(新高考)高考数学二轮复习核心考点重难点练习04《五种平面向量数学思想》(解析版)

重难点04五种平面向量数学思想题型一：函数与方程思想一、单选题1．（2022·浙江·高三专题练习）已知在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0位于线段SKIPIF1<0上，当SKIPIF1<0取得最小值时，向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由已知得SKIPIF1<0，再由向量数量积的定义表示SKIPIF1<0，根据二次函数的性质求得其最值，再由向量夹角公式可得选项.【详解】因为在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，因此在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0所以向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角的余弦值为SKIPIF1<0，故选：C.【点睛】关键点点睛：根据已知向量建立关于向量的模SKIPIF1<0的二次函数，利用二次函数确定取得最值时，SKIPIF1<0的值.2．（2020·陕西省洛南中学高三阶段练习（文））已知向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的坐标为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】设SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，由向量垂直的坐标表示和向量的模的计算求得选项.【详解】设SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，又向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故选：C.【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示和向量的模的坐标运算，属于基础题.3．（2020·广东珠海·高三阶段练习）已知P是边长为1的正方形ABCD边上或正方形内的一点，则SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】构建A为原点，AB为x轴，AD为y轴的直角坐标系用坐标表示各顶点，设SKIPIF1<0则可用坐标表示SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0是两个相互独立的变量，即可将代数式中含SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的部分分别作为独立函数求最大值，它们的和即为SKIPIF1<0的最大值【详解】构建以A为原点，AB为x轴，AD为y轴的直角坐标系，如下图示：由正方形ABCD边长为1，知：SKIPIF1<0，若令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0或SKIPIF1<0有最大值为0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0有最大值为1；∴SKIPIF1<0的最大值为1故选：C【点睛】本题考查了利用坐标表示向量数量积求最值，首先构建直角坐标系将目标向量用坐标表示，根据数量积的坐标公式得到函数式，进而求最大值4．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对角线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上一点，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】以SKIPIF1<0的中点为坐标原点，以SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，以SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，建立如图所示的直角坐标系，求出直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的解析式，再利用二次函数求出函数的最小值即得解.【详解】如图所示，以SKIPIF1<0的中点为坐标原点，以SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，以SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，建立如图所示的直角坐标系，则SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取到最小值SKIPIF1<0.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，考查函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，解决本题的关键是联想到建立坐标系利用坐标来研究.5．（2020·全国·高三（文））已知向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解．【详解】因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．二、多选题6．（2020·广东·高三专题练习）已知不共线的两个单位向量SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，则符合上述条件的SKIPIF1<0值可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AB【分析】向量夹角为锐角时，数量积应大于0，从而求得参数.【详解】因为向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，观察各选项可知符合条件的SKIPIF1<0值可以是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：AB．三、双空题7．（2020·全国·高三专题练习（文））已知向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_______，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影等于_______.【答案】

SKIPIF1<0

1【解析】根据条件可求得SKIPIF1<0,进行数量积的运算,便可由SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0,解该方程即可求得SKIPIF1<0的值;

根据投影的计算公式即可得出SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影.【详解】根据条件,SKIPIF1<0;

SKIPIF1<0;

SKIPIF1<0;

解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去);

(2)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0；1.【点睛】本题考查向量的数量积运算，关键在于准确地运用相应的公式，理解向量数量积的含义，属于基础题.8．（2019·浙江杭州·高三阶段练习）若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为________，最大值为________．【答案】

