平面向量与立体几何

1、Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET. HYPERLINK 平面向量向量有关概概念：（1）向量量的概念念：既有有大小又又有方向向的量.（向量量可以平平移）。（2）零向向量：长度为为0的向量量叫零向向量，记记作：，注意意零向量量的方向向是任意意的；（3）单位位向量：长度为为一个单单位长度度的向量量叫做单单位向量量(与共线的的单位向向量是)；（4）相等等向量：长度相相等且方方向相同同的两个个向量叫叫相等向向量，相相等向量量有传递递性；（5）平行行向量（也也叫共线线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫

2、做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量量一定是是共线向向量，但但共线向向量不一一定相等等；两个向量量平行与与与两条条直线平平行是不不同的两两个概念念：两个个向量平平行包含含两个向向量共线线, 但两两条直线线平行不不包含两两条直线线重合；平行向量量无传递递性！（因因为有)；三点共线线共线；（6）相反反向量：长度相相等方向向相反的的向量叫叫做相反反向量。的相反向量是。向量的表示示方法：（1）几何何表示法法：用有有向线段段表示，如如，注意意起点在在前，终终点在后后；（2）符号号表示法法：用一一个小写写的英文文字母来来表示，如如等；（3）坐标标表示法法：在平平面内建建立直角角坐标

3、系系，以与与轴、轴方方向相同同的两个个单位向向量，为基底底，则平平面内的的任一向向量可表表示为，称称为向量量的坐标标，叫做向向量的坐坐标表示示。如果果向量的的起点在在原点，那那么向量量的坐标标与向量量的终点点坐标相相同。平面向量的的基本定定理：如果e1和和e2是同一一平面内内的两个个不共线线向量，那那么对该该平面内内的任一一向量aa，有且且只有一一对实数数、，使a=e1e2。实数与向量量的积：实数与向向量的积积是一个个向量，记记作.平面向量的的数量积积：（1）向量量的夹角角：对于于非零向向量，作作，称为向向量的夹夹角，当当0时时，同向向，当时，反向向，当时，垂直直。（2）平面面向量的的数量积积

4、：如果果两个非非零向量量，它们们的夹角角为，我我们把数数量叫做做的数量量积（或或内积或或点积），记记作：，即即。规定定：零向向量与任任一向量量的数量量积是00，注意意数量积积是一个个实数，不不再是一一个向量量。（3）在上上的投影影的数量量为，它是是一个实实数，但但不一定定大于00。（4）的几几何意义义：数量量积等于于的模与在上的投投影的积积。（5）向量量数量积积的性质质：设两两个非零零向量，其夹夹角为，则则：；当，同向向时，特别别地，；当与反向时时，；当为锐锐角时，0，且且不同向向，00是为锐锐角的必必要非充充分条件件；当为钝钝角时，0，且不反向，0是为钝角的必要非充分条件；非零向量量夹角的计

5、计算公式式：；。向量的运算算：（1）几何何运算：向量加加减法：利用“平行四四边形法法则”“三角角形法则则”进行，特特别要注注意：若若为中点，则则；（2）坐标标运算：设，则则：向量的加加减法运运算：，。实数与向向量的积积：。若，则，即即一个向向量的坐坐标等于于表示这这个向量量的有向向线段的的终点坐坐标减去去起点坐坐标。平面向量量数量积积：。 向量的的模：。两点间的的距离：若，则则。向量的运算算律：（1）交换换律：，；（2）结合合律：，；（3）分配配律：，。提醒：（11）向量量运算和和实数运运算有类类似的地地方也有有区别：对于一一个向量量等式，可可以移项项，两边边平方、两两边同乘乘以一个个实数，两

6、两边同时时取模，两两边同乘乘以一个个向量，但但不能两两边同除除以一个个向量，即即两边不不能约去去一个向向量，切切记两向向量不能能相除(相约)；（2）向向量的“乘法”不满足足结合律律，即，为为什么？向量平行(共线)的充要要条件：向量与与非零向向量平行行的充要要条件是是存在实实数使得得；向量垂直的的充要条条件： 。向量中一些些常用的的结论：（1）一个个封闭图图形首尾尾连接而而成的向向量和为为零向量量，要注注意运用用；（2），等等号当且且仅当同同向或反反向或有有时才有有可能成成立（3）在中中，若，则其其重心的的坐标为为。为的重心心，特别别地为 的的重心；为的垂心心；向量所在在直线过过的内心心(是的的

