专题08：8型相似三角形（老师版）

1、专题08：8型相似三角形-2022年中考数学解题方法终极训练一、单选题1如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F若AEF 的面积为2，则ABC的面积为( )A8B10C12D14【答案】C【解析】先利用平行四边形的性质得，AD=BC，由可判断AEFCBF，根据相似三角形的性质得，然后根据三角形面积公式得，则【详解】平行四边形ABCD，AD=BCE为边AD的中点BC=2AEEAC=BCA又EFA=BFCAEFCBF如图，过点F作FHAD于点H，FGBC于点G，则， AEF的面积为2故选C【点评】本题考查了相似三角形的性质，属于同步基础题2如图，在ABCD中，E为CD

2、的中点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则：为（）A1：5B4：25C4：31D4：35【答案】A【解析】根据平行四边形对边互相平行可得，然后求出和相似，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两三角形的面积的比为1：4，设，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后表示出的面积，再根据平行四边形的性质可得，然后相比计算即可得解【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，AB=CDE为CD的中点，DE：CD=1：2AB/DE，：4，EF:AF=1:2设，则，：2，：2，是平行四边形ABCD的对角线，：5故选A【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似

3、三角形的判定以及相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键，不容易考虑到的是等高的三角形的面积的比等于底边的比的应用3如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（）ABCD 【答案】A【解析】先根据平行四边形的性质得到ABCD，则可判断ABGCFG，ABEDFE，于是根据相似三角形的性质和AE2ED即可得结果【详解】解：四边形ABCD为平行四边形，ABCD，ABGCFG，ABEDFE，AE2ED，AB2DF，故选：A【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题

4、4如图，一人站在两等高的路灯之间走动，为人在路灯照射下的影子，为人在路灯照射下的影子当人从点走向点时两段影子之和的变化趋势是（）A先变长后变短B先变短后变长C不变D先变短后变长再变短【答案】C【解析】连接DF，由题意易得四边形CDFE为矩形.由DFGH，可得.又ABCD，得出，设=a,DF=b（a,b为常数），可得出，从而可以得出，结合可将DH用含a,b的式子表示出来，最后得出结果.【详解】解：连接DF，已知CD=EF，CDEG,EFEG,四边形CDFE为矩形. DFGH,又ABCD，.设=a，DF=b,GH=，a,b的长是定值不变，当人从点走向点时两段影子之和不变故选：C.【点评】本题考查了

5、相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度5如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BEAC于点F，连接DF，给出下列四个结论：AEFCAB；CF2AF；DFDC；SABF：S四边形CDEF2：5，其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个【答案】D【解析】根据四边形ABCD是矩形，BEAC，可得ABC=AFB=90，又BAF=CAB，于是AEFCAB，故正确；根据点E是AD边的中点，以及ADBC，得出AEFCBF，根据相似三角形对应边成比例，可得CF=2AF，故正确

6、；过D作DMBE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故正确；根据AEFCBF得到EF与BF的比值，以及AF与AC的比值，据此求出SAEF=SABF，SABF=S矩形ABCD，可得S四边形CDEF=SACD-SAEF=S矩形ABCD，即可得到S四边形CDEF=SABF，故正确【详解】如图，过D作DMBE交AC于N，四边形ABCD是矩形，ADBC，ABC90，ADBC，BEAC于点F，EACACB，ABCAFE90，AEFCAB，故正确；ADBC，AEFCBF，AEADBC，CF2AF，故正确，DEBM，BEDM，四

7、边形BMDE是平行四边形，BMDEBC，BMCM，CNNF，BEAC于点F，DMBE，DNCF，DFDC，故正确；AEFCBF，SAEFSABF，SABFS矩形ABCD，SAEFS矩形ABCD，又S四边形CDEFSACDSAEFS矩形ABCDS矩形ABCDS矩形ABCD，SABF：S四边形CDEF2：5，故正确；故选D【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键二、填空题6等腰三角形ABC中，ABAC，ADBC于点D，点E在直线AC上，2CEAC，AD6，BE5，则ABC的面积是 _【答案】16或【解析】分点E在线段AC上和在AC延长线上两

8、种情况，利用重心的性质或成比例线段求出底边长即可【详解】解：如图1，在等腰ABC中，ABAC，ADBC于D，AD是底边BC的中线，2CEAC，G为ABC的重心，AD6，BE5，DGAD2，BGBE，在直角BDG中，由勾股定理得到：BD，BC2BD，SABCBCAD16如图2，作EGBC于GEGAD， 2，EG3，设CGa，则BDCD2a，在直角BEG中，由勾股定理得到：BG4，5a4，a，BCSABCBCAD6故答案为：16或【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及相似三角形的性质和勾股定理的综合运用，解题关键是明确重心的性质和利用相似求出BC的长7如图，在中，点是的中点，连结，过点作，分别交、