12

SKIPIF1<0【分析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，根据向量的运算，得到所以SKIPIF1<0，结合三角函数的性质，即可求解．【详解】由题意，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值为12，最大值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【点睛】本题主要考查了平面向量的模、基本不等式的应用，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查逻辑推理、数学运算能力．四、填空题9．（2022·浙江·高三专题练习）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最小值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_____.【答案】SKIPIF1<0【解析】利用向量的减法运算和数量积，并借助余弦定理，化简SKIPIF1<0，可得到SKIPIF1<0，化简SKIPIF1<0，并利用二次函数求最值，求出SKIPIF1<0的最小值，且使最小值等于SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，进而得出SKIPIF1<0，最后利用余弦定理即可得解.【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【点睛】本题考查了向量的减法运算和数量积，余弦定理以及二次函数求最值问题，考查学生的运算求解能力，属于综合题，难度较大.利用向量的减法运算和数量积，并借助余弦定理，化简SKIPIF1<0，得出三角形三边的关系是解题的关键.10．（2020·浙江·高三专题练习）如图，已知正方形SKIPIF1<0，点E，F分别为线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点，且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0（x，SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0的最大值为______.【答案】SKIPIF1<0【解析】设边长为1，SKIPIF1<0，建立直角坐标系，求得SKIPIF1<0的坐标，根据题设用SKIPIF1<0表示出SKIPIF1<0，再利用函数的性质，即可求解．【详解】建立如图所示的直角坐标系，并设边长为1，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时取等号，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，向量的坐标运算，以及利用基本不等式求最值的应用，其中解答中将平面向量问题坐标化，通过数形结合求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力．11．（2020·江苏·高三专题练习）如图，在平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】根据题意要求SKIPIF1<0的值，则要求出SKIPIF1<0中SKIPIF1<0的值，故考虑以点SKIPIF1<0为原点，建立直角坐标系，然后按照两向量相等，则对应坐标相等，进而可求解.【详解】解:如图建立直角坐标系：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由题知SKIPIF1<0，是等腰三角形.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【点睛】本题考查向量的线性运算，当直接运用向量的三角形法则与平行四边形法则较困难时，可借助坐标，转化成两向量相等，则对应坐标相等，进而通过方程思想来求解.题型二：数形结合思想一、单选题1．（2022·四川眉山·三模（理））下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.根据物理学知识得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．28m B．20m C．31m D．22m【答案】D【分析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则可得SKIPIF1<0，可求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，则由已知可得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，再结合已知的数据可求得结果【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故选：D2．（2021·河南省杞县高中高三阶段练习（理））若点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面内一点，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】在平面内取点D，使得SKIPIF1<0，进而得到SKIPIF1<0及SKIPIF1<0间的关系，进而求得各三角形面积的比例.【详解】在平面内取点D，使得SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0.如图所示：设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.于是SKIPIF1<0.故选：A.二、多选题3．（2022·全国·高三专题练习）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形SKIPIF1<0.其中黑色阴影区域在SKIPIF1<0轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:其中所有正确结论的序号是（

