同济大学-高数上册知识点

1、（完整版）同济大学-高数上册知识点高等数学上册复习要点函数与极限 （一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：募函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数;4、函数的连续性与间断点；函数 f（x）在 X。连续。f（x）f（X0）第一类：左右极限均存在.间断点 可去间断点、跳跃间断点、第二类：左右极限、至少有一个不存在.无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.（二）极限定义n N, xn a0, x,当 0 x x0时，f(x) A数列极限lim xn a 0,

2、 N n函数极限lim f (x) A 0, X Xo左极限：f(x0) lim f (x)X X0右极限：f(x0) lim f (x)X X01第1页共9页(完整版)同济大学-高数上册知识点lim f (x) A 存在f (x0) f (x0)x xo极限存在准则夹逼准则:D Yn xn Zn (n no) Alim Yn lim zn alim xn a7 nn)n单调有界准则：单调有界数列必有极限.无穷小(大)量定义：若1im0则称为无穷小量；若lim则称为无穷大量无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小Th1 -0()；Th2 ,lim 一存在，则 lim lim(

3、无穷小代换)求极限的方法单调有界准则；夹逼准则；极限运算准则及函数连续性；两个重要极限：1 TOC o 1-5 h z sin x1 xa) lim 1 b) lim (1 x)x lim (1 -)ex 0 xx 0 xx无穷小代换：(x 0)x sin x tan x arcsinx arctanx21 cosx x（完整版）同济大学-高数上册知识点ex1 - x(ax 1 xln a)ln(1 x) x(1 x) 1 - xx (loga(1 x)ma)导数与微分（一）导数1、定义：f （x0）lim阻x xo xf(x。)x0左导数:右导数:f(x) f(x。) f (x0) lim

4、x x0 x x0f(x) f(%)f (x0) lim x x0 x x0函数f （x）在x点可导f （x。） f （x。）几何意义：f （x）为曲线y f （x）在点x, f（x）处的切线的斜率.可导与连续的关系:求导的方法1）导数定义；2）基本公式；3）四则运算；4）复合函数求导（链式法则）5）隐函数求导数；6）参数方程求导；7）对数求导法.高阶导数（完整版）同济大学-高数上册知识点d2yd dyte义：dx2dx dxnk (k) (n k)Leibniz 公式：uvCnu vk 0(二)微分1)定义：y f(x。 x)f(x。)A xo(x),其中 A与 x无关.2)可微与可导的关系

5、：可微 可导，且dyf(x0)x f (x0)dx三、微分中值定理与导数的应用(一)中值定理1、Rolle罗尔定理：若函数f(x)满足：D f (x) Ca,b； 2 ) f (x) D(a,b)； 3)f (a) f(b)；则 (a,b),使f() 0.2、Lagrange拉格朗日中值定理 文 :若函数f(x)满足：f(x) Ca,b； 2 ) f(x) D(a,b)；则(a,b),使f(b) f(a) f ( )(b a).3、Cauchy柯西 中值定理：若函数f(x), F(x)满足：1)f(x),F(x) Ca,b； 2)f(x),F(x) D(a,b) ；3)F (x) 0,x (a

6、,b)f(b) f(a) f ()则 (a,b),使F(b) F(a) F ()（二）洛必达法则（三）Taylor公式(完整版)同济大学-高数上册知识点(四)单调性及极值1、单调性判别法：f(x) Ca,b, f(x) D(a,b),则若 f (x) 0,则 f(x)单调增加；则若f (x) 0,则f(x)单调减少.极值及其判定定理：a)必要条件：f (x)在x。可导，若x。为f (x)的极值点，则f (%) 0.b)第一充分条件：f(x)在X。的邻域内可导，且f (x。)0,则若当x x。 时，f (x) 0,当x x。时，f (x) 0,则x。为极大值点；若当x x。 时，f (x) 0,

7、当x x。时，f (x) 0 ,则x。为极小值点；若在x。的 两侧f (x)不变号，则x。不是极值点.c)第二充分条件：f (x)在x。处二阶可导，且f (x。)0, f (x。)0,则 若f (x。)0,则x。为极大值点；若f (x。)0,则x。为极小值点.凹凸性及其判断，拐点f (x)在区间 I 上连续，若 xi,x2 I, f(x1 2x2) f (xi) 2 f (x2),则称 f (x)在 区间I上的图形是凹的；若xi,x2 I,f() f(xi) 2 f (x2),则称f(x)在 区间I上的图形是凸的.2)判定定理：f(x)在a,b上连续，在(a,b)上有一阶、二阶导数，则若x (

8、a,b), f (x) 0,则f (x)在a,b上的图形是凹的；若x (a,b), f (x) 0 ,则f (x)在a,b上的图形是凸的.3)拐点：设y f (x)在区间I上连续，x。是f(x)的内点，如果曲线y f (x)经 过点(x。，f (x。)时，曲线的凹凸性改变了，则称点(x。，f (x。)为曲线的拐点.(五)不等式证明(完整版)同济大学-高数上册知识点利用微分中值定理;利用函数单调性；利用极值(最值) (六)方程根的讨论连续函数的介值定理；Rolle 定理；函数的单调性；极值、最值；凹凸性.(七)渐近线1、铅直渐近线：lim f(x) ，则x a为一条铅直渐近线; x a2、水平渐

9、近线：lim f(x) b,则y b为一条水平渐近线; x四、不定积分 (一)概念和性质1、原函数：在区间I上，若函数F(x)可导，且F (x) f(x),则F(x)称为 f (x)的一个原函数.不定积分：在区间I上，函数f(x)的带有任意常数的原函数称为 f(x)在 区间I上的不定积分.基本积分表(P188, 13个公式)；性质(线性性).（完整版）同济大学-高数上册知识点（二）换元积分法1、第一类换元法（凑微分）：f （x） （x）dx f （u）du u （x）2、第二类换元法（变量代换：三角代换、倒代换、根式代换等）：f（x）dx f （t） （t）dt it （x）（三）分部积分法：

10、 udv uv vdu （反对哥指三，前u后V） （四）有理函数积分、“拆”；、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）五、定积分概念与性质:1、b定义：a f(x)dxnlim f( i)为0i 12、性质：（7条）性质7 （积分中值定理）函数f（x）在区间a,b上连续，则a,b,使1、f (x)dx f ( )(b a)（平均值：f（bf (x)dx)屋n )b a微积分基本公式（N L公式）x变上限积分：设（x） f（t）dt,则a(x) f(x)7第7页共9页（完整版）同济大学-高数上册知识点d (x)推广：一，、f(t)dt f (x) (x) f (x) (x) dx (x) b2、NHL公式：若F(x)为f (x)的一个原函数，则 f (x)dx F (b) F (a)a（三）换元法和分部积分f (t) (t)dtb换元法：f (x)dxab b b分部积分法：udv uv a vduaa(四)反常积分无穷积分： tf (x)dx lim f (x)dx at abbf (x)dx lim t f (x)dx0f(x)dx f(x