决策理论与方法教学第五章群决策解析课件

1、决策理论与方法教学第五章群决策解析决策理论与方法教学第五章群决策解析第五章 群决策第五章 群决策学习目的理解群决策的基本理论和分类；掌握常用的用于方案评价和选择的群决策综合评价法：序数法、基数法；理解算子 WGA、 OWA、 OWGA、 CWAA、 WAA、 CWGA的定义和特点，掌握常用的群决策算子集结方法。学习目的理解群决策的基本理论和分类；本讲内容群决策的概念 、基础理论与分类；群决策的综合评价法群决策的算子集结方法本讲内容群决策的概念 、基础理论与分类；任何决策会影响一群人，因此在公正、民主的社会中，重大的决策应尽量满足受该决策影响的群众的愿望和要求。群众通过代表反映愿望和要求，代表们

2、构成各种委员会。行政机构中的领导班子社会发展信息和知识的积累及更新速度加快，领导个人难以掌握和应付智囊团和咨询机构应运而生并广泛存在，作用加强。委员会、代表大会、议会、协会、俱乐部、领导班子、组织、智囊团等等都是群。群中的成员各有偏好，要形成集体意见需要研究群决策和社会选择理论。任何决策会影响一群人，因此在公正、民主的社会中，重大的决策应5.1.1群决策的概念在现实生活中，决策往往是群体行为，是由多人参加进行行动方案的选择活动。这些组织的成员、代表就是群体决策者中的一员。作为群体决策，其决策程序、决策评价标准与单个决策者的决策有很大的差异，在决策原则、方法、许多方面都有新的内容，因而应用单个决

3、策者的决策方法进行群决策在许多方面都受到了限制。5.1.1群决策的概念5.1群决策概论 5.1.1群决策的概念 群决策是集数学、政治学、经济学、心理学、管理学和决策科学等众多学科研究于一体的交叉学科。不同学科对群决策研究的侧重点不同，从而导致了不同学科对群决策的定义术语也复杂多变。 国外学者Hwang在1978年对群决策的分析和总结后，也给出一个群决策的定义，即群决策是把不5.1群决策概论 5.1.1群决策的概念不同成员的关于方案集合中方案的偏好按某种规则集结为决策群体的一致或妥协的群体偏好序 。这个定义强调了群体决策过程是寻找每一个决策个体都能够认可的群体效用函数。 国内学者陈珽这样定义群决

4、策：群是由群众选出代表组成的各种各样的委员会，群决策是集中群中各成员的意见以形成群的意见。 不同成员的关于方案集合中方案的偏好按某种规则 邱菀华等学者却认为：群决策是研究多人如何作出统一有效的抉择。多个个体组成群体，个体间可能是合作，也可能是竞争的，还可以是复杂联合的以及合作基础上的有限竞争等，但必须合作择出统一的决策行为。 邱菀华等学者却认为：群决策是研究多人如何作为一个明确的概念是由Black在1948年首次提出的形成与发展过程三个阶段：18世纪80年代法国，代表人物Condorcet孔多赛（陪审团定理、投票悖论和Condorcet规则，1775）和 Borda 波达（Borda 规则，1

5、781）。19世纪60年代到90年代的英国，代表人物Dodgson 和Nanson，提出了一些有效的投票规则。20世纪50年代到80年代的美国，代表人物Arrow（不可能定理，1951） 作为一个明确的概念是由Black在1948年首次提出的投票悖论假设甲乙丙三人，面对ABC三个备选方案。甲 A B C乙 B C A 丙 C A B 投票悖论指的是在通过“多数原则”实现个人选择到集体选择的转换过程中所遇到的障碍或非传递性，这是阿罗的不可能定理衍生出的难题。投票悖论假设甲乙丙三人，面对ABC三个备选方案。假设有甲、乙、丙三人，分别来自中国、日本和美国，而且是分别多年的好朋友。三人久别重逢，欣喜之

6、余，决定一起吃饭叙旧。但是，不同的文化背景形成了他们不同的饮食习惯，对餐饮的要求各不相同，风格各异 甲：中餐西餐日本餐乙：日本餐中餐西餐丙：西餐日本餐中餐假设有甲、乙、丙三人，分别来自中国、日本和美国，而且是分别多如果用民主的多数表决方式，结果如下所示：首先，在中餐和西餐中选择，甲、乙喜欢中餐，丙喜欢西餐；然后，在西餐和日本餐中选择，甲、丙喜欢西餐，乙喜欢日本餐；最后，在中餐和日本餐中选择，乙、丙喜欢日本餐，甲喜欢中餐。如果用民主的多数表决方式，结果如下所示：首先，在中餐和三个人的最终表决结果如下：中餐西餐，西餐日本餐，日本餐中餐所以，利用少数服从多数的投票机制，将产生不出一个令所有人满意的结