）A．在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是SKIPIF1<0；B．当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与白色部分有公共点；C．黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0；D．若点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0的直径，线段SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0所有过点SKIPIF1<0的弦中最短的弦，则SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0.【答案】ACD【分析】根据几何概型的概率公式可判断A的正误；计算直线与圆的位置关系以及数形结合可判断B的正误；利用点到直线的距离公式以及数形结合可判断C的正误；求出点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可判断D的正误.【详解】对于A，设黑色部分区域的面积为SKIPIF1<0，整个圆的面积为SKIPIF1<0，由对称性可知，SKIPIF1<0，所以，在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率为SKIPIF1<0，故A正确；对于B，当SKIPIF1<0时，直线的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，下方白色小圆的方程为SKIPIF1<0，圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，如下图所示：由图可知，直线SKIPIF1<0与与白色部分无公共点，故B错误；对于C，黑色阴影部分小圆的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，如下图所示：当直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切时，SKIPIF1<0取得最大值，且圆SKIPIF1<0的圆心坐标为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由图可知，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故C正确；对于D，由于SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0中过点SKIPIF1<0的直径，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的两个交点，可设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0轴时，SKIPIF1<0取最小值，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，可设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正确.故选：ACD4．（2021·河北·石家庄一中高三阶段练习）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中SKIPIF1<0，则下列结论正确的有（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用结合图像求出结果，逐一分析各个选项即可得出答案.【详解】解：图2中的正八边形SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，对于ASKIPIF1<0，故A正确；对于BSKIPIF1<0，故B正确；对于C：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C错误；对于D：因为SKIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量即为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0向量上的投影向量SKIPIF1<0，故D正确．故选：ABD．5．（2022·全国·高三专题练习）已知四边形SKIPIF1<0和四边形SKIPIF1<0为正方形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】如图建立平面直角坐标系，用坐标表示出点和向量，求出两个正方形的边长，再利用向量的坐标计算即可【详解】如图建立平面直角坐标系，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，对于A，SKIPIF1<0，所以A正确，对于B，SKIPIF1<0，所以B错误，对于C，SKIPIF1<0，所以C正确，对于D，SKIPIF1<0，所以D正确，故选：ACD6．（2022·山东·高三开学考试）在△SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，且ABAB⋅ACAC=12，则△SKIPIF1<0为等边三角形【答案】ACD【分析】A由正弦定理及等比的性质可说明；B令SKIPIF1<0可得反例；C由和角正弦公式及三角形内角和的性质有SKIPIF1<0，由正弦定理即可证；D若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△SKIPIF1<0的形状.【详解】A：由SKIPIF1<0，根据等比的性质有SKIPIF1<0，正确；B：当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，错误；C：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由正弦定理易得SKIPIF1<0，正确；D：如下图，SKIPIF1<0是单位向量，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，易知△SKIPIF1<0为等边三角形，正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：D选项，注意应用向量在几何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义判断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状.三、填空题7．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知单位向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0满足方程SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为___________.【答案】2【分析】首先需要将向量用坐标表示，通过题中的已知条件，可以得出向量SKIPIF1<0的运动轨迹，根据已知条件SKIPIF1<0可以推断出SKIPIF1<0三点共线，作出图像，结合图像进行求解.【详解】设SKIPIF1<0，因为向量SKIPIF1<0满足方程SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，同理可得，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0得运动轨迹为SKIPIF1<0，如图所示：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0三点共线，据图可以看出，当且仅当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值最小为SKIPIF1<0.故答案为：2.8．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知平面向量SKIPIF1<0（互不相等），SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．【答案】5【分析】构图，设SKIPIF1<0，根据题设条件SKIPIF1<0可以判定SKIPIF1<0三点共线，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆E上，运用数量积的几何意义即可求解【详解】如图，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0共线，即SKIPIF1<0三点共线；且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆E上．所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，过E作SKIPIF1<0于H，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．9．（2022·浙江·慈溪中学模拟预测）已知平面向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据题意作出图形，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，再根据题意得点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的角平分线的交点，得到SKIPIF1<0，进而得到SKIPIF1<0，求解计算即可.【详解】如下图所示，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，又由于SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线，因此点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的角平分线的交点.根据角平分线的性质可SKIPIF1<0.过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因此点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，半径为2的圆上运动由于SKIPIF1<0，由此当直线SKIPIF1<0相切于SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值，SKIPIF1<0有最小值.设此时切点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.综合上述，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【点睛】与平面向量有关的最值问题，常见处理方法有两种：第一种：利用坐标进行转化；第二种：利用点的几何意义转化成轨迹问题求解.10．（2022·湖南·长郡中学一模）在边长为3的正方形ABCD中，以点A为圆心作单位圆，分别交AB，AD于E，F两点，点P是SKIPIF1<0上一点，则SKIPIF1<0的取值范围为__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】建立直角坐标系，设出各个点以及点SKIPIF1<0的坐标，根据向量的坐标表示，再利用三角函数求值域的方法得出SKIPIF1<0的取值范围.【详解】根据题意画出图形，并建立平面直角坐标系，如图：由题意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．11．（2022·四川达州·二模（理））如图，在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，利用勾股定理可构造方程求得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的长；以SKIPIF1<0为坐标原点建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算可计算得到结果.【详解】作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分别为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0正方向为SKIPIF1<0轴，可建立如图所示平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.12．（2022·陕西·西安中学高三阶段练习（理））在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若O为SKIPIF1<0外接圆的圆心，则SKIPIF1<0的值为__________．【答案】10【分析】作出边SKIPIF1<0垂线，利用向量的运算将SKIPIF1<0用SKIPIF1<0表示，得有向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另一个向量的投影的乘积即可求得答案【详解】过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足分别为SKIPIF1<0，因为O为SKIPIF1<0外接圆的圆心，所以SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故答案为：1013．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）已知平面向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为_________.【答案】SKIPIF1<0【分析】建立平面直角坐标系，可知C在以SKIPIF1<0为圆心，1为半径的圆上，D在以SKIPIF1<0为圆心3为半径的圆内（含边界），利用向量的模长公式及三角不等式，数形结合可求解.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0如图建立平面直角坐标系，且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,知C在以SKIPIF1<0为圆心，1为半径的圆上，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,知D在以SKIPIF1<0为圆心3为半径的圆内（含边界）作出图像，如图所示：当点SKIPIF1<0取SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0取SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是相反向量，此时SKIPIF1<0；SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向时等号成立，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0由图像可知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0可以同向，此时SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0【点睛】方法点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：平行四边形法则和三角形法则；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．题型三：分类与整合思想一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】D【分析】根据题意可得SKIPIF1<0，分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：由向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，取等号，综上SKIPIF1<0的最大值为1.故选：D.2．（2020·全国·高三专题练习（文））正项等比数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先判断是否是充分条件，可令SKIPIF1<0，显示条件成立，但结论不成立，故不充分；再证是否是必要条件，不妨假设SKIPIF1<0最大，则SKIPIF1<0最小，且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0公比为SKIPIF1<0再得到SKIPIF1<0SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0讨论，可证得SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0，得到答案.【详解】解：设正项等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，不等式成立，但是SKIPIF1<0不成立；故“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的不充分条件；当SKIPIF1<0时，显然SKIPIF1<0互不相等，设SKIPIF1<0公比为SKIPIF1<0SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，不妨假设SKIPIF1<0最大，所以SKIPIF1<0最小，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0