9、于点、，与过点且垂直于的直线相交于点，连结给出以下五个结论：；点是的中点；其中正确结论的序号是_【答案】【解析】根据题意证明，进而可确定；由，可得由，进而判断结论 ，可得，进而由可得，即可判断，根据，以及是的中点即可判断【详解】依题意得，又，故正确；如图，标记如下角，在与中，（ASA），又点是的中点，在与中，（SAS），即，故正确；，是直角三角形，即点不是线段的中点，故不正确；是等腰直角三角形，故正确；，点是的中点，即，故错误综上所述，正确故答案为：【点评】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中线的性质，证明和是解题的关键8已知，平行四边

10、形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则_【答案】； 【解析】由于F的位置不确定，需分情况进行讨论，（1）当点F在线段AD上时（2）点F在AD的延长线上时两种情况，然后通过证两三角形相似从而得到AG和CG的比，进一步得到AG和AC的比【详解】解：（1）点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H，AB/CD，EAFHDF,HD：AE=DF：AF=1:2，即HD=AE，AB/CD，CHGAEG，AG：CG=AE：CH，AB=CD=2AE，CH=CD+DH=2AE+AE=AE，AG：CG=2：5，AG：（AG+CG）=2：（2+5），即AG：AC=2：7；（2）点F在线段AD的延长线上时，

11、设EF与CD交于H，AB/CD，EAFHDF，HD：AE=DF：AF=1：2，即HD=AE，AB/CD，AG：CG=AE：CHAB=CD=2AE，CH=CD-DH=2AE-AE=AE，AG：CG=2：3，AG：（AG+CG）=2：（2+3），即AG：AC=2：5故答案为：或【点评】本题考查相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中相似三角形的性质得出的比例式是解题关键，特别注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序9如图，在矩形中，分别为边，的中点，与，分别交于点M，N已知，则的长为_【答案】【解析】过点E作EHAD，交点BF于点G，交CD于点H，证明BEGBAF，求出EG

12、的长，再证明EGNDFN，EGMCBM，得出，再求出BG=GF=BF=，从而求出NG和MG，可得MN的长.【详解】解：过点E作EHAD，交点BF于点G，交CD于点H，由题意可知：EHBC，BEGBAF，AB=4，BC=6，点E为AB中点，F为AD中点，BE=2，AF=3，EG=，EHBC，EGNDFN，EGMCBM，,，即，E为AB中点，EHBC，G为BF中点，BG=GF=BF=，NG=，MG=BG=，MN=NG+MG=，故答案为：.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是添加辅助线EH，得到相似三角形.10如图，在正方形中，点为边上一点，且，点为对角线上一点，且，连

13、接交于点，过点作于点，若，则正方形的边长为_cm【答案】【解析】如图，过F作于I点，连接FE和FA，得到 设求出FE，AH，AG，证明 得到 最后求值即可【详解】如图，过F作于I点，连接FE和FA，四边形为正方形， 为BC的三等分点， 为 BC的三等分点，设 为等腰直角三角形， 为AE的中点， 四边形ABCD为正方形， 故答案为：【点评】本题属于四边形综合题，是填空题压轴题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是CE=2BE，BF=2DF的利用以及这些性质的熟记三、解答题11已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BEAB

14、，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD（1）求证：BNDCNM；（2）如果AD2ABAF，求证：CMABDMCN【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，ABCD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BDCE，根据相似三角形的判定方法，由CMDB可判断BNDCNM；（2）先利用AD2=ABAF可证明ADBAFD，则1=F，再根据平行线的性质得F=4，2=3，所以3=4，加上NMC=CMD，于是可判断MNCMCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论【详解】证明：（1）四边形ABCD是平行

15、四边形，AB=CD，ABCD，而BE=AB， BE=CD，而BECD，四边形BECD为平行四边形，BDCE，CMDB，BNDCNM；（2）AD2=ABAF，AD：AB=AF：AD，而DAB=FAD，ADBAFD，1=F，CDAF，BDCE，F=4，2=3，3=4，而NMC=CMD，MNCMCD，MC：MD=CN：CD，MCCD=MDCN，而CD=AB，CMAB=DMCN【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形在运用相似三角形的性质时主要利用相似

16、比计算线段的长也考查了平行四边形的判定与性质12如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AEAD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AFAB（1）求证：BDEC（2）若AB1，求AE的长（3）如图2，连接AG，求证：EGDGAG【答案】（1）见详解；（2） ；（3）见详解【解析】（1）由矩形的形及已知证得 ,则有 ,进而证得 即可证得结论；（2）设 ，利用矩形性质知 ,则有 ,进而得到 的方程，解之即可；（3）在 上截取 ,进而证明 ,得到 , ,则证得 为等腰三角形，即可得证结论【详解】（1） 四边形 是矩形， , , ,在 和 , , , , , , , ;（2）设