7、论，这就是著名的“投票悖论”（paradox of voting）。而且，通过对表决程序细节的设置，会大大影响和改变表决结果。投票悖论最早是由康德尔赛(Marquis de Coudorcet)在18世纪提出的，因而该悖论又称为康德尔赛效应，而利用数学对其进行论证的则是肯尼斯阿罗。三个人的最终表决结果如下：中餐西餐，西餐日本餐，日根本不存在一种能保证效率、尊重个人偏好、并且不依赖程序 (agenda)的多数规则的投票方案。 简单地说，阿罗的不可能定理意味着，在通常情况下，当社会所有成员的偏好为已知时，不可能通过一定的方法从个人偏好次序得出社会偏好次序，不可能通过一定的程序准确地表达社会全体成员

8、的个人偏好或者达到合意的公共决策。投票悖论表明：根本不存在一种能满足阿罗五个假设条件的社会选择原理。解决投票悖论的方法是限制投票偏好。 阿罗的不可能定理根本不存在一种能保证效率、尊重个人偏好、并且不依赖程序 (a5.1.2 群决策的基本假设 群决策的理论建立在个体决策理论的基础之上，因此，个体决策理论假设也是群决策假设，除此之外，群决策由于是多个决策者共同对问题作出决策，也需要自己的研究假设，一般而言存在以下假设： 假设1. 任何个体决策者难以作出完美的决策，都可能会犯错误。 5.1.2 群决策的基本假设个体决策者在做出决策时，存在着犯错误的可能性，因此，决策充满风险和不确定性。由假设1可知，

9、决策是有风险和不确定性的。正是通过对个体偏好的一致集结，得到来自不同来源的信息，才大大减少了决策带来的风险和不确定性。假设2. （自主性）群中的个体独立地作出选择和判断，不受他人影响。但同时不排除决策者之间沟通交流，弥补个人掌握信息的不足，以改进偏好和选择，最终达成具有群体一致性的结果。 即决策者有独立选择机会，其行动不受较高层权利的支配，但不排除群体成员间相互影响。个体决策者在做出决策时，存在着犯错误的可能性，因此，决策充满假设3. （共存性）决策者在已知的共同条件下进行选择，不存在 某一个或几个成员认可某一方案时，不管其他决策者的态度如何，就认定该方案为群决策选择的方案。假设4. 群决策的

10、结果应该是个体决策者的偏好形成一致或妥协之后得出的，即Pareto原则。 假设3. （共存性）决策者在已知的共同条件下进行选择，不存在假设5. 群决策一般来说是非结构化的复杂决策问题。 群决策需要解决的问题往往庞大而又复杂，单个决策者的知识和精力都极为有限，难以作出令人满意的决策，需要集中群决策者集体的智慧才能创造性地解决问题。假设6. 群决策质量受到所采用的决策规则的影响。给定群决策其他因素不变，所采用的规则不同会得出不同的决策规则。当采用不同的决策规则时，每个备选方案都有机会成为最终的方案。假设5. 群决策一般来说是非结构化的复杂决策问题。5.1.2.1 群决策与个人决策的对比（1）决策的

11、正确性：群体决策比较切合实际。（2）决策的速度：群体决策需要比个人决策花费更多的时间。 （3）决策的创造性：个人决策具有较大的创造性。 （4）决策的风险性：会出现群体决策的极化现象5.1.2.1 群决策与个人决策的对比5.1.2.2 群决策的极化现象 在现实生活中，每个人都会面临两种选择：或赞同或反对。在这种情况下群体会做出什么样的反应呢？有研究表明群体成员一起进行决策时，会使群体决策更具有倾向性，也就是说做出的决策会比个人自己做出的决定更加极端。这种群体的思维方式叫做群体极化。 如果个体在群体讨论之前，对某个决定已经具有了赞同的倾向，那么在讨论后，这种赞同的倾向会更加明显；相反，如果在讨论前