7、角平分分线所在在直线)；（4）向量量中三终终点共线线存在实实数使得得且.立体几何（文文科只关关注平行行、垂直直即可）平面的基本本性质：（1）公理理1：一条条直线的的两点在在一个平平面内，那那么这条条直线上上的所有有的点都都在这个个平面内内。这是是判断直直线在平平面内的的常用方方法。（2）公理理2：如果两两个平面面有两个个公共点点，它们们有无数数个公共共点，而而且这无无数个公公共点都都在同一一条直线线上。这这是判断几几点共线线（证这这几点是是两个平平面的公公共点）和和三条直直线共点点（证其其中两条条直线的的交点在在第三条条直线上上）的方方法之一一。（3）公理理3：经过不不在同一一直线上上的三点点

8、有且只只有一个个平面。推推论1：经过过直线和和直线外外一点有有且只有有一个平平面。推推论2：经过过两条相相交直线线有且只只有一个个平面。推推论3：经过过两条平平行直线线有且只只有一个个平面。公公理3和三个个推论是是确定平平面的依依据。（4）能够够用斜二二测法作作图（平平行还平平行，横横等纵变变半）。（5）三视视图：长长对正、宽宽平齐、高高相等空间两条直直线的位位置关系系：平行行、相交交、异面面的概念念；（1）公理理4：平行线线的传递递性；等等角定理理；（2）异面面直线所所成的角角：范围：（=为异面面垂直）；求法：计计算异面面直线所所成角的的关键是是平移（中中点平移移，顶点点平移以以及补形形法：

9、把把空间图图形补成成熟悉的的或完整整的几何何体，如如正方体体、平行行六面体体、长方方体等，以以便易于于发现两两条异面面直线间间的关系系）转化化为相交交两直线线的夹角角。（3）异面面直线间间的距离离：公垂垂线段（和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。公垂线夹在异面直线间的部分叫公垂线段）的长度。（4）证明明两条直直线是异异面直线线：反证证法、异异面直线线的判定定（连结结平面内内一点与与平面外外一点的的直线，和和这个平平面内不不经过此此点的直直线是异异面直线线）。直线与平面面（1）位置置关系：（2）直线线与平面面平行（直直线与平平面没有有公共点点）判定：如果果平面外外的一条条直线与与平

10、面内内的一条直直线平行行，那么么这条直直线和这这个平面面平行；性质：如果果一条直直线和一一个平面面平行，那那么经过过这条直直线的平平面和这这个平面面相交的的交线和和这条直直线平行行。在遇到线面面平行时时，常需需作出过过已知直直线且与与已知平平面相交交的辅助助平面，以以运用线线面平行行性质。（3）直线线与平面面垂直：如果一一条直线线和平面面内任何何一条直直线都垂垂直，那那么这条条直线和和这个平平面垂直直。注意：任任一条直直线并不不等同于于无数条条直线；判定：如如果一条条直线和和一个平平面内的的两条相相交直线线都垂直直，那么么这条直直线和这这个平面面垂直。两条平行行线中有有一条直直线和一一个平面面

11、垂直，那那么另一一条直线线也和这这个平面面垂直。性质：如如果一条条直线和和一个平平面垂直直，那么么这条直直线和这这个平面面内所有有直线都都垂直。如果两条条直线都都垂直于于同一个个平面，那那么这两两条直线线平行。（4）三垂垂线定理理及其逆逆定理：定理：在在平面内内的一条条直线，如如果它和和这个平平面的一一条斜线线的射影影垂直，那那么它也也和这条条斜线垂垂直。逆逆定理：在平面面内的一一条直线线，如果果它和这这个平面面的一条条斜线，那那么它也也和这条条斜线在在平面内内的射影影垂直。其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角。（5）直线线与平面面所成的的角：，平平面的斜斜线与平平面所成成的角范范围：斜

