概统昆工版教材习题第一至六章(演示版)

1、PAGE PAGE 48（请尊重我的劳动，不要将资料外传） 习题一3 设为二事件，化简下列事件：4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。5 张奖券中有张有奖的，个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。答案：6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？解；将这五双靴子分别编号分组，则表示：“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i只，且编号不同，其可能选法为7在1，1上任取一点，求该点到原点的距离不超过的概率。 答

2、案：8在长度为的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成三角形的概率。 且，又9在区间内任取两个数，求这两个数的积小于的概率。10设为二事件，设解：故11设为二事件，设解： 12 设（1）若若（2）若若与相互独立，则13飞机投炸弹炸敌方弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01，002，0.03，求飞机投一弹没有命中仓库的概率。解 0.9414某市有50的住户订日报，有65的住户订晚报，有85的住户至少订这两种报纸中的一种，求同时定这两种报纸的住户的百分比。解：，15一批零件共100个，次品率10,连续两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得

3、正品的概率。解: 第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品；等价于第一次取出的零件为次品，求第二次取得正品；故：16 设随机事件且解：17 设是小概率事件，即是给定的任意小的正数，试证明：当试验不断地重复进行下去，事件总会发生（以概率1发生）。当试验不断地重复进行下去，事件发生的概率为：18 三人独立的破译一密码，他们能单独译出的概率分别为求此秘密被译出的概率。解：以分别表示第一，二，三人独立地译出密码，：表示密码被译出，则20 三台机器相互独立的运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，求这三台机器中至少有一台发生故障得概率。解：21设为二事件，设解：2

4、2设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为，活到25年以上的概率为，问现在25岁的这种动物，它能活到25年以上的概率为多少？解： 23某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为，40年内发生特大洪水的概率为，求已过去了30年未发生特大洪水的地区在未来10年内发生特大洪水的概。 发生特大洪水的时刻。24 设甲袋中有2只白球，4只红球，乙设甲袋中有3只白球，2只红球，今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球。（1）问取道白球的概率是多少？（2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？解：解： “首先从甲袋中取到白球” 收到信号“然后从乙袋中取到白球.”; 由题设:于是:由贝叶

5、斯公式有:; 25 一批产品共有10件正品和2件次品，任取两次，每次取一件，取后不放回，求第2次取出的是次品的概率。解：分别表示第一次、第二次取得的是次品，则 26一批元件，其中一等品占95，二等品占4，三等品占1，它们能工作500h以上的概率分别为90，80，70，求任取一元件能工作500h以上的概率。解：分别为任意抽出一元件是由一、二、三等品。抽出的一个能工作500h以上27 某厂用甲乙丙三地收购而来的药材加工生产一种中成药，三地供货量分别占40，35，25，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70，和0.85，（1）求从该厂产品中任取一件是优等品的概率。（2）若取一件

6、是优等品的概率，求它的材料来自甲地的概率。（1）分别为任意抽出一螺钉是由甲、乙、丙车间生产的。抽出的一个是次品由贝叶斯公式有:28用某种检验方法检查癌症，根据临床记录，患癌症者施行此项检查，结果是阳性的概率为0.95，无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为0.90，若据统计，某地癌症的发病率为0.0005，试求用此法检查结果为阳性者而而实际患癌症的概率。解：“患癌症.” “未患癌症”; “检查结果为阳性”; “结果是阴性”由题设:于是:由贝叶斯公式有:; 29 三人同时向一敌机射击，击中的概率分别是0.4，0.6和0.7；一人击中，敌机被击落的概率为0.2；二人击中，敌机被击落的概率为0.6

7、；三人击中，敌机必被击落；求（1）敌机被击落的概率。（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率。解：用表示第人击中，则用表示恰有人击中，；表示敌机被击落，则30 某厂产品有70不需调试即可出厂，另30需经调试，调试后有80，能出厂，求：（1）该厂产品能出厂的概率。（2）任取一出厂产品未经调试的概率。解： “任取一产品，.不需调试即可出厂” “任取一产品，调试后能出厂”; “任取一产品，能出厂.”; “任取一产品，不能出厂”由题设:于是:由贝叶斯公式有:; 31 进行一系列独立试验，假设每次试验成功的概率度、都是求在试验成功2次之前已失败了3次的概率。解：X:表示试验成功2次时的试验次数，X=