当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；综上知，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，故“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要条件.即“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分条件.故选：B．【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，等比数列的通项公式及性质，作差法比较厌，还考查了学生的分析推理能力，转化与化归思想，难度较大.3．（2022·全国·高三专题练习）已知四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在四边形SKIPIF1<0上运动，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由题意分析可知四线性SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，且SKIPIF1<0，只需考虑点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上的运动情况即可，然后分类讨论求出SKIPIF1<0的最小值.【详解】如图所示，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0垂直且平分SKIPIF1<0，则△SKIPIF1<0为等腰三角形，又SKIPIF1<0，所以△SKIPIF1<0为等边三角形.则四边形SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，故点SKIPIF1<0在四边形SKIPIF1<0上运动时，只需考虑点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上的运动情况即可，因为SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，①当点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上运动时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0；②当点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上运动时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0；综上，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0；故选：C.【点睛】本题考查向量的数量积及数量积的最值问题，考查数形结合思想的运用、分类讨论思想的运用，难度稍大.4．（2022·全国·高三专题练习）在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0（含端点）上的一个动点.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对于函数SKIPIF1<0，下列描述正确的是（

）A．SKIPIF1<0的最大值和SKIPIF1<0无关 B．SKIPIF1<0的最小值和SKIPIF1<0无关C．SKIPIF1<0的值域和SKIPIF1<0无关 D．SKIPIF1<0在其定义域上的单调性和SKIPIF1<0无关【答案】A【解析】建立合适的直角坐标,根据向量的坐标表示和平面向量数量积的坐标表示建立SKIPIF1<0的函数关系式,利用二次函数的性质，分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两种情况通过判断单调性求SKIPIF1<0时函数SKIPIF1<0最值即可【详解】建立直角坐标系如图所示:由题意知,SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0