人教版数学七年级上册专项培优练习十《角的综合问题》（含答案）

1、人教版数学七年级上册专项培优练习十角的综合问题1.如图，已知线段AB=12cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点.(1)若点C恰好是AB中点，则DE= cm；(2)若AC=4cm，求DE的长；(3)试利用“字母代替数”的方法，说明不论AC取何值(不超过12cm)，DE的长不变；(4)知识迁移：如图，已知AOB=120，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分AOC和BOC，试说明DOE=60与射线OC的位置无关.2.已知O为直线AD上一点，以O为顶点作COE90，射线OF平分AOE.(1)如图，AOC与DOE的数量关系为_，COF和DOE的数量关系为_；(2)若

2、将COE绕点O旋转至图的位置，OF依然平分AOE，请写出COF和DOE之间的数量关系，并说明理由；(3)若将COE绕点O旋转至图的位置，射线OF依然平分AOE，请直接写出COF和DOE之间的数量关系.3.将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起： (1)如图(1)若ECD=35，则ACB= 若ACB=135，则ECD= 猜想ACB与ECD的数量关系式，并加以证明. ()若三角尺ACD不动，将三角尺BCE的CE边与CA边重合，然后绕点C按顺时针方向任意转动一个角度，当ACE(0ACE90)等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，先画出所有可能的图形，并求出ACE角度所

3、有可能的值.()若三角尺ACD不动，将三角尺BCE的CE边与CA边重合，然后绕点C按顺时针方向每分钟旋转15，旋转过程中两三角尺斜边无重叠，旋转时间为t分钟.在旋转一周过程中，t为何值时，AD与BE平行? 4.以直线 AB 上一点 O 为端点作射线 OC，使BOC=60，将一个直角三角形的直角顶点放在点 O 处.(注：DOE=90)(1)如图 -1，若直角三角板 DOE 的一边 OD 放在射线 OB 上，则COE=_；(2)如图 -2，将直角三角板 DOE 绕点 O 逆时针方向转动到某个位置，若 OE 恰好平分AOC，请说明 OD 所在射线是BOC 的平分线；(3)如图 -3，将三角板 DOE

4、 绕点 O 逆时针转动到某个位置时，若恰好COD=eq f(1,5)AOE， 求BOD 的度数？5.已知AOB=160，COE=80，OF平分AOE. (1)如图1，若COF=14，则BOE=28；若COF=n，则BOE=2n，BOE与COF的数量关系为 ；(2)当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，(1)中BOE与COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；(3)在(2)的条件下，如图3，在BOE的内部是否存在一条射线OD，使得BOD为直角，且DOF=3DOE？若存在，请求出COF的度数；若不存在，请说明理由.6.已知点O是直线AB上的一点，COE=90，OF是AOE的平分线. (1)当

5、AOC=40，点C、E、F在直线AB的同侧(如图1所示)时，求BOE和COF的度数. (2)当AOC=40，点C与点E、F在直线AB的两旁(如图2所示)时，求BOE和COF的度数. (3)当AOC=n，请选择图(1)或图(2)一种情况计算， BOE= COF= (用含n的式子表示) (4)根据以上计算猜想BOE与COF的数量关系 (直接写出结果). 7.已知AOB内部有三条射线，其中OE平分BOC，OF平分AOC.(1)如图1，若AOB=90，AOC=30，求EOF的度数；(2)如图2，若AOB=，求EOF的度数(用含的式子表示)；(3)若将题中的“OE平分BOC，OF平分AOC”的条件改为“

6、EOB=eq f(1,3)BOC，COF=eq f(2,3)AOC”，且AOB=，求EOF的度数(用含的式子表示) 8.如图1，已知AOB=150，AOC=40，OE是AOB内部的一条射线，且OF平分AOE.(1)若EOB=10，则COF=_；(2)若COF=20，则EOB=_；(3)若COF=n，则EOB=_(用含n的式子表示).(4)当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，请把图补充完整；此时，COF与EOB有怎样的数量关系？请说明理由.9.如图，AOB90，AOC为AOB外的一个锐角，且AOC30，射线OM平分BOC，ON平分AOC.(1)求MON的度数；(2)如果(1)中AOB，其

