选择性必修一第二章直线与圆的方程全章讲解训练(含答案)

1、第二章直线与圆的方程 全章讲解训练（含答案）【要点梳理】一、直线1、直线的倾斜角和斜率：（1）直线的倾斜角：直线向上的方向和X轴正向所成的最小正角。其围是似幻（2）直线的斜率：不是90的倾斜角的正切值，即k=tana,若直线经过两点（x“ yi） ,（X3, yz）,则该直线的斜率为k=L一6产打）， （3）直线的斜率和倾斜角反映了直线相对于x轴的倾斜程度，国|越大，直线的倾斜程度越大.=00 时，F0： 0 0： =90 时，4不存在：90 180 时，k0.2、两直线垂直：kjk2=-l两直线平行：ki=k?3、直线方程的五种形式：（1）点斜式y-y =k（x-xl）（直线，过点斜（和弘）

2、,且斜率为2）.（2）斜截式y = 6 + O（b为直线/在y轴上的截距）.（3）两点式一- = -（、尸力）（再，弘）、只（x,y,） （%Wx,）. 为一y （4）截距式 ） +工= 1（”、分别为直线的横、纵截距，。、。工0）（5） 一般式Ax+8.v + C = O（其中A、B不同时为0）.3、两条直线位置关系的判定:（1）两条直线的位置关系：平行;重合：相交。（2）若两直线的程都是斜截式（斜率都存在），即：若小），=攵/ +伉，l2:y = k2x+b2 可以利用以下结论判断：/ 11，2 =占=攵2，伪工外:/与，2重合=攵1=攵2且仇=%。与，2相交=的工攵2注：相交中特殊情况：

3、/,/22=-1.（3）若两直线的程是一般式：l.iA.x+B.y + Q =0, l2-.A2x+B2y + C2=O, 则采用以下结论判断：然二然:或AC 然二然:或AC 飙与%重合4比一月2为=81c2 一历。=/1与/2相交o A28ro 注：相交中特殊情况：/1_1/2 = 44 +为当=0：224、点到直线的距离：（1）设平面上两点6（外方）,鸟（马/2），则1 = J（M -占）2 + （M -%为两点间距离（2）已知点P（小,打），直线/： Ax, + 8v + C = 0）.点到直线的距离公式为：d JVa2 + B2（3）若两平行线间距离公式：若/：4x + 8j + G=

4、。与/2：4工+%），+。2=。平行， 则屋+炉5、关于点对称问题（1）点关于点对称：点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称 的问题是线段中点坐标公式的应用问题。点加（40,为）关于点尸的对称点是（24 40，勿?一），0）特别地，点M（工0，为）关于原点的对称点为（一/，一30）（2）线关于点对称已知/的方程为：6+ 3+。= 0（42+82工0）和点2（七,为），则/关于尸点的对称直线方程.设P （x,y ）是对称直线/上任意一点，它关于P（Xo，）o）的对称点（2毛7,2打y ）在直线/上，代入得A（2x-x） + 8（2%y ） + C = 0.此直线即

5、为所求对称直线.6、关于线对称问题（1）点关于线对称由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线工利用“垂直”“平分”这两个条件建立方 程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：一.I设点尸（%,肾）关于直线y = kx+b的对称点为（,了），则有“一，求出 设点尸（%,肾）关于直线y = kx+b的对称点为（,了），则有7=k一+/,特殊地，点尸（同,九）关于直线工=。的对称点为尸（2一面,%）：点P（x,%）关于直线 y =人的对称点 为 P（x0,28一九）。特别说明：点M（Xo，y0）关于直线）*X的对称点坐标是（儿，/），关于）=X对称点为（一加一事）（2）线关于线对称已知（

6、：Ax +qy + G = 0：Ax + By + C = 0,求直线/,关于直线I对称直线12.如右图所示，在直线上任取不同于/与4交点尸的任一点例，先求出点加关于直线/的对称点N的坐标，再由N,尸在人上，用两点式求出直线/，的方程.1、圆的方程：标准方程：(工一。)2+(一切2 =/其中圆心为(“/),半径为一般方程：炉+)2 + 0工+/+ /7 =().其中圆心为(_2,_卫)，半径为, = _L/F存口7.2、点与2、点与的位置关系点P(/o)与圆&一)2+(0)2=产的位置关系有三种：若d = J(a Xo)2+S yo)2，则 d/。点尸在圆外； d = r。点P在圆上； dr点