8、5,试验成功2次之前已失败了3次的概率等价于：前面4次成功了1次且第5次必成功。32 10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，求直到第次才取出次红球的概率。 33灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，求3个使用1000小时后，最多只有一只坏了的概率。 记P=P灯泡使用在1000小时以上完好 X: 3个使用1000小时后坏了的只数。则X34某人有两盒火柴，每盒中各有根，吸烟时任取一盒，并从中任取一根，当他发现一盒已经用完时，试求另一盒还有根的概率。 注：可看作重贝努力试验，每次试验中取了第一盒（即用完的那一盒）中一根火柴的概率为，取了第二盒中一根火柴的概率也为，设所求事件为，则

9、相当于“第一盒（即用完的那一盒）中取了根火柴，第二盒（即用完的那一盒）中取了根火柴，”的事件，故彩票问题：三十五选七；十一选五等等。 三十五选七的摇奖规则：编有号码1，2，35的球共35个，从中摇出七个基本号码，一个特别号码。设有三个奖项：一等奖：选七个号码，中七个基本号码； 二等奖：选七个号码，中六个基本号码和一个特别号码； 三等奖：选七个号码，中六个基本号码；另一号码未中；考虑模球问题：袋中有不放回摸；的概率。解：设则视七个基本号码为红球，一个特选号码为黄球，其余号码为白球，则：一等奖：二等奖：一等奖：习题二 38页1在测试灯泡的寿命的试验中，试写出样本空间并在其上定义一个随机变量。解：样

10、本空间表示灯泡的寿命（h）是随机变量。2 报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元，报馆每天给报童1000份报，并规定不得把卖不出的报纸退回，设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示。 报童赔钱=0.15X100, 3 若求解：4 设随机变量X的分布函数，试求（1）5 5个乒乓球中有两个是新的，3个是旧的，若果从中任取3个，其中新的乒乓球的个数是一个随机变量，求这个随机变量的概率分布律和分布函数，并画出分布函数的图形。解：X表示从中任取3个，其中新的乒乓球的个数；则X的可能取值为0.1，2。6某射手有5发子弹，射击一次命中率为0.9，如果他命中目标就停止射击

11、，不命中就一直射击到用完5发子弹，求所用子弹数X的分布律。解： 即7 一批零件有9件合格品与3件废品，安装机器时，从这批零件中任取一件，若每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数X的分布律。解：8从1到10中任取一个数字，若取到数字i,i=1,2,10的概率与i成正比，即解：由归一性：9 已知随机变量X服从参数为=1的泊松分布，试求满足条件的自然数N.解：10 某公路一天内发生交通事故的次数X服从泊松分布，且一天内发生一次交通事故与发生两次交通事故的概率相等，求一周内没有发生交通事故的概率。发生交通事故X服从参数为的泊松分布，且一周内发生交通事故的次数记为Y则Y服从二项分布，故

12、一周内没有发生交通事故的概率为11 一台仪器在10000工作时内平均发生10次故障，试求在100作时内故障不多于两次的概率。，（每个工作时内发生故障的概率）X：100作时内发生故障的次数，12设X现对X进行3次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率。 Y表示对X进行3次独立观察，观察值大于3的次数，则Y，13 设某种传染病进入一羊群，已知此种传染病的发病率为求在50头已感染的羊群中发病头数的分布律。14设随机变量X的概率密度为，Y表示对X的三次重复观察中事件出现的次数，则 15已知X的概率密度为试求（1）未知系数a,(2)X的分布函数F(x);(3)X落在区间内取值的概率。解：（1） （2

13、）16 设随机变量X在1，6内服从均匀分布，求方程有实根的概率。解：方程有实根，等价于：方程有实根的概率为17 已知随机变量X服从正态分布服从标准正态分布N（0，1），求解：由37页例3知服从正态分布，又已知 服从标准正态分布N（0，1），故a=1,b=-1.18已知随机变量X服从参数为的指数分布，且X落入区间（1，2）内的概率达到大，求X服从参数为的指数分布，则19设随机变量 XN(1,4);求解：由35页（5）式有：20 设电源电压（单位：V）X服从，在三种情况下电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001，0.2，求：（1）该电子元件损坏的概率解：由35页（5）式有：(2) 该电子元件损坏