7、他条件不变，求MON的度数；(3)如果(1)中AOC(为锐角)，其他条件不变，求MON的度数；(4)从(1)，(2)，(3)的结果中，你能看出什么规律？(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法.请你模仿(1)(4)设计一道以线段为背景的计算题，并写出其中的规律. 10.如图1，将一副三角板的两个锐角顶点放到一块，AOB=45，COD=30，OM，ON分别是AOC，BOD的角平分线.(1)当COD绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时(如图2)，则MON的大小为 ；(2)如图3，在(1)的条件下，继续绕着点O逆时针旋转COD，当BOC=10时，求MON的大小，写出解

8、答过程；(3)在COD绕点O逆时针旋转过程中，MON= .11.(1)已知：如图1，点O为直线AB上任意一点，射线OC为任意一条射线.OD、OE分别平分AOC和BOC，则DOE= ；(2)已知：如图2，点O为直线AB上任意一点，射线OC为任意一条射线，其中COD=eq f(1,3)AOC，COE=eq f(1,3)BOC，求DOE得度数；(3)如图3，点O为直线AB上任意一点，OD是AOC的平分线，OE在BOC内，COE=eq f(1,3)BOC，DOE=72，求BOE的度数.12.如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使BOC=120，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一条边OM

9、在射线OB上，另一条边ON在直线AB的下方.(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使OM在BOC的内部，且恰好平分BOC，问直线ON是否平分AOC？请说明理由；(2)将图1中的三角板绕点O按每秒6的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角AOC，则t的值为 ；(直接写出结果)(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在AOC的内部，请探究：AOM与NOC之间的数量关系，并说明理由. 参考答案1.解：(1)点D，E分别是AC和BC的中点，DC=eq f(1,2)AC，eq f(1,2)CE=CB，DC+CE=eq f(1,2)(AC+CB)=6c

10、m；故答案为：6(2)AC=4cm，CD=2cm，AB=12cm，AC=4cm，BC=8cm，CE=4cm，DE=DC+CE=6cm；(3)点D，E分别是AC和BC的中点，DC=eq f(1,2)AC，CE=eq f(1,2)CB，DC+CE=eq f(1,2)(AC+CB)，即DE=AB；(4)OD，OE分别平分AOC和BOC，DOC=eq f(1,2)AOC，COE=eq f(1,2)COB，DOE=DOC+COE=eq f(1,2)AOB=50，当AOB=n，DOE=eq f(1,2)n故答案为：50；eq f(1,2)n2.解：(1)AOC+DOE=180；DOE=2COF；(2)(1

11、)COE=90，COF=90-EOF=90-eq f(1,2)AOE，DOE=180-AOE，所以eq f(1,2)DOE=eq f(1,2)(180-AOE)=90-eq f(1,2)AOE，eq f(1,2)DOE=COF. 所以DOE=2COF. (3)不发生变化.证明如下：射线OF平分AOE，EOF=eq f(1,2)AOE，COE=90，COF=90+EOF=90+-eq f(1,2)AOEDOE=90+EOF.DOE=90+-eq f(1,2)AOE.所以COF=DOE.3.解：(1)ECB=90，DCE=45，DCB=90-45=45，ACB=ACD+DCB=90+45=135.

12、ACB=140，ACD=90，DCB=140-90=50，DCE=90-50=40.(2)ACB+DCE=180，ACB=ACD+DCB=90+DCB，ACB+DCE=90+DCB+DCE=90+90=180.(3)存在.当ACE=30时，ADBC，当ACE=E=45时，ACBE，当ACE=120时，ADCE，当ACE=135时，BECD，当ACE=165时，BEAD.4.解：(1)BOE=COE+COB=90，又COB=60，COE=30，(2)OE平分AOC，COE=AOE=eq f(1,2)COA，EOD=90，AOE+DOB=90，COE+COD=90，COD=DOB=eq f(1,2

13、)BOC=30；(3)设COD=x，则AOE=5xAOE+DOE+COD+BOC=180，DOE=90，BOC=60，5x+90+x+60=180，解得x=5，即COD=5，BOD=COD+BOC=5+60=65，BOD的度数为655.解：(1)AOE=AOBBOE，而OF平分AOE，AOE=2EOF，2EOF=AOBBOE，2(COECOF)=AOBBOE，而AOB=160，COE=80，1602COF=160BOE，BOE=2COF，当COF=14时，BOE=28；当COF=n时，BOE=2n，(2)BOE=2COF仍然成立.理由如下：AOE=AOBBOE，而OF平分AOE，AOE=2EO