7、P在圆内.3、直线与3、直线与的位置关系直线Ax+ By + C = 0与圆(x - a): + (y -0)2 = r2的位置关系有三种： r o 相离 A 0 ; d =Q 相切 A = O；t/r 相交 A 0.4.圆的切线方程的求法(1)点M在圆上，如图./ 1法一：利用切线的斜率仁与圆心和该点连线的斜率乂”的乘积等于一 1，即匕加/=一1.；法二：圆心。到直线/的距离等于半径r.点(,%,%)在圆外，则设切线方程：y y0=Z(x Xo),变成一般式：点一)，+)，。-5=0,因为与 圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k.要点诠释:因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程

8、一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线 的斜率不存在，务必要把这条切线补上.常见圆的切线方程：4+ r2 =外离=4条公切线；d =） + r2 =外切=3条公切线；卜-弓| d G O相交O 2条公切线；=心一引。内切。1条公切线；0d|八一引。内含 无公切线.7、两圆公共弦：两圆的方程做减法得到直线方程即为所求。8、两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长.方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长.【典型例题】类型一：直线的倾斜角与斜率例1.设直线/与x轴的交点为P,且倾斜角为a,若将其绕点P按逆时

9、针方向旋转45 ,得到直线/的倾 斜角为。+45 ,则（）A. 0 WaV90 B. 0 WaV135 C. 0 a 135 D. 0 a 0D.任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率例2.已知点M（2m+3, m）, N （m2, 1）,当 时，直线MN的倾斜角为锐角；当时，直线MN的倾斜角为直角：当mW 时，直线MN的倾斜角为钝角.举一反三:【变式1】若过点P(1a, 1-a)和Q (3, 2a)的直线PQ的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围.例3.如图，若图中直线/213的斜率分别为 匕，匕，则( )A. kik：k5B.C. k3A. kik：k5B.C. k3k：k:D. kikol B

10、. a0 或 al C. -la = -6。-2）绕点（2, 0）按顺时针方向旋转30 ,则所得直线方程为例9（两点式）.已知三角形的三个顶点月（一4,0）、6（0, - 3）、。（-2,1）,求5。边上中线所在直线的方程.举一反三；【变式1】若点P（3, m）在过点A （2, 一1）, B （3, 4）的直线上，则m的值为例10 （截距式）.直线/过点（一3, 4）,且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线的方程.举一反三：3【变式1】求过点P （2, 3）且与两坐标轴围成的三角形的面积为2的直线方程.2例11.已知直线/ ： 3mx+8y+3m-10=0和：x-6my-4=:0 问m为何值时

11、:(1)(与/)平行(2)与1垂直.举一反三：【变式1】求经过点A (2, 1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线/的方程.例12(定点问题).求证：无论m取什么实数，直线(2ml)x+(m+3)y血一11)二0都经过一个定点，并求出 这个定点的坐标.举一反三：【变式1】直线y=mx+2ni+l恒过一定点，则此点是()A. (-2, 1) B. (2, 1) C. (b 2) D. (1, -2)例13.已知倾斜角为45的直线/过点A (1, -2)和点B, B在第一象限，IA8I=3JT,求点B的坐标.例14.已知AABC的三个顶点坐标分别是A (5, 0), B (3, -3), C

12、(0, 2),分别求BC边上的高和中线 所在的直线方程.举一反三：【变式1】已知&43。的垂心”(5,2),且41。，2), 8(6,4),求点。的坐标.类型三、直线的交点坐标与距离公式例14.求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-l=0平行的直线方程.举一反三：【变式1】直线ax+3y - 12R与直线4x-y+b=0垂直，且相交于点P (4, m),则b=.变式2】若三条直线小2x_y = 0,/2：x + y_3 = 0/：M + y + 5 = 0交于一点，则实数5满足的 关系是.例15 (两点间的距离).若x轴的正半轴上的点M到原点与点(5, -3)到

13、原点的距离相等，则M的坐标是 ( )A. (-2, 0) B. (1, 0) C.(扣 I D. (/34,0)举一反三：【变式1】在直线/： 3x-y+l=0上求一点P,使点P到两点A (1, -1), B (2, 0)的距离相等，则点P的 坐标为.例16 (点到线的距离).求过点加一 1, 2)且与原点距离等于坐的直线方程.举一反三：【变式1】已知/!国中，月(3, 2)、5(-1, 5),。点在直线3x-y+3=0上.若血的而积为10,求。点 坐标.【变式2】求经过点尸(1,2)的直线，且使月(2,3), 6(0, 5)到它的距离相等的直线方程.例17 (两平行线间的距离).直线人过点A

