思维点拨：三角形中的边角关系

1、PAGE19思维点拨：三角形中的边角关系如图，三角形ABO的边AO、BO分别是三角形DOC的边CO、DO的延长线，则AB=CD解：在三角形ABO中，ABAOB=180，在三角形COD中，CDDOC=180，所以ABAOBCDDOC又因为AOBDOC，所以AB=CD由此我们得到以下结论：如果两个三角形有一个角是对顶角，那么这两个三角形的另外两个角的和相等【例1】如图，已知五角星ABCDE，求ABCDE的度数和【思考与分析】我们可以连结DE，在由三角形ACF和三角形DEF构成的图形中，AC=CEDEDA，从而把五角星ABCDE的五个内角放到了三角形BED中，根据三角形内角和定理即可求出ABCDE的

2、度数解：连结DE，由以上结论可知：AC=CEDEDA，又因为在三角形BED中，BBECBDACEDEDA=180，所以BBECBDAAC=180即ABCDE180【例2】如图，求12345的度数和【思考与分析】我们按照例1的思路，连结CD，则在三角形AEF和三角形DCF所构成的图形中，34EDCDCA，这样就把1、2、3、4、5同时放到了三角形BDC中，即可求出12345的度数和解：连结CD，则34EDCDCA，又因为在三角形BDC中，152EDCDCA=180，所以15234=180，即12345=180【小结】按照这种思路，以上两题还有多种解法，大家不妨试一试，看能找到多少种解法【例3】如

3、图，三角形ABC中，AD平分BAC，EGAD，且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，下列四个式子中正确的是（）【思考与解】因为EGAD，交点为H，AD平分BAC，所以在直角三角形AHE中，190在三角形ABC中，易知BAC180（23），所以190180（23）=（32）又因为1是三角形EBG的外角，所以12G所以G12（32）2（32）所以应选C【例4】如图，点D为三角形ABC内的一点，已知ABD20，ACD25，A35你能求出BDC的度数吗？【思考与解】延长BD，与AC交于E点，因为DEC是三角形ABE的外角，所以DEC=AABD3520=55又因为BDC是三角形CDE

4、的外角，所以BDC=DECACD=5525=80【小结】记准一些常用的结论，有助于我们快速地、正确地解题【例5】如图，已知B10，C20，BOC110，你能求出A的度数吗？【思考与分析】要求A的度数，我们可以设法让，则A、B即为三角形ABD的两个内角根据三角形外角的性质，欲求A的度数，可先求ODC的度数，由BOC110，C20即可求出ODC的度数解：延长BO交AC于D因为BOC是三角形ODC的外角，所以BOCODCC因为BOC=110，C20，所以ODC1102090因为ODC是三角形ABD的外角，所以ODCAB因为B10，所以A901080【例6】如图，点D是三角形ABC内一点，连结BD、C

5、D，试说明BDCBAC【思考与分析】BDC和BAC在两个不同的三角形内，而且不能直接比较它们的大小，或连结AD并延长交BC于Q，都可以利用三角形外角的性质解题解：延长BD交AC于P，则BDCDPC，DPCBAC，所以BDCBAC【反思】我们还可以连结AD并延长交BC于Q，如图，请大家试一试，看能不能得到相同的结论【例7】已知三角形ABC的一个内角度数为40，且A=B，你能求出C的外角的度数吗？【思考与分析】在三角形ABC中，A=B，因此三角形ABC是一个等腰三角形，我们必须要讨论40的角是三角形ABC的顶角还是底角，应分两种情况解答解：（1）设40，当是等腰三角形的顶角时，则的外角等于1804

6、0140，而C，所以C的外角的度数为140（2）设40，当是等腰三角形的底角时，A=B40，此时C的外角AB80【例8】已知非直角三角形ABC中，A=45，高BD和CE所在的直线交于H，你能求出BHC的度数吗？【思考与分析】三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同高的交点的位置可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，因此我们应该分两种情况进行讨论解：当三角形ABC为锐角三角形时，如图1所示因为BD、CE是三角形ABC的高，A=45，所以ADB=BEH=90，ABD=904545所以BHC=ABHBEH=4590=135（2）当三角形ABC为钝角三角形时，如图2所示因为H是三角形的两条高所在直

