近世代数知识题解答四章

1、近世代数习题解答 第四章整环里的因子分解1素元唯一分解证明：0不是任何元的真因子。证当a。0时若a = 0b贝U a = 0古攵矛盾当a = 0时，有0 = 8 0（ 是单位）就是说0是它自己的相伴元我们看以下的整环/ , /刚好包含所有可以写成（m是任意整数，n Z 0的整数）形式的有理数，/的哪些个元是单位，哪些个元是素元？证1）I的单位总可以把表为m = 2kp（p是。或奇数，k非负整数）我们说p = 1时，即m = 2k是单位，反之亦然2）1的素元依然是m = 2kP（P,k的限制同上）我们要求|） P 力 0II） P 1iii） 2kp只有平凡因子满足i）iii）的p是奇素数故m

2、= 2 kP而p是奇素数是是素元，反之亦然，2nI是刚好包含所有复数a + bi （a, b整数）的整环，证明5不是/的素元，5有没有 唯一分解？证（1 ） 1的元8是单位，当而且只当812 =1时，事实上，若8 = a + bi是单位则 1 = 88 -1 |1|2=8 |218 j2即 1=|8 |2 |8 |2但8 I2 = a2 + b2是一正整数，同样8 I2也是正整数，因此，只有8 |2 = 1反之，若 8 |2 = a 2 + b 2 =1，则 a = 1, b = 0或a = 0, b = 1这些显然均是单位此外，再没有一对整数a，b满足a2 + b2 = 1 ,所以I的单位只

3、有土 1,i。适合条件区|2 = 5的1的元a 一定是素元。事实上，若a |2 = 5则a。0又由(1)a也不是单位若 a = pX,5 = a |2 = |P |21 |2则 |P2| =1 或|P 2| = 5|P|2 = 1 n。是单位n |X |2 = p_似nX是a的相伴元|P |2 = 5 n |X|2 = 1 n X 是单位 n P = X-1a n P 是a 的相伴元 不管哪种情形，a只有平凡因子，因而a是素元。I的元5不是素元。若5 = pa 则25 = |p|2X|2这样，IP|2只可能是1,5,25当p |2 = 5由P是单位当|p|2 = 5 n |X|2 =1由X是单

4、位此即p，X中有一是5的相伴元现在看|P |2 = 5的情形P=a+所,IP |2=a 2+b2=5可能的情形是 a = 1a = 1 J a = 1Ta = 1,b = 1 . b ： 显然 5 = (2 +,b = 1 . b ： 显然 5 = (2 +i)(2 -=-1I b = 1i)由(2)知|p |2 = 5的p是素元，故知5是素元之积5的单一分解5 = (1 + 2i)(1 2i) = (1)(1 + 2i)(1)(1 2i)=(i)(1 + 2i )(i )(1 2i) = (i)(1 + 2i)(i )(1 2i) 1,i均为单位2唯一分解环证明本节的推论证本节的推论是；一个

5、唯一分解环1的n个元a1,a2,a在I里一定有最大公因子，a1, a2,a”的两个最大公因子只能查一个单位因子。用数学归纳法证当n = 2时，由本节定理3知结论正确。假定对n -1个元素来说结论正确。看n的情形 设七a,.有最大公因子为气。幺_1 ,匕的最大公因子为d(i = 1,2,n -1)即 d|d而d|a(i = 1,2(i = 1,2,n -1)又d|an故d是a a , a , a的公因子1, 2, n-1 n假定 d a i = 1,2,.,n -1, nn-1这就是说，d是a1 a2 ,a ,a的最大公因子 若d是an 1,a.的最大公因子 那么，|d且dd，n d = ud

6、d = vd n d = uvd若 d = 0 则 d - = od丰0贝U uv = 1即u是单位& 故 d = d2 .假定在一个唯一分解环里a = db ,a = db，,a = db1122 n n证明 当而且只当d是a ,a，,a的一个最大公因子的时候，b ,b ,b互素 12 n12 n证”n”假定d是a,an的一个最大公因子若 b ,b，b不互素 12 n则有 b = d c，, b = d c而d不是单位那么a = dd c (i =1,n)这就是说dd是a,a的公因子所以 dd |d 即 d = dd d故 d d = 1d是单位矛盾”u”假定,b互素令d是a1，-an的最大

7、公因子则有d|d即d|da = d c = dd c(i = 1,2,n)b = dc n d是b，,b的公因子i 1 i11 n于是d 是单位d- = s d那么d是a,a”的最大公因子* *3 .假定I是一个整环，0)和(力)是/的两个主理想 证明(a) = (b)当而且只当b是/的相伴元的时候证*假定(a) = (b)a = cb, b = c a a = cca cc = 1c, c，是单位所以b是a的相伴元假定b = a( 8 单位)b e (a),(b) u (a)a = -ib，(a) u (a)故(a) = (b)3 主理想1 .假定I是一个主理想环，并且(a, b) = d证

8、明d是a和b的一个最大公因子，因此a和b的何最大公因子d都可写成以下形式：d = sa + tb (s, t e I)证 由于(a, b) = (d)有a e (d),a = ad b e (d),b = bdd是a ,b的公因子仍由(a,b) = (d)知 d e (a, b)故有 d = s a +1 b设d 是a, b的任一公因子由(A)知djd即d是a, b的最大公因子又d =d( 单位 )=(s a +1 b) = (s )a + (t )b = sa + tb,(s, t e I)一个主理想环的每一个最大理想都是由一个元素所生成的。证 设(P)是主理想环/的最大理想，并设(P)力0