14、 (0, 1),上过点B(5, 0),如果八八，且八与八的距离为5, 求八、八的方程.举一反三，【变式1】已知平行线2x + 3y 3 = O与2x + 3y 9 = 0,则与它们等距离的直线方程是()A. 2x + 3y-12 = O B. 2x + 3y-6 = 0 C. 2x + 3y = 0 D. 2x + 3y + 3 = 0例18 (直线关于点对称).与直线2x+3y-6=0关于点(1, -1)对称的直线方程为()A. 3x2y+12-0B. 2x+3y+7-0 C. 3x2y12=0 D. 2x+3y+8=0例19 (点关于直线对称).求点A (2, 2)关于直线2x4y+9=0

15、的对称点坐标.举一反三：【变式1】点尸(- 1,1)关于直线axy+6=0的对称点是。(3, - 1),贝a、6的值依次是()A. -2,2 B. 2, 2 C. t D.例20 (直线关于直线对称).求直线xy2=0关于直线/： 3xy+3=0对称的直线方程.例2L在直线1： 3x-y-l = 0上求一点尸，使得:(1)尸到月(4, 1)和5(0, 4)的距离之差最大;(2)一到J(4,1)和C(3, 4)的距离之和最小.例22.已知直线1经过点月(2, 4),且被平行直线入丫一广卜1 = 0与工：X一二1=0所截得的线段的中点必 在直线*+93=0上.求直线1的方程.类型四、圆的方程例23

16、.求圆心在直线尸一x上，且过两点A (2, 0), B (0, -4)的圆的方程.举一反三：【变式1】已知AABC的三个顶点坐标分别是A (5, 1), B (7, -3), C (2, 一8),求它的外接圆的方程【变式2】圆心在直线5x 3y = 8上，且圆与坐标轴相切，求圆的方程。例24.已知两点P, (3, 8)和一(知4),求以线段P,Pc为直径的圆的方程,并判断点M (5, 3)、N (3, 4)、P(3, 5)是在此圆上、在圆内、还是在圆外？举一反三：【变式1】点P(5a+l, 12a)在圆(xl),+y三1的内部，则a的取值范围是()A. a V1 B. ci C. I a IV

17、 - D. I ci l/26 + 2 B. /26 C. 5 D. 6例27 (轨迹方程).已知一曲线是与两个定点0(0, 0), A (3, 0)距离的比为L的点的轨迹，求这条曲线 2的方程，并画出曲线.举一反三：【变式1】如下图，过第一象限的定点C (a, b)作互相垂直的两直线CA、CB,分别交于x轴、y轴的正半 轴于A、B两点，试求线段AB的中点M的轨迹方程.类型五、直线与圆的位置关系例28.当团为何值时，直线x-y一片0与圆d+炉一4才一2广H=0有两个公共点？有一个公共点？无公共 点？举一反三:【变式1】以M（T,3）为圆心的圆与直线2x+y 5 = 0相离，那么圆M的半径r的取

18、值范围是（）A. 0 /* 2C. 0 A. 0 /* 2C. 0 r /5D. 0r 圆 C笳 x2+y2+2x-2my+ms-3=0 |： m 为何值时，（1）圆 3和圆G相外切？ （2）圆3与圆G内含？举一反三：【变式1】两圆x+y二一2x+10y24=0与x+y+2x+2y8=0的交点坐标为（）A. （4, 0）或（2, 0） B. （-4, 0）或（2, 0） C. （-4, 0）或（0, 2） D. （4, 0）或（0, -2）例33 （公共弦问题）.已知圆&： x斗y:+2x6y+l=0,圆G： x4y4x+2yll=0,求两圆的公共弦所在的直 线方程及公共弦长.举一反三：【变式

19、1】的方程为/+,一2十一2丫-7=0,。8的方程为/+2x+2y-2 = 0,判断。月和是否 相交，若相交，求过两交点的直线的方程及两交点间的距离：若不相交，说明理由.第二章直线与圆的方程答案与解析【典型例题】类型一：直线的倾斜角与斜率例1.设直线/与X轴的交点为P,且倾斜角为若将其绕点P按逆时针方向旋转45。，得到直线/的倾斜 角为a+45,贝IJ ()A . 0 W a 90 B . 0W a 135 C . 0 cr W135 D . 0 a 135【答案】D【解析】:a, a+45。均为倾斜角，J 一 一 0。这。135。.又：直线/与 0a + 450D .任一直线都有倾斜角，但它

