流体力学第二章

1、流体力学第二章课件1第1页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学2-1 流体静压强及其特性 平衡流体中的压强称为流体静压强，用符号p表示，单位Pa流体静压强具有两个重要特征：1）它的方向和作用面的内法线方向一致；2）任一的流体静压强大小与其作用面的方位无关。2第2页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学 如讨论P点处压强，在周围取如图微元四面体ABCO,作用在各表面的压强如图所示，理想流体无剪切应力，由于dx、dy、dz 的取法任意，故面ABC的法线方向n方向也是任意的。压强各向同向性证明：分别沿 x、y、z 三个方向建立力的

2、平衡关系：x方向合外力质量质量力（x方向）yxzdxdydzpzpxpypnnABCoP3第3页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学方程左端等于：方程右端等于： 三阶小量0，由此可得：同理可得：即：因为图中的n方向为任取，故各向同性得证。4第4页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学2-2 流体平衡的微分方程及其积分一、流体平衡的微分方程 在平衡流体（静止或相对静止）中取定一直角坐标系 oxyz，坐标轴方位任意。在流体内取定一点P（x ,y ,z）,然后以该点为中心点沿坐标轴三个方向取三个长度 dx,dy,dz, 划出一微元

3、六面体作为分析对象:xyzPdxdydz5第5页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学假设：六面体体积：dV=dxdydz中心点坐标： x ,y ,z中心点压强：p = p（x , y ,z）中心点密度： =（x ,y ,z）中心点处三个方向的单位质量力: fx, fy, fz 微元六面体的表面力可以用中心点处压强的一阶泰勒展开表示,如图为x方向质量力，其他方向同理可得。由于流体静止故无剪应力。xyzPdxdydz6第6页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学x方向的表面力为：x方向的质量力为：流体静止，则 x 方向的合外力为

4、零：7第7页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学两边同除以 dV=dxdydz 并令 dV 趋于零，可得 x方向平衡方程：y, z 方向同理可得：流体平衡微分方程（欧拉平衡微分方程）表明当流体平衡时，若压强在某个方向有梯度的话，必然是由于质量力在该方向有分量造成的缘故。矢量形式为：8第8页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学将上三个式子分别乘以dx，dy，dz，然后相加起来，得到：此式左端是个全微分：根据数学分析理论可知，右端括号也是某函数=（x,y,z）的全微分d ，称为质量力的势函数，或称质量力有势。得流体平衡微分方程

5、的综合式9第9页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学 这就是平衡的必要条件，即平衡的必要条件是质量力为有势力，换句话说：流体只有在有势的质量力作用下流体才可能平衡。 重力、惯性力和电磁力都为有势力。根据数学分析，上述括号是全微分要求右端的三个质量力分量 fx ，fy ，fz 满足下列关系：10第10页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学则平衡微分方程可写为：当质量力有势时，设质量力与势函数的关系为：如果我们知道某一点的压强值 p0 和质量力势函数0 的值,则任何其它点的压强和势函数之间的关系便可表示为：11第11页，共63

6、页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学帕斯卡（Blaise Pascal）定律 上式中，因为(-0)是由流体密度与质量力的势函数所决定的，而与p0无关。倘若 p0值有所改变，则平衡流体中各点的p也将随之有相同大小的变化，这就是著名的压强传递的帕斯卡定律。12第12页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学等压面的概念：流场中压强相等的空间点组成的几何曲面或平面p=c等压面在等压面上满足：上式积分后为一几何曲面或平面，该曲面上满足 dp=0，上方程称为等压面方程。即：13第13页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章

7、 流体静力学等压面方程还可写为：其中： 为质量力向量。为等压面上的任一线矢上式表明：等压面处处与质量力相正交。14第14页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学不可压缩平衡流体的等压面具有：1）在平衡流体中，等压面就是等势面2）等压面恒与质量力正交15第15页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学例如：1.在重力场下静止液体等压面必然为水平面gaa3. 在水平向右加速容器中的液体，合成的质量力向左下方，因此等压面是向右倾斜的平面2. 在加速上升电梯中的液体除了受到重力之外，还受到向下的惯性力，二者合成的质量力均为向下，因此等压

8、面也是水平面16第16页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学2-3 流体静力学基本方程设封闭容器自由面处压强为p0，如图建立坐标系，考虑距水平轴高度为 z 处的某单位质量流体，其质量力可表示为：p0。xzgz得：一、流体静力学基本方程代入平衡微分方程17第17页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学积分得：此式称为流体静力学基本方程。上式表明，在平衡流体中 p/(g)与z之和为常数。显然，静止流体中等压面为水平面zc（2-1）或：18第18页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学对于不同高度

