两角差的余弦公式-教学设计

1、两角差的余弦公式一、设计理念1、教学内容分析：本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修4（人教A版）第三章三角恒等变换，两角和与差的正弦、余弦和正切公式的第一课时，是在高一学生学习了三角、向量等知识之后，两角差的余弦公式是对三角和向量数量积知识的一个应用；同时，对于得到两角和差的正弦、正切公式起着重要作用，对于在计算中的化简和实际中的运用也十分必要；因而公式本身的应用十分广泛。作为一名没有上过本节内容的新教师，根据教学的设想，两角差的余弦公式这部分内容共分为三个层次：第一层次教师根据所学的特殊的三角函数值提出问题，设置悬念，激起学生对于的兴趣；第二层次学生带着质疑和好奇心，在老师的指引

2、下，探索并利用“三角函数线”、“向量法”、“三角形全等法”证明得到两角差的余弦公式：；第三层次运用或逆用公式解决课本的例题和相应的练习，体会公式的实用性。学生通过对两角差的余弦公式的探索和证明过程，感受“提出问题、质疑探索得到结果的方法得到结果进行应用” 这一思维方法，养成善于思考的品质和勇于求真的精神。2、学情分析：对与高一的学生来说，已学了三角函数、向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，对于两角和差的余弦、正弦和正切公式有着浓厚的兴趣；但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。根据以上特点，教师通过设置悬念激起学生的兴趣并进行恰当引导，提高学生学习主动性，多

3、加以前后知识间的联系，带领学生参与分析问题、解决问题并对得到的结果进行应用。3、设计思想：建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，因此本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境和悬念，以“”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，通过生生互动、师生互动等形式，学生通过3种途径得到。使得学生在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力。二、教学目标1、知识与技能：(1)经历两角差的余弦公式的探索证明过程，掌握得到的方法，为建立其它和（差

4、）公式打好基础；(2)熟练掌握两角差的余弦公式的结构形式，并能运用公式进行简单的求值、化简。2、过程与方法：(1)通过两角差的余弦公式的学习和应用，掌握在应用中如何把要求三角函数值的角转化为已知三角函数值的两个角的和或差的方法，体会化归、转化这一基本数学思想在发解决问题过程中的作用；(2)使学生进一步掌握用联系变化的观点看问题的方法，在解决问题过程中，要注意前后知识的联系。3、情感态度、价值观：(1)通过对的探索，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力，同时树立数形结合的思想；(2)通过三角函数线、向量的数量积、三角形

5、全等等知识来获得，体现事物之间普遍联系与辩证统一。三、教学重、难点1、重点：两角差的余弦公式得到、公式结构的形式及其应用。2、难点：两角差的余弦公式得到的过程及如何说明公式对于任意角也成立。3、重、难点突破：本节主要运用启发、引导法突破重、难点，在公式的探究过程中充分发挥学生的主观能动性，并提供三种思路让学生自主讨论、探究，最后得到两角差的余弦公式，并通过针对性的例题、练习巩固得到的公式。四、教法学法1、教法指导：(1)启发、引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。(2)生生、师生讨论法：有利于学生进行交流，及时发现

6、问题，解决问题，调动学生的积极性。(3)讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。2、学法指导：（1）通过所学的特殊三角函数值设置问题，激起学生对于的兴趣。（2）通过讨论、提示，引导学生探索，在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。（3）通过例题、练习巩固公式：，为学生提供动手的机会，充分体现课堂上以学生为主体基本原则。五、教学准备制作多媒体课件，学生准备计算器。六、教学过程1、设置问题，导入新课：师：我们在初中时就知道，由此我们能否得到，请同学们拿起计算器算算，是不是等于呢？那么是否有？生：通过计算，

7、讨论、举反例，得出不成立。师：提出问题: ,这节课我们就一起探讨两角差的余弦公式【设计意图】从最简单（课本例1）出发，设置问题，激起学生对于兴趣和强烈的求知欲，从而轻易地把学生带进所要探索的内容中。2、带着疑问，探索：方法一：（三角函数线）师：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为，等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角和角？（注意：要与三角函数线联系起来.）生：讨论、交流以及通过预习明确如何在单位圆中作图。师：展示多媒体动画课件,引导学生如何作图并板书过程。-CBAMPOXYP1师：根据上图，提出问题。生：在中，。师：那么OM可以

8、怎样表示出来？ 生：OM=OB+BM。师：那么OB,BM又可以怎么表示？生：选取直角三角形，利用三角函数知识得到：故：师：请同学们计算。生：计算【设计意图】利用学生熟悉的三角函数的知识启发和引导学生得到，培养学生的观察、动手能力。方法二：（向量法）师：思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？生：讨论、动手画图，选取向量并演算。师：展示多媒体动画课件,引导学生得到。1-1yxoBA【设计意图】利用向量法得到，体现了向量知识的应用及在应用过程中的简便，提醒学生要注意前后知识的联系。师：思考（1）对于任意的，公式成不成立？为什么？生：思考，讨论

9、。师：解析为什么。(1)当是任意角时，总可以找到，使得；(2)当时，则；(3)当时，则，。故：对于任意的角，有思考（2）生：。师：这两个公式有什么特点？生：讨论并提出自己的见解。师：归纳特点：同名相乘，符号相反！方法三：（三角形全等）师：我们已经用了两种方法得到，那么同学们还有没有其他的方法呢？生：思考。师：提示：利用三角形全等（如下图），请同学们课后完成。BAOXY-CD（利用得：AC=BD,再利用两点公式即可得到：，再用代替得到：）。【设计意图】为学生提供多一种方法，而且第三种方法比较简单，使得学生在课后加深对两角和、差的余弦公式的理解，鼓励学生勇于探索、创新。3、例题讲解：例1利用和、差

10、角余弦公式求值.解：分析：把构造成两个特殊角的和、差。 例2已知，是第三象限角，求的值.解：因为，由此得又因为是第三象限角，所以所以【设计意图】使学生直观地感受公式的应用，并注意三角函数值的符号及书写格式。4、课堂练习：快速求值：(1)； (2)；(3)； (4)。课本练习：练习：1，2，3【设计意图】用练习去巩固所学知识，使学生逐步形成良好的知识结构，加强数学知识应用能力的培养。5、课堂小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程；熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.6、课后作业： （1）练习4；（2

11、）A组2，3【设计意图】作业是课堂的延续，除了检验学生对本节课知识的理解程度，还在于引导学生对本课知识的进一步探究，让学生在更大的深度与广度之间进行思考。七、板书设计4.课堂练习：（1）快速求值：（2）P127练习：1，2，35.课后作业：P127练习：4；P137A组2，3引入新课： 探索过程： （1）方法一：（2）方法二：（3）方法三：提示：3.例题讲解：例1.例2.八、教学反思新课程改革纲要提出，要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。特别是本节属于公式教学，不是要求学生死记硬背地记住公式，而是要求学生明白公式怎么得来，进而自然而然的记住公式