12、，个体对某个决定已经具有了反对的倾向，那么在讨论后这种反对的倾向也会得到加强。 5.1.2.2 群决策的极化现象群决策的有效程度群决策的有效程度5.1.3 群决策的理论基础 从早期的投票理论中发展而来的社会选择理论是群决策的主要理论基础，其他的理论基础分别是效用理论和行为决策理论。1. 选择理论5.1.3 群决策的理论基础 选择理论包括社会选择理论和社会福利理论两个理论框架。Arrow在其Social Choice and Individual Values一书中提出了著名的Arrow不可能定理，揭示了个人理性与集体理性之间的矛盾，是现代选择理论体系形成的标志，也是群决策研究领域的经典理论。

13、选择理论包括社会选择理论和社会福利理论两阿罗定理所依据的四个公理是完备性，即社会选择必须接受任何可能的个人偏好；独立与无关选择公理，即社会对两个选择的排序只与个人对这两个选择的排序有关，而与他们对其它选择的排序无关。帕累托原则，即，如果社会中所有的人都认为X比Y好，则社会排序也应该认为X比Y好，则社会排序也应该认为X比Y好；社会中不应该存在一个独裁者，即不存在一个在任何时候都说话算数的人。阿罗定理所依据的四个公理是 Sen则是现代社会选择理论体系的构建者，在其著名的价值限制理论Collective Choice and Social Welfare一书中提出了解决“投票悖论”的方法，促进了Ar

14、row理论框架的发展。 Sen则是现代社会选择理论体系的构建者，在其社会福利函数的基本概念 社会福利函数的概念是Bergson在1938年提出来，而由Samulson加以发展的。他们认为社会福利是一种可以测度的量，人们可根据它来判断一种社会状况与另一种社会状况的优劣，因此他们定义了社会福利函数来度量社会的福利。社会福利函数的基本概念 社会福利函数必定是一种规则，即一种潜在的群决策过程，对各位成员所作的福利判断的集结实际上是由这种群决策过程确定的。因此，尽管某些福利经济学家在Arrow的著作发表以后曾一度否认社会福利与社会选择有关，但事实上，社会福利函数与其他社会选择函数一样，其本质是一种从个人

15、对社会状况的排序得出社会总体排序的方法。社会福利函数必定是一种规则，即一种潜在的群决策过程，对各位成 2. 效用理论 Von Neumann-Morgenstern 在Theory of Games and Economic Behavior一书中建立了决策的效用理论，将决策者的偏好结构用个体效用函数 数联合表达，成为现代效用理论和对策的基础。群体效用理论主要研究利用群体效用函数来表达决策群体的偏好结构，并据此做出群体决策，包括个体效用集结理论和群体效用生成方法。 2. 效用理论3. 行为理论 决策行为按决策思维方式不同，分为理性决策和行为决策两类, 前述的决策理论属于以逻辑思维为主的理性决策

16、，根据现成的规则评价方案，寻求群体一致的决策。行为决策理论是针对理性决策难以解决的问题发展起来的，该理论从认知心理学的角度，研究决策者在判断和选择中信息的处理机制及其所受的内外部环境的影响，进而提炼出理性决策理论所没有考虑到的行为变量，修正和完善理性决策模型。 3. 行为理论5.1.4 群决策的分类 根据群中成员的行为准则可将群决策分为两大类： 一大类是从伦理道德出发，追求群作为整体利益的集体决策，它研究各成员间不存在根本厉害冲突的合作型群决策问题；另一类是群中成员追求自身利益和其他人对立的价值，即成员间存在利益冲突的非合作型群对策（或称博弈）问题。 在合作型群决策这一大类问题中，群的组织结构

17、大致可分为两种形式，一是委员会，一是递阶的权力结构。 5.1.4 群决策的分类 一大类是从伦理道德出发，追求群作为 非合作型群决策中，如何解决矛盾，主要是靠对策论方法、人工处理（如调解和仲裁等）及一定的协议约束。研究成员中存在利益冲突的数学方法是对策论，在基于对策论的方法中，协商与谈判，仲裁与调解在现实生活中有着极其重要的作用。 非合作型群决策中，如何解决矛盾，主要是靠对决策理论与方法教学第五章群决策解析5.2 群决策的综合评价法5.2.1 问题的描述 群决策者在众多的备选对象(候选人、方案等) 中进行选择，不同的决策者对备选对象的总体优劣有不同的意见，这就要用适当的方法，根据有关准则进行全面