9、上的1、2两点，流体静力学基本方程可以写为:z2。11zxp0。z真空假设液面压强为p0，将式（2-1）用于液面上一点和液体内任意一点，则有：19第19页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学其中h是计算点距自由面的深度。（2-2）20第20页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学二、流体静力学基本方程的物理意义及几何意义（2-1）式（2-1）中第一项z代表单位重量流体所具有的位能（重力势能），这是因为重量为mg、高度为z的流体的位能是mgz；第二项p/g代表单位重量流体所具有的压能（压强势能）。如图所示A点处的压强为p，在压

10、强p和完全真空之间的压强差作用下，液面上升到B点，上升的高度为hp= p/g，即为单位重量流体所具有的压能。21第21页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学从几何来看式（2-1）中第一项z表示某点相对于基准面的位置高度，称为位置水头；第二项p/g表示某点压强作用下液体在完全真空的闭口测压管中上升的高度，称为压强水头。位置水头与压强水头之和叫静水头。（2-1）流体力学基本方程的几何意义是：在重力作用下的连续均质不可压缩静止流体中，各点的静水头为一常数，或者说各点的静水头连线为一平行于基准面的水平线，这条线称为静水头线。22第22页，共63页，2022年，5月2

11、0日，1点22分，星期五第二章 流体静力学2-4 压强的计量及量测一、压强的计量：以真空为压强参考值计量的压强称为绝对压强，以 p 来表示以大气压 pa 为参考压强，高出大气压部分的压强称为相对压强 pe= p-pa以大气压 pa 为参考压强，不足大气压部分的压强称为真空度 pv= pa-p对于同一个压强值 p ，其相对压强 pe 与其真空度 pv 之间的关系为 pe= -pv 23第23页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学1个标准大气压强（又称为物理大气压强）=101325N/m21个工程大气压强=98100N/m224第24页，共63页，2022年，5

12、月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学例 封闭盛水容器的中央玻璃管是两端开口的，如图所示。已知玻璃管伸入水面以下h=1.5m时，既无空气通过玻璃管进入容器，又无水进入玻璃管。试求此时容器内水面上的绝对压强p0和相对压强pe0。解：容器内水面上任一点和玻璃管底部压力差为gh，有pa用1个工程大气压强计。所以p0为25第25页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学容器内水面上的相对压强peo为：由于pe00，说明容器内水面处于真空状态，其真空值为：26第26页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学二、压强的测量常见的测量压

13、强的仪器有液柱式测压计、金属测压表和电测式仪表等。液柱式测压计的测压原理是以流体静力学基本方程为依据的。下面介绍几种常用的液柱式测压计。1.测压管测压管的优点是：结构简单，测量精度较高；缺点是：只能测量较小的液体压强，当相对压强大于0.2个工程大气压强时，就需要2m以上高度的测压管，使用很不方便。27第27页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学2.U形管测压计U形管中的液体，一般采用水、酒精或水银。如图读出h1、h2后，根据流体静力学基本方程式，得由1，2两点在同一等压面上，p1=p2，得A点的相对压强注：当被测流体为气体时，由于气体密度较小，上式最后一项g

14、h1可以忽略不计。28第28页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学3.U形管差压计需要测定流体内部两点的压强差或者静水头差时，采用U形管差压计。由1，2两点在同一等压面上，p1=p2，得整理可得A、B两点的压强差为将 带入上式，化简可得A、B两点的静水头差29第29页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学4.倾斜式微压计在测定微小压强（或压强差）时，为提高精度而使用。当p1和p2不相等时，例如p1p2，则斜管中液面将上升h，容器内液面下降h。根据流体静力学基本方程，有由于容器内液体下降的体积与斜管中液体上升的体积相等，即有

15、，将其带入上式，并考虑到 ，可得30第30页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学例 如图所示的测压装置称为复式水银测压计，一般用来测量比较大的压强。已知测压计中各流体交界面高程为： =1.8m， =0.7m， =2.0m, =0.9m，=2.5m，水的密度=1000kg/m3中,水银的密度m=13600kg/m3，试求压力容器液面的相对压强pe0。解：根据等压面性质，2-2，3-3，4-4及5-5都分别为等压面，因此有复式水银测压计31第31页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学故压力容器液面的相对压强32第32页，共63

16、页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学2-5 液体的相对平衡 如果液体相对于地球有运动，但液体本身各质点之间却没有相对运动，这种运动状态称为相对平衡。例如相对于地面做等加速（或等速）直线运动或等角速度旋转运动的容器中的液体，便是相对平衡液体。 研究处于相对平衡的液体中的压强分布规律，最好的方法是采用理论力学中的达朗伯原理，即将坐标系置于运动容器上，液体相对于该坐标系是静止的。注：与重力场中的平衡液体所不同的是，相对平衡液体中的质量力除了重力外，还有牵连惯性力。33第33页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学等角速度旋转容器内液体的相

