2021-2022学年北京市西城区北京师范大学附中数学高二第二学期期末调研试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若数列满足（，为常数），则称数列为调和数列.已知数列为调和数列，且，则（ ）A10B20C30D402已知随机变量服从二项分布，若，则，分别等于（ ）A，B，C，D，3已知双曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）A焦点在轴上B渐近线方程为C

2、虚轴长为4D离心率为4是虚数单位，若，则的值是 （ ）ABCD5 “”是双曲线的离心率为（ ） A充要条件B必要不充分条件C即不充分也不必要条件D充分不必要条件6已知顶点在轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为，该双曲线的焦点为（ ）ABCD7已知是双曲线：上的一点，是的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）ABCD8如图所示正方形，、分别是、的中点，则向正方形内随机掷一点，该点落在阴影部分内的概率为（ ）ABCD9已知，则的值( )A都大于1B都小于1C至多有一个不小于1D至少有一个不小于110若为纯虚数，则实数的值为ABCD11已知为抛物线上的不同两点，为抛物线的焦点，若，则（ ）AB10

3、CD612已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，为球的直径，且，则点到底面的距离为ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是_14已知，用数学归纳法证明时，有_15函数的最小正周期是_16在数列中，则_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数f(x)=x3+ax2（1）求函数f(x)的解析式及单调区间；（2）求函数f(x)在区间-3,2的最大值与最小值18（12分）已知甲、乙、丙、丁、戊、己6人.（以下问题用数字作答）（1）邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，去几人自行决

4、定，共有多少种不同的安排方法？（2）将这6人作为辅导员全部安排到3项不同的活动中，求每项活动至少安排1名辅导员的方法总数是多少？19（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（）当时，求函数的定义域；（）若关于的不等式的解集是，求的取值范围.20（12分） 如图，已知是圆(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线交于点（1）求点的轨迹的方程；（2）若直线与曲线相交于、两点，求面积的最大值21（12分）已知函数.(1)判断的奇偶性并予以证明；(2)求不等式的解集.22（10分）国内某知名大学有男生14111人，女生11111人，该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生

5、中抽取121人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是0,3）.男生平均每天运动时间分布情况：女生平均每天运动时间分布情况：（1）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到1.1）；（2）若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.请根据样本估算该校“运动达人”的数量；请根据上述表格中的统计数据填写下面22列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过1.15的前提下认为“是否为运动达人与性别有关？”参考公式：k2=n参考数据：P(1111.151.1251.1111.115

6、1.111k2.7163.8415.1246.6357.87911.828参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】分析：由题意可知数列是等差数列，由等差数列的性质得 ，得详解：数列为调和数列 为等差数列， 由等差数列的求和公式得， 由等差数列的性质 故选B点睛：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，通过合理的转化建立起已知条件和考点之间的联系是解题关键.2、C【解析】分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可详解：随机变量服从二项分布，若，可得故选：C点睛：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及

7、方差的求法，考查计算能力3、B【解析】根据双曲线方程确定双曲线焦点、渐近线方程、虚轴长以及离心率，再判断得到答案.【详解】双曲线的方程为，则双曲线焦点在轴上；渐近线方程为；虚轴长为；离心率为，判断知正确.故选：【点睛】本题考查了双曲线的焦点，渐近线，虚轴长和离心率，意在考查学生对于双曲线基础知识的掌握情况.4、C【解析】5、D【解析】将双曲线标准化为,由于离心率为可得,在根据充分、必要条件的判定方法,即可得到结论.【详解】将双曲线标准化则根据离心率的定义可知本题中应有,则可解得,因为可以推出;反之成立不能得出.故选:.【点睛】本题考查双曲的离心率公式,考查充分不必要条件的判断,双曲线方程的标准

8、化后离心率公式的正确使用是解答本题的关键,难度一般.6、C【解析】由双曲线实轴长为4可知 由渐近线方程，可得到 然后利用 即可得到焦点坐标【详解】由双曲线实轴长为4可知 由渐近线方程，可得到即 所以 又双曲线顶点在 轴上，所以焦点坐标为【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，渐近线方程，属于基础题7、A【解析】由题知，所以=，解得，故选A.考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.8、D【解析】根据正方形的对称性求得阴影部分面积占总面积的比例，由此求得所求概率.【详解】根据正方形的对称性可知，阴影部分面积占总面积的四分之一，根据几何概型概率计算公式可知点落在阴影部分内的概率为

9、，故选D.【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，属于基础题.9、D【解析】先假设，这样可以排除A，B.再令，排除C.用反证法证明选项D是正确的.【详解】解:令，则，排除A，B.令，则，排除C.对于D，假设，则，相加得，矛盾，故选D.【点睛】本题考查了反证法的应用，应用特例排除法是解题的关键.10、D【解析】由复数为纯虚数，得出实部为零，虚部不为零，可求出实数的值【详解】为纯虚数，所以，解得，故选D【点睛】本题考查复数的概念，考查学生对纯虚数概念的理解，属于基础题11、C【解析】设，根据，可求得这些坐标间的关系，再结合两点在抛物线上，可求得，而，由此可得结论【详解】设，则，又，由，得，.故选C【

