bbb)2212223212223112233ABCDAC与BD所成的角为|()()|2222.2|a,b||ab||a||b||xxyyzz|=121212x21y21z21x2y2z222217教学资料（高中数学）祝同学们学习进步090b,bab（ABmarcsin(m|AB||m|ABC,ACBC、1、,AB为ABC2sinsin(sinAsinB)sin22222.12sinsinsin.22212130.若ABC,ACBC、,另两边AB1Btantan(sinAsinB)tan.,A为ABO''2222'2'212sinsinsin.22212larccosmn或arccosmn（m，n，.|m||n||m||n|设与与，12coscoscos与.12,21sinsinsinsin2sinsincos;22221212|180)(当且仅当1212(x,y,z)(x,y,z)若A111222=|ABABAB(xx)(yy)(zz).d222A,B212121lQh1a||b|)(ab)PllPQ22|a||CDn|d(l，,lnDl,l1dl,l为|n|12212点B|ABn|d）.（nA|n|dhmncos.222dhmn2mncosEA,AF.222'18教学资料（高中数学）祝同学们学习进步dhmn2mncos（EAAF222''(a、bAAa、bE、F，AEm,AFn,EFd'(abc)a2b2|a||b|a,b2|b||c|,c2|c||a|c,a、l、l2c22abbcca2a2b2c2、、,则ll123123有1sinsinsin2.l2l21l2l232222222123123S'cos.S、'SSS和Vc和S,l斜棱柱侧斜棱柱11则①S②Vcl.斜棱柱侧1Sl.斜棱柱1VFE2E（1）nFEE1EnF；21mVmVEE.24VR3,3S4R．2,,66aaa.419教学资料（高中数学）祝同学们学习进步1VSh（Sh31VSh（Sh锥体3Nmmm.1）2nNmmm.12nn！A=n(n(nm=n，m*mnm(nm！n1.Amn(nm1)Am1;nnAmnA;mn1nmAmnnAm1n1;nAnnAAn1n1;nnAmAmAm1.mn1nn1!233!nn!(n1)!1.(n(nm！(nm！AnmC=m==*(n，mNmnnAm12mnmC=Cm;nmnnmmC+Cm1=C.nnn11Cn0.nm1CmnC;m1mnnCmnCm;nmn1nCmnCm;m1n1n2Crn=n;r0CrrCCCCr1n1.rrrr1r2nCCC0CCCC212.rnnnnnnnCCCCC2135024n1.nnnnnn2CCnCn2123nn1.nnnn20教学资料（高中数学）祝同学们学习进步CCr0CCCCCr110r.rrmnmnmnmn(C)(C)(C)(C)C0212222.nn2nnnnnAC.mmnnnm.（AAAAm1Amm1n11m1n1n1n1nAAA1m1m1n1.mn1（k(kmn)AA种.kmknkknkAnkA1knk1k、hkh1kAA种.hkh1h（mnAn当nm1nm1Cn.m1Annm1（mnCn.mn（1）()m、nmn(mnNCCnCnCC.nn2nn(!)mmnnmn2nn（）mnm·CCnCnCC(mnnn2nnNn!(!)m.n2n!P(P=n+n++n)m（1到n，n，…，n件，且n，n，…，n这m个数彼此不相等，则其分配方法数共有2m12m12m!!NCCC!.npnn12mnnn!!...!p1nm12mP(P=n+n++n)m（12mn，nnn，nn这m、、12m12mCCC!p!m!nnn12mNn.ppn1mn!nnab!c12mP(P=n+n++n)n，nn（5）12m12m!的mn，nn这mN.!nn!12mn12mP(P=n+n++n)n，nn（）非完全平均分组无归属问题12m12m记号的m堆，且n，n，…，n这m个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有12m21教学资料（高中数学）祝同学们学习进步!n!nn!(!N.12m（pn+n++nm（p12nnnn，nn等mm12312m!!!nnnNCCC.nnpnn12mpn1m12m信nn1111f(n)n![(1)]n.2!3!4!n!:nnmf(n,m)nC(n1)!C(nC(n3)!C(n4)!1234mmmm(1)C(np(1)C(nm)!ppmmmmCCCC1CpmApCmmAm234n(1)(m].m1mm2m4pAAAAn2nnnnnx+x++xm12nx+x++xmn,mNC（个.n112nm1x+x++xmn,mN（C.n112nnm1方程x+x++xmn,mN（）xkkN2in1(,)的非负12niCn1个.