《高等代数》课程教学大纲

1、高等代数课程教学大纲课程代码（COURSE CODE）316B1001，316B1012课程名称（COURSE TITLE）高等代数 I、高等代数 II课程性质（COURSECHARACTER）必修学分（CREDIT）5+6学时（CONTACT HOURS）64+32，80+32先修课程（PRE-COURSE）无课程负责人（COURSE COORDINATOR）适用专业统计学课程简介：高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，也是中学代数的继续与提高。高等代数课程大体上分为两个部分：多项式理论与线性代数，其中以线性代数为主。它是数学与应用数学专业的一门重要基础课程，它一方面为学生提供一些进一步学习

2、所需要的基础理论和基本工具，另一方面还对提高学生思维能力，开发学生智能加强“三基”（基础知识、基本理论、基本技能）及培养学生独立工作能力等起着重要的作用。本课程的内容主要有：一元多项式、行列式、线性方程组、线性方程组、矩阵、二次型、线性变换、欧几里得空间等。通过本课程的学习，使学生较系统地掌握多项式和线性代数的初步理论，初步掌握抽象的、严格的代数方法，从而使学生能有较广泛的、深入的代数基础，着力培养学生的代数计算能力、逻辑思维能力和运用知识解决实际问题的能力，从而有助于培养学生的辩证唯物主义基本观点，包括具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系，进一步提高学生的抽象思维能力。二、课程目标通

3、过本课程的学习，学生应具备以下几方面的目标：1、通过本课程的学习, 使学生对高等代数乃至代数学的思想方法有较深刻的认识，提高他们的抽象思维、逻辑推理与运算能力，并能用会用它们分析问题与解决问题。2、使学生初步掌握基本的、系统的代数知识与抽象的、严格的代数方法、进而加深对中学代数的理解。3、通过本课程的学习, 使学生进一步掌握具体与抽象，特殊与一般、有限与无限等辩证关系， 培养其辩证唯物主义观点。4、通过本课程的学习, 逐步培养学生对真理知识的发现和创新能力，训练其对特殊实例的观察、分析、归纳、综合、抽象概括和探索性推理的能力。5、通过本课程的学习, 学生获得一定的抽象代数的基础知识，接受代数方

4、法的初步训练,为进一步学习数学后续课程提供必要的基础理论知识。课程目标对毕业要求的支撑关系表毕业要求毕业要求指标点课程目标 1课程目标 2课程目标 3课程目标 4课程目标 5毕业要求 3毕业要求指标点 3.2HHHH毕业要求指标点 3.3HH毕业要求 7毕业要求指标点 7.1H三、教学内容与预期学习成效知识单元对应课程目标知识点预期学习成效实现环节学时教学方法：课堂讲授、1.课程简介课程目标 1、2数学归纳法数域数学符号简介深入理解并熟练运用数学归纳法。熟练掌握数域的定义与判别方法。熟知常用的数学符号。课堂讨论；教学手段：多媒体课件、传统教学和实践2+2教学相结合。课程思政：通过对课程简介的学

5、习，让学生体会到高等代数思维的魅力，引发学生对抽象代数学习的兴趣。(1)掌握一元多项式相关概念及性质。(2)掌握整除概念及基本性质、理解并能应用带余除法定理解决一些问题。2. 多项式课程目标 2、3、4一元多项式整除的概念最大公因式因式分解定理重因式多项式函数复系数与实系数多项式有理系数多项式理解互素的概念及性质；掌握最大公因式的定义及性质，会用辗转相除法求最大公因式。理解不可约多项式的概念及性质，了解因式分解及唯一性定理。理解重因式的概念及性质，能判别并会求重因式。理解多项式函数的概念、多项式根的概念及性质；理解余式定理，根与一次因式的关系。了解代数基本定理；了解实系数多项式根的教学方法：讲

6、授、例题分析教学手段：传统教学与实践教学相结合。14+6性质；了解复系数与实系数多项式的因式分解。(8)了解整系数多项式在有理数域上的可约性问题；了解有理根的性质。课程思政：通过对多项式的学习，使学生初步掌握基本的、系统的代数知识与抽象的、严格的代数方法，加深对中学代数的理解。1）排列掌握排列及其逆序数概念及性质、对换 的概念与性质、排列的奇偶性以及确定方法。掌握 n 级行列式的定义，理解行列式的转置与原来行列式之间的关系。掌握行列式的性质，并能应用行列式的 性质计算行列式。掌握余子式与代数余子式的定义和求法； 掌握行列式按行按列展开公式；会计算范德蒙德(Vandermonde)行列式。理解克

7、拉默(Cramer)法则，会运用克拉默(Cramer)法则判别齐次(系数矩阵为方阵)线性方程组是否有非零解。教学方法：讲授、例题分析教学手段：多媒体课件、传统教学与实践教学相结合。2）n 级行列式课程目标 2、3、43）n 级行列式的性质4）行列式的计算14+63. 行列式5）行列式按一行(列)展开6） 克拉默(Cramer)法则课程思政：通过对行列式的学习，使学生获得一定的抽象代数的基础知识，并能运用行列式的知识解决线性方程组的问题，实现知识的迁移。4、矩阵课程目标 2、3、4矩阵的概念矩阵的运算矩阵乘积的行列式与秩矩阵的逆初等矩阵掌握零矩阵、单位矩阵与数量矩阵概念, 掌握矩阵的加法、数乘、