17、，则 ， ， , , ,又 , 即 ，解得： （舍去）即 ;（3）在 上截取 ,连接 ,在 和 ， , , , , ; , 是等腰三角形， 即 , , , 【点评】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算13如图1，在RtABC中，ACB90，ACBC1，D为AB上一点，连接CD，分别过点A、B作ANCD，BMCD（1）求证：ANCM；（2）若点D满足BD：AD2：1，求DM的长；（3）如图2，

18、若点E为AB中点，连接EM，设sinNADk，求证：EMk【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】（1）证明ACNCBM（AAS），由全等三角形的性质得出ANCM；（2）证明ANDBMD，由相似三角形的性质得出，设ANx，则BM2x，由（1）知ANCMx，BMCN2x，由勾股定理得出x，则可得出答案；（3）延长ME，AN相交于点H，证明AHEBME（AAS），得出AHBM，证得HNMN，过点E作EGBM于点G，由等腰直角三角形的性质得出答案【详解】（1）证明：ANCD，BMCD，ANC90，BMC90，又ACB90，ACN+BCMBCM+CBM90，ACNCBM，又ACBC，ACNC

19、BM（AAS），ANCM；（2）解：ANDBMD，ADNBDM，ANDBMD，设ANx，则BM2x，由（1）知ANCMx，BMCN2x，AN2+CN2AC2，x2+（2x）212，x，CM，CN，MN，DM；（3）解：延长ME，AN相交于点H，E为AB的中点，AEBE，ANM90，BMN90，ANBM，HAEMBE，AHEBME，AHEBME（AAS），AHBM，又BMCN，CMAN，CNAH，MNHN，HMN45，EMB45，过点E作EGBM于点G，sinNADk，NADEBG，sinEBGk，又ACBC1，AB，BE，EGk，EMEGkk【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与

20、性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键14某小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m、20m的梯形空地上种花（如图所示）（1）他们在AMD和BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2.当AMD地带种满花后（图中阴影部分）花了160元，请计算种满BMC地带所需的费用；（2）若AMB和DMC地带要种的有玫瑰花和茉莉花可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择哪一种花，刚好用完所筹集的资金？【答案】（1）640元；（2）茉莉花【解析】（1）由梯形的性质得到AD平行BC从而得到AM

21、D和CMB相似，通过相似的性质即可得到BMC的面积，即可算出所需费用；（2）通过三角形等高时，得到面积比等于底的比，即可通过AMD得到AMB的面积，同理得到DMC的面积，再分别算出种植两种花时所需的费用，比较大小即可求出结果【详解】解：（1）四边形ABCD是梯形，ADBC，AMDCMB，种满AMD地带花费160元，SAMD=20（m2），SCMB=4SAMD=80（m2），种满BMC地带所需的费用为808=640（元）（2）AMDCMB，=AMD与AMB等高，SAMB=2SAMD=40（m2）同理可求SDMC=40m2当AMB和DMC地带种植玫瑰花时，所需总费用为1606408012=1760

22、（元），当AMB和DMC地带种植茉莉花时，所需总费用为1606408010=1600（元），种植茉莉花刚好用完所筹资金【点评】本题考查相似三角形的性质、梯形的几何特征，熟知三角形的性质是解题的关键15已知：矩形ABCD中，AB6，BC8，点P是线段AD上一点，连接CP，点E在对角线AC上（不与点A，C重合），CPEACB，PE的延长线与BC交于点F（1）如图1，当AP2时，求CF的长；（2）如图2，当PFBC时，求AP的长；（3）当PFC是等腰三角形时，求AP的长【答案】（1）CF；（2）AP；（3）AP的长为6【解析】（1）如图1，先根据勾股定理计算AC=10，PC=6，证明CEPCPA，得

23、，则CE=7.2，计算AE=10-7.2=2.8，由平行线分线段成比例定理列比例式可得CF的长；（2）如图2，由（1）知：CECA=CP2=CD2+DP2，即可求解；（3）分PF=PC、FC=PC、FC=FP三种情况，继续利用CECA=CP2=CD2+DP2，求解即可【详解】（1）如图1，四边形ABCD是矩形，BD90，AB6，BC8，AC10，RtPDC中，AP2，PDCD6，PC6，ADBC，DACACB，CPEACB，DACCPE，PCEPCA，CEPCPA，即，CE7.2，AE107.22.8，APCF，即，CF；（2）如图2，ADBC，PFBC，ADPF，APE90，tanDAC设E