7、线的交点，A=45，所以ABD904545所以在直角三角形EBH中，BHC=90ABD904545由（1）、（2）可知，BHC的度数为135或45【小结】我们在解题中，经常遇到题目中某些条件交代不清，此时，我们一定要注意分情况考虑，用分类讨论的方法使解完整【例9】如图，已知三角形ABC中，B=C2A，你能求出A的度数吗？【思考与分析】我们由三角形内角和可知，ABC=180，又因为B=C2A，可得ABC=A2A2A180，即可求出A的度数我们还可以用方程来解这道题，根据三角形内角和定理与B=C2A这两个已知条件求未知量A的度数用方程解决问题，我们必须在弄清题中已知数量和未知数量的关系的基础上，要

8、抓住题中的不变量，建立等量关系题中的不变量是三角形内角和等于180，其等量关系是ABC=180，然后我们用数学语言把这个等量关系式转化为方程设A的度数为，则可以用2分别表示B、C的度数，将这个等式转化为方程22180，即可求出A的度数解法一：因为B=C2A，ABC=180，所以ABC=A2A2A180，即A36解法二：设A的度数为，则B、C的度数都为2，列方程得22180，解得36，即A36【例10】判断适合下列条件的三角形ABC是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形（1）A=80，B=25；（2）AB=30，BC=36；【思考与分析】根据角判断三角形的形状，我们只需求出三角形中各角的度数就可

9、以了，本题判断三角形是否是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，只需求出三角形中最大角的度数即可（1）题通过直接计算就可以求出C的度数，（2）（3）题不便于直接计算，可以运用方程思想抓住等量关系，列方程进行求解解：（1）因为A80，B=25，所以C=180-80-25=75，所以三角形ABC是锐角三角形（2）设B，则A（30），C（-36），所以（30）（-36）180，解得62，所以最大角A92，所以三角形ABC是钝角三角形（3）设A，B2，C6，则26180，解得20，所以C120，所以三角形ABC是钝角三角形【小结】利用方程求角度是我们常用的方法之一在三角形中，给出的条件不能直接求出结果，

10、且各角之间有相互关系，我们可以设其中一个角为未知数，再把其它角用此未知数表示，然后列方程即可求解利用高线与边垂直的性质求度数【例11】已知ABC的高为AD，BAD=70，CAD=20，求BAC的度数【思考与分析】由于AD为底边BC上的高，过A做底边BC的垂线时，垂足D可能落在底边BC上，也有可能落在BC的延长上因此，我们需要分情况讨论解：（1）当垂足D落在BC边上时，如图，因为BAD=70，CAD=20，所以BAC=BADCAD=7020=90（2）当垂足D落在BC的延长线上时，如图，因为BAD=70，CAD=20，所以BAC=BAD-CAD=70-20=50所以BAC为90或50【小结】由于

11、三角形可以分为锐角三角形、直角三角形与钝角三角形，在题目所给条件中如果没有确切说明三角形的具体类型时，我们就要分类讨论，以防遗漏2利用三角形面积公式求线段的长度【例12】如图，ABC中，AD，CE是ABC的两条高，BC=5cm，AD=3cm，CE=4cm，你能求出AB的长吗？【思考与分析】由于三角形面积等于底与高乘积的一半因此，三角形的面积就有三种不同的表达方式我们若设ABC的三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为ha，hb，hc，那么三角形的面积S=aha=bhb=chc本题中已知三角形的两条高与其中一条高所对应的边，求另一条边，利用三角形面积SABC=BCAD=ABCE，解决十分方便解

12、：SABC=BCAD=ABCE53=AB4，解得AB=（cm）【小结】用同一个三角形不同的面积表达式建立等式求线段的长度，是一种很重要的方法，在今后的学习中，我们应注意这种方法的运用【例13】如图，已知AD、AE分别是三角形ABC的中线、高，且AB5cm，AC3cm，则三角形ABD与三角形ACD的周长之差为，三角形ABD与三角形ACD的面积之间的关系为【思考与解】（1）三角形ABD与三角形ACD的周长之差（ABBDAD）（ADCDAC）=AB=CD，所以上式AB-AC=5-3=2（cm）（2）因为S三角形ABDBDAE，S三角形ACDCDAE，而BD=CD，所以S三角形ABDS三角形ACD【例

