第一流体力学的基础知识

1、流体力学闫再友课时分布第二次第三次第四次提问（二）提问（三）提问（一）第五次提问（四）自 我 介 绍HP: 课程成绩构成：平时成绩（作业、实验、考勤、答疑等）占20%30%；考试成绩占8070%。课程考试形式：闭卷考试（不停课）。课程考核形式与要求按平时成绩占30%，其计算方法如下：平时成绩共30分，基本分是21分。随机点名，无故旷课一次在平时成绩中扣3分按时完成作业(1次不交作业扣2分，抄袭作业每人扣1分，8099 加1分，100分加2分）上课时未经允许不得接拨手机，发现一次在平时成绩中扣1分上课时不允许吃东西（影响平时成绩）尽量不要迟到(影响平时成绩）积极提问，积极参加答疑等将适当给平时成

2、绩加分。第2次课可以申请不计平时成绩，按卷面的30%计算。重修生基本分18分，来上课1次加1分，Max=28几点基本要求吴望一，流体力学（上、下），北京大学出版社，1982陈立子等译，可压缩流的动力学和热力学，科学出版社，1978参考书第二章 流体运动基本方程和基本规律第三章 不可压无粘流第四章 高速可压无粘流动第一章 流体力学基础知识目 录第五章 粘流和边界层流动1.1 流体力学的基本任务和研究方法1.2 流体力学以及空气动力学发展概述1.3 流体介质1.4 气动力和力矩1.5 矢量和积分知识1.6 控制体、流体微团以及物质导数第一章 流体力学基础知识1.1 流体力学的基本任务和研究方法1.

3、1.1 流体力学的基本任务1.1.2 流体力学的研究方法1.1.3 流体力学的分类(了解） 1.1.1 流体力学的基本任务从流体力学的观点看，所有的物质都只有两种状态：流体固体二者的本质区别是：固体可以通过产生静变形来承受剪切应力，而流体不能。流体分为种：液体和气体二者的本质区别是液体内聚力强，有固定的体积。 1.1.1 流体力学的基本任务 1.1.1 流体力学的基本任务流体动力学是研究流体和物体之间相对运动（物体在流体中运动或者物体不动，流体流过物体）时流体运动的基本规律以及流体与物体之间的作用力的科学。Boeing 74770.764.4 19.41 (m) 395 000kgAn-225

4、 8488.418.1 (m)600,000kg 1.1.1 流体力学的基本任务 1.1.1 流体力学的基本任务 1.1.1 流体力学的基本任务导弹的水下发射 1.1.1 流体力学的基本任务研究流体力学的基本任务:认识这些流动所发生现象的基本实质找出这些共同性的基本规律在流体力学中的表述。应用这些规律能动地解决实际的流体力学问题和与之相关的工程技术问题，并对流动的新情况、新进展加以预测。 1.1.1 流体力学的基本任务 1.1.2 流体力学的研究方法流体力学常用的研究方法有：实验研究理论分析数值计算这些方法不是相互排斥，而是相互补充的。对飞行器设计而言，通过这些方法相结合可以寻求最好的飞行器气

5、动布局形式，确定整个飞行范围作用在飞行器的力和力矩，以得到其最终性能，并保证飞行器操纵的稳定性。 实验研究方法在流体力学中有广泛的应用，其主要手段是依靠风洞、水洞、激波管，以及测试设备进行模型实验或飞行试验。实验方法的优点：能在与所研究的问题完全相同或大致相同的条件下，进行模拟与观测，因此所得到的结果较为真实、可靠。实验方法的限制：例如受到模型尺寸的限制和实验边界的影响，此外实验测量的本身也会影响所得到结果的精度，并且实验往往要耗费大量的人力和物力。 1.1.2 流体力学的研究方法实验研究 1.1.2 流体力学的研究方法低速风洞 1.1.2 流体力学的研究方法低速风洞 1.1.2 流体力学的研

6、究方法直升机旋翼动力学国家级重点实验室的立式水洞，主要用于直升机气动外形布局、旋翼流场显示和尾迹干扰研究。 1.1.2 流体力学的研究方法小型回流式水槽由有机玻璃制成，实验段尺寸1280 mm X 135 mm X 120 mm,主要用于流动显示。 试验段水泵 1.1.2 流体力学的研究方法理论分析的方法一般包括以下5个步骤：通过实验或观察，对问题进行分析研究，找出其影响的主要因素，忽略因素的次要方面，从而抽象出近似的合理的理论模型；运用基本的定律、原理和数学分析，建立描述问题的数学方程，以及相应的边界条件和初始条件； 利用各种数学方法准确地或近似地解出方程；理论分析 1.1.2 流体力学的研