20、不一定有斜率【答案】D【解析】对于A,当a =90。时，直线的斜率不存在，.A错；对于B,虽然直线的斜率为tan 8,但只有当。0。，180。)时，8才是此直线的倾斜角，.B错；对于C,当直线平行于x轴时，a=0。， 而sinO=O,，C错.,应选D .例2 .已知点M (2m+3, m), N (m-2, 1),当 时，直线MN的倾斜角为锐角；当时，直线MN的倾斜角为直角；当mG 时，直线MN的倾斜角为钝角.【答案】(-8, -5) U (1, +8)-5(-5, 1)【解析】1 /?1 1171 /H【解析】J =-= 7,若直线MN的倾斜角为锐角,则勺-0,有 m-2-(2m + 3)

21、一? 一 5一m 一 51-/7/00 0-噜5。.解得MY或其他同理可得.举一反三：【变式1】若过点P (1-a, 1+a)和Q (3, 2a)的直线PQ的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围.【答案】(-2. 1)【解析】因为直线PQ的倾斜角为钝角，所以直线PQ的斜率存在，且所以2：一: + )0.即1。，所以一2P所以实数a的取值范围是(-2, D-例3 .如图,若图中直线儿，2%的斜率分别为匕,例例则(B )A. kik：k3B. kyCkKk：C. k3k：k：D. kiksk：A. kik：k3B. kyCkKk：C. k3k：k：D. kiksk：可得A3 v k k2.例4 .已知

22、直线/经过点P (1, 1),且与线段MN相交，又M (2, -3), N (-3, -2),求直线/的斜率 k的取值范围.【答案】【解析】 如图所示，直线/相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，/是过P点且与x轴垂直的直线. 33y i/z当/从PN位置转到/位置时，倾斜角增大到90。，而攵.=“ .攵之.Vy又当/从/位置转到PM位置时，倾斜角大于90。，由正切函数的性质力穴。？综上所述,k(r,-4U 二，24加(-3,-2)与知，kwkpi.i=4, kw综上所述,k(r,-4U 二，24加(-3,-2)与【总结升华】一般地，若已知A (xi, y) B (xz, yj, P (xo,

23、 y。)，过P点作垂直于x轴的直线,过P点 的任一直线/的斜率为k,则当/与线段AB不相交时，k夹在心与G之间；当/与线段AB相交时，k在 L与l 4【解析】由两直线平行得二一 =一2, m=-8.一2一 ？例6 .判断下列各题中人与是否垂直.(1)人经过点 A (1, 2), B (1, 2), 经过点 M (2, 1), N (2, 1)；(2)乙的斜率为一10, 4经过点A (10, 2), B (20, 3)； 乙经过点 A (3, 4), B (3, 10), 经过点 M (-10, 40), N (10, 40).【解析】 求出斜率，利用乙 l2 Okk=-1进行判断，注意数形结合

24、及斜率不存在的特殊情况.(1)kTT = 2 2 =彳?=； 匕忆= 1，.与2不垂直；3-21ki= -10, k,= , kk=一 1,/| 1 /- ；2 20-10 101-40-40 人的倾斜角为90。，贝IJ/X轴；&=- = 0,则/?x轴，./一/2.10 (10)举一反三：【变式1】若直线的倾斜角分别为%, %,且乙,匕 则(D )A . 4 一。2 =90 B . 4 +a2 =90 c ,e +c?2 = 180 D .一%| =90【解析】 方法一：特殊值法，令4 =45。，% =135。.方法二：如图，可得 %+%=9。，勾+% = 180。,一，得囚一% =900

25、.若6与乙变换位 置，贝IJ有。2一1二90。.要点二：直线的方程例7.根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：(1)斜率为6,且经过点A (5, 3)；(2)过点B (3, 0),且垂直于x轴；(3)斜率为4,在y轴上的截距为一2；(4)在y轴上的截距为3,且平行于x轴；(5)经过 C (1, 5), D (2, 1)两点；(6)在X, y轴上的截距分别是一3, -1 .【答案】(1) y/3x-y + 3-5/3=0 (2) x+3=0 (3) 4xy2=0 (4) 4xy2=0(5) 2x+y3=0 (6) x+3y+3=0【解析】(1)由点斜式方程得y - 3 = O(x - 5)

