三角形四心的向量表示

1、三角形四心的向量表示第1页，共25页。一、 外心ABCABCABCABCABCABCABC三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。 证明外心定理证明: 设AB、BC的中垂线交于点O， 则有OA=OB=OC， 故O也在AC的中垂线上， 因为O到三顶点的距离相等， 故点O是ABC外接圆的圆心 因而称为外心OO第2页，共25页。点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心 的定义及性质等相关知识巧妙结合。到的三顶点距离相等。故 是解析：由向量模的定义知的外心，选B。O是的外心若 为内一点，则 是 的（ ） A内心B外心 C垂心 D重心B第3页，共25页。 二、垂心ABCABCAB

2、C三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。DEF证明: AD、BE、CF为ABC三条高， 过点A、B、C分别作对边的平行线 相交成ABC，AD为BC 的中垂线；同理BE、CF也分别为 AC、AB的中垂线， 由外心定理，它们交于一点， 命题得证证明垂心定理ABC第4页，共25页。例1如图，AD、BE、CF是ABC的三条高， 求证：AD、BE、CF相交于一点。ABCDEFH又点D在AH的延长线上，AD、BE、CF相交于一点 证：设BE、CF交于一点H， 垂心第5页，共25页。ABCO证：设例2已知O为ABC所在平面内一点，且满足:求证：化简：同理：从而 垂心第6页，共25页。1.O是的垂心

3、是ABC的边BC的高AD上的任意向量，过垂心.第7页，共25页。例3 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点， 动点 P 满足则P的轨迹一定通过ABC的 _ 在ABC的边BC的高AD上.P的轨迹一定通过ABC的垂心.所以，时，解:第8页，共25页。解: 例4.（2005全国）点O是ABC所在平面上一点， 若 ， 则点O是ABC的（ ）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高线的交点则O在CA边的高线上,同理可得O在CB边的高线上.D 垂心 5. (2005湖南) P是ABC所在平面上一点，若 则P是ABC的（ ） A外心B内心C重

4、心D垂心D第9页，共25页。三、重心ABCABCABC三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。 证明重心定理 E F D G第10页，共25页。3. O是的重心为的重心.是BC边上的中线AD上的任意向量，过重心.2.在中，给出等于已知AD是中BC边的中线;第11页，共25页。例1 P是ABC所在平面内任一点.G是ABC的重心证明: G是ABC的重心即由此可得（反之亦然（证略）思考： 若O为ABC外心，G是ABC的重心，则O为ABC的内心、垂心呢？第12页，共25页。例2证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍 A B C E F D G证：设A, G, D共线，B, G,

5、E共线可设即：AG = 2GD 同理可得：AG = 2GD , CG = 2GF 重心第13页，共25页。例2证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍另证: A B C E F D G 重心想想看？第14页，共25页。四、内心ABCABCABCABCABC三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。证明内心定理证明 : 设A、C的平分线相交于I, 过I作IDBC，IEAC， IFAB，则有IE=IF=ID 因此I也在C的平分线上， 即三角形三内角平分线 交于一点II E F D第15页，共25页。1.设a,b,c是三角形的三条边长，O是三角形ABC内心的 充要

6、条件是ACBOabc第16页，共25页。2003天津理科高考题 2. O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点， 动点P满足 则P的轨迹一定通过ABC的（ ） A外心 B内心 C重心 D垂心B 内心是BAC的角平分线上的任意向量，过内心； 第17页，共25页。3.（2006陕西）已知非零向量 与 满足 则ABC为（ ） A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形解法一：根据四个选择项的特点，本题可采用验证法来处理. 不妨先验证等边三角形，刚好适合题意，则可同时 排除其他三个选择项，故答案必选 D.D第18页，共25页。 解法二：由于 所在直线穿过ABC的内

7、心，则由 (等腰三角形的三线合一定理)；又 ，所以 ,即ABC为等边三角形，故答案选D.注: 等边三角形(即正三角形)的“外心、垂心、 重心、内心、中心 ” 五心合一！第19页，共25页。 法一抓住了该题选择项的特点而采用了验证法,是处理本题的巧妙方法；法二要求学生能领会一些向量表达式与三角形某个“心”的关系，如 所在直线一定通过ABC的内心; 所在直线过BC边的中点，从而一定通过ABC的重心； 所在直线一定通过ABC的垂心等.第20页，共25页。【总结】(1).是用数量积给出的三角形面积公式; (2).则是用向量坐标给出的三角形面积公式. 4. 在ABC中: (1)若CAa，CBb，求证ABC的面积 (2)若CA(a1，a2 )，CB(b1，b2 )， 求证：ABC的面积 解:第21页，共25页。ABC P第22页，共25页。思考: 如图，设点O在内部，且有则 的面积与的面积的比为_ (2004年全国奥赛题) 3作AC、BC边上的中点E、D，解1:DEABC O第23页，共25页。作AC边上的中点E，解2:思考: 如图，设点O在内部，且有则 的面积与的面积的比为_ (2004年全国奥赛题)