7、究方法理论分析的特点：在于它的科学抽象，能够用数学方法求得理论结果，以及揭示问题的内在规律。然而，往往由于数学发展水平的限制，又由于理论模型抽象的简化，因而难以满足研究复杂的实际问题的需要。 对所得解答进行分析，判断，并通过必要的实验与之修正，确定其精度的适用范围；考虑未计及因素，对公式或结果进行必要的修正。 1.1.2 流体力学的研究方法数值方法：采用一系列有效近似计算方法（例如有限差分(FDM)、有限元(FEM)、有限体积(FVM)等）求解流体力学方程的方法。数值方法的特点：研究费用少，对有些无法进行实验而又难于作出理论分析的问题，可以采用数值方法进行研究。数值方法也有局限性，有时数值计算

8、结果的可靠性较差。数值方法(CFD) 1.1.3 流体力学的分类 飞行马赫数 亚声速空气动力学 超声速空气动力学 高超声速空气动力学压缩性不可压可压粘性无粘有粘应用领域空气动力学水动力学磁流体力学热化学空气动力学1.2 流体力学以及空气动力学发展概述 空气动力学是现代流体力学的一个分支，它是从流体力学发展而来的。 牛顿是最早开始系统研究流体力学的科学家。 18世纪是流体力学的创建阶段。伯努利 ( Daniel Bernoulli)：伯努利公式欧拉（Euler）：欧拉方程达朗贝尔（dAlembert）：达朗贝尔疑题 （佯谬）19世纪是流体动力学的基础理论全面发展阶段，形成了两个重要分支：粘性流体

9、动力学和空气-气体动力学。Daniel Bernoulli17001782Dutch-born member of the Swiss mathematical family Leonhard Euler17071783Swiss mathematician Jean dAlembert 17171783French mathematician 1.2 流体力学以及空气动力学发展概述泊桑（Poisson)：解决了关于绕球的无旋流动问题拉普拉斯（Laplace）：提出了著名的拉普拉斯方程兰金（Rankine）：提出了理想不可压缩流体的位函数和流函数和奇点法亥姆霍兹(Helmholtz)：创立了旋

10、涡运动理论纳维（Navier）和斯托克斯（Stokes）： 纳维-斯托克斯方程（N-S方程）William John Macquorn Rankine1820 - 1872Born in ScotlandPierre-Simon Laplace1749 - 1827Born in FranceHermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz 1821-1894Born in Germany Claude Louis Marie Henri Navier1785 - 1836Born in FranceGeorge Gabriel Stokes1819 - 1903B

11、orn in IrelandSimon Denis Poisson1781 - 1840Born in France1.2 流体力学以及空气动力学发展概述雷诺（Reynolds）：雷诺平均方程(RANS)兰金（Rankine）：提出了激波(Shock Wave)前后气体压强、速度和温度之间的关系20世纪创建了空气动力学完整的科学体系，并取得了蓬勃的发展。19世纪后半叶的工业革命，蒸汽机的出现和工业叶轮机的产生，使人们萌发了建造飞机的想法。1.2 流体力学以及空气动力学发展概述Osborne Reynolds1842 - 1912Born in Ireland与无粘流体动力学发展的同时，粘性流体

12、力学也得到了迅猛的发展。普朗特(Prandtl)于1904年首先提出划时代的边界层理论，从而使流体流动的无粘流动和粘性流动科学地协调起来，在数学和工程之间架起了桥梁。1906年，儒可夫斯基（Joukowski）发表了著名的升力公式，奠定了二维机翼理论的基础，并提出以他的名字命名的翼型。1.2 流体力学以及空气动力学发展概述Nikolai Egorovich Zhukovsky1847 1921Born in RussiaLudwig Prandtl1875-1953 Born in Germany1.2 流体力学以及空气动力学发展概述1911年冯卡门（Von Karman)提出了著名的卡门涡街

13、。著名的塔科马海峡大桥1940年11月7号在八级大风中崩塌是卡门涡街造成巨大破坏的例子。 1946年出现了第一台计算机以后，研究流体力学-空气动力学的数值计算方法蓬勃发展起来，形成了计算流体-空气动力学这门崭新的学科，并推进到一个新的阶段。Theodore von Krmn1881 - 1963Born in Hungary1.3 流体介质 1.3.1 连续介质假设 1.3.2 流体的密度、压强、温度、速度 1.3.3 完全气体状态方程 1.3.4 压缩性、粘性和传热性 1.3.5 流体的模型化 1.3.1 连续介质假设分子和相邻分子碰撞之前所走过的平均距离定义为分子平均自由程。 如果流体分子

14、的平均自由程比物体特征尺寸小得多，则对物体而言，流场是连续的。对物体表面感觉到的流体是连续介质的流动，称为连续流（continuum flow）。 1.3.1 连续介质假设Knudsen Number 1.3.1 连续介质假设另一个极端就是平均自由程和物体特征尺寸的量级相同；气体分子分布很稀薄，气体分子平均距离很大（相对而言）和物体表面的碰撞不是很频繁，物体表面能清楚地感觉到单个分子的碰撞，这种流动称为自由分子流（free molecular flow）。 1.3.1 连续介质假设还有介于这两者之间的情况，流动既表现出连续流的特征，又有自由分子流的特征；这种流动通常被称为低密度流动（low-d