17、对平衡如图圆筒作匀角速转动，求其中液体的压强分布规律和等压面形状。将坐标系固连于转筒，并建如图坐标系。考虑距底壁为z ,半径为r 处单位质量流体，会受到一个向下的质量力大小为g ,此外还受到一个向外的牵连离心惯性力大小为2r。对于液体内任一点A(x，y，z)，三个方向的质量力为： 34第34页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学将质量力代入流体平衡微分方程可得：积分得：由自由面条件定出积分常数：坐标原点（r = 0 ， z = 0） 时, p = p0 ，可求得积分常数 C =p0， 带入上式，得：或：这是等角速度旋转直立容器中液体静压强分布规律的一般表达式

18、。（2-2）35第35页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学若p为任一常数，则得等压面族（包括自由液面）方程为：由此可见，等角速度旋转直立容器中液体的等压面是一族绕z轴的旋转抛物面。对于自由液面， p = pa=p0 ，令zs为自由液面上某点的垂直坐标，则可得自由液面为：代入式（2-2）中，得式中h=zs-z是液体中任意一点的淹没深度。注：各点的静压强随淹没深度的变化仍是线性关系；但是各点的静水头却不等于常数。36第36页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学 此外压强分布还与旋转角速度的平方2 成正比，如旋转角速度很大，这

19、个质量力可以很大 ，从而一定半径处的压强会很大。 由于随半径不同各处的惯性离心力不同，因此合成的惯性力方向随半径而变化，这是旋转平衡液体的等压面成为抛物面形状的原因。 旋转液体的特点在在工程中也有很重要的应用，例如旋转铸造或离心铸造等，对于铸造薄壁容器、列车车轮等有重要意义。37第37页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学在生产实践中，可根据旋转容器中液面高度的变化，来测定容器的旋转角速度的大小。先计算一下回转抛物体的体积由自由表面的方程式:在oxy坐标平面以上的回转抛物体内的液体体积为：容器内抛物体的高度差H为：38第38页，共63页，2022年，5月20

20、日，1点22分，星期五第二章 流体静力学这说明圆筒型容器中的回转抛物体体积恰好是高度为最大高度差H的圆柱体体积的一半。回转抛物体的这一数学性质对于解决等角速度回转的相对平衡问题很有用处。根据液体的不可压缩性，旋转前后，容器内液体的体积应该保持不变。由图可见，H2、H1和H0之间有关系式：化简后可得：又有：39第39页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学由前面两式。消去H2，则得：在通常的情况下，圆筒半径R和未旋转前筒内液面高度H1为已知量，由上式可见，旋转后的自由面中心处高度H0和旋转角速度成一一对应关系。测得高度H0，即可用上式求得容器旋转角速度的大小。注

21、：有H2、H1和H0之间的关系式，知道H2一样可以求得。40第40页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学一、顶盖中心开孔通大气如图所示，顶盖中心开孔并通大气的直立圆筒容器内盛满液体。当圆筒容器以等角速度绕中心轴旋转时，由于受容器顶盖的限制，液面不能形成旋转抛物面，但液体内各点的静压强仍按旋转抛物面分布。作用在顶盖（z=0）上各点的相对压强为：如图可见，相对压强pe在旋转轴心（r=0）处最小，在边缘(r=R)最大，且与r2、2成正比。离心铸造法就是根据这个原理，通过离心铸造机的高速旋转来增大铸模外缘处液态金属的压强，从而得到较为密实的铸件。41第41页，共63

22、页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学二、顶盖边缘开孔通大气如图所示，顶盖边缘开孔并通大气的直立圆筒容器内盛满液体。当圆筒容器以等角速度绕中心轴旋转时，由于容器内部产生真空，液体无法流出，液面同样不能形成旋转抛物面，但液体内各点的静压强仍按旋转抛物面分布。作用在顶盖（z=0）上各点的真空值为：如图可见，真空值pv在旋转轴心（r=0）处最大，且与2成正比。离心式水泵或风机就是根据这个原理，通过叶轮的高速旋转在叶轮中心处形成真空把水或空气吸入壳体，再借叶轮高速旋转所产生的离心惯性增大能量后，由出口输出。42第42页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二