12、线与平平面所成成的角：斜线和和平面所所成的角角，是斜斜线与平平面中所所有直线线所成角角中最小小的角。从一点OO出发的的三条射射线OAA、OB、OC，若若AOOB=AOCC，则点点A在平面面BOOC上的的射影在在BOOC的平平分线上上。（注注意：在证明中中不能直直接应用用）平面与平面面：（1）位置置关系：平行、相相交，（垂垂直是相相交的一一种特殊殊情况）（2）平面面与平面面平行（两两个平面面没有公公共点）判定：一个个如果平平面内有有两条相相交直线线和另一一个平面面平行，则则这两个个平面平平行。性质：若两两个平行行平面同同时与第第三个平平面相交交，那么么它们的的交线平平行。若两个平面面平行，则则其

13、中一一个平面面内的任任何直线线与另一一个平面面平行。（3）二面面角：从从一条直直线出发发的两个个半平面面所组成成的图形形。二面角的平平面角：顶点点在棱上上；角角的两边边分别在在两个半半平面内内；角角的两边边与棱都都垂直；范围： ；作平面角的的主要方方法：定义法法：直接接在二面面角的棱棱上取一一点（特特殊点），分分别在两两个半平平面内作作棱的垂垂线，得得出平面面角，用用定义法法时，要要认真观观察图形形的特性性；三三垂线法法：过其其中一个个面内一一点作另另一个面面的垂线线，用三三垂线定定理或逆逆定理作作出二面面角的平平面角；垂面面法：过过一点作作棱的垂垂面，则则垂面与与两个半半平面的的交线所所成的

14、角角即为平平面角；面积积射影法法（小题题）：利利用面积积射影公公式，其其中为平平面角的的大小。（注意：在证明中不能直接应用）（4）平面面与平面面垂直（相相交成直直二面角角的两个个平面）。尤尤其是已已知两平平面垂直直，一般般是依据据性质定定理，可可以证明明线面垂垂直。判定：定定义法；判定定理理：如果果一个平平面经过过另一个个平面的的一条垂垂线，那那么这两两个平面面互相垂垂直。性质：如果果两个平平面垂直直，那么么在一个个平面内内垂直于于它们交交线的直直线垂直直于另一一个平面面。平行、垂直直转化：自己填填写涉及及到的相相关定理理；线线线线线线面面面线线线线线面面面（1）（2）（3）（4）（5）（6）

15、（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）空间距离的的求法：（立体体几何中中有关角角和距离离的计算算，都要要遵循“一作，二二证，三三指，四四计算”的原则则）（1）点到到平面的的距离：垂面法：借助于于面面垂垂直的性性质来作作垂线，其其中过已已知点确确定已知知面的垂垂面是关关键；体积法：转化为为求三棱棱锥的高高；等价转移移法：由由线面平平行或面面面平行行转化为为其它点点到面的的距离。用向量解决决立体几几何问题题 （主要要用于证证明垂直直及求角角）向量夹角公公式、向向量模长长公式、空空间角、空空间距离离；求异面直直线的角角：求两条条直线 a,bb所成的的角:

16、设是直线线 a,bb的方向向向量，=求线面角角：直线线AP与平面面所成角角，设是平平面的法法向量，则则=，求二面角角：设二二面角为为，法一一：设是是平面的的法向量量，是平平面的法法向量，可可求=，则 或，法二二：点AA，B，且, 则， 求点到面面的距离离：，其其中，是平面面的法向向量。棱柱（1）掌握握棱柱的的定义（有两两个面是是多边形形，其余余每相邻邻两个面面的交线线都互相相平行的的多面体体）、分分类，理理解直棱棱柱、正正棱柱的的性质。（2）长方方体的对对角线的的性质：长方体体的一条条对角线线的平方方等于一一个顶点点上三条条棱长的的平方和和；若长长方体的的体对角角线与过过同一顶顶点的三三条棱所

17、所成的角角分别为为，则coos2+coos2+coos2=1；若若长方体体的体对对角线与与过同一一顶点的的三侧面面所成的的角分别别为则coss2+coos2+coos2=2.（3）平行行六面体体直平行行六面体体长方体体正四棱棱柱正方体体之间的的联系和和区别，及及性质。（4）平行行六面体体的对角角线长度度的计算算（向量量方法）（5）S侧侧各侧侧面的面面积和;体积：V=SSh.棱锥（1）棱锥锥的定义义、分类类、正棱棱锥的定定义（底底面是正正多边形形，顶点点在底面面上的射射影是底底面中心心）（2）正棱棱锥的两两个直角角三角形形；（3）相关关计算：S侧各侧面面的面积积和，VV=Shh球（1）球的的截面

