高等数学-第六版-高等数学课件第一章函数与极限

1、10/16/20221函数与极限10/11/20221函数与极限一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集10/16/20222函数与极限一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个数集分类:N-自然数集Z-整数集Q-有理数集R-实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.10/16/20223函数与极限数集分类:N-自然数集Z-整数集Q-有理数2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,10/16/20224函数与极限2.区间:是

2、指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.10/16/20225函数与极限称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:3.邻域:10/16/20226函数与极限3.邻域:10/11/20226函数与极限4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a, b, c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x, y, t等表示变量.10/16/20227函数与极限4.常量与变量: 在某过程中数值保持

3、不变的量称为常量,注意常5.绝对值:运算性质:绝对值不等式:10/16/20228函数与极限5.绝对值:运算性质:绝对值不等式:10/11/20228函因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域二、函数概念10/16/20229函数与极限因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域二、函数概念10/11自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.10/16/202210函数与极限自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.约定:定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值

4、函数10/16/202211函数与极限定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总 (1) 符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo10/16/202212函数与极限 (1) 符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo10(2) 取整函数 y=xx表示不超过 的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线10/16/202213函数与极限(2) 取整函数 y=x 1 2 3 4 有理数点无理数点1xyo(3) 狄利克雷函数10/16/202214函数与极限有理数点无理数点1xyo(3) 狄利克雷函数10/11(4) 取最值函数yxo

5、yxo10/16/202215函数与极限(4) 取最值函数yxoyxo10/11/202215函在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.10/16/202216函数与极限在自变量的不同变化范围中, 例1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间 的函数关系式.解单三角脉冲信号的电压10/16/202217函数与极限例1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U10/16/202218函数与极限10/11/202218函数与极限例2解故10/16/202219函数与极限例2解故10/11/202219函数与极限三、函数的特性M

6、-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1函数的有界性:10/16/202220函数与极限三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-Myxo2函数的单调性:xyo10/16/202221函数与极限2函数的单调性:xyo10/11/202221函数与极限xyo10/16/202222函数与极限xyo10/11/202222函数与极限3函数的奇偶性:偶函数yxox-x10/16/202223函数与极限3函数的奇偶性:偶函数yxox-x10/11/202223奇函数yxox-x10/16/202224函数与极限奇函数yxox-x10/11/202224函数与极限4函数的周期性:（通常

7、说周期函数的周期是指其最小正周期）.10/16/202225函数与极限4函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）. 直接函数与反函数的图形关于直线 对称.四、反函数10/16/202226函数与极限 直接函数与反函数的图形关于直线 对称.四五、小结基本概念集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值.函数的概念函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.反函数10/16/202227函数与极限五、小结基本概念函数的概念函数的特性反函数10/11/202思考题10/16/202228函数与极限思考题10/11/202228函数与极限思考题解答设则故10/16/202229函数与极限思

8、考题解答设则故10/11/202229函数与极限练 习 题10/16/202230函数与极限练 习 题10/11/202230函数与极限10/16/202231函数与极限10/11/202231函数与极限练习题答案10/16/202232函数与极限练习题答案10/11/202232函数与极限10/16/202233函数与极限10/11/202233函数与极限一、基本初等函数1.幂函数10/16/202234函数与极限一、基本初等函数1.幂函数10/11/202234函数与极限2.指数函数10/16/202235函数与极限2.指数函数10/11/202235函数与极限3.对数函数10/16/20

9、2236函数与极限3.对数函数10/11/202236函数与极限4.三角函数正弦函数10/16/202237函数与极限4.三角函数正弦函数10/11/202237函数与极限余弦函数10/16/202238函数与极限余弦函数10/11/202238函数与极限正切函数10/16/202239函数与极限正切函数10/11/202239函数与极限余切函数10/16/202240函数与极限余切函数10/11/202240函数与极限正割函数10/16/202241函数与极限正割函数10/11/202241函数与极限余割函数10/16/202242函数与极限余割函数10/11/202242函数与极限5.反三

10、角函数10/16/202243函数与极限5.反三角函数10/11/202243函数与极限10/16/202244函数与极限10/11/202244函数与极限10/16/202245函数与极限10/11/202245函数与极限 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.10/16/202246函数与极限 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角二、复合函数 初等函数1.复合函数定义:10/16/202247函数与极限二、复合函数 初等函数1.复合函数定义:10/11/20注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构