14、时,电压在200至240的概率。21随机变量X的分布律为： X-2-1013求的分布律。Y的所有可能取值为0，1，4，9，由概率的可加性，有：41019 X-2-1013得的分布律为014922 设随机变量X服从参数为0.7的01分布，求的分布律。解：参数为0.7的01分布。23 设随机变量X的概率密度函数为内的概率密度函数解：对任意的Y.，所以：24设随机变量X服从U0,2,求随机变量在0，4内的概率密度函数解：当时：，所以：25 设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数解：当时：当时：所以：补充：设X的概率密度，（2）求的概率密度， 故的概率密度(2)因则，当时，习题三1.离散随机变量相

15、互独立同分布，求的概率. . 即使两个离散随机变量相互独立同分布, 一般不会以概率1相等.2设二维随机变量的概率分布如下表： XY01200.060.150.091b0.350.21求b,(2)随机变量X,Y是否相互独立？（3）求解：（1）b=0.14;(2)求的X,Y的边缘分布如下表： XY012PY=j00.060.150.090.310.140.350.210.7PX=i0.20.50.31故X,Y相互独立；（3）补充题：设和是相互独立同分布的随机变量，且求的概率分布., （2）由已知易得 3 设令求X,Y的联合概率分布。解：由4设二维随机变量的概率分布如下表： XY12PY=j102P

16、X=i1（1）求X,Y的边缘分布律。解：见上表。（2）求Y=1的条件下X的条件分布律及X=2的条件下Y的条件分布律。 略。5.在一只箱子中有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样，我们定义随机变量, 如下： 试分别就（1）、（2）两种情况，写出和的联合分布律并问随机变量和是否相互独立？ （1）放回时，（2）不放回抽样， 放回抽样时，两次抽样相互独立；不放回抽样，不相互独立6.随机变量在矩形域上服从均匀分布，求二维联合概率密度及边缘概率密度.随机变量及是否独立？解 按题意具有联合概率密度, ,及是独立的.事实上,若服从区域上的均匀分

17、布，则只有当为矩形区域：时，与分别服从上的均匀分布，且与独立，反之亦然.7 随机变量的分布函数为=.求：（1）的概率密度；（2）边缘概率密度.（3）随机变量与是否独立？解 由分布函数的性质有=0=1从而对任意的；有，于是，有， 独立。8 进行打靶试验，设弹着点A(X,Y)的坐标X与Y相互独立，且都服从。N(0,1)分布，规定点A落在区域得2分，点A落在区域得1分，点A落在区域得0分，以Z记打靶的得分，写出X,Y的联合概率密度，并求Z的分布律。解：9 设二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为（1）求常数A,(2)X,Y的边缘概率密度。（3）解：（1）由得（2）（3）10 设随机变量(X,Y)的概

18、率密度函数为：（1）求c,(2)问X与Y是否相互独立？解：（画图）当时，故（2）独立。11 平面区域D由曲线及直线y=0,x=1,所围成，二维随机变量(X,Y)在D上服从均匀分布，求（X,Y）关于X的边缘密度在x=2处的值。解：12略13设随机变量X,Y相互独立，均服从同一分布，试证：证：故14.设随机变量相互独立同分布，都在区间1,3上服从均匀分布，记事件.且求常数15（1）和是相互独立同分布的随机变量，且求的概率分布., （2）求2X的分布。注意：由已知易得 16 设(X,Y)的概率分布如下表： Y X-YX X+Y-2-10-1 -3 1 -2 0 -1 -1 0 30求1)X+Y的概率

19、分布，（2）X-Y的概率分布。解：略。17 设X和Y是相互独立的随机变量，X Y证明Z=X+Y X证明： 18略19 设随机变量N(1,2);N(0,3),N(2,1),且相互独立，求解：由62页N(21+30-2,42+93+11)即N(0,36),故由34页有20.某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为，设各周的需要量是相互独立的，试求两周需要量的概率密度. 表第周的需求量，各相互独立。设两周的需求量为，则要而故故21 设随机变量(X,Y)的概率密度为：（1）X与Y是否相互独立，（2）求Z=X+Y的概率密度。解：（1）（2）22.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从分布

