连续型随机变量PPT

1、关于连续型随机变量第一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月定义2.3.1退 出前一页后一页目 录则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度.使得对任意实数x , 有设F(x)是随机变量 X的分布函数 , 若存在非负函数 f (x) , 第二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月引例1：一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，射击均能中靶，用X 表示弹着点与圆心的距离。试求X 的分布函数。解：由第一节可知，X 的分布函数为Xx=.2,1;20,4;0,0)(2xxxxxF考虑函数 f ( x )= x/2 , 0 x 2;0,

2、其它退 出前一页后一页目 录第三张，PPT共四十一页，创作于2022年6月f (x)的变上限积分为x1O2=)(xFF(x)1x1O2f (x)1退 出前一页后一页目 录第四张，PPT共四十一页，创作于2022年6月退 出前一页后一页目 录概率密度所对应的平面曲线称为随机变量X的概率曲线，Oxf(x)x分布函数值F(x)是概率曲线下从 到x的一块面积。第五张，PPT共四十一页，创作于2022年6月验证性质1和性质2是判断一个函数是否为概率密度的方法。1.2.Of(x)x1退 出前一页后一页目 录概率密度的性质：第六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月退 出前一页后一页目 录例1：（密度函

3、数的判定）验证 是概率密度函数.解：对任意实数t， f(t)非负，又则 f(t)是连续型随机变量的概率密度.第七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月退 出前一页后一页目 录例2：设随机变量X的概率密度为求（1）系数A;（2）X的分布函数.解：参 数 的 确 定第八张，PPT共四十一页，创作于2022年6月所求分布函数为退 出前一页后一页目 录由密度函数求分布函数第九张，PPT共四十一页，创作于2022年6月退 出前一页后一页目 录f(x)Oxx1x23.4.第十张，PPT共四十一页，创作于2022年6月由性质4在f(x)的连续点x处有 看出概率密度的定义与物理学中的线密度的定义相类似,

4、这就是为什么称f(x)为概率密度的原因.退 出前一页后一页目 录第十一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月退 出前一页后一页目 录5.连续型随机变量的分布函数F(x)是一个在 上的连续函数.离散型随机变量的分布函数F(x)是右连续的连续型随机变量的分布函数F(x)在整个数轴上连续的第十二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月退 出前一页后一页目 录6.注：1）设X为连续型随机变量，则对任一指定实数 ，有2）连续型随机变量X取任意数值的概率均为0.概率为0的事件不一定是不可能事件，概率为1的事件不一定是必然事件.第十三张，PPT共四十一页，创作于2022年6月概率密度的性质：1.2.3

5、.4.5.连续型随机变量的分布函数F(x)是一个在 上的连续函数.6.设X为连续型随机变量，则对任一指定实数 ，有退 出前一页后一页目 录第十四张，PPT共四十一页，创作于2022年6月退 出前一页后一页目 录例3：设随机变量X的概率密度为求（1） P-1X1;（2）PX=2解：(2)因为X是连续型随机变量，所以概 率 的 计 算第十五张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例4退 出前一页后一页目 录由分布函数求密度函数第十六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月退 出前一页后一页目 录例5：从一批子弹中任意抽出5发试射，如果没有一发子弹落在靶心2cm以外，则整批子弹将被接受.设弹着点

6、与靶心的距离X(cm)的概率密度为求（1）系数A;（2）该批子弹被接受的概率.解：第十七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月所以，该批子弹被接受的概率为设 表示第i发子弹合格的事件，则 相互独立，且 退 出前一页后一页目 录第十八张，PPT共四十一页，创作于2022年6月几种连续型分布退 出前一页后一页目 录1.均匀分布设连续型随机变量X具有概率密度则称X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为 XU(a,b).第十九张，PPT共四十一页，创作于2022年6月均匀分布的密度函数f(x)的图形af(x)bOx退 出前一页后一页目 录均匀分布常用来描述在某个区间内随机取值，在某段时间内随机到达，

7、误差分布等。第二十张，PPT共四十一页，创作于2022年6月若随机变量XU(a,b), 则它落在(a,b)中任意子区间内的概率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关. 任给长度为l的子区间(c,c+l), ac0, 有 PXt+s| X t=PX s，事实上指数分布常用来描述处于稳定工作状态的元件寿命.退 出前一页目 录指数分布的特点：无后效性（无记忆性）后一页第二十七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月3.正态分布(GAUSS 分布) 设随机变量X 的概率密度函数为其中m , s ( s 0)是常数，Rxj( x; m, s2 ) = ,e( x m )-2 s2221ps则称随机

