【九年级数学代数培优竞赛专题】专题11 巧解二次函数与特殊三角形综合题【含答案】

专题11巧解二次函数与特殊三角形综合题知识解读二次函数与特殊三角形综合题，是指以二次函数的图象为载体，探究图象上是否存在一些点，使其能构成特殊的三角形，有以下几种常见形式：（1）二次函数图象上的点能否构成等腰（或等边）三角形；（2）二次函数图象上的点能否构成直角三角形；（3）二次函数图象上的点能否构成等腰直角三角形。由于有平面直角坐标系为背景，为点的坐标与线段长度的相互转化提供了可能，着重考查数形结合与转化的能力；由于三角形边和角的不确定性，为思维的发散提供了可能，着重考查分类讨论思想及思维的缜密性。培优学案典例示范例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－（2＋n）x＋2n（n<2）与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C.若△ABC是等腰三角形，求n的值。【提示】求得点A，B，C的坐标，从而表示出线段OA，OB，OC，AB的长度，接着根据勾股定理求出AC，BC，再用分类讨论的数学思想分三种情况构建方程模型便可求出n.【跟踪训练】已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点.点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标。【提示】求出A，B，C三点坐标，表示出△PBC的三边长，再模仿例1分三种情况讨论求解。例2如图11－1，点A（5，m）在抛物线上.试探究：在抛物线的对称轴上是否存在点B，使△OAB是直角三角形？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由。【提示】不能确定直角△OAB的直角顶点，所以点B的坐标的存在情况需要分类讨论：①直角顶点在对称轴上，②直角顶点在A点，③直角顶点在O点.【跟踪训练】已知抛物线y＝－－2x＋3交x轴于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点。在抛物线上是否存在点P，使△PBC是直角三角形？若存在，请求出点P坐标；若不存在，试说明理由.【提示】分∠BCP＝90°，∠PBC＝90°，∠BPC＝90°三种情况讨论。例3在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－2mx＋－9与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，且OA<OB，与y轴交于点（0，一5）.（1）求此抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与x轴的交点为N，若点M是线段AN上的任意一点，过点M作直线MC⊥x轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D，点P是线段MC上一点，且满足MP＝MC，连接CD，PD，作PE⊥PD交x轴于点E，问是否存在这样的点E，使得PE＝PD？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.【提示】（1）要求抛物线的解析式，只需求出A，B两点的坐标，用待定系数法求解；（2）显然△EPM≌△PDC，再假设存在，设出P点的坐标，进而表示出C、D点的坐标，转化为求待定系数的一元二次方程问题进行求解。【跟踪训练】如图11－2，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（－1，0）和点B（1，0），直线y＝2x－1与y轴交于点C，与抛物线交于点C，D.（1）求抛物线的解析式；（2）求点A到直线CD的距离；（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G，P，Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标。【提示】（1）首先求出点C坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）设直线CD与x轴交于点E，求出点E的坐标，然后解直角三角形（或利用三角形相似），求出点A到直线CD的距离；（3）△GPQ为等腰直角三角形，有三种情形，需要分类讨论。为方便分析与计算，首先需要求出线段PQ的长度。例4如图11－3，二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，），点F（0，1）在y轴上.直线y＝－1与y轴交于点H.（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y＝－1交于点M.①求证：FM平分∠OFP；②当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标。【提示】（1）根据题意可设函数的解析式为y＝a，将点A坐标代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式；（2）①过点P作PB⊥y轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF＝PM，∠PFM＝∠PMF，结合平行线的性质，可得出结论；②首先可得∠FMH＝30°，设点P的坐标为（x，），根据PF＝PM＝FM，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案。【跟踪训练】已知抛物线:y＝以点C为顶点且过点B，抛物线:以点B为顶点且过点C，分别过点B，C作x轴的平行线，交抛物线，于点A，D，且AB＝AC.（1）如图11－4①，①求证：△ABC为等边三角形；②求点A的坐标；（2）①如图11－4②，将抛物线向上平移1个单位长度，其他条件不变，求CD的长；②如图11－4③，若将抛物线的解析式改为，其他条件不变，求的值；（3）若将抛物线的解析式改为，其他条件不变，直接写出关于的函数解析式.图11-4图11-4【提示】（1）①由于AB//x轴，显然点A，B关于抛物线y＝的对称轴对称，可得AC＝BC，已知AB＝AC，那么△ABC必为等边三角形；②由抛物线的解析式设出点A的坐标，再根据△ABC是等边三角形列出点A横、纵坐标的关系式，以此确定点A的坐标为（一，3）.（2）①若记AB与抛物线对称轴的交点为E，可设AE＝BE＝m（m＞0），在等边△ABC中，CE＝m，则B（m，m十1），代入y＝＋1，得m＝，∴AB＝2.易证△BCD也为等边三角形，∴CD＝AB＝2.②将的解析式写成顶点式，首先根据等边△ABC的特点表达出点B的坐标，将点B的坐标代入抛物线的解析式中，由此求得m的值；抛物线以点B为顶点，可先写成顶点式，再将点A的坐标代入其中来确定的值.（3）由于这个小题并没有说明按给出的三个图求解，所以还需考虑抛物线C2在1左侧的情况，但解法是相同的。例5设二次函数（a≠0）的图象与x轴有两个交点A，B，顶点为C，称△ABC为“抛物线三角形”，显然抛物线三角形是等腰三角形.解答下列问题：（1）当△ABC是等腰直角三角形时，求－4ac的值；（2）当△ABC是等边三角形时，求－4ac的值.【提示】以a＞0为例画出示意图如图11－5所示.作出特殊三角形的辅助线，由线段关系建立字母参数的关系式，化简式子并求值即可.在例5中，若设∠CAB＝α，则tanα＝.该结论清晰的表明了抛物线三角形与二次函数各项系数，判别式△及α角之间的关系，这种关系为我们深入研究二次函数的性质，提出更一般的问题带来有力的支撑.读者可继续探究：当∠ACB＝120°时，－4ac的值确定吗？