20、，随机的选取4只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率. 设为选取的第只电子管的寿命，则令则，而 因此23 设随机变量相互独立，且服从参数为的指数分布，求解：的联合密度为习 题 四补充;设随机变量独立，在0.6上服从均匀分布，服从，服从参数为的泊松分布，记，则1 设服从如下表的概率分布：X-1012概率求解：2 设的概率密度为求解：3 设随机变量相互独立，其概率率密度分别为：求E(XY).解： 4 验证是某个随机变量的概率密度，但具有这概率密度的随机变量的数学期望不存在。证明：（1）（2）而；所以。5一工厂生产的某种设备的寿命(以年计)服从指数分布，概率密度为工厂规定，出售的设备若在售出一年

21、之内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备获毛利100元，调换一台设备厂方需化费300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望. 售出设备一年内调换，表示调换费用。则：=（元）6某车间生产的圆盘直径在期间上服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。解 直径X记圆盘面积S,则7设的分布律如下表: 123-10.20.10.00.300.10.00.30.410.10.10.10.30.40.20.41（1）求，（2）设，求（3）设求（1）的边缘分布见上表，故：（2）（3）8是相互独立同分布的随机变量，且求的数学期望。解：记则：，故9 设随机变量的概率密度为求：10 设系统由元件并联而成，分别表示的寿命（

22、以h记）并设相互独立，且服从同一分布，其概率密度函数为求系统的寿命的数学期望。解：分布函数为，由63页11 一批零件有9件合格品与3件废品，安装机器时，从这批零件中任取一件，若每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数的期望与方差。解：12随机变量服从几何分布，其分布律为其中是常数.求 = = 其中“”表示对的形式导数.，13设随机变量服从参数为的泊松分布，且求14设为随机变量，c是常数，若（由于时取到最小值。证明：因为所以：。15设随机变量服从瑞利分布，其概率密度为其中是常数.求 ， 16设随机变量,随机变量服从（0，4）上的均匀分布，并且相互独立，求，解：由已知及75页4 7

23、6页 7有；又相互独立，再由73页知：17 5家商店联营，它们每两周售出的农产品的数量（以记）分别为相互独立，（1）求5家商店两周的总销售量的均值和方差。（2）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存多少千克该产品？解：（1）记（2）18 设随机变量服从某一期间上的均匀分布，且（1）求的概率密度。（2）求；（3）求解：（1）故 （2）（3）19 重复掷一均匀硬币次，记为正面出现的次数，Y为反面出现的次数，求的相关系数。解20设两随机变量的方差分别为25和16，相关系数为0.4，求解：由77页：21 设是试验的两个随机事件，且定义随机变量如

24、下：证明：若必定是相互独立的。解：22设随机变量 的概率密度为求：解：故23 在圆心在原点的单位圆周上任取一点，记为该圆心角，为该点的坐标，证明： 不相关，但不相互独立。24设随机变量上的均匀分布，求相关系数 答案：025设随机变量相互独立，试求的相关系数（其中是不为零的常数）。解：因为同理因独立，故同理故： 26 对于随机变量存在，证明（Cauchy-Schwarz）不等式：证明：对任意的有故即。27已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞平均数是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在52009400之间的概率。解：由83页知： 28 据以往经验，某种电器元件的

25、寿命服从均值为100小时的指数分布。现随机的取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总合大于1920小时的概率。解：75页5：70页3：由87页定理6：记,则29对敌人的防御阵地进行100次轰炸,每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量,其数学期望是2,方差是1.69,求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率.第次轰炸命中目标的次数为,则独立同分布,且,命中的总次数,(近似),30 一部件包括10部分，每部份的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望是2，均方差是0.05，规定总长度为时产品合格，试求产品合格的概率。解：由87页定理631

26、设是相互独立同分布的随机变量，若，用中心极限定理求的近似值。解：32设保险公司的老年人寿保险一年有万人参加，每人每年交元，若老人死亡，公司付给家属元，设老人年死亡率为，试求保险公司在这次保险中亏本的概率 设老人死亡数为，公司亏本当且仅当即，于是，亏本的概率：33 （1）一个复杂系统由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10，为了使整个系统起作用，必须至少有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率。 （2）一个复杂系统由个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件的可靠性为0.90，且必须至少有80以上的部件正常工作才能使整个系统正常工作。问至少多