23、章 流体静力学2-6 静止液体作用在平面上的总压力 在工程实际中，常常会遇到静止液体作用在结构物（如阀门、容器、管道以及水工建筑物等）表面上的总压力的计算问题。结构物表面，有平面和曲面之分，本节讨论作用在平面上的液体总压力计算。设在静止液体中有一与水平面交角为的平面ab，其面积为A，液面上和平面ab外侧均为大气压强，如图所示。为分析方便，将平面ab绕0y轴旋转90置于纸面上，建立图示x0y坐标系。43第43页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学在平面ab上任取一微元面积dA，其淹没深度为h，到0 x轴的距离为y。液体所用在dA上的压力为：因作用在平面ab各微

24、元面积上的dP方向相同，沿受压面积A积分上式为：式中 是受压面积A对0 x轴的静矩，其值等于受压面积A与其形心坐标yc的乘积，因此式中 为受压面形心点C的淹没深度，而 则为受压面形心点C的相对压强。44第44页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学总压力P的方向，与dP的方向相同，即沿着受压面的内法线方向。总压力P的作用点D（亦称压力中心）位置，可利用理论力学中的合力矩定理（即合力对某轴的力矩等于各分力对同一轴的力矩之和）求得。如对0 x轴，有或式中 为受压面积A对0 x轴的惯性矩。化简整理上式，得45第45页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星

25、期五第二章 流体静力学 根据惯性矩平行移轴公式 ，将受压面积A对0 x轴的惯性矩Ix换算成对通过受压面形心C且平行于0 x轴的轴线的惯性矩ICx，于是上式又可以写成 因为 恒大于零，故yDyC，也就是说压力中心D总是位于形心点C的下方。46第46页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学常见规则图形的惯性矩、形心和面积等边梯形圆47第47页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学半圆圆环48第48页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学矩形三角形49第49页，共63页，2022年，5月20日，1点

26、22分，星期五第二章 流体静力学例 一铅直矩形闸门两侧均受到静水压力的作用，如图所示。已知h1=4.5m，h2=2.5m，闸门宽度（垂直于纸面）b=1.0m，试求作用在闸门上的静水总压力大小及其作用点位置。解： 作用在闸门上的静水总压力为闸门两侧水压力之差，即因为故50第50页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学由于矩形平面的压力中心坐标为故P1、P2的作用点离闸门下端的距离分别为1/3h1和1/3h2。设总压力P离闸门下端距离为l，则由合力矩定理可得故51第51页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学2-7 静止液体作用在

27、曲面上的总压力由于曲面上各点的法线方向不相同，彼此互不相平行，也不一定交于一点。因此，静止液体作用在曲面各微元面积上的压力为一复杂的空间力系，求其总压力的问题便成为空间力系的合成问题。二元曲面：设有一面积为A的二元曲面ab，其母线垂直于纸面，左侧承受静止液体压力作用，如图所示。微元面积dA，其形心点的淹没深度为h，则液体作用在该微元面积上的压力为：将dP分解为水平与垂直两个微元力,并分别积分的两个分力。52第52页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学一、总压力的大小和方向1.总压力的水平分力设为微元面积dA的法线与x轴的夹角，则作用在微元面积上的水平分力为又

28、因为， 故总压力的水平分力为式中Ax为曲面面积A在铅垂面（y0z平面）上的投影面积，hC为Ax的形心点的淹没深度。从上式可知，作用在曲面ab上的总压力的水平分力为Px等于作用于该曲面的铅垂投影Ax上的总压力。53第53页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学2.总压力的垂直分力作用在微元面积上的垂直分力为 ，而 ，故总压力的垂直分力为式中 为曲面ab上的液柱体积，通常称为压力体体积，记为Vp，故上式成为由此可见，作用在曲面ab上的总压力的垂直分力Pz等于压力体的液重54第54页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学3.总压力

29、总压力的大小为 总压力的方向可用其与垂线间的夹角 来确定55第55页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学二、总压力的作用点 由于总压力的水平分力Px的作用线通过Ax的压力中心，垂直分力Pz的作用线通过压力体Vp的重心，且均指向受压面，故总压力的作用线必通过上述两条作用线的交点，其方向由上式确定。这条总压力作用线与曲面的交点即为总压力在曲面上的作用点。56第56页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学三、关于压力体压力体是从积分式 得到的一个体积，它是一个纯数学概念，与该体积内是否有液体存在无关。压力体一般是由三种曲面所围成的封闭体积，即受压曲面（底面）、自由液面或其延长面（顶面）以及通过受压曲面边界向自由液面或者延长面所作的垂直柱面（侧面）。在特殊情况下，压力体也可能是由两种面（如浮体）或一种面（如潜体）所围成的封闭体积。57第57页，共63页，2022年，5月20日，1点22分，星期五第二章 流体静力学 垂直分力Pz的方向是取决于液体、压力体与受压曲面间