26、,整理得J3t-y + 3 - 5/ = O .(2) x=3,即 x+3=0 . y=4x2,4xy2=0 . (4) y=3,y3=0 .(5)由两点式方程得=整理得2x+y3=0.(6)由截距式方程得二十2=1,整理得x+3y+3=0.3 1举一反三：【变式1】下列四个命题中的真命题是(B ) .A .经过定点Po (xo, y0)的直线都可以用方程yyo-k(xx0)表不B .经过任意两个不同的点Pl(X1, y4)s p2 (x=, y2)的直线都可以用方程(y-同佻-*0=仅-乂。伙-力)表 示C.不经过原点的直线都可以用方程二+ ； = 1表示 a bD.经过定点A (0, b)

27、的直线都可必用方程y=kx+b表示【解析】A、D中k不存在的直线不能表示，C中平行于坐标轴的直线不能表示.例8 (斜截式).直线y=kx+b (k+b=O, k六0)的图象是()举一反三：答案：B举一反三：答案：B【变式2】直线(a-1)y=(3a+2)x-l不通过第二象限，那么a的取值范围是(D ).A . al B . aOcal C . -la00),直线/的方程为：y + 2 = x-t因为b在直线/上，且IA4I=3JI,所以y = x IA4I=3JI,所以,.L，解得：x = 4或x = -2 （舍），所以B点坐标为（4, 1）。y/（x-l）2+（y + 2y =3V2例14

28、.已知 ABC的三个顶点坐标分别是A (-5, 0), B (3, -3), C (0, 2),分别求BC边上的高和中 线所在的直线方程.【答案】x+13y+5=02 + 33【解析】设BC边上的身为AD,则BCLAD,女比.“仙=-1，.八0=一1，解得八。=， 0 353a BC边上的高所在的直线方程是丁一0 = -(x + 5),即3x - 5y+15=0 .设BC的中点是M,则“信，-1.2 2)BC边上的中线所在直线方程是一-=孝二，即x+13y+5=0 .0 - + 522BC边上的高所在的直线方程是3x-5y+15=0, BC边上的中线所在的直线方程为x+13y+5=0 .举一反

29、三：【变式1】已知AA8c的垂心”(5,2),且A(10,2), B(6,4),求点C的坐标.【答案】(6,6)【解析】A3斜率为：，设点C坐标为(,%,%),所以，C“斜率为8因为A”斜率为0,二8c斜率不存在，即直线3C的方程为x = 6,所以，%=6代人，得儿=一6 .二点C坐标(6,-6).类型三、直线的交点坐标与距离公式例14 .求经过两直线2x3y3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y1=0平行的直线方程.【答案】15x+5y+16=0【解析】可先求出交点坐标，再根据点斜式求出所要求的直线方程；也可利用直线系(平行系或过定点 系)求直线方程.3Y = TOC o 1-5 h

30、z ,_2x-3y-3 = 05,解法一：设所求的直线为/，由方程组八 得V:. 直线/和直线3x+y1 = 0平行,x+y+2=07i /y =C 57 13.直线/的斜率k=3 .，根据点斜式有y | = -3 X-,即所求直线方程为15x+5y+16=0 .i 5 J15人举一反三：【变式1】直线ax+3y12=0与直线4xy+b=0垂直，且相交于点P (4, m),则b=_13.33【解析】由两条直线垂直可知a-4+3x(1)=0, /. = -,将点(4, m)的坐标代入直线方程:x + 3y-12 = 0, 44得m=3 .将点(4, 3)的坐标代入直线方程4xy+b=0,得b=1

31、3 .变式2若三条直线小2.)，= 04：* +)，-3 =。/：，心+ 丫 + 5 = 0交于一点，则实数解满足的 关系是.【答案】+ +5 = 0【解析】先求出前两直线的交点，然后把交点坐标代入人的方程，即可求出.例15 (两点间的距离).若x轴的正半轴上的点M到原点与点(5, 3)到原点的距离相等，则M的坐标 是(D )A . (2, 0) B . (1, 0) C . -,0 D .(用，0)(2 )【解析】设M的坐标为(x, 0),根据题意，由两点间的距离公式可得x、5+(3)：解得x = 后，.x 0,.所求点的坐标为(后,0)举一反三：【变式1】在直线/ ：3x-y+l=0上求一

32、点P,使点P到两点A (1, 1), B (2, 0)的距离相等，则点尸 的坐标为(0, 1) .【解析】设点P坐标为(x, y),由点P在/上和P到A、B距离相等建立方程组1),=1二点P坐标为(0, 1)1),=1二点P坐标为(0, 1).+(y + 1)- = J(X-2)2 +例16 (点到线的距离).求过点加一L 2)且与原点距离等于坐的直线方程.【解析】设所求直线1： y-2=Hx+l),原点0(0,0)到此直线距离为半，可求得=一1或一7,所求直线方程为x+l1=0或7x+y+5 = 0.举一反三：【变式1】已知月国中，月(3, 2)、5(-1, 5),。点在直线3x-y+3=0