(n2)(k1)m1x+x++xmn,mNxkkN2in1i方程（）满足条件(,)的正整数解有12nCCCCC(1)CC个.n11n12n1n2n2n1nm1n2mnk2n2mn2k3n2m(n2)k(ab)CaCabCabCabCb0n1n12n22rnrrnn;nnnnnnTCab(r2，n).rnrrr1nmP().nn12n12n·AA12n12nkP(k)CP(1P).kknknn22教学资料（高中数学）祝同学们学习进步P0(i1,2,);iPP1.12xPxPxP1122nnE(b)aE)b.(,)np.～Bnp1若Pkg(k,p)qp)Ek1.p1pxEDxEpxEp222122nn=.；DabaD2(,)npp)～Bnp.q若P)(,)kgkpqpD.(3)k1p2.DEE2221fxxe,x（,2622612fx,x,e.2x26N(,2)xxFx.PxxxPxxPxx10221FxFx21xx21.nnxxyyxynxyiiiii1i1yab.nnxxxnx222iii1i1aybx23教学资料（高中数学）祝同学们学习进步nnxxyyxxyyiiiir.i1i1nnnn(xx)(yy)(xnx)(yny)222222iiiii1i1i1i10|q1limq1q1.nn|q或q10(kt)ananakakk1lim(kt).k10tbnbnbbtt1ntt10k不存在(kt)a1qanSlim1Sn1(|q1.aq1（1q1q1nlimf(x)alimf(x)limf(x)a.x0xxx00，，x0（）g(x)f(x)h(x);（）limg(x)a,limh(x)a,x0limf(x)ax0x0则.x.1lim0lim0|a1a（）（），（nnnn11limxx，.0xxx0x00limsinx1；（）xx01xlim1e…（）xxlimf(x)alimg(x)b若，x0xx0fxgxab；x0fxgxab;x0fxab0.limgxbx024教学资料（高中数学）祝同学们学习进步若limaa,limbbnnnnlimabab；nnnlimabab；nnnaab0nbbnnlimcalimclimaca(cnnnfnn(x)在x0limylimxf(xx)f(x)()fxy.00x0x0x0x0sstt)st)tt0st)limlim..tt0vvtt)vt)tt0avt(x)(a,b)()limlimtt0f在dydf()limylimf(xx)f(x)xx0fxy.dxdxf(x)xx0yx0f(x)yf(x)(,())()yx在Pxfxfx0000yf(x)(xx)是y.000C0(x)nx(nQ).'n1nxx.xx.11(lnx(logalog；.xexxa(ee(aalna.;xxxx(uv)uv.'''(uv)uvuv'''.uu'vuv'()(v.'vv2(x)uxu(x)yfu)Uyfu()x''''xuyf((xxyyuf(x))fu(()x.''''''xuxxx111x1x1x1x;；n2n25教学资料（高中数学）祝同学们学习进步1(1x)1xR)；1x；1xex1x；lx)x；nsinxxx（xxx（xxx（f(x)0xf(x)0xfx()0()0()fxfx0xfx0()0()0()fxfx00acac,bda,b,c,dR）zabi|z||a|ab.==22(abi)(cdi)(ac)(bdi;(abi)(cdi)(ac)(bd)i;(abi)(cdi)(bd)(ad)i;acbdbcad(abi)(cdi)i(cdi0).c2d2c2d2z,z,zC.123zzzz1221(zz)zz(zz).123123z(zz)zzzz.1231213d|zz(xx)(yy)（zxyi，zxyi22122121111222zabizcdi，，1122zzz|zz||z||z|22221212z12121|zz||z||z||zz|zz|0zizacbd2221212121212c0，2bb42b24ac0x;2abb40xx③若2;2a12b40C，它在实数集R内没有实数根；在复数集内有且仅有两个共轭复数根2bb4aci2xb4ac0).22a26教学资料（高中数学）祝同学们学习进步高中数学知识点总结如：集合Ax|ylgx，By|ylgx，C(x,y)|ylgx，A、B、C进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集如：集合Ax|x2x30，Bx|ax12若B，则实数的值构成的集合为1，0，）3（）集合a，a，……，a的所有子集的个数是2；n12n（2）若ABAB，AB；CCCCCCABABAB，ABUUUUUU27教学资料（高中数学）祝同学们学习进步如：已知关于x的不等式x2aax50的解集为M，若3且5M，求实数aa·353M02a53a，9，25）a·55∵52a05.