18、评价，在这一节中我们主要讨论在多准则情况下群决策过程中的评价与决策的具体方法。 设决策群体 要方案 进行5.2 群决策的综合评价法5.2.1 问题的描述评价，每位决策者将根据自己选定的准则对方案进行考察， 表示各准则的权重，满足条件 , 不同决策者采用的准则及其权重可以相同也可以不同。决策者对各备选方案的评价信息可用矩阵来表示： 评价，每位决策者将根据自己选定的准则 问题的求解是由群体成员根据 种不同的准则对各方案 作出评价，得到群的评价结论 。决策者对方案及其准则所采用的评价方法有序数性方法（序数法）和基数性方法（基数法）。 5.2.2 序数法 评价矩阵包含了决策群体成员根据各种准则对备选方

19、案的评价信息，我们的评价方法就都应从评价矩阵入手。无论是基数法还是序数法，在对备选方案进行评价时都有两种途径，一种是一致准则法，另一种是个体各自评价法。 问题的求解是由群体成员根据 种不同的准则前者是要求决策群体中各成员所采用的评价准则及各准则的权重能达成一致意见，其具体做法是将群决策问题转化为独裁决策问题，再选用已知的决策方法进行求解。后者则对决策群体中各成员所采用的评价准则及各准则的权重能达成的意见不强求一致，其具体做法是先由群体中的各成员各自对方案的总体优劣作出评价，再把个体序集结成群的排序。前者是要求决策群体中各成员所采用的评价准则及由于序数法的实质是排序，各方案评价值的大小反映方案的

20、优劣次序，无法进行直接运算，因此下面需要介绍Borda函数的相关内容。1.Borda函数 Borda函数是社会选择函数中的一类，它是由法国数学家和航海家Borda提出来的。该方法是由投票人根根据偏好对各候选人排序。设 表示候选人的 由于序数法的实质是排序，各方案评价值的大小反集合，其中有m个候选人，则 将 这些数分别赋予排在第一位、第二位、 、最末位的候选人，然后计算各候选人的得分总数（Borda分）的大小，最高分者为获胜者。Borda分即Borda函数为其中 表示群中成员数， 表示候选人； 表示群中第 成员认为候选人 优于 ； 集合，其中有m个候选人，则 将 表示群中认为候选人 优于 的成员

21、数目；候选人可按 的大小进行排序。 2. 一致准则法 在用一致准则法时，首先要从 得出根据各准则 的排序矩阵： 表示群中认为候选人 优 根据 计算群中各决策者对各备选方案在准则 时的Borda分，从而得到Borda分矩阵 ，计算出候选方案 的总得分 。由 的大小，可以排定各方案优劣次序 并定义一致性矩阵 ， 根据 计算群中各决策者对各备选方案在通过设置对不同准则的加权向量 （主观权重或客观权重）反映准则的重要性差别，利用 和 ，就可以计算加权一致性矩阵 ，其中 为了从 中求出候选方案 的排序，可以求解如下的线性规划问题：该问题的解 表示候选方案 应处于第 位。通过设置对不同准则的加权向量 （主

22、观权重或客观权重）反映例5-2-2 （Bernardo 1977）研究了NASA宇宙飞船科学实验的选择问题。NASA拟定了6个可能的实验方案： 通讯与航行实验； 地面观测实验； 物理与化学实验； 微生物实验； 系统检测试验和 环境效应实验，对每一实验考察目标分别：需要性、 研究性和 发展性。NASA组织了6 例5-2-2 （Bernardo 1977）研究了NASA宇位专家对所有方案进行综合分析，后因实验时间和条件的限制，通讯与航行实验的方案 被先行淘汰而不予评定。根据准则6位专家对可行方案进行了排序，其评价结果见表5-2-1。 位专家对所有方案进行综合分析，后因实验时间和决策理论与方法教学第

23、五章群决策解析以上述评价表为基础，每个准则对应有一个矩阵由此可得Borda分矩阵及总得分如下：以上述评价表为基础，每个准则对应有一个矩阵由依据各准则得出一致性矩阵：依据各准则得出一致性矩阵： 据此得出加权一致性矩阵，并代入进过协商一致的准则权重 , 则有 决策理论与方法教学第五章群决策解析 由此解得群对方案的综合排序结果为: 决策理论与方法教学第五章群决策解析3. 个体各自评价法 若决策群体中各决策者无法就决策准则取得一致或准则一致但不能就权重向量达成一致的情形时可采用个体各自评价法，其步骤是： 步骤 1 决策者 根据准则 ，对备选方案各自排序，得到 ，并各自给出准则的权重向量 。 3. 个体