11、成.2.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.10/16/202248函数与极限注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复例1解10/16/202249函数与极限例1解10/11/202249函数与极限综上所述10/16/202250函数与极限综上所述10/11/202250函数与极限三、双曲函数与反双曲函数奇函数.偶函数.1.双曲函数10/16/202251函数与极限三、双曲函数与反双曲函数奇函数.偶函数.1.双曲函数10/1奇函数,有界函数,10/16/202252函数与极限奇函数,有界函数,1

12、0/11/202252函数与极限双曲函数常用公式10/16/202253函数与极限双曲函数常用公式10/11/202253函数与极限2.反双曲函数奇函数,10/16/202254函数与极限2.反双曲函数奇函数,10/11/202254函数与极限10/16/202255函数与极限10/11/202255函数与极限奇函数,10/16/202256函数与极限奇函数,10/11/202256函数与极限四、小结函数的分类:函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)10/16/202257函数与极限四、小结函数的分类:

13、函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷思考题10/16/202258函数与极限思考题10/11/202258函数与极限思考题解答不能10/16/202259函数与极限思考题解答不能10/11/202259函数与极限一、填空题:练 习 题10/16/202260函数与极限一、填空题:练 习 题10/11/202260函数与极10/16/202261函数与极限10/11/202261函数与极限练习题答案10/16/202262函数与极限练习题答案10/11/202262函数与极限10/16/202263函数与极限10/11/202263函数与极限10/16/202264函数与极限10/11/20

14、2264函数与极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放刘徽一、概念的引入10/16/202265函数与极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积10/16/202266函数与极限正六边形的面积正十二边形的面积正 形2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”10/16/202267函数与极限2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”10/11/2二、数列的定义例如10/16/202268函数与极限二、数列的定义例如10/11/202268函数与极限注意：1.数列对应着数轴上一

15、个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数10/16/202269函数与极限注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次播放三、数列的极限10/16/202270函数与极限播放三、数列的极限10/11/202270函数与极限问题:当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:10/16/202271函数与极限问题:当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定10/16/202272函数与极限10/11/202272函数与极限如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：10/16/

16、202273函数与极限如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：10/11/202几何解释:其中10/16/202274函数与极限几何解释:其中10/11/202274函数与极限数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：10/16/202275函数与极限数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：10/1例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.10/16/202276函数与极限例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数例3证10/16/202277函数与极限例3证10/11/202

17、277函数与极限例4证10/16/202278函数与极限例4证10/11/202278函数与极限四、数列极限的性质1.有界性例如,有界无界10/16/202279函数与极限四、数列极限的性质1.有界性例如,有界无界10/11/202定理1 收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论 无界数列必定发散.10/16/202280函数与极限定理1 收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收2.唯一性定理2 每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.10/16/202281函数与极限2.唯一性定理2 每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故例5证由定义

18、,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.10/16/202282函数与极限例5证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.3.(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a10/16/202283函数与极限3.(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列10/11/2五.小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质:有界性唯一性.10/16/202284函数与极限五.小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,思考题证明要使只要使从而由得取当 时，必有 成立10/16/202285函数与极

19、限思考题证明要使只要使从而由得取当 时思考题解答（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没有采用“适当放大” 的值10/16/202286函数与极限思考题解答（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没从而 时，仅有 成立，但不是 的充分条件反而缩小为10/16/202287函数与极限从而 练 习 题10/16/202288函数与极限练 习 题10/11/202288函数与极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：刘徽一、概念的引入10/16/202289函数与极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而三、数列的极限1

20、0/16/202290函数与极限三、数列的极限10/11/202290函数与极限三、数列的极限10/16/202291函数与极限三、数列的极限10/11/202291函数与极限三、数列的极限10/16/202292函数与极限三、数列的极限10/11/202292函数与极限三、数列的极限10/16/202293函数与极限三、数列的极限10/11/202293函数与极限三、数列的极限10/16/202294函数与极限三、数列的极限10/11/202294函数与极限三、数列的极限10/16/202295函数与极限三、数列的极限10/11/202295函数与极限三、数列的极限10/16/202296函

