在职研究报告生考试数学测试练习题

..>在职研究生考试数学测试练习题微积分〔1〕设是微分方程的满足，的解，则〔〕〔A〕等于0. 〔B〕等于1. 〔C〕等于2. 〔D〕不存在.解，将代入方程，得，又，，故，所以，选择B.〔2〕设在全平面上有，，则保证不等式成立的条件是〔〕〔A〕，. 〔B〕，.〔C〕，. 〔D〕，.解关于单调减少，关于单调增加，当，时，，选择A.〔3〕设在存在二阶导数，且，当时有，，则当时有〔〕〔A〕.〔B〕.〔C〕.〔D〕.解【利用数形结合】为奇函数，当时，的图形为递减的凹曲线，当时，的图形为递减的凸曲线，选择D.〔4〕设函数连续，且，则存在，使得〔〕〔A〕在内单调增加〔B〕在内单调减少〔C〕对任意的，有〔D〕对任意的，有解【利用导数的定义和极限的保号性】，由极限的的保号性，，在此邻域内，，所以对任意的，有，选择D.(5)函数在以下哪个区间内有界.(A)(1,0). (B)(0,1). (C)(1,2). (D)(2,3).[A]【分析】如f(*)在(a,b)内连续，且极限与存在，则函数f(*)在(a,b)内有界.【详解】当*0,1,2时，f(*)连续，而，，，，，所以，函数f(*)在(1,0)内有界，应选(A).【评注】一般地，如函数f(*)在闭区间[a,b]上连续，则f(*)在闭区间[a,b]上有界；如函数f(*)在开区间(a,b)内连续，且极限与存在，则函数f(*)在开区间(a,b)内有界.〔6〕设f(*)在(,+)内有定义，且，，则(A)*=0必是g(*)的第一类连续点. (B)*=0必是g(*)的第二类连续点.(C)*=0必是g(*)的连续点.(D)g(*)在点*=0处的连续性与a的取值有关. [D]【分析】考察极限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元，可将极限转化为.【详解】因为=a(令)，又g(0)=0，所以，当a=0时，，即g(*)在点*=0处连续，当a0时，，即*=0是g(*)的第一类连续点，因此，g(*)在点*=0处的连续性与a的取值有关，应选(D).【评注】此题属于基此题型，主要考察分段函数在分界点处的连续性.(7)设f(*)=|*(1*)|，则(A)*=0是f(*)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(*)的拐点.(B)*=0不是f(*)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(*)的拐点.(C)*=0是f(*)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(*)的拐点.(D)*=0不是f(*)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(*)的拐点. [C]【分析】由于f(*)在*=0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考察f(*)在*=0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0<<1，当*(,0)(0,)时，f(*)>0，而f(0)=0，所以*=0是f(*)的极小值点.显然，*=0是f(*)的不可导点.当*(,0)时，f(*)=*(1*)，，当*(0,)时，f(*)=*(1*)，，所以(0,0)是曲线y=f(*)的拐点.应选(C).【评注】对于极值情况，也可考察f(*)在*=0的*空心邻域内的一阶导数的符号来判断.(8)设有以下命题：(1)假设收敛，则收敛.(2)假设收敛，则收敛.(3)假设，则发散.(4)假设收敛，则，都收敛.则以上命题中正确的选项是(A)(1)(2). (B)(2)(3). (C)(3)(4). (D)(1)(4). [B]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【详解】(1)是错误的，如令，显然，分散，而收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由可得到不趋向于零(n)，所以发散.(4)是错误的，如令，显然，，都发散，而收敛.应选(B).【评注】此题主要考察级数的性质与收敛性的判别法，属于基此题型.(9)设在[a,b]上连续，且，则以下结论中错误的选项是(A)至少存在一点，使得>f(a). (B)至少存在一点，使得>f(b). (C)至少存在一点，使得.(D)至少存在一点，使得=0. [D]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.【详解】首先，由在[a,b]上连续，且，则由介值定理，至少存在一点，使得；另外，，由极限的保号性，至少存在一点使得，即.同理，至少存在一点使得.所以，(A)(B)(C)都正确，应选(D).【评注】此题综合考察了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.〔10〕设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，假设，则(A).(B).(C).(D).[Ａ]【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】由知，函数单调增加，曲线凹向，作函数的图形如右图所示，显然当时，，故应选(Ａ).〔11〕设函数在处连续，且，则(A)存在(B)存在(C)存在(D)存在[C]【分析】从入手计算，利用导数的左右导数定义判定的存在性.【详解】由知，.又因为在处连续，则.令，则.所以存在，故此题选〔C〕.〔12〕假设级数收敛，则级数(A)收敛.〔B〕收敛.(C)收敛.(D)收敛.[Ｄ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解】由收敛知收敛，所以级数收敛，故应选(Ｄ).或利用排除法：取，则可排除选项〔Ａ〕，〔Ｂ〕；取，则可排除选项〔Ｃ〕.故〔Ｄ〕项正确.〔13〕设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是〔Ａ〕.〔Ｂ〕.〔Ｃ〕.〔Ｄ〕[Ｂ]【分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的构造即可.【详解】由于是对应齐次线性微分方程的非零解，所以它的通解是，故原方程的通解为，故应选(Ｂ).