33、上.若嫉的面积为10,求。点坐标.【解析】设点c(m,/)，;点。在直线3x-y+3=o上，a=3.+3.月(3,2)、，AB =yj 5-2一 1 -3 、=5.设 C到相的距离为 d,则：d AB =10, ：.d=4.乙又直线相的方程为下|=十三，即3x+4y-17=o, 一Z -1 - o：.d=3吊+4 3品+3 1715 %- 55三=|3.yo11 =4.，3xo 1 = 4,解得-yo= 1 或鼻.0J55当*。=-1时，jo=0：当品付，必=8.点坐标为(- 1, 0)或(子8). JJ【变式2】求经过点尸(1,2)的直线，且使月(2,3), 5(0, 一 5)到它的距离相等

34、的直线方程.【解析】当直线斜率不存在时，即x=l，显然符合题意，当直线斜率存在时,设所求直线的斜率为k,即直线方程为y-2=A(X 1),由条件得工刍黑，解得*=4,故所求直线方程为x=l或4xy2 = 0.例17(两平行线间的距离).直线乙过点A (0, 1), /二过点B (5, 0),如果/.牛 且人与/二的距离为5, 求/人/的方程.:12x-5y + 5 = O:12x-5y-60 = 0或若L, L的斜率都存在时,Uh, .可设两直线的斜率为k.由斜载式得k的方程为y=kx + l,即kx-y + l=O.由点斜式得12的方程为y=k(x-5),即kx y-5k=0.由两平行线间的

35、距离公式得尸左7我+(-好解得k=(，.小的方程为12x-5y + 5 =(b已的方程为i2x-5y- 60=0.着卜、12的斜率不存在，贝山工的方程为x = O, 12的方程为x=5,它们之间的距离为5,同样满足条件.则满足条件的直线方程有以下两组：li： 12x-5y+5 = 0 h： 12x-5y-60=05 或li ： x = O，h ： x=5.举一反三：【变式1】已知平行线2x + 3y - 3 =。与2x + 3y - 9 = 0,则与它们等距离的直线方程是(B )A . 2x + 3y-12 = 0B . 2x + 3y - 6 = 0C . 2x + 3y = 0 D . 2

36、x + 3y+ 3 = 0例18 （直线关于点对称）.与直线2x+3y6二0关于点（1, -1）对称的直线方程为（D ） A . 3x2y+12=0B . 2x+3y+7=0 C . 3x2y12 = 0D . 2x+3y+8=0【解析】在所求的直线上任取一点A (x, y)f则A关于点(1, -1)对称点B (2-x, -2-y)一定在直线： 2x+3y-6=0 上，故有 2 (2r) +3 (-2-y) -6=0,即 2x+3y+8=0 .故选 D .例19 (点关于直线对称).求点A (2, 2)关于直线2x4y+9=0的对称点坐标.【答案】(1, 4)【解析】设点A(a, b)是点A

37、(2. 2)关于直线2x4y+9=0的对称点，则有AA .与已知直线垂直b 2 t且AA的中点在已知直线上.一金 ;且AA的中点在已知直线上.-4+ 9 = 0，所求对称点坐标为(1, 4).【总结升华】点关于直线的对称问题可转化为中点和垂直问题来解决.举一反三：【变式1】点尸(一 L1)关于直线axy+6=0的对称点是0(3, 1),贝ija、6的值依次是()A. -2, 2 B. 2, -2 C.D. !【解析】设图的中点为M则由中点坐标公式得Ml,0). 点在直线ax-y+b=0上，.a+6=0.又尸。所在直线与直线ax-y+6=0垂直，一a=7,，a=2.故6=-2.答案：B例20 (

38、直线关于直线对称).求直线xy2=0关于直线/ ： 3xy+3=0对称的直线方程. 【答案】7x+y+22=0【解析】 解法一：由x-y-2 = 0【解析】 解法一：由x-y-2 = 03x-y + 3 = 05 9,得交点尸2 2)取直线xy2二0上一点A (0, 2),设点A关于直线/ ： 3xy+3=0的对称点为A (汽，y。), 则根据七人”,=-1,且线段AA的中点在直线/ ：3xy+3=0上，有12x3 = 7Uo=TX。-0Uo=T3x 包2kzz+ 2 = 022(59、9(5 故所求直线过点一5,一5与(一3,工).一.所求直线方程为x + 3 = 7 x +不| .即7x+