24、P3x，AP4x，则AE5x，BFAP4x，CE105x，PD84x，由（1）知：CP2CEAC，RtPCD中，PC2PD2+CD2，PD2+CD2CEAC，62+（84x）210（105x），解得：x0（舍）或x，AP4x；（3）分三种情况：当PFPC时，如图3，设APx，则PD8x，CF2PD162x，APCF，即，由（2）知：用CECACP2CD2+DP2，62+（8x）2，x0，x232x+1560，（x6）（x26）0，x6或26（舍），AP6；当FCPC，如图4，连接AF，CPECFPAPEACBPAC，AEEP，EFCE，AEFPEC，AEFPEC（SAS），AFPCCF，设CF

25、AFa，则BF8a，RtABF中，由勾股定理得：62+（8a）2a2，解得：a，CFCP，设APx，则PD8x，CP2CD2+DP2，解得：x（舍）或；当x时，APCPCFAF，且ACPF四边形AFCP是正方形，此种情况不存在；当FCFP，如图5，P与A重合，该情况不符合题意；综上：AP的长为6【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质、三角函数的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会构建方程计算边的长，属于中考压轴题16如图，直角ABC中，BAC=90，D在BC上，连接AD，作BFAD分别交AD于E，AC于F（

26、1）如图1，若BD=BA，求证：ABEDBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：GM=2MC；AG2=AFAC【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；证明见解析【解析】（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）过G作GHAD交BC于H，由AG=BG，得到BH=DH，根据已知条件设DC= k，BD=4 k，得到BH=DH=2 k，根据平行线分线段成比例定理得到，求得GM=2MC；过C作CNAD交AD的延长线于N，则CNAG，根据相似三角形的性质得到，由知GM=2MC，得到2NC=AG，根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论【详解】（

27、1）在RtABE和RtDBE中，BA=BD，BE=BE，ABEDBE；（2）过G作GHAD交BC于H，AG=BG，BH=DH，BD=4DC，设DC=k，BD=4k，BH=DH=2k，GHAD，GM=2MC；过C作CNAC交AD的延长线于N，则CNAG，AGMNCM，由知GM=2MC，2NC=AG，BAC=AEB=90，ABF=CAN=90BAE，ACNBAF，AB=AG，2CNAG=AFAC，AG2=AFAC考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；和差倍分17在中，是斜边上一点，过点作，垂足为，的延长线交于点（1）当时，求线段的长；（2）当时，求线段的长【答案】（1）；（2）或A

28、D=【解析】（1）先求出AC，BC的长，证出CAF=BCD，再得到CAF和BCD的三角函数值都与BCD的三角函数值相等，进一步得到BF的长；（2）分两种情况当点F在线段BC上时，根据三角函数值相等得到比例式，进而得到方程，求出BG的长，再由平行得到ACD和BDG相似从而得到相似比，得出方程求出AD的长；当点F在CB的延长线上时，方法可参照【详解】解：（1）在ABC中，ACB=90，AB=5，sinCAB=，BC=4，AC=3，AECD，ACB=90，BCD+AFC=90，AFC+CAF=90，CAF=BCDtanCAF=tanBCD=，又ACB=90，AC=3，CF=，BF=；（2）如图1中，

29、当点F在线段BC上时，过点B作BG/AC，交CD延长线于点G，tanCAF=tanBCD，=，即，BG=，BG/AC，ACD=G，CAD=DBG，BGDACD，即，AD=如图2中，当点F在CB延长线上时，过点B作BG/AC，交CD延长线于点G，tanCAF=tanBCD，即，BG=7，BG/AC，ACD=G，CAD=DBG，BGDACD，即AD=【点评】本题考查三角形的三角函数的应用、相似的判定与性质，用到了分类讨论的思想，转化为方程去思考是解题的关键，本题是一道难度较大的综合题18如图1，A（4，0）正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角得

30、到正方形OEFG（1）如图2，若60，OEOA，求直线EF的函数表达式（2）若为锐角，tan，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由【答案】(1)yx+；(2);(3) OEP的其中两边的比能为：1，点P的坐标是：P（0，4），P（4，12），P（12，24），P（4，0），P（12，4）【解析】（1）过点E作EHOA于点H，EF与y轴的交点为M，由已知条件证明AEO为正三角形，求出点E的坐标及OM的长度，再利用E、M的坐标即可求出解析式；（2）无论正方形边长为多少，绕点O旋转角后得到正方形OEFG的顶点E在射线OQ上，当AEOQ时，线段AE的长最小利用为锐角，tan及勾股定理求出边长OE2，即可求出正方形的面积；（3）分点F在y轴的正半轴上或负半轴上，且点P与点F或点A重合或不重合时，利用OEP的两边之比为：1分别求出点P的坐标.【详解】（1）如图1，过点E作EHOA于点H，EF与y轴的交点为MOEOA，60，AEO为正三角形，则OH2，EH2，故点E（2，2），EOM30，OM， 设EF的函数表达式为：ykx+，将点E的坐标代入上式并解得：k，故直线EF的表达式为：yx+；（