15、ensity flow）。低密度流和自由分子流只是整个气动领域的一个小部分。 本书中处理的都是连续流，将始终把流体看成连续介质，即始终把流体看成连绵不断、没有间隙、充满整个空间的连续介质。在连续介质假设的前提下，流场中的流体的属性或流动参数是否可以出现跳跃式间断？ 1.3.2 流体的密度、压强、温度和速度任何一门科学都有用来描述其概念和现象的专业术语。空气动力学中最常用的术语有：密度(Density)压强(Pressure)温度(Temperature)流动速度(Velocity) 1.3.2 流体的密度、压强、温度和速度流体微团：由于采用了连续介质假设，在分析流体运动时，要取一小块微元流体作

16、为分析对象，称为流体微团。 流体微团体积的最小值10-9 mm310-9 mm3的空气在标准条件下约含有3x107个分子 1.3.2 流体的密度、压强、温度和速度流体内部一点处的密度r(kg/m3)： 在连续介质的前提下，考虑流场中任一点 B，该点密度定义为， 绕 点微团的体积 内流体质量由于压强在 一侧产生的法向力 1.3.2 流体的密度、压强、温度和速度流体内部一点处的压强p(Pa=N/m2)：压强定义为气体分子在碰撞或穿过取定的表面时，单位面积上所产生的法向力。考虑流体微团中的一点 B，该点的压强定义为： 点所在面元的面积B点流体内部一点处的温度T(K=273.15+)： 温度在高速空气

17、动力学中起着十分重要的作用。温度 和气体分子平均动能成比例：如果 是分子平均动能，那么温度就由 给出，其中 是 Boltzmann 常数。从上述定量分析知，高温气体的分子和原子高速随机碰撞，而在低温气体中，分子随机运动相对缓慢些。温度也是表示一个点的特性。在气体中各点的温度可以不同。 1.3.2 流体的密度、压强、温度和速度1844 - 1906流体速度(m/s)：空气动力学研究的是运动流体，因此流体速度是一个非常重要的概念。和固体相比，速度的概念没有那么直接和明显。比如某固体物以的速度做平移运动，那么该物体的所有部分同时以该速度运动。流体是没有固定形态的物质，对运动的流体，其中一部分的运动速

18、度可能与另一部分的运动速度不同，为此采用如下方法描述。 1.3.2 流体的密度、压强、温度和速度对流场中的某个流体微团，观察该微团随时间的运动情况。当微团从一个点运动到另外一个点时，其速率和方向都是变化的。 1.3.2 流体的密度、压强、温度和速度现在，观察如图所示空间某一固定点 B。流动速度：流动气体在空间某固定点B 的速度就是流体微团通过点B 时的速度。流动速度既有大小，又有方向，它是一个矢量 ，流动速度的大小通常用 表示。速度也是点的特性，在流场中各点的速度可以不同。 1.3.2 流体的密度、压强、温度和速度 1.3.3 完全气体状态方程完全气体（perfect gas）：是气体分子运动

19、论中所采用的一种模型气体。它的分子是一种完全弹性的微小球粒，内聚力十分小，可以忽略不计。彼此只有在碰撞时才发生作用，微粒的实有总体积和气体所占空间相比较可以忽略不计。即：完全气体的分子间除弹性碰撞外没有能量交换，这使得完全气体的内能严格地等于分子动能之和，只与温度有关，与压强或体积无关 1.3.3 完全气体状态方程 任何状态下的气体状态方程，远离液态的气体基本符合这些假设，通常状况下的空气也符合这些假设，可以看作为一种完全气体。 压强 密度 温度 完全气体状态方程也可表达为，式中 是气体常数， 。 1.3.3 完全气体状态方程 完全气体状态方程，式中 是普适气体常数，Mr 是相对分子质量，T

20、是绝对温度。（1-1） （1-2） 压缩性(compressibility)在一定温度条件下，具有一定质量的气体的体积或密度随压强变化而改变的特性，叫做压缩性（或称弹性）用气体的体积弹性模数 衡量气体压缩性，其定义为产生单位相对体积变化所需要的压强增高： 1.3.4 压缩性、粘性和传热性 1.3.4 压缩性、粘性和传热性对于一定质量的气体，体积与密度成反比，于是将其带入上式，可得， （1-3） 1.3.4 压缩性、粘性和传热性粘性(Viscosity)：任何实际流体都有粘性（抗拒快速变形）。造成气体具有粘性的主要原因是气体分子的不规则热运动，它使得不同速度的相邻气体之间发生质量和动量交换。粘性

21、产生的摩阻应力由牛顿粘性定律确定， 其中 为粘性系数(Ns/m2=Pas)。 （1-4） 1.3.4 压缩性、粘性和传热性粘性系数 (miu)随温度变化而变化，与压强基本无关。空气粘性系数随温度变化的关系由萨特兰公式确定，运动粘性系数 (niu)(m2/s)： （1-5） （1-8） 空气粘柱实验模型（卧式转盘） 1.3.4 压缩性、粘性和传热性速度型 1.3.4 压缩性、粘性和传热性 1.3.4 压缩性、粘性和传热性流体微团变形 1.3.4 压缩性、粘性和传热性传热性(thermal conductivity)当气体中沿某一方向存在温度梯度时，热量就会由温度高的地方传向温度低的地方，这种性质