10、点睛】本题考查向量的数乘的意义，考查抛物线的焦点弦问题掌握焦点弦长公式是解题基础：即对抛物线而言，是抛物线的过焦点的弦，则12、C【解析】三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA为球O的直径且PA=4，球心O是PA的中点，球半径R=OC=PA2，过O作OD平面ABC，垂足是D，ABC满足AB2,ACB90，D是AB中点，且AD=BD=CD=OD= 点P到底面ABC的距离为d=2OD=2,故选C.点睛：本题考查点到平面的距离的求法，关键是分析出球心O到平面ABC的距离，找到的外接圆的圆心D即可有 OD平面ABC，求出OD即可求出点到底面的距离.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20

11、分。13、【解析】分析：先根据导数研究图像，再根据与图像交点情况确定实数的取值范围.详解：令，所以当时，；当时，；作与图像，由图可得要使函数恰有两个不同的零点，需点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等14、【解析】根据题意可知，假设，代入可得到，当时，两式相减，化简即可求解出结果。【详解】由题可知，所以故答案为。【点睛】本题主要考查利用数学归纳法证明不等式过程中的归纳递推步骤。15、1【解析】直接利用余

12、弦函数的周期公式求解即可【详解】函数的最小正周期是：1故答案为1【点睛】本题考查三角函数的周期的求法，是基本知识的考查16、【解析】先根据分组求和得再求极限得结果.【详解】因为，所以因此故答案为：【点睛】本题考查分组求和以及数列极限，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）f(x)=x3+94x2-3x；f(x)单调增区间是-,-2,【解析】(1)由题得f-2=0f12=0即a=【详解】（1）因为f(x)=x3+a由f-2fxfx令fx0 x12或所以单调增区间是-,-2,12（2）由（1）可知，x-3,-2-2-2,11f+0

13、-0+f递增极大递减极小递增极小值f12而f-3可得fx【点睛】（1）本题主要考查利用导数研究函数的极值和最值，利用导数研究函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求函数在闭区间上的最值，只要比较极值和端点函数值的大小.18、（1）63种不同的去法（2）种【解析】（1）邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，去1，2，3，4，5，6个人，利用组合数求解即可（2）第一类：6人中恰有4人分配到其中一项活动中，另外两项活动各分一人，第二类：6人中恰有3人分配到其中一项活动中，第三类：6人平均分配到三项活动中，求出方法数，推出结果即可【详解】（1）由题意，从甲、乙、丙、丁、

14、戊、己6人中，邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，共有，故共有63种不同的去法（2）该问题共分为三类：第一类：6人中恰有4人分配到其中一项活动中，另外两项活动各分一人，共有种；第二类：6人中恰有3人分配到其中一项活动中，共有种；第三类：6人平均分配到三项活动中，共有种，所以每项活动至少安排1名辅导员的方法总数为：种【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中正确理解题意，合理分类，正确使用排列、组合求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题19、（1）或（2）.【解析】试题分析：（1）函数去绝对值号化为分段函数即可求解；（2）分离参数得：在上恒成立

15、，利用绝对值性质即可得到m范围内.试题解析：（1）由题意，令解得或，函数的定义域为或（2），即.由题意，不等式的解集是，则在上恒成立.而，故.点睛：恒成立问题是常见数学问题，一般可考虑分离参数处理，分离参数后问题转化为求最值，可考虑均值不等式、函数最值，绝对值的性质、三角函数等方法来处理.20、（1）；（2）1.【解析】（1）由题意得,即为定值，且，由椭圆的定义可知，点在以、为焦点的椭圆上，即求点的轨迹的方程；（2）直线代入椭圆方程，消去，根据韦达定理求出.求出点到直线的距离，则面积，根据基本不等式求面积的最大值.【详解】（1）由题意得：,.是圆（为圆心）上一动点，.，点在以、为焦点的椭圆上，

16、其中，点的轨迹方程为 （2）直线代入椭圆方程，消去可得，由，得.设，则，.设点到直线的距离为，则，面积，当且仅当，即时，等号成立.面积的最大值为1【点睛】本题考查椭圆的定义，考查与椭圆有关的面积问题，属于较难的题目.21、 (1)奇函数，证明见解析.(2) .【解析】分析：(1)先求定义域，判断是否关于原点对称，再研究与关系，根据奇偶性定义判断，(2)先根据对数函数单调性化简不等式，再解分式不等式得结果.详解： （1）要使函数有意义则， 解得.故所求函数的定义域为由（1）知的定义域为，设，则 且， 故为奇函数 (2)因为在定义域内是增函数， 因为，所以，解得 所以不等式的解集是点睛：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立22、（1）1.5；（2）4111；在犯错误的概率不超过1.15的前提下不能认为“是否为运动达人与性别有关”【解析】试题分析：（1）由分层抽样计算得男生抽70人，女生抽50人，故x=5,y=2，