2018常微分方程考研复试真题

1、指出以下方程中的阶数，是线性方程仍是非线性方程，并说明原因；（1）t2d2u+tdu+(t2-1)u=0dt2dt（2）dy=x2+y2;dx（3）dy+y=0dxx2求曲线族y=C1ex+C2xex所知足的微分方程4考证函数y=C1e2x+C2e2x是微分方程y-4y=0的解，进一步考证它是通解。5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dy=2xdx6.什么叫积分一个微分方程？7什么是求解常微分方程的初等积分法？8分别变量一阶方程的特点是什么？9求以下方程的通解（1）ysinx（2）x2y2y+1=y（3）tgxdy=1+ydx（4）dy=exp(2x-y)dx（5）dy=y21dx2（6）x

2、2ydx=(1-y2+x-2x2y2)dx7）(x2+1)(y2-1)dx+xydy=010.表达齐次函数的定义11试给出一阶方程yf(x,y)或p(x,y)dx+q(x,y)dy=0为齐次方程的特点。说明二个方程的关系。12求解齐次方程过去用什么初等变换，新旧函数导数关系怎样？13求解以下方程dy2xydxx2y214求解以下方程1）（x+2y）dxxdy=0dy=y+xdxx2ydyxy15.dx=x2y216(x2+y2)dx2xydy=0dy=2yx4dx2xy518192027283738444549505657626368697172818287889293949597981001

3、011051061131141222（1）未知函数u的导数最高阶为2，u,u,u均为一次，所以它是二阶线性方程。（2）为y最高阶导数为1，而y2为二次，故它是一阶非线性常微分方程。（3）果y是未知函数，它是一阶线性方程；假如将x看着未知函数，它是一阶非线性方程。3.提示：所知足的方程为y2y+y=04直接代入方程，并计算Jacobi队列式。方程变形为dy=2xdx=d(x2),故y=x2+C微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。所以，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微分方程的解又称为（一个）积分。7把微分方程的通解用初等函数或经过它们的积分来表达的方法。注意假如通解能归结为初等函

4、数的积分表达，但这个积分假如不可以以用初等函数表示出来，我们也以为求解了这个微分方程，由于这个式子里没有未知函数的导数或微分。8yf(x,y)主要特点是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，此中一个因式仅含有x,另一因式仅含y，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分别变量方程的主要特点，就像f(x,y)同样，p,q分别都能分解成两个因式和乘积。91）积分得x=-cosx+c（2）将方程变形为x2y2dy=(y-1)dx或y2dx，当xy0,y1时积分得y-1x2x2y+lny1+1=c2x(3)方程变形为dycosxdx,当y-1,sinx0时积分得1ysinxy=Csinx-1(4

5、)方程变形为exp(y)dy=exp(2x)dx,积分得exp(y)1exp(2x)C2(5)当y1时，求得通积分y1ln=x+cy1(6)方程化为x2ydx=(1-y2)(1+x2)dx或x2dx=1y2dy,积分得1x2yxarctgxlny+1y2=C2(7)当x(y2-1)0时，方程变形得x21ydy=0dx+y2x1两边积分并化简得y21Cexp(-x2)x210.二元函数f(x,y)知足f(rx,ry)=rmf(x,y),r.0,则称f(x,y)为m次齐次函数。m=0则称它为0次齐次函数。11假如f(x,y)是0次齐次函数，则yf(x,y)称为齐次方程。假如p(x,y)和q(x,y

6、)同为m次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。假如q0则dyp(x,y)f(x,y)，由p,q为m次齐次函数推知f(x,y)为0次齐次函dxq(x,y)数故yf(x,y)为齐次方程。12求解齐次方程常常用变换y=zx.用函数乘积导数的公式得dy=xdzzdxdx13这是齐次方程。令y=zx,dy=xdzz,将方程化为dxdxz+xdz=2z,并即xdzzz3分别变量得(z21)dzdx积分得dx1z2dx1z2z(z21)xln|n|+ln(z2+2)-ln|z|=ln|C|,或x(z21)C用z=yx代入得本来的变量。x2y2zCy.注意y=0方程的解。14（1）当x0时，方程化为dy

7、=12y令y=ux,则原方程化为xdu=1+u,当1+u0dxxdx时,可分别变量得u+1=cx:;通解为y=cx2+x（2）作变换y=ux,则原方程化为2udu=dx于是u2=ln|x|+C,代回原变量，得通积x分：y2x2（ln|x|+C）这是齐次方程。令y=zx原方程化为1u2dx两边积分得1ln|z|=ln|cx|3du=2zux2用z=y代入得xy=1exp(x2)c2y2y=0也是原方程的解。16.变形为dy=x+y，令y=ux得2u=dx积分得-ln|1-u2|=ln|x|-c,代原变dx2y2x1u2x量得通积分x2-y2=cx17.方程右侧分子，分母两条直线交点为（x0,y0）=(-2,1)作变换u=x+2,v=y-1,原方程化为dv2vu，此为齐次方程，令v=uz,经简单计算得2zdz=du,积分得z1du2u