2022届湖南省常德市武陵区高三考前热身数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动， 且总是平行于轴， 则的周长的取值范围是（ ）ABCD2已知全集为，集合，则（ ）ABCD3已知，是椭圆的左、右焦点，过

2、的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为ABCD4函数的图象可能是（ ）ABCD5已知，则下列说法中正确的是（ ）A是假命题B是真命题C是真命题D是假命题6执行如图所示的程序框图，若输出的，则处应填写（ ）ABCD7已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于( )ABCD8已知定义在上的可导函数满足，若是奇函数，则不等式的解集是（ ）ABCD9已知函数，若，则等于（ ）A-3B-1C3D010已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度11下列函数中，既是奇函数，又在

3、上是增函数的是（ ）ABCD12设集合，则集合ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13如图所示梯子结构的点数依次构成数列，则_.14设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的2倍，则双曲线的离心率为 .15已知等比数列an的前n项和为Sn，若a216如图所示，在直角梯形中，、分别是、上的点，且（如图）.将四边形沿折起，连接、（如图）.在折起的过程中，则下列表述： 平面；四点、可能共面；若，则平面平面；平面与平面可能垂直.其中正确的是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）根据国家统计局数据，1978年至2

4、018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升.将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为；表示全国GDP总量，表中，.326.4741.90310209.7614.05（1）根据数据及统计图表，判断与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程.（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量.线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.参考数据：45678的近似值551484031097298118

5、（12分）已知函数，（1）若，求实数的值（2）若，求正实数的取值范围19（12分）已知函数，(其中，).（1）求函数的最小值.（2）若，求证：.20（12分）如图为某大江的一段支流，岸线与近似满足，宽度为圆为江中的一个半径为的小岛，小镇位于岸线上，且满足岸线，现计划建造一条自小镇经小岛至对岸的水上通道（图中粗线部分折线段，在右侧），为保护小岛，段设计成与圆相切设 （1）试将通道的长表示成的函数，并指出定义域；（2）若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元？21（12分）某地为改善旅游环境进行景点改造如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不

6、计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1（百米），且F恰在B的正对岸（即BFl3）（1）在图中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角(EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标22（10分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为 （为参数），直线与曲线分别交于两点（1）写

7、出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若点的极坐标为，求的值参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得点横坐标的取值范围，即可由的周长求得其范围.【详解】抛物线，则焦点，准线方程为，根据抛物线定义可得，圆，圆心为，半径为，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.点、分别在两个曲线上，总是平行于轴，因而两点不能重合，不能在轴上，则由圆心和半径可知，则的周长为，所以，故选：B.【点睛】本题考查了抛物线定义、

8、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.2D【解析】对于集合,求得函数的定义域,再求得补集；对于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定义求解即可.【详解】,.故选:D【点睛】本题考查集合的补集、交集运算,考查具体函数的定义域,考查解一元二次不等式.3D【解析】如图所示，设依次构成等差数列，其公差为.根据椭圆定义得，又，则，解得，.所以，.在和中，由余弦定理得，整理解得.故选D4A【解析】先判断函数的奇偶性，以及该函数在区间上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.【详解】函数的定义域为，该函数为偶函数，排除B、D选项；当时，排除C选项.故选：A.【点睛】本题考查根据函数的解析式

9、辨别函数的图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出结果，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5D【解析】举例判断命题p与q的真假，再由复合命题的真假判断得答案【详解】当时，故命题为假命题；记f（x）exx的导数为f（x）ex，易知f（x）exx（，0）上递减，在（0，）上递增，f（x）f（0）0，即，故命题为真命题；是假命题故选D【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题6B【解析】模拟程序框图运行分析即得解.【详解】；.所以处应填写“”故选：B【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些

10、知识的理解掌握水平.7B【解析】由于直线的斜率k,所以一条渐近线的斜率为，即，所以，选B.8A【解析】构造函数，根据已知条件判断出的单调性.根据是奇函数，求得的值，由此化简不等式求得不等式的解集.【详解】构造函数，依题意可知，所以在上递增.由于是奇函数，所以当时，所以，所以.由得，所以，故不等式的解集为.故选：A【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.9D【解析】分析：因为题设中给出了的值，要求的值，故应考虑两者之间满足的关系.详解：由题设有，故有，所以，从而，故选D.点睛：本题考查函数的表示方法，解题时注意根据问题的条

11、件和求解的结论之间的关系去寻找函数的解析式要满足的关系. 10A【解析】由的最小正周期是，得，即，因此它的图象向左平移个单位可得到的图象故选A考点：函数的图象与性质【名师点睛】三角函数图象变换方法：11B【解析】奇函数满足定义域关于原点对称且，在上即可.【详解】A：因为定义域为，所以不可能时奇函数，错误；B：定义域关于原点对称，且满足奇函数，又，所以在上，正确；C：定义域关于原点对称，且满足奇函数，在上，因为，所以在上不是增函数，错误；D：定义域关于原点对称，且，满足奇函数，在上很明显存在变号零点，所以在上不是增函数，错误；故选：B【点睛】此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域