22、称为气体的传热性。实验表明，单位时间内所传递的热量与传热面积成正比，与沿热流方向的温度梯度成正比，即： 式中 （kJ/m2s） 表示单位时间通过单位面积的热量， 为温度梯度， 导热系数。 （1-9） 1.3.5 流体的模型化实际气体有着多方面的物理属性，严格来说，这些物理属性对于气体的流动特性都有不同程度的影响。在研究某一具体的流动问题时，如果把流体的所有物理属性都考虑进去，必然使问题变得非常复杂，要进行分析并得出一定的结果就变得非常困难，而且也是不必要的。 1.3.5 流体的模型化事实上，在某些具体问题里，气体各方面的物理属性并不具有同等的重要性。因此对于一些具体问题来说，可以抓住一些起主导

23、作用的物理属性，忽略一些居于次要地位的物理属性。这样处理问题，使我们能更清楚地看清问题的本质，抓住事物的关键，同时使问题得到简化，便于进行数学处理和求解。按照对实际流体物理属性的不同情况的简化，可以得出各种流体模型。 1.3.5.1 理想流体这是一种不考虑气体粘性的模型。在这种模型中，流体微团不承受粘性力的作用。由于空气的粘性系数很小，在实际流动中，只有在紧贴物体表面的很薄的一层范围内，各层气体速度差异很大，因而，速度梯度很大，粘性力比较大。在这一薄层以外的区域，由于各层气体之间速度变化很缓慢，速度梯度不大，因此，粘性力也就很小，通常可以忽略粘性作用。 1.3.5.1 理想流体忽略粘性的气体称

24、为理想气体。根据理想气体模型计算出来的绕流图画和物面压强分布，一般来说，与实验证实的结果比较一致，由此得到的升力和力矩值比较可信。但是当流线型物体在大迎角情况、或对于非流线型物体的绕流情况，实际流动中在物体表面将会形成一定程度的分离，忽略粘性作用的理想气体模型得出的结果将与实际情况差异甚大。 1.3.5.1 理想流体当然，在研究流动阻力问题时，用理想气体模型得出的结果往往与实际情况相差较大，这是因为粘性阻力和紧贴物体表面的那一层气体的流动特性密切相关。 1.3.5.2 不可压流体这是一种不考虑气体压缩性或弹性的模型。可以认为，它的体积弹性模数为无穷大或它的流体密度等于常数。液体是十分接近这种情

25、况的。对于气体按不可压缩流体处理，初学者一般不容易接受。求解不可压流体的流动规律，只需要服从力学定律，而不需要考虑热力学关系，因此使问题的求解和数学分析大大简化。 1.3.5.2 不可压流体飞行器在空气中飞行时，飞行器周围的空气速度有所变化，随之引起压强的变化，以及由此而造成密度变化。如果飞行器的飞行速度较低，即来流马赫数不大，绕飞行器流场中各点的速度变化不大，因而压强变化不大，相应的密度变化也不大。因此，如果把这种密度变化很小的流动近似地当作密度不变的流动，即把低速流动的流体当作不可压流体来处理，简化数学处理过程。 1.3.5.2 不可压流体实际应用表明，用不可压流体模型来处理低速情况下的空

26、气动力学问题，所得的结果与实际情况基本一致，是可信的。如果来流速度较大，绕物体流场中各点的速度变化很大，速度变化引起的压强变化及密度变化也很显著，必须如实地把空气看作密度可变的可压缩流体来处理，才能获得与实际情况相吻合的结果。 1.3.5.2 不可压流体只考虑气体的可压缩性的影响，但不考虑气体的粘性的影响，就得到了可压缩理想流体模型。在这种情况下，认为气体的粘性系数等于零，而它的体积弹性模数不为无穷大。与此相对应，还可以有不可压粘性流体模型，对不可压粘性流体模型而言，它的体积弹性模数是无穷大（即流体密度为常数），而它的粘性系数不等于零。 1.3.5.2 不可压流体当然，最简单的流体模型莫过于不

27、可压理想流体模型了，它既不考虑气体的可压缩性的影响，也不考虑气体的粘性影响。也就是说，它认为整个流场中，气体的粘性系数都等于零，而且气体的密度都等于常数。 1.3.5.3 绝热流体这是一种不考虑流体的热传导性的模型，即它把流体的导热系数看作为零。由于空气的导热系数量值很小，因此，在低速流动中，除了专门研究传热问题的场合外，一般都不考虑流体的热传导性质，把流体看成为绝热的，所得到的结果与实际情况很一致。 1.3.5.3 绝热流体在高速流动中，在温度梯度不太大的地方，气体微团间的传热量也是微乎其微的，忽略气体微团间传热量对流动特性的影响不大，因此，也可以不考虑传热量的作用。不考虑气体微团间热传导作