【评注】此题属基此题型，考察一阶线性非齐次微分方程解的构造：.其中是所给一阶线性微分方程的特解，是对应齐次微分方程的通解.〔14〕设均为可微函数，且，是在约束条件下的一个极值点，以下选项正确的选项是(A)假设，则.(B)假设，则.(C)假设，则.(D)假设，则.[Ｄ]【分析】利用拉格朗日函数在〔是对应的参数的值〕取到极值的必要条件即可.【详解】作拉格朗日函数，并记对应的参数的值为，则，即.消去，得,整理得.〔因为〕，假设，则.应选〔Ｄ〕.线性代数〔1〕二次型的标准型是〔〕.〔A〕.〔B〕.〔C〕.〔D〕.解二次型的标准型由它的正负惯性指数确定，二次型的矩阵，其特征多项式，故的特征值为，正惯性指数，负惯性指数，选择D.〔2〕设，是三阶非零矩阵，且，则〔〕.〔A〕当时，.〔B〕当时，.〔C〕当时，.〔D〕当时，.解，，.当时，，，排除A，C，当时，，，，矛盾，排除D，选择B.(3)设阶矩阵与等价,则必有(A)当时,.(B)当时,.(C)当时,.(D)当时,.[D]【分析】利用矩阵与等价的充要条件:立即可得.【详解】因为当时,,又与等价,故,即,应选(D).【评注】此题是对矩阵等价、行列式的考察,属基此题型.(4)设阶矩阵的伴随矩阵假设是非齐次线性方程组的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的根底解系(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量. [B]【分析】要确定根底解系含向量的个数,实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】因为根底解系含向量的个数=,而且根据条件于是等于或.又有互不相等的解,即解不惟一,故.从而根底解系仅含一个解向量,即选(B).【评注】此题是对矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系、线性方程组解的构造等多个知识点的综合考察.〔5〕设,，假设矩阵相似于，则.【答案】2.【解析】相似于，根据相似矩阵有一样的特征值，得到的特征值为3，0，0.而为矩阵的对角元素之和，，.〔6〕设均为维列向量，为矩阵，以下选项正确的选项是(A)假设线性相关，则线性相关.(B)假设线性相关，则线性无关.(C)假设线性无关，则线性相关.(D)假设线性无关，则线性无关.[A]【分析】此题考察向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进展判定.【详解】记，则.所以，假设向量组线性相关，则，从而，向量组也线性相关，故应选(Ａ).〔7〕设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则〔Ａ〕.〔Ｂ〕.〔Ｃ〕.〔Ｄ〕.［Ｂ］【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得，而，则有.故应选〔Ｂ〕.概率论〔1〕设随机变量与分别服从和，且与不相关，与也不相关，则〔〕.〔A〕.〔B〕.〔C〕.〔D〕.解与不相关，与不相关，选择A.〔2〕设为来自总体的简单随机样本，为样本均值，为样本方差，则〔〕〔A〕.〔B〕.〔C〕.〔D〕.解，排除A，，排除B，，排除C，选择D.(3)设，,…,为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差，记统计量，则.【答案】【解析】由.〔4〕设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且则必有(A)(B)(C)(D)[A]【分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】由题设可得，则，即.其中是标准正态分布的分布函数.又是单调不减函数，则，即.应选(A).(5)设随机变量服从正态分布,对给定的,数满足,假设,则等于(A).(B).(C).(D).[C]【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解】由,以及标准正态分布密度曲线的对称性可得.故正确答案为(C).【评注】此题是对标准正态分布的性质,严格地说它的上分位数概念的考察.微积分〔1〕设，假设与都存在，则，.解当时，，当时，，存在，即，存在，即，解得.(2)假设，则a=，b=.【分析】此题属于极限求参数的反问题.【详解】因为，且，所以，得a=1.极限化为，得b=4.因此，a=1，b=4.(3)设，则.【分析】此题属于求分段函数的定积分，先换元：*1=t，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令*1=t，＝.〔4〕.解由积分中值定理知，存在：，使得.〔5〕设由方程确定，且，则.解方程为，，，.〔6〕设的一个原函数，且，则.解，，，，又，故，，，，.〔7〕极限.【分析】此题属基此题型，直接用无穷小量的等价代换进展计算即可.【详解】=〔8〕微分方程满足初始条件的特解为.【分析】直接积分即可.【详解】原方程可化为，积分得，代入初始条件得C=2，故所求特解为*y=2.〔9〕设二元函数，则.【分析】基此题型，直接套用相应的公式即可.【详解】,,于是.〔10〕.【答案】.【解析】.〔11〕设，则.【答案】.【解析】由，故代入得，.〔12〕幂级数的收敛半径为.【答案】.【解析】由题意知，所以，该幂级数的收敛半径为〔13〕设*产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元.【答案】8000.【解析】所求即为因为，所以所以将代入有.线性代数〔1〕设矩阵，其中是维列向量，且，则.解，故，所以.〔2〕设行向量组，，，线性相关，且，则a=.【分析】四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.【详解】由题设，有,得，但题设，故〔3〕设是三阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，假设【答案】【解析】〔4〕设,，假设矩阵相似于，则.【答案】2.【解析】相似于，根据相似矩阵有一样的特征值，得到的特征值为3，0，0.而为矩阵的对角元素之和，，.(5)二次型的秩为.【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩,亦即标准型中平方项的项数,于是利用初等变换或配方法均可得到答