12、关于原点对称，属于简单题目.12B【解析】先求出集合和它的补集，然后求得集合的解集，最后取它们的交集得出结果.【详解】对于集合A，解得或，故.对于集合B，解得.故.故选B.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】根据图像归纳，根据等差数列求和公式得到答案.【详解】根据图像：，故，故.故答案为

13、：.【点睛】本题考查了等差数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.14【解析】不妨设双曲线，焦点，令，由的长为实轴的二倍能够推导出的离心率.【详解】不妨设双曲线，焦点，对称轴，由题设知，因为的长为实轴的二倍， ，故答案为.【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.15-2【解析】

14、试题分析：a2考点：等比数列性质及求和公式16【解析】连接、交于点，取的中点，证明四边形为平行四边形，可判断命题的正误；利用线面平行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题的正误；连接，证明出，结合线面垂直和面面垂直的判定定理可判断命题的正误；假设平面与平面垂直，利用面面垂直的性质定理可判断命题的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题，连接、交于点，取的中点、，连接、，如下图所示：则且，四边形是矩形，且，为的中点，为的中点，且，且，四边形为平行四边形，即，平面，平面，平面，命题正确；对于命题，平面，平面，平面，若四点、共面，则这四点可确定平面，则，平面平面，由线面平行的性质定理可得，则，但四边

15、形为梯形且、为两腰，与相交，矛盾.所以，命题错误；对于命题，连接、，设，则，在中，则为等腰直角三角形，且，且，由余弦定理得，又，平面，平面，、为平面内的两条相交直线，所以，平面，平面，平面平面，命题正确；对于命题，假设平面与平面垂直，过点在平面内作，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，又，平面，平面，.，平面，平面，.，显然与不垂直，命题错误.故答案为：.【点睛】本题考查立体几何综合问题，涉及线面平行、面面垂直的证明、以及点共面的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1），；（2）148万亿元.【解析】（1）由散点图知更适宜，对两

16、边取自然对数得，令，则，再利用线性回归方程的计算公式计算即可；（2）将代入所求的回归方程中计算即可.【详解】（1）根据数据及图表可以判断，更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程.对两边取自然对数得，令，得.因为，所以，所以关于的线性回归方程为，所以关于的回归方程为.（2）将代入，其中，于是2020年的全国GDP总量约为：万亿元.【点睛】本题考查非线性回归方程的应用，在处理非线性回归方程时，先作变换，转化成线性回归直线方程来处理，是一道中档题.18（1）1（2）【解析】（1）求得和，由，得，令，令导数求得函数的单调性，利用，即可求解（2）解法一：令，利用导数求得的单调性，转化为，令（），利用导数

17、得到的单调性，分类讨论，即可求解解法二：可利用导数，先证明不等式，令（），利用导数，分类讨论得出函数的单调性与最值，即可求解【详解】（1）由题意，得， 由，得，令，则，因为，所以在单调递增， 又，所以当时，单调递增； 当时，单调递减；所以，当且仅当时等号成立 故方程有且仅有唯一解，实数的值为1 （2）解法一：令（），则，所以当时，单调递增; 当时，单调递减;故 令（），则（i）若时，在单调递增，所以，满足题意 （ii）若时，满足题意（iii）若时，在单调递减，所以不满足题意 综上述： 解法二：先证明不等式，（*）令，则当时，单调递增，当时，单调递减，所以，即变形得，所以时，所以当时，.又由上式

18、得，当时，.因此不等式（*）均成立 令（），则，（i）若时，当时，单调递增; 当时，单调递减;故 （ii）若时，在单调递增，所以 因此，当时，此时，则需由（*）知，（当且仅当时等号成立），所以 当时，此时，则当时， （由（*）知）；当时，（由（*）知）故对于任意，综上述：【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题19（1）.（2）答案见解析【解析】（1）利用

19、绝对值不等式的性质即可求得最小值；（2）利用分析法，只需证明，两边平方后结合即可得证.【详解】（1），当且仅当时取等号，的最小值；（2）证明：依题意，要证，即证，即证，即证，即证，又可知，成立，故原不等式成立.【点睛】本题考查用绝对值三角不等式求最值，考查用分析法证明不等式，在不等式不易证明时，可通过执果索因的方法寻找结论成立的充分条件，完成证明，这就是分析法20（1），定义域是（2）百万【解析】（1）以为原点，直线为轴建立如图所示的直角坐标系，设，利用直线与圆相切得到，再代入这一关系中，即可得答案；（2）利用导数求函数的最小值，即可得答案；【详解】以为原点，直线为轴建立如图所示的直角坐标系 设，则，因为，所以直线的方程为，即，因为圆与相切，所以，即，从而得，在直线的方程中，令，得，所以，所以当时，设锐角满足，则，所以关于的函数是，定义域是（2）要使建造此通道费用最少，只要通道的长度即最小令，得，设锐角，满足，得列表：0减极小值增所以时，所以建造此通道的最少费用至少为百万元【点睛】本题考查三角函数模型的实际应用、利用导数求函数的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.21（1）见解析，x0，1；（2）P(，)时，视角EPF最大【解析】（1）以A为原点，l1为x轴，抛物线的对称轴为y轴建系，设出方程