21、数与极限三、数列的极限10/11/202296函数与极限三、数列的极限10/16/202297函数与极限三、数列的极限10/11/202297函数与极限三、数列的极限10/16/202298函数与极限三、数列的极限10/11/202298函数与极限三、数列的极限10/16/202299函数与极限三、数列的极限10/11/202299函数与极限三、数列的极限10/16/2022100函数与极限三、数列的极限10/11/2022100函数与极限三、数列的极限10/16/2022101函数与极限三、数列的极限10/11/2022101函数与极限三、数列的极限10/16/2022102函数与极限三、数

22、列的极限10/11/2022102函数与极限10/16/2022103函数与极限10/11/2022103函数与极限播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限10/16/2022104函数与极限播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限10/11/202210通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.10/16/2022105函数与极限通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接10/16/2022106函数与极限10/11/2022106函数与极限2.另两种情形:10/16/2022107函数与极限2.另两种情形:10/11/2022107函数与极限3.几何解释:

23、10/16/2022108函数与极限3.几何解释:10/11/2022108函数与极限例1证10/16/2022109函数与极限例1证10/11/2022109函数与极限二、自变量趋向有限值时函数的极限10/16/2022110函数与极限二、自变量趋向有限值时函数的极限10/11/2022110函10/16/2022111函数与极限10/11/2022111函数与极限2.几何解释:注意：10/16/2022112函数与极限2.几何解释:注意：10/11/2022112函数与极限例2证例3证10/16/2022113函数与极限例2证例3证10/11/2022113函数与极限例4证函数在点x=1处

24、没有定义.10/16/2022114函数与极限例4证函数在点x=1处没有定义.10/11/2022114函例5证10/16/2022115函数与极限例5证10/11/2022115函数与极限3.单侧极限:例如,10/16/2022116函数与极限3.单侧极限:例如,10/11/2022116函数与极限左极限右极限10/16/2022117函数与极限左极限右极限10/11/2022117函数与极限左右极限存在但不相等,例6证10/16/2022118函数与极限左右极限存在但不相等,例6证10/11/2022118函数与三、函数极限的性质1.有界性2.唯一性10/16/2022119函数与极限三、

25、函数极限的性质1.有界性2.唯一性10/11/20221推论3.不等式性质定理(保序性)10/16/2022120函数与极限推论3.不等式性质定理(保序性)10/11/2022120函定理(保号性)推论10/16/2022121函数与极限定理(保号性)推论10/11/2022121函数与极限4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理10/16/2022122函数与极限4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理10/11证10/16/2022123函数与极限证10/11/2022123函数与极限例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等

26、.10/16/2022124函数与极限例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任例7证10/16/2022125函数与极限例7证10/11/2022125函数与极限二者不相等,10/16/2022126函数与极限二者不相等,10/11/2022126函数与极限四、小结函数极限的统一定义(见下表)10/16/2022127函数与极限四、小结函数极限的统一定义(见下表)10/11/202212过 程时 刻从此时刻以后 过 程时 刻从此时刻以后 10/16/2022128函数与极限过 程时 刻从此时刻以后 过 程时思考题10/16/2022129函数与极限思考题10/11/2022

27、129函数与极限思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.10/16/2022130函数与极限思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.10/11/202一、填空题:练 习 题10/16/2022131函数与极限一、填空题:练 习 题10/11/2022131函数与极10/16/2022132函数与极限10/11/2022132函数与极限练习题答案10/16/2022133函数与极限练习题答案10/11/2022133函数与极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限10/16/2022134函数与极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限10/11/2022134函一、自变量趋向无穷大时函数的极限10/1

28、6/2022135函数与极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限10/11/2022135函一、自变量趋向无穷大时函数的极限10/16/2022136函数与极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限10/11/2022136函一、自变量趋向无穷大时函数的极限10/16/2022137函数与极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限10/11/2022137函一、自变量趋向无穷大时函数的极限10/16/2022138函数与极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限10/11/2022138函一、自变量趋向无穷大时函数的极限10/16/2022139函数与极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限10/11/2022139函

29、一、自变量趋向无穷大时函数的极限10/16/2022140函数与极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限10/11/2022140函一、自变量趋向无穷大时函数的极限10/16/2022141函数与极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限10/11/2022141函一、自变量趋向无穷大时函数的极限10/16/2022142函数与极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限10/11/2022142函10/16/2022143函数与极限10/11/2022143函数与极限一、无穷小1.定义:极限为零的变量称为无穷小.10/16/2022144函数与极限一、无穷小1.定义:极限为零的变量称为无穷小.10/11/2例