28、用的气体模型称之为绝热气体。 粘性流模型 非定常流动模型 可压缩流模型 非绝热流动模型 无粘流模型 定常流动模型 不可压缩流模型 绝热流动模型 1.3.5.4 流动模型1.4 气动力和力矩 1.4.1 气动力及气动力矩 1.4.2 气动力及气动力矩系数 1.4.3 压力中心 1.4 气动力和力矩1.4 气动力和力矩 翼剖面 1.4.1 气动力和力矩1.4.1 气动力和力矩迎角(angle of attack) 在翼型平面上，来流和弦线之间的夹角 。对弦线而言，来流上偏时迎角 为正，来流下偏时迎角 为负。 1.4.1 气动力和力矩1.4.1 气动力和力矩物体所受的气动力和力矩都是由物体表面的压强

29、分布 P 和剪切应力 分布引起的。 单位展长翼段 1.4.1 气动力和力矩翼型的气动力(aerodynamic force) 气流绕翼型(airfoil)的流动是二维平面流动，翼型上的气动力应视为无限翼展机翼在展向截取单位长翼段上所产生的气动力。单位展长翼段 1.4.1 气动力和力矩翼型的气动力 翼型表面上每个点都作用有压强和摩擦应力，它们产生一个合力 ，将 分解为垂直于来流和平行于来流方向的两个分量，并定义升力(lift) ：合力 在垂直于来流 方向的分量。阻力(drag) ：合力 在平行于来流 方向的分量。1.4.1 气动力和力矩也可以把合力 分解为垂直于弦线和平行于弦线方向的两个分量，并

30、定义，法向力 ：合力 在垂直于弦线 方向的分量轴向力 ：合力 在平行于弦线 方向的分量1.4.1 气动力和力矩升力、阻力与法向力和轴向力存在如下数学关系： （1-10） （1-11） 1.4.1 气动力和力矩q 角的方向定义：从水平方向顺时针转到切线方向对上下表面可以得出单位展长的微元上的法向力与轴向力的表达式，1.4.1 气动力和力矩 此处 也可象教材一样写作 ，这里与 区分开来只是在作图时为了避免混淆。（1-12） （1-14） （1-13） （1-15） 1.4.1 气动力和力矩于是单位展长翼段上总的法向力与轴向力的表达式为， Leading edgeTrailing edge（1-16

31、） （1-17） dsdx-dyq1.4.1 气动力和力矩弦长q 角的方向定义：从水平方向顺时针转到切线方向（1-21） （1-22） （1-24） （1-25） 单位展长翼段对前缘点的力矩:微元上的压强和剪切应力对前缘点的力矩为，1.4.1 气动力和力矩（1-18） （1-20） （1-26） 令 p=1, t=0则由（1-26）有，1.4.1 气动力和力矩定义自由来流的动压为 ：升力系数 阻力系数力矩系数 1.4.2 气动力及力矩系数 参考面积参考长度引入两个无量纲参数，压强系数， 摩擦应力系数， 1.4.2 气动力及力矩系数 1.4.3 压力中心 这个问题的答案就是：合力作用在某个具体的

32、位置上，使得合力产生与分布载荷同等的作用。 现在我们知道，法向力和轴向力都是由于分布的压强和剪切应力载荷引起的。同时这些分布载荷还产生了一个对前缘点的力矩。问题：如果物体上受到的气动力要用一个合力或者其分量和来表示，那么这些力应该作用在物体的什么位置呢？ 1.4.3 压力中心当合力作用在这个点上，合力产生与分布载荷相同的效果单位展长翼段对前缘点的力矩由公式（1-20）给出，因此由合力到前缘点的力矩可得，（1-29） 定义：压力中心就是使分布在翼型表面的气动载荷（压强和剪切应力）的总力矩为零的点。 1.4.3 压力中心如果对压力中心取力矩，那么分布载荷产生的力矩在整个翼型表面的积分等于零。 1.

33、5 矢量和积分知识 1.5.2 典型的正交坐标系 1.5.3 标量场和矢量场 1.5.5 标量场的梯度 1.5.7 矢量场的旋度 1.5.8-10 线、面、体积分 1.5.1 矢量代数 1.5.4 标量积和矢量积 1.5.11 线、面、体积分的关系 1.5.6 矢量场的散度 1、矢量和尾首 1.5.1 & 1.5.4 矢量代数,标量积和矢量积2.点乘（dot product 标量积、投影积）- 对应分量相乘的和 1.5.1 & 1.5.4 矢量代数,标量积和矢量积（1-34） 有什么意义？3.叉乘（cross product 矢量积）行列式展开关于叉乘的一些公式有什么意义？ 1.5.1 & 1

34、.5.4 矢量代数,标量积和矢量积（1-35） 矢量代数公式 1.5.1 矢量代数,标量积和矢量积 1.5.2 典型的正交坐标系 正交坐标系(Orthogonal Coordinate System )：三个方向坐标的增加方向彼此垂直。典型的正交坐标系有：笛卡尔坐标系(Cartesian Coordinates System)柱坐标系(Cylindrical Coordinates System)球坐标系(Spherical Coordinates System) 1.5.2 典型的正交坐标系笛卡尔坐标系 空间任意一点可以用三维坐标(x, y, z)来表 示，也可以用其方向矢量 来表示: 如果