14、F，2EOF=AOBBOE，2(COECOF)=AOBBOE，而AOB=160，COE=80，1602COF=160BOE，BOE=2COF；(3)存在.设AOF=EOF=2x，DOF=3DOE，DOE=x，而BOD为直角，2x+2x+x+90=160，解得x=14，BOE=90+x=104，COF=eq f(1,2)104=52(满足COF+FOE=COE=80).6.解：(1)如图(1)，AOC=40，COE是直角，AOE=130，BOE=180130=50，又OF平分AOE，AOF=eq f(1,2)AOE=65，COF=6540=25； (2)如图(2)，AOC=40，COE是直角，A

15、OE=50，BOE=18050=130， 又OF平分AOE，AOF=eq f(1,2)AOE=25，COF=25+40=65； (3)如图(2)，AOC=n，COE是直角，AOE=(90n)， BOE=180(90n)=(90+n)， 又OF平分AOE，AOF=eq f(1,2)AOE=(45eq f(1,2)n)，COF=n+(45eq f(1,2)n)=45+eq f(1,2)n.(4)根据以上计算的BOE和COF的度数可得：BOE=2COF.7.解：(1)BOC=AOBAOC=9030=60，OE平分BOC，OF平分AOC，EOC=eq f(1,2)BOC=eq f(1,2)60=30，

16、COF=eq f(1,2)AOC=eq f(1,2)30=15，EOF=EOC+COF=30+15=45；(2)OE平分BOC，OF平分AOC，EOC=eq f(1,2)BOC，COF=eq f(1,2)AOC，EOF=EOC+COF=eq f(1,2)BOC+eq f(1,2)AOC=eq f(1,2)(BOC+AOC)=eq f(1,2)AOB=eq f(1,2)a；(3)EOB=eq f(1,3)BOC，EOC=eq f(2,3)BOC，又COF=eq f(2,3)AOC，EOF=EOC+COF=eq f(2,3)BOC+eq f(2,3)AOC=eq f(2,3)(BOC+AOC)=e

17、q f(2,3)AOB=eq f(2,3)a.8.解：(1)AOB=150，EOB=10，AOE=AOB-EOB=150-10=140，OF平分AOE，AOF=70，COF=AOF-AOC=70-40=30；(2)AOC=40，COF=20， AOF=AOC+COF=40+20=60，OF平分AOE，AOE=2AOF=260=120，EOB=AOB-AOE=150-120=30；(3)AOC=40，COF=n，AOF=AOC+COF=40+n=60，OF平分AOE， AOE=2AOF=2(40+n)=80+2n，EOB=AOB-AOE=150-(80+2n)=70-2n；(4)如图所示；EOB

18、=70+2COF.证明：设COF=n，则AOF=AOC-COF=40-n，又OF平分AOE，AOE=2AOF=80-2n.EOB=AOB-AOE=150-(80-2 n)=(70+2n)即EOB=70+2COF.9.解：(1)因为AOB=90，AOC=30，所以BOC=120.因为OM平分BOC，所以COM=eq f(1,2)BOC=60.因为ON平分AOC，所以CON=eq f(1,2)AOC=eq f(1,2)30=15，所以MON=COMCON=6015=45 (2)当AOB=，其它条件不变时，仿(1)可得MON=eq f(1,2) (3)仿(1)可求得MON=COMCON=45 (4)

19、从(1)(2)(3)的结果中，可以得出一般规律：MON的大小总等于AOB的一半，与锐角AOC的大小无关 (5)问题可设计为：已知：线段ABa，延长AB到点C，使BC6，点M，N分别为AC，BC的中点，求MN的长.规律是：MN的长度总等于AB的长度的一半，而与BC的长度无关 10.解：(1)AOB=45，COD=30，OM，ON分别是AOC，BOD的角平分线，BON=eq f(1,2)COD=15，MOB=eq f(1,2)AOB=22.5，MON=37.5.故答案为：37.5；(2)当绕着点O逆时针旋转COD，BOC=10时，AOC=55，BOD=40，BON=eq f(1,2)BOD=20，MOB=eq f(1,2)AOC=27.5，MON=47.5；(3)AOC=AOB+BOC，BOD=COD+BOC，OM，ON分别是AOC，BOD的角平分线，AOB=45，COD=30，MOC=eq f(1,2)AOC=eq f(1,2)(AOB+BOC)，CON=eq f(1,2)BODBOC，MON=eq f(1,2)(AOB+BOC)+eq f(1,2)BODBOC=eq f(1,2)AOB+eq f(1,2)(BODBOC)=eq f(1,2)AOB+=eq f(1,2)COD=37.5，eq f(