福建省龙岩市一级校2024-2025学年高二下学期4月期中联考 数学试题（含答案）

龙岩市一级校联盟2024—2025学年第二学期半期考联考高二数学试题（考试时间：120分钟总分：150分）注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设函数满足，则（）A．1 B．2 C． D．32．已知，，不共面，若，，且A，B，C三点共线，则（）A． B．1 C．2 D．33．下列导数运算正确的是（）A． B．C． D．4．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则l与所成的角为（）A． B． C．或 D．或5．某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件A表示“甲获得冠军”，事件B表示“比赛进行了三局”，则（）A． B． C． D．6．给出下列四个图象：函数的大致图像可以是（）A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④7．给定事件A，B，C，且，现有下列结论：①若，且A，B互斥，则A，B不可能相互独立；②若，则A，B，C两两独立；③若，则A，B相互独立；④若，则A，B互为对立事件．其中正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个8．若，，，则（）A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若函数在上单调递减，则实数a的值可能为（）A． B． C．3 D．410．已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，，则下列说法正确的是（）A．若，且，，则B．若，且，，则C．若，，则D．若，，，则11．在棱长为1的正方体中，下列说法正确的是（）A．若动点M是内部一点（含边界，除点外），则对任意M，都有平面B．若P，Q分别为，的中点，则平面BPQ截该正方体所得的截面周长为C．若动点M满足，则的最小值是D．若动点M在AC上，点N在上，则的最小值为第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．若随机事件A，B相互独立，，，则__________．13．如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为__________．14．已知且，若函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是__________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PA，CD的中点．（1）证明：平面PBF．（2）若，，求直线PD与平面PBF所成角的正弦值．16．（本题满分15分）已知函数，．（1）若曲线在处的切线与直线相互垂直，求m的值；（2）若，求的极值．17．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，侧面底面ABCD，，，且E，F分别为PC，CD的中点．（1）证明：．（2）若直线PF与平面PAB所成的角为，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．18．（本题满分17分）甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则如下：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后总分累计多的人获胜．假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙每题答题正确的概率分别为和．（1）求甲在一轮比赛中获得1分的概率；（2）求甲在每轮比赛中获胜的概率；（3）求甲前三轮累计得分恰为6分的概率．19．（本题满分17分）已知定义在区间D上的函数，，若，，存在一个正实数M，满足，则称是的“M—陪伴函数”．（1）已知，判断函数是否为函数的“M—陪伴函数”，并说明理由；若是，求M的最小值．（2）证明：在同一给定闭区间上的函数是函数的“M—陪伴函数”．（3）已知，若函数是函数的“3—陪伴函数”，求实数m的取值范围．龙岩市一级校联盟2024－2025学年第二学期半期考联考高二数学参考答案题号1234567891011答案DADBCDCDBCDACDBCD12．0.58 13． 14．11．【详解】对于选项A，当M运动到B点时，易知不垂直于，所以不垂直于平面，故A错误．对于选项B，如图，作直线PQ分别与直线，CD交于点S，T，连接BS交于点E，達接BT交AD于点F，连接QF，PE，则五边形BEPQF即截面．由题意得为等腰直角三角形，，由，得，则，，所以，，同理可得，．因为P，Q分别为，的中点，所以，则截面周长为，故B正确．对于选项C，由，得平面上点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，空间中点M的轨迹是球面，球心O在直线AC上，，半径R为，所以的最小值为，故C正确．对于选项D，的最小值即异面直线AC和的距离，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（图略）．设为直线AC和的法向量，又因为，，，则令，则，所以异面直线AC种的距离为，即的最小值为，故D正确．故选BCD．14．【详解】略15．【详解】（1）如图，取PB的中点G，连接EG，GF．，G分别是PA，PB的中点，，且．，且，，四边形EGFD为平行四边形，．又平面PBF，平面PBF，平面PBF．（2）以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，．设平面PBF的法向量为，则取，则，则，直线PD与平面PBF所成角的正弦值为．16．【详解】（1），则．则，依题意得，所以．（2）当时，的定义域为，则，当时，，当时，，因此在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小，无极大值．17．【详解】（1）如图，取PB的中点M，连接AM，EM．因为E为PC的中点，所以，．又因为，，所以，，所以四边形ADEM为平行四边形，则．因为，，所以．因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAB．又平面PAB，所以，又，所以．（2）由（1）知平面PAB．取AB的中点G，连接FG，PG，则，所以平面PAB，所以PF与平面PAB所成的角为，即．又因为，所以．又因为，所以．以G为坐标原点，GB，