35、 是笛卡尔空间的一个给定矢量，则 可以表示为 1.5.2 典型的正交坐标系柱坐标系 对空间给定矢量 ，有 笛卡尔坐标系和柱坐标系的转换关系: （1-37） 1.5.2 典型的正交坐标系球坐标系 对球坐标系中给定矢量 ，有 球坐标系和笛卡尔坐标系的转换关系： （1-38） 1.5.3 标量场和矢量场 标量场(scalar field)： 空间某一区域定义一个标量函数,其值随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一标量场。如压强场、密度场、温度场等， 1.5.3 标量场和矢量场矢量场(vector field)： 空间某一区域定义一个矢量函数,其大小和方向随空间坐标的变化而变化，

36、有时还可随时间变化。则称该区域存在一矢量场。如速度场、电场、磁场等，标量场的梯度(gradient)等值面（线）由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即若标量函数为 ，则等值面方程为： 1.5.5 标量场的梯度式中： 为沿等值面（线）变化最快的方向。梯度的物理意义：标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数。标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。 1.5.5 标量场的梯度考虑压强标量场，空间某点的梯度，记为 ，则有，梯度大小等于压强在空间给定点单位坐标长度上的最大变化率。梯度方向为给定点压强变化最快的方向。笛卡尔坐标系下梯度表达式：梯度和

37、方向导数的关系： 1.5.5 标量场的梯度（1-47） （1-46） 上面引进了矢量分析中的一个重要的微分算子 ，称为哈密尔顿算子(读作Del 或 nabla )。它的表达式为， 这是一个具有矢量和微分双重性质的符号。一方面它是一个矢量，因此在运算时可以利用矢量代数和矢量分析中的法则。 1.5.5 标量场的梯度（1-67）上方 1.5.5 标量场的梯度另一方面它又是一个微分算子，因此可以按微分法则进行运算。但是必须注意它只对位于算子右边的量发生微分作用，至于位于算子左边的量该算子对它并不起作用。 微分算子是一种简化的表达符号。通过算子可以简化一些微分方程的表达形式，有助于求解。梯度满足以下关系

38、式， 证明：标量函数 的全微分是，考虑到，得到， 1.5.5 标量场的梯度 在柱面坐标系中：在球面坐标系中： 1.5.5 标量场的梯度（1-48） （1-49） 矢量线（力线）矢量场的通量矢量线的疏密表征矢量场的大小。矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向；若矢量场 分布于空间中，在空间中存在任意曲面 S，则定义：为矢量 沿有向曲面 S 的通量。 1.5.6 矢量的散度矢量场的通量 物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。 讨论：1）面元 定义。若 S 为闭合曲面 1.5.6 矢量的散度 1.5.6 矢量的散度2) 通过闭合面 S 的通量的物理意义：a) 若 ，闭合面内有产生矢量线

39、的正源。b) 若 ，闭合面内有吸收矢量线的负源。c) 若 ，闭合面内无源。在场 空间中任意点 M 处作一个闭合曲面，所围的体积为 ，则定义场矢量在 M 点处的散度(divergence)为： 1.5.6 矢量的散度 1.5.6 矢量的散度在笛卡尔坐标系下速度的散度可表达为，对速度矢量场，流体微团运动分析证明速度散度的物理意义是标定流体微团运动过程中相对体积的时间变化率。（1-50） 在柱面坐标系中, 在球面坐标系中, 1.5.6 矢量的散度（1-52） 1.5.7 矢量场的旋度对矢量场，在笛卡尔坐标系下其旋度定义为：对速度矢量场，流体微团运动分析证明速度旋度等于旋转角速度的两倍。（1-53）

40、在柱面坐标系中： 在球面坐标系中： 1.5.7 矢量场的旋度（1-54） 介绍一个与旋度相关的运算公式 1.5.7 矢量场的旋度 该公式对作业三的第二题中的（2）比较有用该公式可与下式进行对比，从而体会梯度算子是一个特殊的矢量，如果 是简单闭曲线，通常总规定逆时针方向为正方向，顺时针方向为负方向考虑矢量场 ， 是连接两点的空间曲线。设 是曲线上的一个微元， 是曲线的切向单位矢量。定义矢量 。那么 沿曲线从 a 点到 b 点的线积分是： 1.5.8 线积分 1.5.8 线积分如果 是平面上某一个复连通域的边界曲线，则 的正方向这样规定：当人沿曲线 L 行走时，区域总保持在人的左侧。因此外部边界部

41、分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针为正方向 1.5.9 面积分考虑非封闭曲面 S ，边界是曲线 C 。设 是 S 上点 P 处的一个微元面， 为该处的法向单位矢量。 的正方向与封闭曲线成右手法则。定义单位面积矢量 。沿曲面的面积分有如下三种定义方式：设空间域 标量 在域 上的体积分：矢量 在域 上的体积分： 1.5.10 体积分vdVrv 1.5.11 线、面、体积分之间的关系 线积分和面积分的关系 (斯托克斯公式)：矢量场面积分和体积分的关系(奥高公式)：标量场面积分和体积分的关系：（1-56） （1-58） （1-57） 1.6 控制体和流体微团及物质导数 1.6.1 控制体 1.6.