9、若p是单位，则(p) = 1若P不是素元则p = bc , b, c是p的真因子(P) u (b)(p)最大理想. (b) = I1 e (b) n b是单位，矛盾。3 我们看两个主理想环I和10是I的子环，假定a和b是10的两个元，d是这两个元在I里的一个最大公因子。证明：d也是这两个元在I里的一个最大公因子。证10是主理想环的子环，所以在10里(a, b) = (d) 由本节习题1知d是a, b的最大公因子，而且最大公因子d有以下形式：d = sa + tb(s，t g I )10 u I, d也是a, b在I里的公因子。设d 1是a, b在I里任意公因子贝 U a = a d , b =

10、 b d那么 d = sa + tbd = (sa + tb ) 1 1 1 1 1d|d故d是a, b在I里的最大公因子。4欧氏环证明:一个域一定是一个欧氏环.证设F是域，则F 一定是整环 x g F, x 04 : x - n, n是某一个固定 0的整数，这符合条件(i)II) a g F, a 0 对 F 的任何元 b 都有 b = a (a - 1 b) + 0这里r = 0我们看有理数域F上的一元多项式环Fx理想等于怎样的一个主理想?证 我们说(X2 + 1 , X5 + X3 + 1) = F XX2 + 1, X5 + X3 + 蜡素. -X3(X2 + 1) + 1(X5 +

11、X3 + 1) = 1即1 G (X 2 + 1, X 5 + X 3 + 1)因而(x2 + 1, X5 + X3 + 1)=F(X)证明由所有复数a + bi (a, b是整数)所作成的环是一个欧氏环取(4 (a) = a)证 a = a + bia, b 整数令 4 (a) = |a |2 = a 2 + b 2设 a。0 则 a |2 = a 2 + b 2 0任取P = c + dic, d 整数其中、-ac + bd b, _ ad - bc2 + b 2 a 2 + b 2故a,b是有理数取入-x + yi,x, y是有理数，且满足条件a - x V L, lb - y 令 ri

12、=U-人_ha以贝u p-入以+门以因为P,入，以,的实部与虚部系数均为整数所以门a的实部与 虚部系数亦均为整数h以I2设门a - rh|2 -人-入|2 - (a - x)2 + (b - y)2 (：)h以I2设门a - r-hl2 a I2国2r |2 争 |2P-Xa + r |2 争 |2即Nr )奴以)，主意:取入-x + yi”，主意:取入-x + yi”-y| 1的整数x -心妒例如|aac + bd只要取x -即可使a 2 什 b 2a，-x| 2使 a - x 2x, y是可以做到的-x,、ac + bd或厂_ a 2 + b 25多项式环的因子分解1.假定!是一个唯一分解

13、环,Q是/的商域，证明,lx的一个多项式若是在Qx里可约，它在lx里已经可约.证 若/(x)在lx里不可约，令f (x) - dfx)f(x)是本原多项式显然，f0(x)在lx里也不可约,由引理3 f0(x)在Qx里不可约, 这与f 4)在Q x里可约的假设矛盾.2.假定lx是整环I上的一元多项式环.!属于f (x)但不属于I，并且f (x)的最高系 数是I的一个单位，证明f (x)在Ix里有分解.证f (x)的最高系数是I的单位，所以f (x)的系数的最大公因子是单位也就是说 f (x)是本原多项式.f (x) e I (x)而 f (x) e I即f (x)次数0根据本节引理4证明的前一部

14、分f (x)在I(x)里有分解。6因子分解与多项式的根假定R是模16的剩余类环,R幻的多项式X2在R里有多少个根？证X2在R里的所有根是0,4,8,12这里因为m是x 2的根，则需4 m假定F是模3的剩余类环,我们看FX的多项式f (X) = X3 - X证明,f (a) = 0不管 a是F的哪一个元.证 f (X) = X3 - X = X(X + 1)(X - 1) = X(X + 1)(X + 2)不管a是F的0,1,或2均使f (a) = 0证明本节的导数计算规则证 f (x) = a Xn + a Xn-1 + a Xm + a x + ag (x) = b xm + b x + b

15、i) f ( x) + g ( x)=a Xn+ aXm+1+ (a + b)Xm+ (a+ b)x + (a + b)nm+1m m1100=na xn-1 + . + (m + 1)a xm +m(a + b )Xm-1 + (a + b )=na Xn-1 + (m +1)a Xm + ma Xm-1+ a + mb xm-1 + b = f,(x) + g,(x)f ( x) g ( x ) = ab Xn + m + (a b + a b )Xn + m-1+ (a b + a b )x + a b TOC o 1-5 h z 0 11 00 0=(n + m)a b xn+m-1 + (n + m 一 1)(a b+ a b )Xn +m - 2 + (a b + a b )n-1 m0 110f(x)g(x) + g(x) f (x) = (na Xn-1 + (n 一1)a Xn-2 + a )(b xm + b + b )+ (mb Xm-1 + b )(a Xn + a Xn-1 + a )=(n + m)abx + (a b + a b )故有0 11(ii) f(x)g (x) = f,( x ) g (x) + g，(x) f (x)现在证