18、的的性质：用一个个平面去去截球，截截面是圆圆面；球球心和截截面圆的的距离dd与球的的半径RR及截面面圆半径径r之间的的关系是是r。（2）经纬纬度：根根据经线线和纬线线的意义义可知，某某地的经经度是一一个二面面角的度度数，某某地的纬纬度是一一个线面面角的度度数。（3）公式式：S球=4R2V球R3；（4）球面面上A、B两点的球面距离离（球面面上经过过两点的的大圆在在这两点点间的一一段劣弧弧的长度度）在解答立体体几何的的有关问问题时，应应注意使使用转化化的思想想：利用构造造矩形、直直角三角角形、直直角梯形形将有关关棱柱、棱棱锥的问问题转化化成平面面图形去去解决.将空间图图形展开开是将立立体几何何问题

19、转转化成为为平面图图形问题题的一种种常用方方法.割补法把把不规则则的图形形转化成成规则图图形，把把复杂图图形转化化成简单单图形.利用三棱棱锥体积积的自等性性，将求求点到平平面的距距离问题题转化成成求三棱棱锥的高高.平行转化化垂直转化化解析几何。O。OK直线的倾斜斜角一一定存在在，范围围是，但斜率率不一定定存在。斜率与倾斜斜角的函函数关系系要牢记记下列图图像。斜率的求法法：依据倾倾斜角；依据两两点的坐坐标k=tann=；若方向向向量为且且，则斜斜率为。直线方程: 点斜斜式 y-yy1=k(x-xx1); 斜斜截式yy=kxx+b; 一般式式:Axx+Byy+C=0，（AA，B不不同时为为0）；两

20、点式:; 截截距式:(a0;bb0);求直线方程程时要防防止由于于零截距距和无斜率率造成丢丢解,直线AAx+By+CC=0的的方向向向量为=( BB,-AA)两直线平行行和垂直直若l1:y=kk1x+bb1,l2:y=k2x+bb2 则l1l2k1k2,b1b2;l1l2k1k2=-11若l1:A1x+B1y+CC1=0,l2:A2x+B2y+CC2=0,则则l1l2A1A2+B1B2=0；若l1:A1x+B1y+CC1=0,l2:A2x+B2y+CC2=0则l1l2;两条平行行线（l1:Ax+By+CC1=0,l2:Ax+By+CC2=0）间的距距离d=（一定先将将x、y化为同同系数）。点到

21、直线的的距离为为;圆:标准方方程(xxa)2+(yyb)2=r2; 一一般方程程:x2+y2+Dxx+Eyy+F=0(DD2+E2-4FF0)参数方程:; 直径式式方程(x-xx1)(xx-x22)+(y-yy1)(yy-y22)=00 直线与圆关关系,常化为为圆心到到直线的的距离与与半径的的关系，r相离离; d=rr相切; db0);参数方方程定义: |PFF1|+|PF22|=2aa2ce=0) 定义:|PFF1|-|PF22|=2a11,c22=a2+b2 四端点点坐标？x,yy范围?实虚轴轴、渐近近线交点点为中心心准线x=、通径径，焦点点到准线线的距离离= 渐进线线或;焦点到到渐进线线

22、距离为为b; 抛物线 方程y2=2ppx 定义:|PF|=d准 焦点F(,0),准线线x=-,焦半径;焦点弦弦x1+x2+p;y1y2=pp2,x1x2=其中AA(x1,y1)、B(x2,y2)通径2pp,焦准距距p;直线与圆锥锥曲线，相相交弦问问题用直线和和圆锥曲曲线方程程消元得得二次方方程后,注意用用判别式式、韦达达定理、弦弦长公式式;注意二二次项系系数为00的讨论论;注意对对参数分分类讨论论和数形形结合、设设而不求求思想的的运用;注意焦点点弦可用用焦半径径公式,其它用用弦长公公式涉及弦中中点与斜斜率问题题常用“点差法法”.轨迹方程:直接法：直接利利用条件件建立之之间的关关系；待定系数数法