30、如,注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数.10/16/2022145函数与极限例如,注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以2.无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性10/16/2022146函数与极限2.无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性10/11/202意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷小的运算性质:定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证10/16/2022147函数与极限意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.10/16/2022

31、148函数与极限注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.10/11/202定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证10/16/2022149函数与极限定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证10/11/20推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小10/16/2022150函数与极限推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.10/16/2022151函数与极限二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.10/11/202特殊情形：正无穷

32、大，负无穷大注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.10/16/2022152函数与极限特殊情形：正无穷大，负无穷大注意1.无穷大是变量,不能与很不是无穷大无界，10/16/2022153函数与极限不是无穷大无界，10/11/2022153函数与极限证10/16/2022154函数与极限证10/11/2022154函数与极限三、无穷小与无穷大的关系定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证10/16/2022155函数与极限三、无穷小与无穷大的关系定理4 在同一过程中,无穷大的倒数意义 关于无穷大

33、的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.10/16/2022156函数与极限意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.10/1四、小结1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3） 无界变量未必是无穷大.10/16/2022157函数与极限四、小结1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点思考题10/16/2022158函数与极限思考题10/11/2022158函数与极限思考题解答不能保证.例有10/

34、16/2022159函数与极限思考题解答不能保证.例有10/11/2022159函数与极限一、填空题:练 习 题10/16/2022160函数与极限一、填空题:练 习 题10/11/2022160函数与极10/16/2022161函数与极限10/11/2022161函数与极限练习题答案10/16/2022162函数与极限练习题答案10/11/2022162函数与极限10/16/2022163函数与极限10/11/2022163函数与极限一、极限运算法则定理证由无穷小运算法则,得10/16/2022164函数与极限一、极限运算法则定理证由无穷小运算法则,得10/11/20210/16/20221

35、65函数与极限10/11/2022165函数与极限推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2有界，10/16/2022166函数与极限推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2有界，10/11/二、求极限方法举例例1解10/16/2022167函数与极限二、求极限方法举例例1解10/11/2022167函数与极限小结:10/16/2022168函数与极限小结:10/11/2022168函数与极限解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例210/16/2022169函数与极限解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例210/11/2解例3(消去零因子法)10/16/2022170函数与极限解

36、例3(消去零因子法)10/11/2022170函数与极限例4解(无穷小因子分出法)10/16/2022171函数与极限例4解(无穷小因子分出法)10/11/2022171函数与极小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.10/16/2022172函数与极限小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以例5解先变形再求极限.10/16/2022173函数与极限例5解先变形再求极限.10/11/2022173函数与极限例6解10/16/2022174函数与极限例6解10/11/2022174函数与极限例7解左右极限存在且相等,10/16/2

37、022175函数与极限例7解左右极限存在且相等,10/11/2022175函数与极三、小结1.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.10/16/2022176函数与极限三、小结1.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;a.多思考题 在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为什么？10/16/2022177函数与极限思考题 在某个过程中，若 有思考题解答没有极限假设 有极限，有极限，由极限运算法则可知：必有极限，与已知矛盾，故假

38、设错误10/16/2022178函数与极限思考题解答没有极限假设 一、填空题:练 习 题10/16/2022179函数与极限一、填空题:练 习 题10/11/2022179函数与极二、求下列各极限:10/16/2022180函数与极限二、求下列各极限:10/11/2022180函数与极限10/16/2022181函数与极限10/11/2022181函数与极限练习题答案10/16/2022182函数与极限练习题答案10/11/2022182函数与极限10/16/2022183函数与极限10/11/2022183函数与极限一、无穷小的比较例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.