8、乘法及转置运算。掌握矩阵乘积的行列式性质、非退化与退化矩阵概念、矩阵乘积的秩相关性质。掌握可逆矩阵、逆矩阵、矩阵的伴随矩阵概念与性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。掌握初等矩阵的概念，理解初等矩阵与初等变换的关系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵以及解简单的矩阵方程。教学方法：讲授、例题分析教学手段：传统教学与实践教学相结合。16+10课程思政：通过对矩阵的学习，使学生获得一定的矩阵论的基础知识，并能运用矩阵和行列式的知识解决线性方程组的问题，实现知识的迁移。1）消元法(1)掌握方程组的一般解与自由未知量概念;5. 线性方程组课程目标 2、3、42）n 维向量空间线性相关性矩阵的秩线性方程组有解

9、判别定理解 n 维向量的概念、性质、运算。掌握向量组的线性组合、向量组的等价、向量组线性相关性、向量组极大线性无关组与秩的概念及性质。掌握矩阵的秩的概念；会求矩阵的秩。教学方法：讲授、例题分析教学手段：传统教学与实践教学相结合。18+8理6)线性方程组解的结构(5)掌握线性方程组有解判别定理、线性方程组解的性质，掌握齐次线性方程组基础解系的概念与求法、齐次线性方程组解的结构以及一般线性方程组解的结构。课程思政：通过对线性方程组的学习，使学生获得一定的线性代数的基础知识，加深学生对实际问题的转化和归纳能力，提高他们的抽象思维、逻辑推理与运算能力，并能用会用它们分析问题与解决问题。1）集合映射理解

10、集合、映射、单射、满射、映射的概念及性质。掌握线性空间同构定义、性质。掌握有限维线性空间同构的判别方法。掌握线性空间概念及性质，会判别所给 代数结构是否为线性空间；掌握线性空间的基与维数概念及性质、向量坐标的概念、过渡矩阵概念及性质、基变换公式与坐标变换公式。掌握线性子空间的定义与判别、生成子 空间定义及性质，应用生成子空间的性质求解相关问题。掌握子空间的交与和的定义和性质，掌握并应用维数公式求解相关问题。2）线性空间的定义及简单6、线性空间课程目标 2、3、4、5性质维数基与坐标基变换与坐标变换线性子空间教学方法：讲授、例题分析教学手段：传统教学与实践教学相结合。22+106）子空间的交与和

11、7）线性空间的同构课程思政：通过对线性空间的学习，使学生对高等代数乃至代数学的思想方法有较深刻的认识，激发学生学习抽象代数的兴趣。7、线性变换课程目标 2、3、4、5线性变换的定义线性变换的运算线性变换的矩阵特征值与特征向量对角矩阵掌握线性变换的定义及基本性质。掌握变换的加法、数乘、乘法以及可逆线性变换及其逆变换。掌握线性变换在一组基下的矩阵定义、 线性变换在取定基之下与矩阵的对应关系、相似矩阵的定义及性质、线性变换在两组基下矩阵的关系。掌握线性变换特征值、特征向量及特征 子空间的定义与求法；了解矩阵的迹概念和哈密顿-凯莱定理。掌握矩阵对角化的充要条件、线性变换 或矩阵能否对角化、对角化方法；

12、掌握属于不同特征值的特征向量的线性无关性。教学方法：讲授、例题分析教学手段：传统教学与实践教学相结合。20+8课程思政：通过对线性变换的学习，使学生加深对高等代数思想方法的认识， 使学生进一步掌握具体与抽象，特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养其辩证唯物主义观点。8、二次型课程目标 2、3、4二次型及其矩阵表示标准形唯一性正定二次型掌握二次型及二次型的矩阵的概念及性质，掌握矩阵合同的概念与性质、矩阵合同与非退化线性替换之间的关系。掌握用配方法、初等变换法化二次型为 标准形。掌握复、实二次型的规范形概念及性质， 掌握正惯性指数与符号差相关概念及性质。掌握正定二次型概念、性质、顺序主子 式的定义

13、、实二次型为正定二次型的充要条件；了解半正定、负定、半负定以及不定二次型概念及性质。教学方法：讲授、例题分析教学手段：传统教学与实践教学相结合。18+6课程思政：通过对二次型的学习， 使学生进一步掌握具体与抽象的辩证关系，培养学生知识迁移能力。（1）掌握内积、欧氏空间、向量的长度、非零向量的夹角、两个向量的正交以及基的度量矩阵定义及性质。1）欧几里得空间定义与基（2）掌握正交组、正交基、标准正交基定义及9、欧几里得空间课程目标 2、3、4、5本性质标准正交基同构4)正交变换5）实对称矩阵的标准形性质、正交基扩充定理、施密特正交化方法、正交矩阵的定义和性质。了解欧氏空间同构的定义、性质与判定。掌

14、握正交变换的概念以及线性变换是正 交变换的几个充分必要条件。教学方法：讲授、例题分析教学手段：多媒体课件、传统教学与实践教学相结合。20+8（5）掌握对称变换与实对称矩阵的关系、实对称矩阵特征值与特征向量的性质、实对称矩阵正交对角化。课程思政：通过对欧几里得空间的学习, 培养了学生对真理知识的发现和创新能力，训练了其对特殊实例的观察、分析、归纳、综合、抽象概括和探索性推理的能力，为学生进一步学习数学后续课程提供必要的基础理论知识。四、成绩评定及考核方式知识单元对应课程目标考核方式成绩评定1.课程简介1、2平时表现平时表现（考勤+作业）占10%；期中考试占 30%；期末考试占 60%2. 多项式2、3、4平时表现+期末考试3. 行列式2、3、4、平时表现+期末考试4、矩阵2、3、4平时表现+期末考试5. 线性方程组2、3、4、平时表现+期末考试6、线性空间2、3、4