23、：已已知所求求曲线的的类型，求求曲线方方程先根据据条件设设出所求求曲线的的方程，再再由条件件确定其其待定系系数。定义法：先根据据条件得得出动点点的轨迹迹是某种种已知曲曲线，再再由曲线线的定义义直接写写出动点点的轨迹迹方程；代入转移移法：动动点依赖赖于另一一动点的的变化而而变化，并并且又在在某已知知曲线上上，则可可先用的的代数式式表示，再将将代入已已知曲线线得要求求的轨迹迹方程。参数法：当动点点坐标之之间的关关系不易易直接找找到，也也没有相相关动点点可用时时，可考考虑将均均用一中中间变量量（参数数）表示示，得参参数方程程，再消消去参数数得普通通方程,引入nn个参量量 需要要n+ 1个等等式 ,等

24、式由由几何条条件坐标标化得来来 注意意参量的的范围,解题注意:考虑圆圆锥曲线线焦点位位置,抛物线线还应注注意开口口方向,以避免免错误求圆锥锥曲线方方程常用用待定系系数法、定定义法、轨轨迹法 运用假设技巧以简简化计算算.如:中心在在原点,坐标轴轴为对称称轴的椭椭圆(双曲线线)方程可可设为AAx2+Bxx21;共渐进进线的双双曲线标标准方程程可设为为为参数数,0);抛物物线y22=2ppx上点点可设为为(,y0);直线线的另一一种假设为x=my+a ;解焦点点三角形形常用正正余弦定定理及圆圆锥曲线线定义.排列组合与与二项式式定理（理理科）计数原理 加法原原理：分分类计数数 乘法原原理：分分步计数数

25、排列（有序序）与组组合（无无序）=n(n1)(n22)(nn3)(nnm+1)= =n!；=；排列组合混混合题的的解题原原则：先先选后排排，先分分再排；分组问题：要注意意区分是是平均分组组还是非非平均分分组，平平均分成成n组问题题别忘除除以n！特殊位置、特特殊元素素优先法法：以元素素为主，应应先满足足特殊元元素的要要求，再再考虑其其他元素素. 以以位置为为主考虑虑，即先先满足特特殊位置置的要求求，再考考虑其他他位置.捆绑法（相相邻问题题）； 插空空法（不不相邻问问题）； 至至少问题题：先分分组后排排列； 部分分有序；n元方程解解的个数数； 装装错信封封； 间接接法和去去杂法等等等二项式定理理：

26、特别地：(1+xx)n=1+Cn1x+CCn2x2+Cnrxr+Cnnxn通项为第第r+11项：Tr+1= 作用用：处理理与指定定项、特特定项、常常数项、有有理项等等有关问问题。主要性质质和主要要结论：最大二二项式系系数在中中间。（要要注意nn为奇数数还是偶偶数，答答案是中中间一项项还是中中间两项项）；注意二项式式系数与与项的系系数（字字母项的的系数，指指定项的的系数等等，指运运算结果果的系数数）的区区别，在在求某几几项的系系数的和和时注意意赋值法法的应用用。二项式定理理的应用用：解决决有关近近似计算算、整除除问题，运运用二项项展开式式定理并并且结合合放缩法法证明与与指数有有关的不不等式。概率

27、统计随机事件随机事件的概率定义频率的极限古典概型几何概型等可能事件的概率对立事件互斥事件P（A+B）相互独立事件P(AB)（理）独立重复事件（理）统计用样本估计总体条件概率（理）统计统计抽样简单随机抽样分层抽样系统抽样（机械抽样）抽签法随机数表用样本估计总体期望，方差，标准差E(a+b)，D(a+b)（理）频率分布直方图条形图总体分布的估计正态分布二项分布（理）超几何分布（理）标准正态分布非标准正态分布3原则线性回归相关性检验必然事件 P(AA)=11，不可可能事件件 PP(A)=0，随随机事件件的定义义 0PP(A)1。等可能事件件的概率率：（古古典概率率）P(A)=理解解这里mm、的的意义。互斥事件（AA、B互互斥，即即事件AA、B不不可能同同时发生生，这时时P(AAB)=）PP(A+B)=P（AA）+ P(BB)对立事件（A