等效法处理“填补法”类题目

1、等效法处理“填补法”类题目湖北省恩施高中陈恩谱在万有引力和静电场一章，有一类题目，在物质或电荷的几何分布出现对称的破缺后，若直接 用微元法和平行四边形定则求解，数学计算繁复。对这类题目，大多资料介绍的方法是填补法：若 填补这些空缺后，使得原来不对称的分布变成对称的分布，从而根据对称性，用现有的物理规律即 可获得待求的物理量。不过，“填补法”思路实际上打的是迂回战术，需要先填回去再挖掉，这样 的反复对学生提出了较高的思维能力要求，致使其掌握效果不佳。2R笔者为克服“填补法”的这个缺陷，在总结了大量类似题目后，提出了一种更直接的方法一一 等效法，这种方法从数学角度讲和“填补法”是等价的，但是因为思

2、路直接，对学生思维能力要求 低，所以学生掌握起来就相对容易一些。特此介绍，并期与同行交流。2R【例1】如图所示，阴影区域是“质量为M、半径为R的球体”挖去 一个小圆球后的剩余部分.所挖去的小圆球的球心。和大球体球心间的 距离是R/2.求球体剩余部分对球体外离球心O距离为2R、质量为m的质 点P的引力F。【解析】填补法分析：先将挖去部分填补回去，则可得到填补后的球体对m的引力F合=G(R-，这个体对m的引力F合=G(R-，这个F合实际上是如图阴影部分和挖去部分对m的引力的矢量和，即七=F + F ；而挖去部分对m的引力为F = GX ，联立解得F = G君零合(2 R + 十 R )2100 R

3、 2M M ,M ,日等效法分析：空腔部分可看做是质量为商和-商的均匀球体组成*，其中顽部分与阴影部分OOO_ Mm对m的引力F = G k，_ Mm对m的引力F = G k，1(2 R)2日日日 23GMmF = F1 -F2 = 1O0RT。【例2】如图所示，A、B、-M对m的斥力为F = G切X?，两力的矢量和为82(2 R + 十 R )2C、D、E是半径为r的圆周上等间距的五个点，在这些点上各固定)A一个点电荷，除A点处的电荷量为一q外，其余各点处的电荷量均为+q，则圆心O处(场强大小为号，方向沿OA方向场强大小为籍，方向沿AO方向场强大小为罗，方向沿OA方向 r2场强大小为誓，方向

4、沿AO方向 r2A.B.C.D.+q Eo :、+q E /【解析】填补法分析：先将A点处一q换成+q，这时由对称性可知，O点处场强为零，这个零 场强实际上是B、C、D、E四点的电荷的合场强E1与A点处+q的场强E2的矢量和，由E1+E2=0 可知，E1方向向上，大小为q；然后将A点处+q换回成一q，则一q在O点的场强E；方向向上， 大小为岩，E；与E1的叠加，得到C答案。等效法分析：将A处的一q看做是+q和一2q组成，A点处+q与B、C、D、E四点的+q在O 点处场强为零，这时，只需要考虑一2q在O点处场强，直接选C。【总结】“等效法”的思路就是将“导致不对称的那个部分”视为“两个相反部分”

5、叠合在一 起形成的，其中一部分与原来的其余部分组合形成对称分布，从而达到简化计算的目的。【例3】如图1所示，半径为R均匀带电圆形平板，单位面积带电量为。，其轴线上任意一点P（坐标为X）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：E=2兀Kb 1- 一土十， _ 【例3】如图1所示，半径为R均匀带电圆形平板，单位面积带电量为。，其轴线上任意一点P（坐标为X）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：E=2兀Kb 1- 一土十， _ T 2 + X 2 人 _方向沿X轴。现考虑单位面积带电量为b的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板， 如图2所示。则圆孔轴线上任意一点2

6、（坐标为X）的电场强度为2 + X 2B, 2 兀Kb0X2 兀Kb 0 rr2 兀Kb 0 X【解析】等效法分析：将图2中空白部分看做是电荷面密度分别为b和-b的两部分的组合， .00.其中面密度分别为b0的部分与灰色部分组合在一起后在Q点场强为E=2兀Kb。（分析：r *，=1），而面密度分别为-b的部分在Q点场强为E2=2兀Kb0与E2方向相反，则两者的矢量和为2兀k b0 （）,，本题选A。【例4】如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油。 假定区域周围岩石均匀分布，密度为P ；石油密度远小于P，可将上述球形区域视为空腔。如果没 有这一空腔，则该地区重力

7、加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和 方向会与正常情况有微小偏离。重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离 叫做“重力加速度反常”。已知引力常数为G。设球形空腔体积为机球心深度为d（远小于地球半径），P = X，求空腔所引起的Q点处的重 力加速度反常。【解析】等效法分析：空腔部分可看做是密度为P和-P两部分的组合，其中密度为P的部分与周围岩石、整个地球形成所谓正常重力加速度。造成“重力加速度反常”就是那个密度为-P的部分，这个部分在Q处产生的“引力加速度”为Mg七，方向沿OQ斜向上其中 M = p V， r = y：d2 + x2 .重力加速度反常是这一改变在竖直方向上的投影 d .g=Agr