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”()，“且”()和“非”().ppABBx4xy2x3（答：0，22，3，4）如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定。（答：，a）如：fx1exx，求f(x).令tx，则t028教学资料（高中数学）祝同学们学习进步∴xt21f(t)e2t1t12∴f(x)e2x1x0x12、x01xx0f(x)x2x1x1（答：f(x)）1xx0＝x③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf(b)a1ff(a)f(b)ff(b)f(a)b111（yf(u)，u(x)，则yf(x)（外层）（内层）当内、外层函数单调性相同时f(x)为增函数，否则f(x)为减函数。）如：求ylogx2x的单调区间212（设ux2x，由u0则0x222且logu，ux1，如图：12uO12x29教学资料（高中数学）祝同学们学习进步当x(0时，u，又logu，∴y12当x，2)时，u，又logu，∴y12bf'(x)0f(x)f'(x)0a0f(x)x3在，0）123aaf'(x)2axx033aa则x或x33a由已知f(x)，)3，即a3a）若f(x)f(x)f(x)若f(x)f(x)f(x)函数图象关于y（2）若是奇函数且定义域中有原点，则0。a·2a2x如：若f(x)为奇函数，则实数a21x（∵f(x)为奇函数，x0，∴f(0)0a·2a20即0，∴a）20130祝同学们学习进步2x，2x（令x，0x01，f(x)2x2xxx）xTfxaf(x)（答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)又如：若f(x)图象有两条对称轴xa，xbf(x)f(x)轴教学资料（高中数学）祝同学们学习进步f(x)与f(x)轴f(x)与f(x)f(x)与f(x)的图象关于直线yx对称1f(x)f(2ax)xaf(x)与f(2ax)点(a，yf(xa)左移a(a个单位将yf(x)图象yf(xa)右移a(a个单位yf(xa)byf(xa)b上移b(b个单位下移b(b个单位f(x)f(x)f(x)f(|x|)如：f(x)logx12yx1yx122yxO1xyOx32教学资料（高中数学）祝同学们学习进步（）一次函数：ykxbk0kkk0是中心O'(a，b)（2）反比例函数：yk0推广为ybxxab4acb22（）二次函数yaxbxca0ax图象为抛物线22a4ab4acb2，对称轴xb顶点坐标为，2a4a2a4acb2开口方向：a0，向上，函数y4a4acb2a0，向下，y4aaxbxc0，0时，两根x、x为二次函数yaxbxc的图象与x轴2212的两个交点，也是二次不等式axbxc0(0)解集的端点值。20b如：二次方程ax2bxc0的两根都大于kk2af(k)0yOxkkf(k)0（4yaa0a1xyxa0a1a33教学资料（高中数学）祝同学们学习进步yx1axk（6）“对勾函数”yxk0xyOkxa1(aa1(a0pap1mmnaa(aa(anmnnam对数运算：NMNM0N0aaaMN1loglogMlog，logMlogMnnaaaaa对数恒等式：alogaxxbnbbbcnammaaac）x，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)（先令xy0f(0)0再令yx34教学资料（高中数学）祝同学们学习进步（2）x，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)（先令xytf(t)(t)f(t·t)f(t)f(t)f(t)f(t)∴f(t)f(t)（）证明单调性：f(x)fxxx……2212（）y2x3134x2x4（2yx3（）x，y2x2x3（4）yx49x2设x3cos，0，9（y4xx(0xR11（l，SlR·R）2扇22R1ORsin，，tan35祝同学们学习进步yBSTPαAxOM8又如：求函数y12cosx的定义域和值域。