27、大才能使系统的可靠性不低于0.95。解：(1)由88页定理7 X表示损坏数，则Xb(100,0.1)(2)同理：X表示损坏数，则Xb(n,0.1),N为0.2n取整。可得至少为25。34 随机的选取两组学生，每组80人，分别在两个实验室测量某种化合物的值，每个人测量的结果是随机变量，它们相互独立且服从同一分布，其数学期望为5，方差为0.3，以分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均（1）求（2）求解：（1）由87页定理6（2）35某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望(未知），方差.为了估计，随机地取只这种器件，在时刻投入测试（设测试是相互独立的）直到失败，测得其寿命为作为的估计.为了使问至少

28、为多少？ 习题五1 设从总体抽样得到一个大小为10的样本，其值为： 4.5， 2.0， 1.0， 1.5， 3.4，4.5， 6.6， 5.0，3.5， 4.0。分别计算样本均值 解：2 设总体服从正态分布,为使样本均值大于70的概率不少于90，其样本容量至少应取多少？解：由104页（3.3）因为，从而 3 设总体均未知，已知样本容量,样本均值解： 由104页定理4，4在正态总体中抽取2个独立样本，样本均值分别为，又样本容量分别为10，15，则注：独立。，5在正态总体中抽取个独立样本，（1）已知（2）解：（1）由99页定理1有，故：（2），故6设为泊松分布的一个样本，为样本均值和样本方差，求（

29、1）的分布律。（2）解：7总体是来自总体X的样本，（1）求的联合概率密度。（2）求的概率密度。（1）（2）8设是来自正态总体的样本，求下列统计量的抽样分布：（1）解（1） （2）补充：设是来自总体的样本，求变量样本均值的数学期望与方差。解：由于是来自总体的样本，故，3设是来自参数为的泊松分布总体的一个样本，试求的极大似然估计和矩估计，解：先求极大似然估计：;，令再求矩估计：，令 习题六1 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以计）：试求总体均值均值及方差的矩估计，解：由P 令故;2设总体的概率分布为是来自总体个样本，求参数的矩估计量。解：3设总体的概率密度为是来自总体个样本，是样本值，求参数

30、的矩估计量及矩估计值。解：为的矩估计令为最大似然估计4是来自正态总体N(,1)的样本,求的最大似然估计。解：5设总体的概率分布为，；是来自总体个样本，求参数p的极大似然估计.解：令为最大似然估计补充：设是来自参数为的泊松分布总体的一个样本，试求的和矩估计，解：先求极大似然估计：;，令再求矩估计：，令6设总体服从对数正态分布，即lnX是样本值，求的极大似然估计。解：略7设总体的概率密度，其中未知参数为.，设为其样本值，试求的极大似然估计和矩估计，解：矩估计，令极大似然估计，8设是来自参数为的指数分布的总体的概率密度，：（1）的矩估计，（2）的极大似然估计。解：矩估计，令极大似然估计：，9 设总体

31、服从二项分布，其分布律为：是来自总体个样本，求(1)参数p的矩估计量。(2)p的极大似然估计。解：（1）令（2）令为最大似然估计10设总体的概率分布为0123其中是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3。求的极大似然估计和矩估计，解：矩估计：令，又（抽样时，出现一次，出现两次，出现一次，出现四次，）11设是来自总体的样本，指出中那几个为总体均值均值的无偏估计，判断上述无偏估计中那一个较为有效？解：（1）均为的无偏估计，（2）最有效。12设是来自总体的一个样本，试确定常数，使为的无偏估计。解; (独立同分布于) ; 13设是来自总体的一个样本，设是来自总体Y的一个样本，两样

32、本独立，未知。求的一个无偏估计。解：令得的一个无偏估计证明：是的无偏估计。证明： 而有114页2：14 设的两个独立的无偏估计，且的2倍，试找出常数的无偏估计，并在所有这些估计中方差最小。解：由已知有15 设总体,现从总体取得容量为4的样本值：1.2， 3.4， 0.6， 5.6，（1）若已知，求的置信水平为99的置信期间。解：由117页（3.3）因为，故的置信水平为1-=0.99（=0.01）的置信期间为（即（2）若已知未知，求的置信水平为95的置信期间。解：由117页（3.5）因为，故的置信水平为1-=0.95（=0.05）的置信期间为（即16 某自动包装机包装洗衣粉，其重量服从正态分布，今随机抽查12袋测得其重量（单位：g）分别为：1001， 1004， 1003， 1000， 997， 999， 1004， 1000， 996， 1002， 998， 999。（1）求的置