24、各自评价法 步骤 2 计算决策者的加权一致性矩阵 ，其中 ，求解指派问题 该问题的解 表示决策者 将候选方案 排在 步骤 2 计算决策者的加权一致性矩阵 第 位。 步骤 3 以此求出各个决策者的排序后，用Borda 法集结群体意见可得到群的排序意见。 下面我们用该方法求解上例，设专家 对各准则的权重设置为 ,其对实验方案 按三个准则, 作出加权一致矩阵为 第 位。 求得专家 的方案排序为类似地专家 的权向量为 ，其方案的排序为 专家 的权向量决策理论与方法教学第五章群决策解析为 ，其方案排序为 专家 的权向量为 ，其方案排序为 专家 的权向量为 其方案排序为 专家 的权向量为 ,其方案排序为

25、。 因此可以获得优先序矩阵 ,并可得到与其相应的Borda分矩阵：为 ，其方 对 Borda分矩阵按行求和，并按分值高低降序排序，得到群对方案的综合排序为： 决策理论与方法教学第五章群决策解析5.2.3基数法 在群中各决策者能够根据各种准则给出备选方案有关性能（属性）的基数信息时，可用基数法。基数法也可以有一致准则法和个体各自评价法两类。决策群体中各决策者所采用的评价准则及各准则的权重能达成一致意见时采用一致准则法，否则使用个体各自评价法。采用一致准则法要先将各决策者5.2.3基数法对方案评价的信息集结为群的评价信息，再用适当的多属性决策方法对各方案进行排序；而个体各自评价法则是用适当的方法得

26、到群中各决策者各自对备选方案优劣次序，再把个体序集结成群的排序。1. 一致准则法 若决策群体中各决策者就评价准则及其权重向量达成一致意见的情形时可采用一致准则法，在这里对方案评价的信息集结为群的评价信息，再用适当我们借助于多属性决策中TOPSIS法给出群决策的分析方法，其步骤是： 步骤 1 设群中各决策者的决策矩阵 ,获得群的规范化决策矩阵 。其中 这里假设群中各决策者对方案的评价有相同的重要性(即群中各决策者有相同的权力)。 我们借助于多属性决策中TOPSIS法给出群决策的分 步骤2 计算规范化加权决策矩阵 , 其中 为各准则的权向量。 有了规范化加权决策矩阵，就把群决策问题转化为多属性决策

27、问题，以下各步与多属性决策问题中的TOPSIS法相同。 步骤3 确定理想点和负理想点: 步骤2 计算规范化加权决策矩阵 效益型； 成本型 步骤 4 计算距离测度。方案 到理想点和负理想点的距离分别为：则到理想点的相对接近度为： 步骤 5 根据 的大小得出群对方案的排序， 的值越大，则方案 越优。 2. 个体各自评价法 在采用个体各自评价法时，群中各决策者所采用的准则可以不同。为了表达方面，设各决策者所使用的准则集的并集 决策者 的准则 决策理论与方法教学第五章群决策解析权重向量为 满足归一化条件。若决策者 不采用准则 则 ，其他记号与一致准则法相同。下面给出借助于多属性决策中TOPSIS法给出

28、群决策的分析方法。其步骤是：步骤 1 计算决策者 的规范化加权矩阵 ，其中 ；步骤 2 利用与一致准则法中步骤35求得决策者 对权重向量为 备选方案的优劣排序。步骤 3 由各决策者 对备选方案的排序，运用Borda法集结个体排序，以形成群的排序。 备选方案的优劣排序。5.3 群决策的算子集结方法 算子严格地说是一种映射或一种函数，它将空间上的一组数映射到另一空间上，利用集结信息的研究与运用得出简便有效的信息集结方法。 5.3.1常用算子介绍1加权算术平均算子、加权几何平均算子WAA， WGA定义5.3.1 设WAA： 若5.3 群决策的算子集结方法 算子严格地说是一种映 WAA其中 是一组数据

29、 的加权向量，且有 则称函数WAA是加权算术平均算子，也称WAA算子。定义5.3.2 设WGA： ，若 WAA其中 是一组数据 的指数加 WAA权向量，且有 则称函数WAA是WGA是加权几何平均算子，也称为WGA算子。 2有序加权平均算子、有序加权几何平均算子 OWA，OWGA定义5.3.3 设OWA： ，若 OWAw 其中 是与函数OWA相关联的加权 权向量，且有 向量，其中 是与函数OWA相关联的加权向量， 且 是数据组 中第 大的元素，则称函数OWA是有序加权平均算子，也称为OWA算子。定义5.3.4 设OWGA： ，若 OWGAw其中w 是与函数OWGA相关联的指数加 向量，其中 是向