42、2 流体微团 1.6.3 速度散度的物理意义 1.6.4 物质导数 1.6.5 描写流体运动的两种方法（不讲） 在分析流体运动时 ,主要有两种方式：第一种是描述流场中每一个点的流动细节。另一种是针对一个有限区域，通过研究某物理量流入和流出的平衡关系来确定总的作用效果。如作用在这个区域上的力，力矩，能量交换等等。 其中前一种方法也称为微分方法后者被称为积分方法或“控制体”方法。 1.6.1 控制体(Control Volume) 1.6.1 控制体(Control Volume) 控制体有两种：控制体固定在空间，流体在流动时从中穿过。控制体随流体运动，并且控制体内总是包含着相同的流体。 不管是哪

43、种情况，控制体都是流场中的有限区域。采用控制体模型后，只需把注意力局限在控制体的有限区域内，而不必同时研究整个流场。 固定控制体随流体运动的控制体 1.6.1 控制体(Control Volume) 1.6.2 流体微团 流体微团是流场中的微小流体团。其体积为 。在微分运算中， 是个小量，但它含有足够多的流体分子，仍然可视为连续介质。有两种：流体微团固定在某个空间，流体从这里穿过。流体微团以当地速度沿着流线运动。 1.6.2 流体微团 有了流体微团的概念后，不必同时研究整个流场，而只需在流体微团本身中运用基本的物理原理 。 1.6.3 速度的散度的物理意义速度散度的物理意义：标定运动流体微团的

44、体积对时间的相对变化率。取一个随流体运动的控制体。当它在流场中运动时，该控制体总是由相同的流体粒子组成，因此它的质量是恒定的，不随时间变化。然而，当它运动到流场的不同区域时，由于密度的不同，其体积 和控制面 也随之改变。也就是说，虽然控制体的质量是不变的，但是体积和形状根据流场的特性时刻在变化。运动控制体 1.6.3 速度的散度的物理意义在时间增量 内，整个控制体体积的变化为上式沿控制面积分， 设控制体表面的一个微元 以当地速度 运动。在时间增量 内，由于 的运动引起控制体体积的变化 为， 1.6.3 速度的散度的物理意义如果用这个积分除以 ，那结果就是控制体的体积变化率，记为 1.6.3 速

45、度的散度的物理意义或者写成， 速度散度 的物理意义就是标定运动流体微团体积对时间的相对变化率。设想运动的控制体收缩成一个体积微量 ，实际上就是一个运动的流体微团，那么上式可以写成， 1.6.3 速度的散度的物理意义思考：是否可以用流体微团来完成此推导？因 ，上式也可以写成， 1.6.3 速度的散度的物理意义令微团的体积为 ，上式可以写成， 1.6.4 物质导数(Material Derivative) 物质导数(total or substantial derivative):物理意义是运动流体微团的某个量随时间的变化率。 当地导数( local )，其物理含义是一个确定点的某个量随时间的变化

46、率。 牵连导数（迁移导数 convective )，其物理含义是在具有空间不均匀的流场中，由于微团的位置变化导致某个量随时间变化。把物质导数可以运用于任一流场变量，如运用到温度: 表明：当流体微团经过流场中某点时，其温度的变化一部分是因为流场本身的温度随时间变化（当地导数）。另一部分是由于微团在流场中的位置发生变化而引起的温度变化，即牵连导数。 1.6.4 物质导数 1.6.4 物质导数 举个例子来加强我们对物质导数的物理意义的理解: 设想你在山中徒步跋涉，而且将要进入一个山洞。山洞内的温度比山洞外低。当你要进入山洞口，你会感觉到温度的降低，这和牵连导数相似。然而，想象就在此时，一个朋友向你扔

47、来一个雪球，刚好在你进入山洞口的瞬间，雪球击中了你。当雪球击中你的瞬间，会感觉到额外的瞬时降温，这和当地导数相似。因此你进入山洞口时感觉到的总降温是走进较冷的山洞和在此瞬间被雪球击中的效果总和，总降温类似物质导数。 1.6.4 物质导数 再举个相似的例子来加强对物质导数的物理意义的理解: 设想你在炎炎夏日去商场。当你要进入商场时买了根冰棍。吃着冰棍你步入商场，同时感受到了商场内空调所带来的凉爽。因此你进入商场后感觉到的总降温是走进空调房间和在此瞬间所吃的冰棍的效果总和，总降温类似物质导数。 1.6.4 物质导数 再举个相似的例子来加强对物质导数的物理意义的理解: 设想某人家住北方。由于经济条件