8、变量X 服从参数为m，s2 的正态分布(或高斯分布)，记为X N(m , s2 )。 特别地, 当m = 0, s = 1时, 其概率密度函数为Rx ,j( x ) = j( x; 0, 1 ) = e x-2 221p则称随机变量X 服从标准正态分布, 即X N( 0, 1 )退 出前一页后一页目 录第二十八张，PPT共四十一页，创作于2022年6月1) 正态分布概率密度曲线的特征(1) j( x; m, s2 ) dx = 1即概率曲线下总面积为1。 (2)曲线关于直线x = m 对称, 即对任意实数x 有 j(m - x; m, s2 ) = j(m + x; m, s2 )曲线下直线两

9、侧的面积各为1/2，并且 P m x X m = P m X m + x )退 出前一页后一页目 录第二十九张，PPT共四十一页，创作于2022年6月 (3)曲线在x = m 处取得最大值 , 固定m , s2 越大，曲线越趋于平坦。21ps退 出前一页后一页目 录第三十张，PPT共四十一页，创作于2022年6月2) 正态分布概率的计算 若随机变量X N( m, s2 )，其分布函数为RxF( x; m, s2 ) = ,e( x m )-2 s2221ps x dx 若随机变量X 标准正态分布，其分布函数为RxF( x ) = ,ex-2221p x dx 由于F( x )不能解析求出，为方

10、便计算，人们编制了标准正态分布表(见P289的附表2)。由F( x )的对称性，有 F( - x ) = 1- F( x )，故仅给出x0的值。退 出前一页后一页目 录第三十一张，PPT共四十一页，创作于2022年6月 （1）若随机变量X N( 0，1 )，则P a X a = 1 - F( a )P X b = F( b ) F ( - x )= 1-F ( x ) 第三十二张，PPT共四十一页，创作于2022年6月 若随机变量X N( 0，1 )，则P a X b = F( b ) - F( a ) （2）若随机变量X N( m，s2 )，则P x1 X x2 = F ( ) -F( )x

11、2 msx1 ms证明：e( t m )-2 s22F( x; m, s2 ) = 21ps x dtey-2 221pdy x mst msy = dt = s d yF( ) x ms=退 出前一页后一页目 录第三十三张，PPT共四十一页，创作于2022年6月退 出前一页后一页目 录 （2）若随机变量X N( m，s2 )，则第三十四张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例8：已知随机变量X N( m, s 2 )，证明 P| X - m | x = P m - x X m + x = xs2F( )- 1P m - x X m + x 证明:=m - x msF( )m + x ms

12、F( )-=- xsF( )x sF( )-=x sF( )-xsF( )1 - =x sF( )2 - 1退 出前一页后一页目 录第三十五张，PPT共四十一页，创作于2022年6月 特别地，有 P| X - m | s = 2F( 1 ) - 1 = 0.6826 P| X - m | 2s = 2F( 2 ) - 1 = 0.9544 P| X - m | 3s = 2F( 3 ) - 1 = 0.9974这说明X 以很大的概率密集在 x = m 的附近。退 出前一页后一页目 录第三十六张，PPT共四十一页，创作于2022年6月例9: 公共汽车的车门是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来

13、设计的.设男子身高X服从参数为=172cm =6 的正态分布.即XN(172,36).问车门的高度该如何设计.解：设车门的高度为h cm.按设计要求P Xh 0.01 或者 PX0.99故(h-172)/6=2.33 即h=172+6*2.33=186cm 故设计车门高度为186cm时,可使男子与车门顶碰头的机会不大于0.01退 出前一页后一页目 录第三十七张，PPT共四十一页，创作于2022年6月 有时, 我们需要求随机变量以给定概率落在某个区间上的分界点，称之为分位数。如设 X N( 0, 1), 若存在某个实数ua 使P X ua = a , 则称ua为标准正态分布对应于a 的上侧分位数。退 出前一页后一页目 录第三十八张，PPT共四十一页，创作于2022年6月u(