30、量，且 是数据组中第 大的元素，则称函数OWGA是有序加权几何算子，也称为OWGA算子。3. 组合加权算术平均算子、组合加权几何平均算子 CWAA，CWGA 定义5.3.5 设CWAA： ，若 CWAA, w 其中w 是与函数CWAA相关联的加权向向量，且 是数据组中第 大的元素，则称函数量，且 是加权数据 中第 大的元素，这里 是数据组 的加权向量， 是平衡因子，则称函数CWAA是组合加权算术平均算子，也称为CWAA算子。定义5.3.6 设CWGA： ， 若其中w 是与函数CWGA相关联的指数加权向量，且 是指数加权数据 中第 大的元素，这里 是数据组 量，且 是加权数据 的指数加权向量，

31、是平衡因子，则称函数CWGA是组合加权几何平均算子，也称为CWGA算子。5.3.2 群决策算子集结方法 利用上述信息集结的算子方法，我们分别讨论属性值为实数且权重信息未知和属性值为实数且权重以偏好信息形式给出这两种情况下群决策算子集结方法。的指数加权向量， 是平衡因子，则称函数CWGA是1. 属性值为实数且权重信息未知（1）问题描述： 设某一多属性群决策问题，设 为方案集； 属性集，权重信息未知， 为决策者集， 为决策者的权重向量， 决策者 给出方案 在属性 下的属性值 ，从而可以得到决策矩阵 。 1. 属性值为实数且权重信息未知（2）基于OWA算子和CWAA算子的多属性群决策方法的具体步骤：

32、 步骤1 对决策矩阵 进行规范化处理，得到规范化矩阵 。 步骤2 利用OWA算子对 中第 行的属性值进行集结，得到决策者 所给出的方案 综合属性值 （2）基于OWA算子和CWAA算子的多属性群决策其中 是OWA算子的加权向量，且 是 中第 大的元素。 步骤3 利用CWAA算子对 位决策者给出方案 的综合属性值 ;进行集结，得到方案的群体综合属性值 ，其中 是函数CWAA算子的加权向量， 是平衡因子， 是加权数据 中第 大的元素。其中 是 步骤4 根据 对方案进行排序。(3) 基于OWGA算子和CWGA算子的多属性群决策方法的具体步骤： 步骤1 对决策矩阵 进行规范化处理，得到规范化矩阵 。步骤

33、2 利用OWGA算子对矩阵 中第 行的属性值进行集结，得到决策者 所给出的方案 综合属性 步骤4 根据 值 ,其中 是函数OWGA算子的指数加权向量，且 是 中第 大的元素。 步骤 3 利用CWGA算子对 位决策者给出的方案 的综合属性值 进行集结，得到方案 的群体综合属性值 ，其中是CWGA算子的指数加权向量， 是指数加权数据值 ,其 中第 大的元素， 是平衡因子。 步骤4 根据 对方案进行排序。2. 属性值为实数且权重以偏好信息形式给出（1）问题描述： 对于某一多属性群决策问题，设 为方案集， 为属性集， 为决策者 集， 为决策者的权重向量，且决策者 不能直接给出属性的权重，而是利用一定的

34、标度对属性进行两两比较，并以判断矩阵（一般分为互反判断矩阵、模糊互补判断矩阵、残缺互补判断矩阵等）的形式给出属性的权重偏好信息。决策者给出方案 在属性 下的属性值 ，从而可以得到决策矩阵 。集， 为决策者（2）基于WAA算子和CWAA算子的多属性群决策方法的具体步骤： 步骤1 对决策矩阵 进行规范化处理，得到规范化矩阵 。 步骤 2 利用相应的判断矩阵排序方法求出每个决策者所给出的判断矩阵的排序向量，即从各个决策者所给出的属性偏好信息中获得相应的属性权重向量 。（2）基于WAA算子和CWAA算子的多属性群决策 步骤 3 利用WAA算子对矩阵 中第 行的属性值进行权集结，得到决策者 所给出的方案 综合属性值 步骤 4 利用CWAA算子对 位决策者给出的方案 的综合属性值 进行集结，得到方案 的群体综合属性值 ，其中是CWAA算子的加权向量， 是平衡因子， 是加权 步骤 3 利用WAA算子对矩