48、好了，近年来他体重逐渐增加。今年他准备到南方求学。在火车上，他一路思乡心切，路上瘦了不少。 1.6.4 物质导数已知速度场的分布为，问当 秒时质点在（1，3，2）处的加速度是多少？算例设流体质点在空间中运动，我们的任务是确定描写流体运动的方法且将它用数学式子表达出来。在流体力学中描写运动的观点和方法共有两种：1736-1813 France 1707-1783 Switzerland 拉格朗日法 欧拉法 1.6.5 描写流体运动的两种方法拉格朗日法着眼于流体质点。设法描述出每个流体质点自始至终的过程，即它们的位置随时间的变化规律。如果知道了所有质点的运动规律那么整个流体运动的状况也就清楚了。打

49、个比方说，每个流体质点好比一架敌机，我们通过雷达跟踪把每架敌机的来龙去脉都搞清楚，就掌握了整个敌机群的动向。拉格朗日法也是我们在理论力学中研究质点和质点组运动时所采用的方法。 1.6.5 描写流体运动的两种方法将上述描写运动的观点和方法用数学式子表达出来，为此首先必须用数学方法区别不同的流体质点。通常用初始时刻流体质点的坐标作为区分流体质点的标志。设初始时刻 时，流体质点的坐标是 ，它可以是曲线坐标，也可以是直角坐标，重要的是给流体质点以标号而不在乎采取什么具体的方式。我们约定用 三个数的组合来区分流体质点，不同的 代表不同的流体质点。 1.6.5 描写流体运动的两种方法 1.6.5 描写流体

50、运动的两种方法其中 是流体质点的矢径。在直角坐标系中，有变数 称为拉格朗日变数。于是流体质点的运动规律数学上可表为下列矢量形式：拉格朗日观点中，矢径函数 的定义区域不是场，因为它不是空间坐标的函数，而是质点标号的函数。从 出发求流体质点的速度和加速度。假定上式所确定的函数有二阶连续偏导数。速度和加速度是对于同一质点而言的单位时间内位移变化率和速度变化率，设 分别表示速度矢量和加速度矢量，则， 1.6.5 描写流体运动的两种方法欧拉法和拉格朗日方法不同，欧拉法的着眼点不是流体质点而是空间点。设法在空间的每个点上描述出流体运动随时间的变化情况。如果，每一点的流体运动都是已知的，则整个流体的运动状况

51、也就清楚了。 1.6.5 描写流体运动的两种方法那么应该用什么样的物理量来表现空间点上流体运动的变化情况呢？因为不同时刻将有不同的流体质点经过空间某固定点，所以站在固定点上就无法观测和记录掠过的流体质点以前和以后的详细历史。也就是说我们无法象拉格朗日方法那样直接测量出每个质点的位置随时间的变化情况。虽然如此，不同时刻经过固定空间点的流体质点的速度是可以测出的，这样采用速度矢量来描写固定空间点上流体运动变化状况就十分自然的了。考虑到上面所说的情形，欧拉方法中流体质点的运动规律数学上可表为下列矢量形式， 1.6.5 描写流体运动的两种方法变数 称为欧拉变数。由上式所确定的速度函数是定义在空间点上的

52、，它是空间坐标 的函数，所以我们研究的是场。因此当我们采用欧拉观点描述运动时，就可以广泛地利用场论的知识。若场内函数不依赖矢径则称之为均匀场；反之称为不均匀场。若场内函数不依赖于时间则称之为定常场；反之称为非定常场。 1.6.5 描写流体运动的两种方法采用拉格朗日方法加速度 是二阶导数，运动方程将是二阶偏微分方程组，而在欧拉方法中加速度 是一阶导数，因此所得的运动方程将是一阶偏微分方程组。采用欧拉方法描写流体的运动常常比采用拉格朗日方法优越，因为利用欧拉变数得到的是场，而利用拉格朗日变数得到的不是场，所以在欧拉变数中我们能广泛地利用已经研究得很多的场论知识，使理论研究具有强有力的工具，而在拉格

53、朗日变数中却没有这样的优点。 1.6.5 描写流体运动的两种方法采用拉格朗日方法所得的结果比较多，例如可以直接得到质点的运动规律，而欧拉方法却不能直接得到它。但是要解决实际问题常常并不需要知道每一个质点的详细历史。比如，飞机在空中飞行，要计算飞机上的空气动力特性。解决这一问题并不需要知道流体质点从哪里来，又到什么地方去。只要知道飞机上的速度和压力就可以求出空气动力特性。 1.6.5 描写流体运动的两种方法 1.6.5 描写流体运动的两种方法欧拉观点也比较适合于流动测量试验。比如压力探针放到一试验流体中，其位置是固定的。其输出结果就是对压强场的欧拉描述。由于以上几种原因，在流体力学研究中将广泛采用欧拉方法。虽然如此,在点爆炸，计算流体力学的某些问题中采用拉格朗日方法是方便的。拉格朗日方法和欧拉方法的区别可以对比于交通流的分析。假想有一段用于研究的高速公路，称之为流场。显然，随着时间的推移，各种汽车进出这个流场，场中汽车的标识（身份）在不停地变化。交通技术人员通常只关心汽车在不