【跟踪训练】直线Y=KX与抛物线Y=X2有两个交点A，B；O为坐标原点，若△ABO是等边三角形，求K的值.已知抛物线的顶点A为一个顶点，作该抛物线的内接正三角形AMN(M,N两点在抛物线上)，请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。例6如图,已知抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，连接BC.(1)求A，B，C三点的坐标；(2)若点P为线段BC上一点(不与B,C重合),PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；(3)在(2)的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标。【跟踪训练】如图,抛物线y=x2−2mx(m>0)与x轴的另一个交点为A,过P(1,−m)作PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B.点B关于抛物线对称轴的对称点为C.(1)若m=2，求点A和点C的坐标；(2)令m>1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；(3)在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。竞赛链接例7（全国初中数学竞赛）已知a<0,b⩽0,c>0,且,求b2−4ac的最小值。【跟踪训练】（全国初中数学竞赛）如图,抛物线,顶点为E，该抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA.直线y=−x+1与y轴交于点D.求∠DBC−∠CBE.培优训练直击中考1.已知二次函数y=x2−4x+3.(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积。2.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0),B(3,0)两点,过点A的直线交抛物线于点C(2,m)，交y轴于点D.(1)求抛物线及直线AC的解析式；(2)点P是线段AC上的一动点(点P与点A.

C不重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；(3)点M(m,−3)是抛物线上一点，问在直线AC上是否存在点F，使△CMF是等腰直角三角形?如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由。

挑战竞赛1.已知抛物线经过A(−2,0),B(0,2),C(32,0)三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q.设点P的运动时间为t秒。(1)求抛物线的解析式；(2)当BQ=AP时，求t的值；(3)随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形?若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由。

2.如图,二次函数y=a(x2−2mx−3m2)(其中a,m是常数,且a>0,m>0)的图象与x轴分别交于点A.

B(点A位于点