44教学资料（高中数学）祝同学们学习进步yytgxxO22k，0，kZ2ysinx的增区间为2k，2kkZ22减区间为2k，2kkZ22k，0xkkZ2ycosx的增区间为2k，2kkZ减区间为2k，2k2kZ图象的对称点为k，0，对称轴为xkkZ22yxk，kkZ2y=x+或yAx）振幅|A|，周期T2||若fxA，则xx为对称轴。00fx0x，000（2）五点作图：令x依次为0，，，，2，求出x与y，依点22（37祝同学们学习进步（）根据图象求解析式。（求、、1如图列出22yAx，T||2，求x值。6227x，∴x，∴x）6364121326）点（xy）P'x'，y'），则平移至44教学资料（高中数学）祝同学们学习进步42sinx1y2sinx1y2sinx41倍2ysinx）1sincossectantan·cotcos·sectan22224sincos0的代换。2“k·”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，2k9764又如：函数ysintan，则y的值为coscotsinsin2sincos1coscos（y0，∵0）cossin12cossin令22令2222112sin221·1222tan2122tan21tan22basinbcosabsin，tan22a2439教学资料（高中数学）祝同学们学习进步323，222sincos2，tan，求tan2的值。如：已知1cos23sincoscos12（由已知得：，∴tan2sin2sin22又tan3211tan·tantantan1）83221∴tan2tan1·32bca222余弦定理：abc2bccosAA2222bca2RsinAabc2Rb2RsinBsinAsinBsinCc2RsinC1SbsinC2∵ABC，∴ABCABC∴sinABsinC，sincos22AB如中，2sin2cos2C12）求角；c2（2）若ab2A2B22240教学资料（高中数学）祝同学们学习进步（（）由已知式得：1cosAB2cos2C11又AB22CC101∴cosC或cosC（舍）2又0C，∴C31（2）由正弦定理及abc得：222232sinA2sinBsinCsin222234341cos2A1cos2B3∴cos2Acos2B）4x，，x122反余弦：0x1x，，xR22c0c0）ab，（2）abcdacbd（）ab0，cd01111（4ab0ab0abab（）ab0ab，abnnnn（6）|x|aa0axa，|x|axa或xa11如：若0，则下列结论不正确的是（）abA.ababb222ab2ba|a||b||a41教学资料（高中数学）祝同学们学习进步Cab2ab2aba，bR；ab2ab；ab求最值时，你是否注222意到“a，bR”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(ab)其中之一为定a2b2abab2aba，bRab22当且仅当aabcbR222当且仅当abab0m0，n0bbmana1aambnb4如：若x0，2的最大值为x4x（设y2222434233，又x0，∴x时，y24）xmax又如：x2y，则24的最小值为xy（∵222222，∴最小值为22）x2yx2y1111…2231n2221112311n21111223n1n2242祝同学们学习进步11111223111nf(x)aa0x23如：x1x1x2012会用不等式|a|||a|a||b|2|f(x)f(a)||(xx(aa22教学资料（高中数学）如：af(x)af(x)af(x)af(x)af(x)af(x)祝同学们学习进步x3x2（设ux3x2，它表示数轴上到两定点2和距离之和u32，∴5a，即a5x3x2x3x2a）定义：aad(d为常数)，aan1dn1nn1等差中项：x，A，y成等差数列2Axyaannn1前n项和Sd1n22n1性质：a是等差数列nmnpaaaa；mnpq（2）数列a，a，kab仍为等差数列；2n12nnS，SS，SS……仍为等差数列；n2nn3n2n（）若三个数成等差数列，可设为ad，a，ad；aS（4）若a，b是等差数列S，T为前n；m2m12m1bTnnnnm（）a为等差数列Sanbn（a，b为常数，是关于n的常数项为2nn0S的最值可求二次函数Sanbn的最值；或者求出a中的正、负分界2nnna0当a0，d0，解不等式组可得S达到最大值时的n值。na01nn144教学资料（高中数学）祝同学们学习进步a0当a0，d0，由可得S达到最小值时的n值。