39、观察各极限10/16/2022184函数与极限一、无穷小的比较例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”定义:10/16/2022185函数与极限定义:10/11/2022185函数与极限例1解例2解10/16/2022186函数与极限例1解例2解10/11/2022186函数与极限常用等价无穷小:用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如,10/16/2022187函数与极限常用等价无穷小:用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如,1二、等价无穷小替换定理(等价无穷小替换定理)证10/16/2022188函数与极限二、等价无穷小替换定理(等价无穷小替换定理)证10/11/2例3解不能滥用等价无

40、穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意10/16/2022189函数与极限例3解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替例4解解错10/16/2022190函数与极限例4解解错10/11/2022190函数与极限例5解10/16/2022191函数与极限例5解10/11/2022191函数与极限三、小结1.无穷小的比较:反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件.高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.10/16/2022192函数与极限三、小结1.无穷小的比较:反映

41、了同一过程中, 两无穷小趋于思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？10/16/2022193函数与极限思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？10/11/202219思考题解答不能例当 时都是无穷小量但不存在且不为无穷大故当 时10/16/2022194函数与极限思考题解答不能例当 时都是练 习 题10/16/2022195函数与极限练 习 题10/11/2022195函数与极限10/16/2022196函数与极限10/11/2022196函数与极限10/16/2022197函数与极限10/11/2022197函数与极限练习题答案10/16/2022198函数与极限练习题答案10/11/202219

42、8函数与极限10/16/2022199函数与极限10/11/2022199函数与极限10/16/2022200函数与极限10/11/2022200函数与极限一、函数的连续性1.函数的增量10/16/2022201函数与极限一、函数的连续性1.函数的增量10/11/2022201函数2.连续的定义10/16/2022202函数与极限2.连续的定义10/11/2022202函数与极限10/16/2022203函数与极限10/11/2022203函数与极限例1证由定义2知10/16/2022204函数与极限例1证由定义2知10/11/2022204函数与极限3.单侧连续定理10/16/2022205

43、函数与极限3.单侧连续定理10/11/2022205函数与极限例2解右连续但不左连续 ,10/16/2022206函数与极限例2解右连续但不左连续 ,10/11/2022206函数与极4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,10/16/2022207函数与极限4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区例3证10/16/2022208函数与极限例3证10/11/2022208函数与极限二、函数的间断点10/16/2022209函数与极限二、函数的间断点10/11/2022

44、209函数与极限1.跳跃间断点例4解10/16/2022210函数与极限1.跳跃间断点例4解10/11/2022210函数与极限2.可去间断点例510/16/2022211函数与极限2.可去间断点例510/11/2022211函数与极限解注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.10/16/2022212函数与极限解注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点10/16/2022213函数与极限如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点103.第二类间断点例6解10/16/202221

45、4函数与极限3.第二类间断点例6解10/11/2022214函数与极限例7解注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.10/16/2022215函数与极限例7解注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.10/11狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续, 其余各点处处间断.10/16/2022216函数与极限狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.判断下列间断点类型:10/16/2022217函数与极限在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.判断例8解10/16/2022

46、218函数与极限例8解10/11/2022218函数与极限三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)10/16/2022219函数与极限三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx10/16/2022220函数与极限可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx思考题10/16/2022221函数与极限思考题10/11/2022221函数与极限思考题解答且10/16/2

47、022222函数与极限思考题解答且10/11/2022222函数与极限但反之不成立.例但10/16/2022223函数与极限但反之不成立.例但10/11/2022223函数与极限练 习 题10/16/2022224函数与极限练 习 题10/11/2022224函数与极限10/16/2022225函数与极限10/11/2022225函数与极限练习题答案10/16/2022226函数与极限练习题答案10/11/2022226函数与极限10/16/2022227函数与极限10/11/2022227函数与极限10/16/2022228函数与极限10/11/2022228函数与极限一、四则运算的连续性定

48、理1例如,10/16/2022229函数与极限一、四则运算的连续性定理1例如,10/11/2022229函二、反函数与复合函数的连续性定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.10/16/2022230函数与极限二、反函数与复合函数的连续性定理2 严格单调的连续函数必有定理3证10/16/2022231函数与极限定理3证10/11/2022231函数与极限将上两步合起来:10/16/2022232函数与极限将上两步合起来:10/11/2022232函数与极限意义1.极限符号可以与函数符号互换;例1解10/16/2022233函数与极限意义1.极限符号可以与函数符号互换;例1解10/11/202例2解同理可得10/16/2022234函数与极限例2解同理可得10/11/2022234函数与极限定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,10/16/2022235函数与极限定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,10/11/20三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.10/16/2022236函数与极限三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连定理5