39、y+22=0.I，/212yz例21.在直线3*y-l = 0上求一点尸，使得：(1)-到履4,1)和5(0, 4)的距离之差最大;(2)尸到月(4, 1)和C(3, 4)的距离之和最小.【解析】设点5关于1的对称点为B , AB与1的交点产满足；点。关于1的对称点为U，女与2 的交点F满足(2).答案：(1)如图所示，设点6关于直线1的对称点6的坐标为Q，A4心 %=-1, HJ3= - L “+36-12=0,3又由于线段破的中点坐标为月6，W)，且在直线上, 乙 乙解得a=3, 6=3,(3, 3).于是必，的方程为w=罟,，3X；解得a=3, 6=3,(3, 3).于是必，的方程为w=

40、罟,3,yy1=0 x=2L=.，由t+T =。解得心.即直线,与您的交点坐标为立点尸”为所求.3如图所示，设点。关于直线1的对称点为厂，求出点U的坐标为弓, ?). .叱 所在直线的方程为19x+17y93=0, AC和2的交点坐标为 (y- y).故尸点坐标为今,y)为所求.例22.已知直线1经过点片(2, 4),且被平行直线九才一汗1 = 0与，：*一尸1=0所截得的线段的中点必 在直线x+y 3=0上.求直线1的方程.【解析】点W在直线x+y-3=0上，.设点V坐标为(,3。，则点到小区的距离相等，即“3、+11=广3、T,解得V，.馥，”又2过点月4),222 2)33y-2 x2由

41、两点式得 即5xy6 = 0,故直线1的方程为5xy6=0. J o类型四、圆的方程例23 .求圆心在直线y二一x上，且过两点A (2, 0), B (0, 4)的圆的方程.【答案】(x-3)=+(y+3)=10113【解析】由于圆过A、B两点，所以圆心在AB的中垂线歹+ 2 = -3。-1)上,即y = 一3工一3，又圆 心在直线y二一x上，故圆心为(3, -3) .于是半径l=J(3 2,+ (3 0=加.故所求的圆的方程为 (X3)2+(y+3)2=10 .举一反三：【变式1已知aABC的三个顶点坐标分别是A (5, 1), B (7, 3), C (2, 8),求它的外接圆的方程。解：

42、因为圆经过ABC的三个顶点，所以圆心应为aABC三边中垂线的交点。线段AB的中垂线方程为X227727722y8=0c线段2y8=0c线段BC的中垂线方程为x+y+l=O。联立方程组x-2v-8=0 i1=0，解得， = 2C，则圆心M一 =一33), r=|AM|=5o所以圆的标准方程为(x2f+(y+3)三25。【变式2】圆心在直线5x-3y = 8上，且圆与坐标轴相切，求圆的方程。答案：设所求的方程为：由题意知同=问，即=或4 =又：圆心在直线5x-3y = 8上，5a 3a =8或5。+ 3。=8 解得：。=4或 =1二所求方程为(x_4,+(y_4)2 =16 或(x lf+G +

43、lf =例24 .已知两点% (3, 8)和小(5, 4),求以线段PR=为直径的圆的方程，并判断点M (5, 3)、N (3, 4)、P (3, 5)是在此圆上、在圆内、还是在圆外？【答案】点M在此圆外，点N在此圆上，点P在此圆内举一反三：【变式1】点P (5a+l, 12a)在圆(x的内部，则a的取值范围是(D )A 1 B 。 C I a lv - D I a lv 13513【解析】点P在圆(xlf+y三1内部O(5a+11+(122101。1二。例 25 .已知直线 x+y-2(t+3)x+2(l4F)y+16d+9=0 表示一个圆.(1)求t的取值范围；(2)求这个圆的圆心和半径；

44、(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程.【答案】(1) -1rl 【答案】(1) -1r2 _ 4)= 1一7/+ 6/ + = J7.r的最大值为午，此时圆的标准方程为(x24?.r的最大值为午，此时圆的标准方程为(x24?16举一反三：【变式1】/+y2X+y+R=。表示一个圆，则R的取值范围是()(2(2)1(2(2)1一 S5答案：C 例26 (最值问题).已知圆f+y，kx+2y+kN0,当该圆面积取得最大值时，圆心坐标为(0, 1)。【解析】 当圆的半径长最大时，圆的面积最大。由x+y，kx+2y+kF0得，(x + g) +(y + l)2 = l 手 攵今3.当心0时，1