13、14】如图，在三角形ABC中，12，G为AD的中点，延长BG交AC于为AB上的一点，CFAD于H下列判断正确的有（）（1）AD是三角形ABE的角平分线（2）BE是三角形ABD边AD上的中线（3）CH为三角形ACD边AD上的高个个个个【思考与解】由12，知AD平分BAE，但AD不是三角形ABE内的线段，所以（1）不正确；同理，BE虽然经过三角形ABD边AD的中点G，但BE不是三角形ABD内的线段，故（2）不正确；由于CHAD于H，故CH是三角形ACD边AD上的高，（3）【例15】如图，在直角三角形ABC中，ACB90，CD是AB边上的高，AB13cm，BC=12cm，AC=5cm（1）求三角形A

14、BC的面积（2）求CD的长【思考与分析】求直角三角形的面积，有两种方法：S=ab（a、b为两条直角边的长）；S=ch（c为直角三角形斜边的长，h为斜边上的高）由此可知abch，在a、b、c、h四个量中，已知其中三个量，就可以求出第四个量解：（1）在直角三角形ABC中，ACB90，BC=12cm，AC=5cm，所以SABCACBC30（cm2）（2）因为CD是AB边上的高，所以SABCABCD，即13CDcm【例16】如图1所示，你能求出ABCDEF的度数吗？【思考与解】我们可以连结EF，把ABCDEF的度数转化为求四边形BCEF的内角和如图2所示因为ADAOD=OFEEOFOEF=180，所以

15、ABCDEFOFEOEFCBEF360【例17】如图3，凸六边形ABCDEF的六个角都是120，边长AB2cm，BC=8cm，CD11cm，DE6cm，你能求出这个六边形的周长吗？【思考与分析】要求六边形的周长，的六个角都是120，可知六边形的每一个外角的度数都是60，如图4，如果延长BA，得到的PAF=60，延长EF，得到的PFA=60，两条直线相交形成三角形APF，在三角形APF中，P的度数为180606060，因此三角形APF是等边三角形同样的道理，我们分别延长AB、DC，交于点G，、CD交于点H，则三角形DHE也是等边三角形所以P=G=H=60、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP

16、四个等边三角形于是就把多边形的问题转化为和等边三角形有关的问题利用等边三角形的三边相等的性质，可以轻松的求出AF和EF的长，从而求出六边形ABCDEF的周长解：如图4，分别作直线AB、CD、EF的延长线使它们交于点G、H、P因为六边形ABCDEF的六个角都是120，所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60所以三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP都是等边三角形所以GC=BC=8cm，DH=DE6cm所以GH=811625cm，FA=PA=PG-AB-BG=25-2-815cm，EF=PH-PF-EH=25-15-64cm所以六边形的周长为2811641546cm【反思】

17、本题解题的关键是利用多边形和三角形的关系，通过添加辅助线，利用六边形构造出等边三角形，从而利用转化的思想，把多边形问题转化为和三角形有关的问题，利用三角形的性质、定理来解答多边形的问题方程思想是我们学习数学的重要思想方法之一用方程思想求解数学问题时，应从题中的已知量与未知量的关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程，再通过解方程，使问题得到解决方程思想应用非常广泛我们不但能用方程思想解决代数问题，而且还能够解决有关的几何问题【例18】已知三角形的第一个内角是第二个内角的倍，第三个内角比这两个内角的和大30，求这三个内角的度数【思考与分析】题中的已知量是“第一个内角是第二个内

18、角的倍，第三个内角比这两个内角的和大30”，未知量是这三个角的度数题中没有给出三角形内角的度数但第一个内角和第三个内角与第二个内角的度数相关联，所以解这道题的关键是求出第二个内角的度数要想解决这个问题，不妨设第二个内角的度数为，利用方程思想来解根据三角形的内角和为180，由此我们可以得到这样的等式关系：第一个内角第二个内角第三个内角180当我们用数学语言表示第二个内角为，第一个内角为，第三个内角为30，利用代换法，将上述的等量关系转化为方程：（30）180通过解这个方程就能使问题得到解决解：设这个三角形的第二个内角的度数为，则第一个内角的度数为，第三个内角的度数为（30），列方程可得（30）180，解得30所以三角形的三个内角分别为45，30，105【例19】如图，已知在三角形ABC中，CABC2A，BD是AC边上