na01nn1如：等差数列a，S18，aaa，S，则nnnnn1n23（由aaa33，∴a1nn1n2n1n1aa13又S·3，∴a13232211naanaa·n3∴S1n2n1222nn27）aqq为常数，q0aaqn1n1an1nGG2na(q1前n项和：Sa1q（要注意!）nn1(q1q性质：a是等比数列nmnpaaaamnpq（2）S，SS，SS……仍为等比数列n2nn3n2n45.由S求a时应注意什么？nn（n时，aS，n2时，aSS）11nnn1111如：a满足aa……a2n5122122n12n2nn时，a21，∴a14211111n2时，aa……a2n15222n112n1245教学资料（高中数学）祝同学们学习进步112得：a22nn∴a2n1n14(n∴a2n1(n2)n5数列aSSa，a4，求a3nnn1n11nS（注意到aSS4n1Sn1n1nn又S4，∴S是等比数列，S4n1nnn2时，aSS……·4n1nnn1anaa，an1an1n1nnaaaa12n1a1n·3·21nnaa23na2n113naa1n由aaf(n)，aa，求a，用迭加法nn110nn2aaf(2)21aaf两边相加，得：32…………aaf(n)nn1aaf(2)f(3)……f(n)n1∴aaf(2)f(3)……f(n)n0n2，求a数列a，a，a3an1n1nn1n1（a31）n2n46教学资料（高中数学）祝同学们学习进步acadcd为常数，c0，c，d0nn1可转化为等比数列，设axcaxnn1acac1xnn1d令(cd，∴xc1dd∴a是首项为a，cc1c1n1ddc∴aacn1c1n1ddaacn1cc1n1数列a满足a9，a4，求an1n1nn4n13（a8）n2a例如：aa，求ana21n1nn1a211na2a2an1nn111∴aa2n1n1112为等差数列，，公差为aan11111n1·n1a22n2ann1n47教学资料（高中数学）祝同学们学习进步1na是公差为daank1kk111111d0由ak1a·aaaddakk1kkk1111nn∴adaaak1kk1k1kk11111111……daaaaaa1223nn1111daa1n1111112123123n1（a…………，S2）n1nn若a为等差数列，b为等比数列，求数列ab（差比数列）前n项nnnn和，可由SqS求S，其中q为b的公比。nnnn如：S12x4x……nx123n1nx·Sx2x4x……n1xnx2234n1nn12：1xS1xx……xnx2n1nn1xnnxnxS21xn1xnn1x时，S123nn2Saaaan12n1nSaaaannn1212Saaaa……aa……n1n2n11n48教学资料（高中数学）祝同学们学习进步x2121314已知f(x)，则ff(2)ffff(4)f1x21x21x2x21（由f(x)f1x1x1x1x1x2222111123∴原式ff(2)ffff(4)f4111113）22pnnn1Sp1rp12r……p1nrpnr……等差问题n2pnxn1n2x1r……x1rxr)x1rnnn11r1r1xx11rrn1rxn1r1（）分类计数原理：Nmm……m12n（m为各类办法中的方法数）i分步计数原理：Nm·m……m12n（m为各步骤中的方法数）i（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A.mn49祝同学们学习进步n!Ann1n2nm1mn（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不mnn……nmAACC，CCC，CC……C2ni1234）1234nn2rnnnrC为二项式系数（区别于该项的系数）50教学资料（高中数学）祝同学们学习进步r0，2，……，n）对称性：CCrnnrn（2）系数和：CC…C20n1nnnnCCC…CCC…21n3n5n0n2n4nn1n＋1nn1项，二项式系数为C；n为奇数时，(n为偶数，中间两项的二项式2n2n1n1n1n1CC22n22n11如：在二项式x1的展开式中，系数最小的项系数为（用数字1212项，中间两项系数的绝对值最大，且为第6或第7项2由Cx(，∴取r即第6项系数为负值为最小：rrrCC426652004又如：12xxR，则aaxax……ax220040122004aaaaaa……aa（用数字作答）01020302004（令x0，得：a10令x，得：aa……a1022003112004）∴原式aa……a0012004（）必然事件，P)，不可能事件，P()0（2）包含关系：A