45、 1公最大，半径长也最大，此时圆心坐标为(o, -Do举一反三：【变式1】设P(X,y)是圆、2+。，+ 4)2=4上任意一点，则J(x 1)2+(，-1)2的最大值为(A )A.底+2B. /26C.5 D. 6【解析】如图，设A(l, 1), _1)2+()1)2 =|A|,则PA的最大值为AC +r=庄+2 故选A.求这条曲例27 (轨迹方程).已知一曲线是与两个定点0 (0, 0), A (3, 0)距离的比为L的点的轨迹, 2求这条曲线的方程，并画出曲线.【答案】(x+lf+y三4 曲线是圆心为C (-1, 0),半径长为2的圆【解析】在给定的坐标系中，设M (x, y)是曲线上的任

46、意一点，点M在曲线上的条件是当? = 1 .由两点间距离公式，得一3二= = 1,两边平方并化简，得曲线I 2Jc.3)2 +)，22方程 x+y+2x3=0,配方得(x+D+yd .所以所求曲线是圆心为C (-1, 0),半径长为2的圆(如图).举一反三：【变式1】如下图，过第一象限的定点C (a, b)作互相垂直的两直线CA、CB,分别交于x轴、y轴 的正半轴于A、B两点，试求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】2ax+2by=az+bz (x 0 y 0).类型五、直线与圆的位置关系例28.当团为何值时，直线才一9一勿=0与圆d+炉一4才一2日1=0有两个公共点？有一个公共点？无公共 点

47、？【解析】由十一y【解析】由十一y所=0Y+/-4-Y-2r+l=0,得 2M一2(m+3)x+m+2z2rFl=0,A =4(加+3尸一8(/+21)=4+8履+28,当(),即一2眼+水2班+ 1时，直线与圆相交，有两个公共点：当=(),即加=-2第+ 1或幼=2姆+ 1时，直线与圆相切，有一个公共点;当2平+ 1时，直线与圆相离，无公共点.举一反三：【变式1】以M(Y,3)为圆心的圆与直线2x+y 5 = 0相离，那么圆M的半径r的取值范围是()A . 0 r 2 B . 0r/5 C . 0 r 2 D . 0r25,所以点在圆外。设过点尸(7,1)与圆相切的直线为/:)，-1 =攵*

48、一7),即 依一丁一7攵+ 1 = 0.因为圆心(0,0)到/的距离d =+ 则4 =厂=5,即：忆+ 1=5 .解得攵=或 一3.从而，切线方程为4x 3v 25 = 0或3x + 4y 25 = 0.4举一反三：【变式1】(1)求圆xy-lO的切线方程，使得它经过点(2,卡)；(2)求圆x+y三4的切线方程，使得它经过点Q (3, 0).2 N【答案】()2x + V65-10 = 0 (2) y = (x - 3)【变式2已知圆C过原点。且与直线x+y=4相切，它的圆心在直线尸x上，求圆C的一般方程。【解析】设圆C的方程为【解析】设圆C的方程为(xa)+(yb)、r：由题设知，圆心C坐标

49、为(a, a)。由y = x.解得U+y = 4x = 2y=2由圆的几何性质知，点T (2, 2)为圆C与直线x+y=4的切点。又圆C过原点O,因此OT为圆的直径,圆C的圆心坐标为（1, 1）,半径长一=忘，所以圆C的方程为（xlf+（y1）三2,x2+yz2x_2y=0o例30 （弦长问题）.直线/经过点P （5, 5）并且与圆C：x，y三25相交截得的弦长为4,求/的方程.【答案】x-2y+5=0 或 2xy5=0【解析】法一：根据题意知直线/的斜率存在，设直线/的方程为y5=k（x5）圆心（0, 0）到直线的距离”=与丝，在由弦长的一半、半径和距离”构成的直角三角形中， Jl+公=占_（2逃尸,解得k = ?或k=2故直线/的方程为x2y+5=0或2x-y-5=0 . TOC o 1-5 h z J1 + 2举一反三：【变式1】直线/x+.y - 2jj =。截圆/+，2=4得到的劣弧所对的圆心角为（C ）K冗冗冗A . - B . - C . - D .一 6432【变式2已知圆C过点（1, 0）,且圆心在x轴的正半轴上，直线/ ：y=x1被圆C所截得的弦长为2五，则过圆心且与直线I垂直的直线的方程为x+y - 3=0 -o【解析】 依题意可设圆心坐标为（a, 0）, a0,则半径为|a1,圆心到直线/的距离为冒，根据勾股定理可得，+（、历）2=1