四元数与欧拉角课件

1、四元数与欧拉角1Outline四元数的定义四元数的运算利用四元数进行旋转变换利用四元数进行旋转合成2n1.1*四元数(quaternions)定义一个有固定点的刚体通过绕该点的某个轴转过特定角度可达到任何姿态转轴的方向可以表示成一个单位矢量: 则描述该转动的四元数可以表示成:四元数既反映了转动的方向又反映了转动的幅值.31.2 四元数的组成 四元数的表示： - 标量部分- 矢量部分 包括一个实数单位 1 和三个虚数单位 i, j, k 另一种表示法: , P 代表矢量部分4Outline四元数的定义四元数的运算利用四元数进行旋转变换利用四元数进行旋转合成52.1*加法和减法加法和减法： 或简写

2、成： 62.2 虚数单位的乘法规则i, j, k 在乘法运算中的规则: 对比 Hamilton 的公式72.3*四元数乘法表示符号四元数乘法的符号关于交换率和结合律102.4*共扼和范数共扼四元数的定义 - 两个四元数的标量部分相同，向量部分相反q 和 q* 彼此互为四元数.可以证明： 四元数的范数 - 定义成 , 则 q 成为规范化的四元数 若是规范化的112.5*四元数的逆和除法若则 q1 和 q2 彼此互为逆, 写为和因为除法:没有具体意义或function qi =qinv(q)% inverse of quaternionqn=norm(q);q(2:4)=-q(2:4);qi=q/

3、qn2;123.3 四元数和方向余弦- 表示坐标系旋转, 其中q 和 C 之间是什么关系 ?假设则应用四元数乘法, 得到163.3 四元数和方向余弦方向余弦矩阵173.4 四元数转动变换的两种形式 如果一个矢量 V 固定，坐标系旋转按照四元数 q 进行了旋转，得到了一个新坐标系，则该矢量分别在新旧坐标系中投影表达式间的关系借助映像方式可以表示为：如果一个坐标系固定, 一个矢量 VE 按照四元数 q 相对该坐标系进行了转动，得到一个新的矢量 VE，则新旧矢量之间的关系为：18Outline四元数的定义四元数的运算利用四元数进行旋转变换利用四元数进行旋转合成194.1 四元数合成: 映像的方式这里

4、 q1 和 q2 的转动轴表示为非映像的形式, 因此合成的四元数为:转动次数越多，合成后四元数的表达式会愈发复杂234.2*四元数合成: 映像的方式每次转动的瞬时转轴都以映像方式给出.对第一次转动, 瞬时转轴 n1 的映像方式和非映像方式相同：因此244.2 四元数合成: 映像的方式第二次转动绕着 OX 转过了转轴 n2 沿着 OXn2 在坐标系 XYZ 中的映像为：因此 q2 的映像形式为 254.2 四元数合成: 映像的方式第三次转动绕着 OY 轴转过 .转轴 n3 沿着 OY 轴 OY 是由原来坐标系的 OY 轴转动得到的，因此 n3 的映像形式为:这样，四元数 q3 的映像形式为264

5、.2 四元数合成: 映像的方式因为 q1, q2 和 q3 都表示成了映像的形式, 所以合成的四元数 q 的计算公式为:由 q 可以进一步得到合成转动对应的方向余弦矩阵27Outline欧拉角的定义欧拉角性质应用285.0*静态的定义29 对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。参考系又称为实验室参考系，是静止不动的。而坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转而旋转。参阅右图。设定 xyz-轴为参考系的参考轴。称 xy-平面与 XY-平面的相交为交点线，用英文字母（）代表。 z x z 顺规的欧拉角可以静态地这样定义: 是 x-轴与交点线的夹角， 是 z-轴与Z-轴

6、的夹角， 是交点线与X-轴的夹角。很可惜地，对于夹角的顺序和标记，夹角的两个轴的指定，并没有任何常规。科学家对此从未达成共识。每当用到欧拉角时，我们必须明确的表示出夹角的顺序，指定其参考轴。实际上，有许多方法可以设定两个坐标系的相对取向。欧拉角方法只是其中的一种。此外，不同的作者会用不同组合的欧拉角来描述，或用不同的名字表示同样的欧拉角。因此，使用欧拉角前，必须先做好明确的定义。5.1.1*静态的定义30角值范围1.,值从 0 至 2 弧度。2. 值从 0 至 弧度。 对应于每一个取向，设定的一组欧拉角都是独特唯一的；除了某些例外：两组欧拉角的 ，一个是 0 ，一个是 2 ，而 与 分别相等，

7、则此两组欧拉角都描述同样的取向。两组欧拉角的 ，一个是 0 ，一个是 2 ，而 与 分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。旋转矩阵前面提到，设定刚体取向的旋转矩阵 是由三个基本旋转矩阵合成的：5.1 .2*静态的定义31 单独分开作用，每个矩阵各自代表绕着其转动轴的旋转；但是，当它们照次序相乘， 1.最里面的(最右的) 矩阵代表绕着 z 轴的旋转。 2.最外面的(最左的) 矩阵代表绕着 Z 轴的旋转。 3.在中间的矩阵代表绕着交点线的旋转。经过一番运算,别种顺序在经典力学里，时常用 zxz 顺规来设定欧拉角；照着第二个转动轴的轴名，简称为 x 顺规。另外，还有别种欧拉角组。合法的欧拉角组中，唯一的限制是，任何两个连续的旋转，必须绕着不同的转动轴旋转。因此，一共有 12 种顺规。例如，y 顺规，第二个转动轴是 y-轴，时常用在量子力学，核子物理学，粒子物理学。